概率分布函數的案例
概率密度函數概率分布函數
概率密度函數概率分布函數
HyperWorks仿真——隨機振動理論簡介
隨機，指的是運動是不規律的，不能用一個函數來表示其隨時間的變化。”振動“指的是物體在一個位置附近的往復運動。隨機振動的常見例子有汽車在路面上的振動，風載荷下建筑的振動等。
對于一個沒有規律的運動，如何去分析結構的受力狀況呢？以汽車在路面上的運動為例，我們可以測得某一次汽車在路面上的運動信息，這里指的是汽車在垂直于路面方向上的上下顛簸狀況(位移和加速度)，但是重新測一次就會發現，隨著路面狀況的不同，每次測得的數據都不一樣，那么我們該拿哪一次數據作為我們分析的輸入呢？
這就是所謂的隨機性。對于隨機性的運動，我們可以采用統計平均的方法來分析。對大量的隨機信號分析表明，雖然單個的信號之間是不相關的，沒有規律的，但是它們的分布卻服從概率分布，稱為正態分布。正態分布可以表示為：
式中，μ為信號的均值，σ為信號的標準差。F(x)是信號小于x的概率。
正態分布曲線如下圖所示，它受到平均值和標準差的影響。
可以看到，均值的改變會使概率分布函數在水平方向移動，標準差的改變會使函數的凸凹程度發生變化。
一般來說，在進行隨機振動分析時會假設隨機信號的均值為零，即使不為零，也可以采用一個均值為零的隨機信號與一個常值信號疊加的方式處理，在這里只分析均值為零的隨機振動。
當均值為零時，決定隨機信號分布函數的變量只有標準差σ。也就是說，σ一旦確定，對應于該隨機信號的概率分布函數也就確定了。這里再次重申一下，隨機信號是隨機的，但是在統計意義上是滿足正態分布的，我們不能通過單個信號或單次測量的信號集合來作為隨機振動的輸入，但是我們可以通過隨機信號的平均功率來確定其概率分布函數。也就是說，隨機振動分析并不是通過具體的輸入得到一個具體的結果，而是通過一個概率分布的輸入，得到一個概率分布的結果。
展開 Python | 多彈打擊地面人員的毀傷概率分布
初始威力場
所有破片打擊線（考慮重力）
單個彈打擊的所有破片落點（落速200m/s，落角50°，落高5m）
假設地面目標為人員，不同工況下毀傷概率分布，圖中范圍x為-50m~50m，y為-50m~50m。考慮破片和沖擊波聯合作用。
離散斷裂網絡DFN模型---Baecher Model
本文簡要描述了另一個廣泛使用的模型: Baecher模型 .
2 Baecher模型
DFN顯式地將斷裂或者節理作為不連續的特征，用帶有概率分布的隨機變量來定義. 因此，DFN可以用來推斷現場觀測數據，從而代表巖體不連續的性質。離散斷裂網絡模型是根據斷裂特征之間的特定關系生成的，如斷裂產狀、斷裂、尺寸和終止條件。其中, Baecher模型(Baecher et al., 1978, Statistical Description of Rock Properties and Sampling)是一種非常靈活的算法，可以生成復雜的節理網絡。
Baecher模型
Baecher模型是一個典型的盤形節理模型，其中節理尺寸即跡長是有限的，并且遵循某種統計分布。每個節理由三個參數定義，即中心點、產狀和直徑。節理的中心按照泊松點過程在空間中定位, 在三維空間中均勻分布, 而產狀和直徑既可以按照概率分布函數定義分布變化，也可以是常數。通常我們假定產狀服從Fisher分布. 模型中產生的節理數量由節理烈度來控制。Baecher模型是Itasca系列軟件和Golder FracMan中主要使用的DFN模型.
作為對比, 在二維平面上，Baecher模型與Veneziano模型類似，節理由獨立的線段來表示, 而Veneziano模型的斷裂是由共面線段來表示。Baecher模型的跡長呈對數正態分布, 而Veneziano模型的跡長呈指數分布.
生成的二維Baecher模型
目前, Baecher模型保存在兩個文件夾內, 一個用來保存pdf文件[23個] (..\Rock Mechanics\Baecher Model), 另一個保存txt文件, 用于機器學習(..
