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今日推文主要分享一個非線性方程的牛頓-拉弗森迭代解法，借助Fortran語言，講述Fortran編程時需要注意的地方。理論及在Abaqus中的實(shí)現(xiàn)過程已在上幾期推文基于Abaqus的Newton-Raphson算法中說明，本次主要說明Fortran編程時需要注意的地方，本文代碼主要參考：《Fortran程序設(shè)計權(quán)威指南》。

非線性靜力分析需要求解非線性平衡方程，程序采用全牛頓-拉弗森或修正全牛頓-拉弗森迭代法。許多問題涉及歷程相關(guān)的響應(yīng)，因此通常通過一系列的增量步得到求解結(jié)果，在每個增量中通過迭代得到平衡。有時必須保持增量較小(意味著轉(zhuǎn)動和應(yīng)變增量必須小),以確保對歷程相關(guān)影響的正確模擬，但最常見的是，增量步大小的選擇是計算效率的問題，如果增量步太大則需要更多迭代。

別忘了思考牛頓-拉夫森方法在這種情況下扮演什么角色

這是一個完美的模擬示例，用牛頓-拉夫森方法來展示幾何形狀、材料和接觸非線性。 橡膠靴形密封件在許多工業(yè)應(yīng)用中用于保護(hù)柔性接頭 在兩個物體之間。在汽車行業(yè)中，橡膠防塵罩密封件持續(xù)覆蓋著 驅(qū)動軸上的速度接頭，用于保護(hù)其免受外部因素（如灰塵）的影響，潮濕、泥濘等環(huán)境。 這些橡膠靴的設(shè)計旨在適應(yīng)這些環(huán)境關(guān)節(jié)的最大可能擺動角度，以及補(bǔ)償軸長變化。

需要使用牛頓-拉普森方法來計算位移。在撓曲較大的情況下，需要仔細(xì)設(shè)置材料屬性、尺寸和時間增量。如果膜沒有任何殘余應(yīng)力或預(yù)應(yīng)力，則垂直方向的剛度值非常小。由于模型應(yīng)該使用牛頓-拉普森迭代，這會導(dǎo)致在第一步時計算非常不穩(wěn)定。膜在所有邊緣處都受到所有自由度的約束。毫無疑問，膜應(yīng)包含足夠細(xì)的網(wǎng)格以計算最大撓曲。因此，這些都是計算膜撓曲時需要克服的挑戰(zhàn)。

以下是一些額外的建議：1）繪制剩余力：牛頓-拉夫森剩余力的高值通常表明導(dǎo)致不收斂的特定接觸對。2）在接觸區(qū)域細(xì)化網(wǎng)格：這將使接觸壓力分布在更多的單元上，并增加接觸點(diǎn)的數(shù)量。相對較少的接觸點(diǎn)可能會導(dǎo)致非常高的接觸應(yīng)力，從而導(dǎo)致單元過度變形和收斂困難。對于非線性材料，這尤其成問題。

而非線性分析中，剛度矩陣隨計算過程變化，需要通過牛頓-拉夫遜法等算法進(jìn)行多次迭代，計算量呈幾何倍數(shù)增長。 2?? 幾何非線性 (Geometric Nonlinearity) 當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生“大位移”、“大轉(zhuǎn)動”或“大應(yīng)變”時，初始構(gòu)型發(fā)生顯著改變（如釣魚竿受力）。此時，必須開啟大變形開關(guān)，以修正剛度矩陣對構(gòu)型變化的響應(yīng)。

在ANSYS里還是牛頓－拉普森法和弧長法。牛頓－拉普森法是常用的方法，收斂速度較快，但也和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和步長有關(guān)。弧長法常被某些人推崇備至，它能算出力加載和位移加載下的響應(yīng)峰值和下降響應(yīng)曲線。但也發(fā)現(xiàn)：在峰值點(diǎn)，弧長法仍可能失效，甚至在非線性計算的線性階段，它也可能會無法收斂。 為此，盡量不要從開始即激活弧長法，還是讓程序自己激活為好（否則出現(xiàn)莫名其妙的問題）。

上述為非線性等式，我們須將其正切剛性線性化，并迭代求解。線性化后的平衡系統(tǒng)可以以下公式表示：為了進(jìn)行迭代計算，我們采用牛頓-拉弗森方法──解決非線性數(shù)學(xué)問題的最著名的方法。此分析會持續(xù)收斂，直到殘余力小于收斂標(biāo)準(zhǔn)時即完成解答。幾何擾動(Imperfection)模型應(yīng)用有時在數(shù)值分析過程中，結(jié)構(gòu)分析中不容易出現(xiàn)非線性情況。

上述為非線性等式，我們須將其正切剛性線性化，并迭代求解。線性化后的平衡系統(tǒng)可以以下公式表示： 為了進(jìn)行迭代計算，我們采用牛頓-拉弗森方法──解決非線性數(shù)學(xué)問題的最著名的方法。此分析會持續(xù)收斂，直到殘余力小于收斂標(biāo)準(zhǔn)時即完成解答。 幾何擾動(Imperfection)模型應(yīng)用 有時在數(shù)值分析過程中，結(jié)構(gòu)分析中不容易出現(xiàn)非線性情況。

程序中塑性迭代部分并非主流的牛頓-拉夫遜和梯度下降方法，但經(jīng)過驗證能夠適用于該模型，介意請勿拍。附件內(nèi)容：1. inp算例模型(低速沖擊工況，1/4模型，層間使用cohesive element) 2. 子程序 3 .使用方法 4.參考論文名稱首先介紹該子程序的使用方法與效果1. 在ABAQUS中建立三維復(fù)合材料模型，這里建立一個簡單的方塊。