尺寸鏈計算，概率法，極值法，
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尺寸鏈計算，概率法，極值法，的實例教程
在GB/T5847 -2004中規定了極值法和概率法兩種計算方法，大多數工程師做手工計算時常采用極值法進行計算，概率法相對復雜一些，很多工程師不太熟悉，下面這個案例我們通過GB/T5847-2004中的概率法來計算。
某機械結構如圖1所示，A/B零件采用人工裝配，裝配過程中保持A/B零件側面平行，分析間隙C1大小，是否可以順利裝配？
圖1
已知：零件尺寸如圖2和3所示，所有尺寸的分布規律為正態3西格瑪。
圖2
圖3
這是一個典型的孔軸裝配案例，A、B兩板通過右側孔軸配合，當A板向右移動至極限位置，即可使左側間隙C1達到最大值，此時C1若大于零，即可保證順利裝配。根據此裝配關系繪制尺寸鏈圖如圖4所示。
展開 極值法是建立在零件100％互換基礎上，又可稱之為完全互換法。極值法以尺寸鏈各個組成環最大與最小極限尺寸進行尺寸鏈計算，不考慮各組成環實際尺寸的出現概率，所以極值法可以保證按此方法計算出來的各個組成環加工后可實現完全互換。
表中，ξ為傳遞系數，表示各組成環對封閉環影響大小的系數。對于增環，ξ為正；對于減環，ξ為負。（參見：GB/T 5847-2004尺寸鏈計算方法）
例：將A右側緊靠B左側面，B緊靠C槽右內側面裝入C槽中后計算A零件和C槽內左側之間的間隙值X，其中A寬度10（+0.1 -0.05）mm，B寬度20（-0.1 -0.2）mm，C槽寬度30（+0.2 +0.1） mm。
繪制尺寸鏈圖如下：
按上述極值法公式計算：
尺寸鏈方程：X=C-A-B（通過人工獲得組成環的增減性和傳遞系數，列出方程組）
閉環基本尺寸：X=30-10-20=0mm
閉環 公差：T=0.15+0.1+0.1=0.35mm
閉環上偏差：ES=0.2-（-0.05）-（-0.2）=0.45mm
閉環下偏差：EI=0.1-（-0.1）-0.1=0.1mm
綜上得到：X=0（+0.45 +0.1）mm
在DCC軟件里可通過選擇“極值法”計算方法快速計算結果：
通過軟件可以自動生成方程組，自動計算傳遞系數，自動判斷各組成環增減性。
展開 在成熟工藝的大批量生產實踐中，多數零件的尺寸分布于公差帶中心附近，越靠近極限尺寸的零件數目越少，實際加工的零件尺寸分布狀態通常呈現正態分布，概率法是將組成環的實際尺寸當做符合正態分布的一個隨機變量來計算分析封閉環的分布狀態（公差帶），所以計算結果更接近真實生產。
概率法就是以一定置信概率，根據各組成環尺寸分布情況，按統計公差公式進行計算的方法，又可稱之為大數互換法。
概率法采用統計公差公式進行計算，計算公式如下：
一般情況下:閉環概論公差小于極值公差，表中Δ為中間偏差，k為相對分布系數，e為相對不對稱系數（參見：GB-T 5847-2004尺寸鏈計算方法）。
中間偏差Δ表征尺寸上偏差與下偏差的平均值。
相對分布系數k表征尺寸分布分散性的系數，正態分布時k=1。
相對不對稱系數e表征分布曲線不對稱程度的系數，對稱分布時e=0。
下面是e、k值與零件分布狀態（企業制造能力）的關系：
企業的加工能力、工藝水平等不同導致了零件實際分布狀態各有差異，零件的分布狀態代表了企業制造能力。這里建議有能力的單位，對零件加工出的實際尺寸進行統計，如果沒有統計數據的，可以參考國家標準。
概率法以一定置信水平為依據。通常，封閉環趨近正態分布，當置信水平P=99.73%時，相對分布系數k0=1；在某些生產條件下，要求適當放大組成環公差時，可取較低的P值，P與K0相應數值如下表（參見：GB-T 5847-2004尺寸鏈計算方法）：
下面我們為了對比，這里采用上一篇文章（尺寸鏈入門篇-極值法概述）中的案例用概率法進行計算。
展開 在計算尺寸鏈中，我們經常會遇到平面尺寸鏈的計算問題。平面尺寸鏈定義為尺寸鏈各環位于同一平面內，但其中有些環彼此不平行(存在一定的夾角關系)。而投影法的原理是通過某一方向投影，將平面尺寸鏈轉化為直線尺寸鏈進行求解。為了求解方便和計算準確性，本案例中會沿著封閉環所在的平面進行投影，將平面尺寸鏈轉化為直線尺寸鏈，然后再尋找封閉環和組成環的函數關系，最后計算封閉環的基本尺寸以及公差。下面以簡單的平面孔系尺寸鏈為例進行推導。
圖1多孔零件
通過投影法，我們可以將A1和A2投影到A0的尺寸線上，然后在軟件DCC中畫出線性尺寸鏈圖，如圖2所示：
圖2 尺寸鏈
圖3 具體參數
而判斷封閉環，從加工順序我們可以知道，A1和A2是組成環，A0是最后形成的環，為封閉環。從軟件中我們也可以設置封閉環A0。為了方便說明三者之間的關系，我們添加一條輔助線，與A0相交于c點。如圖4所示：
圖4 尺寸鏈
由圖4的圖形關系可得：
A0=A1×cosα+A2×cosβ（1）