展開 
隨機振動的一些概念
各態歷經平穩隨機過程： 對于一個平穩隨機過程，經歷各種狀態統計平均值等于時間平均值，統計自相關函數等于時間自相關函數（數學期望和相關函數的各態歷經性。）
平穩：樣本概率分布與時間無關（與時間間隔有關），即主要針對概率分布而言，并非樣本本身。平穩隨機過程滿足一定條件才會各態歷經，各態歷經一定平穩；
隨機信號強度用均方值描述：隨機變量X(t)的平方的均值，記為，在工程上表示信號的平均功率，其平方根稱有效值。信號的平均功率 = 信號交流分量功率 + 信號直流分量功率。
工程上常把數據信號看成不隨時間變化的靜態分量(即直流分量) 和隨時間變化的動態分量之和。
靜態分量用均值表述。用E(x)表示。高斯白噪聲信號均值為0，只有交流分量。
動態分量部分用方差表述。方差是x（t）偏離均值的平方的均值，它反映離開均值的波動情況，交流信號的平均功率。
有時候分母也換成n-1,這取決于數據是樣本數據還是整體數據。
概率密度函數、概率分布函數、自相關函數、相關系數后續再寫。
展開 隨機波浪載荷作用下導管架平臺動力響應及疲勞可靠性分析
采用Airy線性波浪理論，將導
管架結構離散成空間梁有限單元結構；在此基礎上采用結構模態分析方法，編程計算了平臺結構在隨機波浪載
荷作用下的位移、速度、加速度和應力隨機響應及其概率統計量。導管架結構疲勞可靠性分析建立在頻域響應的
基礎上，假設結構響應的應力范圍服從Rayleigh分布，利用結構應力傳遞函數得到結構應力響應譜，然后利用
Miner線性累積損傷準則推導出結構疲勞壽命的概率分布函數，并考慮結構疲勞強度影響系數的隨機性，求得結
構在隨機應力譜下給定疲勞壽命時的疲勞可靠性指標。文中所建立方法可用于導管架式平臺結構的疲勞安全評
估。
隨機波浪載荷作用下導管架平臺動力響應及疲勞可靠性分析.pdf
展開 Python – 統計中的正態分布
中心極限定理 – 它指出，如果我們取從獨立和相同的分布式隨機變量收集的大型無數據點的平均值，那么這些平均值將遵循正態分布，而不管它們的原始分布如何。
使用 Python 的正態分布
Python 編程語言有幾個庫，可用于繪制正態分布并獲取數據點的概率分布函數。
繪制和應用正態分布所需的模塊
Numpy – 一個用于數值數學計算和處理多維 ndarray 的 Python 庫，它還具有非常大的數學函數集合來作此數組。
Pandas – 一個基于 NumPy 構建的 Python 庫，用于有效的矩陣乘法和數據幀作，它還用于數據清理、數據合并、數據重塑和數據聚合
Matplotlib – 它用于繪制 2D 和 3D 可視化圖，它還支持多種輸出格式，包括圖表
Scipy – 用于求解數學方程式和算法的 Python 庫。它是統計和微積分函數最常用的庫之一。
我們可以使用這些模塊來繪制數據點的正態分布曲線。
展開 FRED應用：RPC Photonics 擴散片BSDF導入模擬
例如全息漫射體可以視為一組隨機排列的透鏡，但是通過全息曝光形成的類透鏡效果只能通過靜態方式進行控制：而無法單獨操控每個微透鏡單元，這也幫助解釋了全息漫射體無法控制光的分布和輪廓。另一方面，在工程漫射體中，每個微透鏡單元形成漫射體，由其凹形縱斷面和在陣列中的位置所確定。同時，為了確保漫射體不受輸入光束變化的影響，并且不產生衍射效果，微透鏡單元的分布是隨機的，根據產生相應的光束形狀函數所選取的概率分布函數來確定。因此，工程漫射體同時保留了隨機與確定性漫射體的優點，從而實現高性能的光束整形功能。
背景
RPC Photonics公司有高品質的的工程漫射體BSDF測試數據，但它對于FRED幫助甚少，下面這個步驟描述了如何利用FRED腳本轉換RPC Photonics提供的TXT文件，并將數據直接應用到FRED的Tabulated scatter 散射模型。
摘要
展開 如何利用ANSYS的隨機分布函數功能
作者：水哥ANSYS
來源：本文源于ANSYS結構院，上海安世亞太授權轉載
隨機分布在材料微觀力學分析中扮演著重要角色，例如混凝土骨料力學、新型材料纖維力學分析等內容，提及隨機分布，更多的同學可能會聯想到采用第三方軟件如Matlab來生成，并導入ANSYS計算，其實ANSYS本身自帶隨機分布功能，只是功能略有限制。
ANSYS中產生隨機分布的一個重要函數是 *VFILL，該函數主要的作用是對數組進行填充賦值，而在賦值的過程中，用戶既可以選擇自定義數據內容，也可以選擇利用隨機函數產生數值，ANSYS Help中*VFILL說明如下：
該函數主要輸入參數為數組名稱以及輸入數據的函數，當選擇為data時，表示用戶自定義數據進行填充，當選擇其他選項時，則根據函數類型進行填充。
*VFILL隨機數生成支持均勻分布(Rand)、高斯分布(GDIS)、三角分布(TRIA)、貝塔分布（BETA）、伽馬分布（GRMM），*VFILL用于批量生成，如果需要單獨生成數據，則可以分別使用函數：
1) num=Rand(con1,con2)
2) num=Gdis(con1,con2)
3) num=Tria(con1,con2,con3)
4) num=Beta(con1,con2,con3,con4)5) num=Gram(con1,con2,con3)
上述con1~con4分別表示函數參數，例如針對均布分布，con1和con2分別表示分布的下限和上限。
下面分別以均布分布、高斯分布、伽馬分布為例進行演示。
1、均布分布
APDL代碼：
finish
/clear
/prep7
numA=1000
!
展開 Abaqus隨機響應分析中PSD的定義
隨機振動指未來任一給定時刻的瞬時值不能預先確定的機械振動，無法用確定的函數而須用概率統計方法定量描述其運動規律的振動，因此在進行隨機響應分析時隨機激勵以PSD（功率譜密度）的形式進行輸入。
1.PSD的的定義
功率譜密度譜是一種概率統計方法，是對隨機變量均方值的量度。一般用于隨機振動分析，連續瞬態響應只能通過概率分布函數進行描述，即出現某水平響應所對應的概率。功率譜密度的定義是單位頻帶內的“功率”（均方值）。
功率譜密度是結構在隨機動態載荷激勵下響應的統計結果，是一條功率譜密度值—頻率值的關系曲線，其中功率譜密度可以是位移功率譜密度、速度功率譜密度、加速度功率譜密度、力功率譜密度等形式。數學上，功率譜密度值—頻率值的關系曲線下的面積就是均方值，當均值為零時均方值等于方差，即響應標準偏差的平方值。
2. Abaqus中PSD的定義
Abauqs中通過Random response分析步進行基于模態的隨機響應分析。
?PSD的類型
Abaqus中支持以下類型的PSD施加：
① 集中載荷
② 分布載荷
③ 基礎運動（BASE MOTION）
BASE MOTION的類型分別為加速度、速度和位移。
關鍵字：*BASE MOTION
?PSD的定義
PSD為模型數據必須在分析步之前定義
① 定義隨機激勵PSD曲線的關鍵字為：
*PSD-DEFINITION, NAME=psd-name
② CAE環境定義PSD,如圖1所示。
其中：
TYPE = BASE 為基礎激勵
G為參考加速度，默認為1，用戶可以根據實際自行定義。
展開 濃相氣固流動模型：MP-PIC
圖1 濃相氣固多相流模型
2 氣相控制方程
氣相流動用基于體積平均的連續性和動量方程描述為：
方程（1）
方程（2）
方程（2）中氣相應力可以用方程（3）計算，其中氣相有效動力粘度包括了層流粘度和湍流粘度：
方程（3）
氣相壓力和密度間的關系可通過理想氣體狀態方程表示：
方程（4）
流場中任意點的氣相和固相的體積分數滿足：
方程（5）
3 固相控制方程
顆粒相在空間中分布用概率分布函數（PDF）描述f (x,ug,ρp ,Vp,t )，其表示t時刻在位置x到具有速度為ug，密度為ρp 和體積為Vp的顆粒的概率，f 隨時間t 的演變規律[1]表示為：
方程（5）
在實際的數值求解過程中，顆粒相的空間分布通過將概率分布分解為有限數量的數值粒子，并追蹤這些粒子的運動過程來獲得，而每個數值粒子表示一定數量的具有相同密度、體積、速度和位置的真實顆粒。由于使用數值粒子，從而極大地減少了計算需求，同時在大多數條件下不會降低計算結果的準確度。
展開 
基于MS的水分子徑向分布函數(RDF)計算
最后選定模塊中分析中的RDF功能，計算可得到RDF計算結果就是分子間H-H、H-O、O-O的徑向分布函數。O-O 徑向分布函數在0. 275 nm處出現最高峰值,表示由于氫鍵相互作用下中心水分子與最近鄰水分子間氧氧距離；O-H 徑向分布函數在0. 175 nm 和0. 325 nm 處均出現峰值,這分別是有氫鍵作用和無氫鍵作用的O-H 距離；H-H 徑向分布函數在0. 245 nm處出現峰值。
最后，歡迎通過公眾號“320科技工作室”聯系我們
FRED應用：RPC Photonics 擴散片BSDF導入模擬
例如全息漫射體可以視為一組隨機排列的透鏡，但是通過全息曝光形成的類透鏡效果只能通過靜態方式進行控制：而無法單獨操控每個微透鏡單元，這也幫助解釋了全息漫射體無法控制光的分布和輪廓。另一方面，在工程漫射體中，每個微透鏡單元形成漫射體，由其凹形縱斷面和在陣列中的位置所確定。同時，為了確保漫射體不受輸入光束變化的影響，并且不產生衍射效果，微透鏡單元的分布是隨機的，根據產生相應的光束形狀函數所選取的概率分布函數來確定。因此，工程漫射體同時保留了隨機與確定性漫射體的優點，從而實現高性能的光束整形功能。
FRED是美國Photon Engineering 公司開發的光學工程仿真軟件，其在雜散光分析中獨特的算法、高效的準確性，使其與其它同類產品相比更具優勢。本案例我們重點講述如何由RPC Photonics的BSDF數據轉為FRED可識別的散射數據。
圖1. RPC Photonics工程漫射體結構及光束投射形狀
步驟
1、 在http://www.rpcphotonics.com/bsdf-data-optical-diffusers/下載并解壓BSDF數據到某一文件夾下，選擇“Raw data”文件。
圖2. RPC Photonics工程漫射體不同類型的散射數據
2、 打開FRED并運行腳本文件
3、 生成了FRED可識別的文件后，將散射模型導入到FRED里面
a. 創建一個新的散射庫
b. 散射模型命名
c. 改變散射模型為“Tabulated BSDF”.