由于實際尺寸A1和A2會在公差范圍內變動，從而角度α和角度β也會隨著在一定范圍內變動，最終都會對A0的實際尺寸產生影響。這里我們可以采用對公式（1）兩端進行微分，可以得到以下方程（2）
將上述數值代入式(1)和式（6），可得：
所以，使用微分法得到具體閉環公差為1.536mm,利用公差對稱分布可得：
下面，筆者使用DCC軟件進行尺寸鏈繪制以及計算，如下圖：
圖5 DCC計算結果
可以知道，計算閉環A0基本尺寸時，結果是一樣的（手算中對閉環A0進行四舍五入），而閉環公差值也相差不大。
展開 棣拓軟件-工藝尺寸鏈計算中豎式法原理及計算公式有哪些呢？工藝尺寸鏈計算是指在加工過程中的各有關工藝尺寸所組成的尺寸鏈。工藝尺寸鏈計算的計算是否正確，不僅影響到產品質量，還影響加工制造過程是否經濟、合理。因此，正確分析和簡便求解尺寸鏈是工藝過程不可缺少的重要環節。
1 工藝尺寸鏈計算豎式法原理及計算公式
工藝尺寸鏈計算豎式法是一種基于極值法基本公式的計算方法。利用極值法的第一組和第三組公式，把原有公式中的減法計算改為加法計算。
第一組公式改為
其中n為增環數，m為組成環數
公式含義：封閉環的基本尺寸等于各增環基本尺寸之和加上各減環基本尺寸負值之和。
第三組公式改為
其中ES為上偏差，EI為下偏差
公式含義：封閉環的上偏差等于各增環上偏差之和加上各減環下偏差負值之和；封閉環的下偏差等于各增環下偏差之和加上各減環上偏差負值之和。
把上述三個公式以表格的形式表達，將各環數據一一填寫，表格中每一列由增環和減環的相關數值相加得到下方封閉環的相關數值。這就是豎式法。
DTAS致力于將專業化的CAT（計算機輔助公差）技術引入到產品開發過程中，憑借強大的技術支持力量和先進的軟件技術，為客戶提供完美軟件產品和技術咨詢服務，成就工程領域的全方位CAT技術，引領傳統公差計算模式的革命性變革，幫助客戶提高產品質量，縮短開發周期，降低開發成本。
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在計算尺寸鏈中，我們經常會遇到平面尺寸鏈的計算問題。平面尺寸鏈定義為尺寸鏈各環位于同一平面內，但其中有些環彼此不平行(存在一定的夾角關系)。而投影法的原理是通過某一方向投影，將平面尺寸鏈轉化為直線尺寸鏈進行求解。為了求解方便和計算準確性，本案例中會沿著封閉環所在的平面進行投影，將平面尺寸鏈轉化為直線尺寸鏈，然后再尋找封閉環和組成環的函數關系，最后計算封閉環的基本尺寸以及公差。下面以簡單的平面孔系尺寸鏈為例進行推導
真法是基于蒙特卡洛隨機抽樣方法（Monte Carlo method），市場上主流仿真分析軟件都采用的此方法。仿真法其本質與概率法一樣，均考慮了零件尺寸的分布趨勢，可以較真實地反映裝配結果。
在DCC軟件里通過仿真法計算可以幫助工程師在設計階段準確的仿真出產品在實際生產中的一次合格率（一次合格率為不考慮在裝配過程中裝配不上時，人工調整、修銼或平移后達到技術要求的合格率），提前發現可能存在的設計問題
在成熟工藝的大批量生產實踐中，多數零件的尺寸分布于公差帶中心附近，越靠近極限尺寸的零件數目越少，實際加工的零件尺寸分布狀態通常呈現正態分布，概率法是將組成環的實際尺寸當做符合正態分布的一個隨機變量來計算分析封閉環的分布狀態（公差帶），所以計算結果更接近真實生產。
概率法就是以一定置信概率，根據各組成環尺寸分布情況，按統計公差公式進行計算的方法，又可稱之為大數互換法。
概率法采用統計公差公式進行計算
極值法是建立在零件100％互換基礎上，又可稱之為完全互換法。極值法以尺寸鏈各個組成環最大與最小極限尺寸進行尺寸鏈計算，不考慮各組成環實際尺寸的出現概率，所以極值法可以保證按此方法計算出來的各個組成環加工后可實現完全互換。
表中，ξ為傳遞系數，表示各組成環對封閉環影響大小的系數。對于增環，ξ為正；對于減環，ξ為負。（參見：GB/T 5847-2004尺寸鏈計算方法）
例
概率法計算方法
在成批生產實踐中，零件實際尺寸會呈現一定的分布狀態。大多數情況下是呈現正態分布。換句話說，如果加工中工藝調整中心接近公差帶中心時，大多數零件的尺寸分布于公差帶中心附近，越靠近極限尺寸的零件數目越少。因此，可利用這一個規律，基于一定的合格率置信系數，即使組成環設計公差放大的情況下，依然可以滿足裝配要求。這樣不但使零件易于加工，同時又能滿足封閉環的技術要求，從而獲得最大的經濟效益。
極值法是一種重要的數學思維、分析方法，它就是把復雜的問題放到極限的狀態下去考慮，從而達到簡化問題的一種極限手段。
棣拓軟件-工藝尺寸鏈計算中豎式法原理及計算公式有哪些呢？工藝尺寸鏈計算是指在加工過程中的各有關工藝尺寸所組成的尺寸鏈。工藝尺寸鏈計算的計算是否正確，不僅影響到產品質量，還影響加工制造過程是否經濟、合理。因此，正確分析和簡便求解尺寸鏈是工藝過程不可缺少的重要環節。
1 工藝尺寸鏈計算豎式法原理及計算公式
工藝尺寸鏈計算豎式法是一種基于極值法基本公式的計算方法。利用極值法的第一組和第三組公式