d. 在File框出右鍵選擇“Replace With Data From a File”, 選擇步驟三生成的數據文件（如EDF-C1-56_FRED.txt ）
e.
展開 iSIGHT:世界領先的集成化、自動化、優化設計軟件
RBF（Radial Based Function) Neural Network
徑向基函數神經網絡模型，逼近復雜非線性問題
2. 多項式選擇手段提高RSM響應面模型擬和的可靠性和精確性
?Sequential
Replacement
?Stepwise Regression
(Efroymson)
?Two-At-A-Time
replacement
?Exhaustive search
試驗設計方法的加強：
1. OLH (Optimal Latin Hypercube )
? 使隨機Latin Hypercube生成的樣本點均勻分布于設計空間，保證樣本點的正交性
2. Rank Checking 秩檢驗
?在試驗設計之前進行秩檢驗，保證后處理時模型擬和的有效性
質量工程方法的加強：
1. Dynamic/Static Taguchi 動/靜田口方法
? 處理產品使用過程中動態特性不確定性和設計過程中靜態特性不確定性，保證設計、加工、使用的質量穩健性。
2. Truncated Distributions 截斷型概率分布
? 對標準的概率分布函數 （PDF, Probability distribution function）上下限進行截斷，更好描述隨機變量統計規律
Solution Monitor
提供優化計算過程的直觀、清晰的圖解
了解設計探索方案變更的時機和效果
把握設計空間的特點和性質
EDM (Engineering Data Mining)可以對多目標設計問題提供專門的后處理能力，以便有效地查看pareto數據，使復雜數據的分析工作變得更加簡單。
Advanced Data Analysis 可以對響應面模型進行三維和散布圖顯示
展開 『下載』Mathcad 2000實例教程
目錄
前言
第1章 Mahcad 2000基礎
1．1 Mahcad 2000應用范圍和新特性
1．2 入門知識概述
1．3 Mathcad 2000窗體環境
1．4 Mathcad 2000快速瀏覽
第2章 Mathcad 2000在數學中的應用
2．1 四則運算
2．2 函數運算
2．3 復數運算
2．4 矢量運算
2．5 矩陣運算
2．6 解方程運算
2．7 簡單數學曲線
第3章 Mathcad編程語言M++語言
3．1 M++語言概述
3．2 編程基礎
3．3 條件語句
3．4 循環語句
3．5 變量與函數
3．6 編程應用實例
第4章 微分方程
4．1 微分方程基本概念
4. 2 求解長微分方程
4．3 歐拉法初步
4．4 標準微分方程形式
4．5 微分方程的可視化
4．6 定步長方法
4．7 變步長方法
4．8 邊值問題
4．9 綜合實例
第5章 數據處理
5．1 數據輸入
5．2 輸出數據
5．3 文件訪問函數
5．4 與其他應用程序之間交換數據
第6章 常用的數學變換
6．1 傅立葉變換及其逆變換
6．2 拉普拉斯變換及其逆變換
6．3 z-變換及其逆變換
第7章 動畫制作
7．1 動畫制作方法
7．2 螺旋展開運動動畫
7．3 曲面駐波動畫
7．4 二項分布試驗動畫
7．5 等值線圖動畫制作
7．6 冒泡排序動畫
7．7 將矩形區域卷成圓環動畫
7．8 旋轉地球儀
7．9 曲柄連桿機構
7．10 小球沿曲線的滑動
第8章 統計分布函數
8．1 統計函數
8．2 概率分布函數
8．3 p分布
8．4 二項式分布
8．5 柯西分布
8．6 r分布
8．7 泊松分布
8．8 負二項式分布
8．9 指數分布
8．10 幾何分布
8．11 x’分布
8．12 F分布
8．13 Logls分布
8．14 正態分布
8．15 對數正態分布
8．16
展開 