梯度下降的案例
基于混沌變量的變步長梯度下降優化算法
基于混沌變量的變步長梯度下降優化算法
姚俊峰 楊獻勇 彭小奇 張田 鄭順斌
清華大學熱能工程系 中南大學熱工設備仿真與優化研究所 福建潯興集團公司
摘要：梯度下降法與混沌優化法均具有各自的缺點。該文將二者結合起來，利用混沌運動的遍歷性，將混沌因子引入到變步長中，對梯度下降法進行改進。首先利用混沌變量來初始化補償大小，并隨著搜索過程向最優點附近步長波動平穩，避免了梯度下降法拉鋸現象的產生。通過3個典型算例，用該算法和梯度下降法以及其他2種算法進行了優化計算對比，結果表明，采用該算法的迭代次數減少了45%以上。
關鍵詞 ：最佳控制，混沌，變步長，梯度下降法，優化
內容簡介：
1 傳統優化算法的分析
2 基于混沌變量的變尺度梯度下降優化算法
3 算例
4 結論
基于混沌變量的變步長梯度下降優化算法.pdf
展開 梯度下降的優化技術
基于動量的更新：基于動量的梯度下降技術涉及將先前更新的一小部分添加到當前更新中。該技術有助于算法克服局部最小值并加速收斂。
批量歸一化：批量歸一化是一種用于對神經網絡每一層的輸入進行歸一化的技術。這有助于 Gradient Descent 算法更快地收斂，并避免漸變消失或爆炸。
權重衰減： 權重衰減是一種正則化技術，涉及向成本函數添加與權重大小成正比的懲罰項。這有助于防止過度擬合并提高模型的泛化。
自適應學習率：自適應學習率技術涉及在訓練過程中自適應地調整學習率。示例包括 Adagrad、RMSprop 和 Adam。這些技術根據歷史梯度信息調整學習率，可以提高算法的收斂速度和準確性。
二階方法：Second-Order Method 使用成本函數的二階導數來更新參數。示例包括 Newton's Method 和 Quasi-Newton Methods。這些方法可以比 Gradient Descent 更快地收斂，但需要更多的計算并且可能不太穩定。
Gradient Descent 是一種迭代優化算法，用于查找函數的最小值。一般的思路是將參數初始化為隨機值，然后在每次迭代時沿 “slope” 的方向采取小步驟。梯度下降在監督學習中被廣泛使用，以最小化誤差函數并找到參數的最佳值。已經為梯度下降算法設計了各種擴展。下面討論其中一些：
動量法：此方法用于通過考慮梯度的指數加權平均值來加速梯度下降算法。使用平均值使算法以更快的方式收斂到最小值，因為朝向不常見方向的梯度被抵消。動量法的偽代碼如下。
展開 多梯度下降算法MGDA
如何求MGDA算法中的梯度信息（gfun1,gfun2)目標函數1與2的梯度。matlab
最速下降梯度法matlab程序
% Steepest Descent Method
% By Kshitij Deshpande
clc
clear all
warning off
prompt = {'Coeficients if X1=','Coefficients of X2=','Coefficeint of X1X2=','Initial Point='};
def = {'[2 1 0]','[1 -1 0]','2','[0 0]'};
a=inputdlg(prompt,'Data',1,def);
a=char(a);
[m,n]=size(a);
x1 = eval(a(1,1:n));x2=eval(a(2,1:n));x1x2=eval(a(3,1:n));X1=eval(a(4,1:n));
delf1(1) = polyval(polyder(x1),X1(1));
delf1(1) = (delf1(1))+(x1x2*X1(2));
delf1(2) = polyval(polyder(x2),X1(1));
delf1(2) = (delf1(2))+(x1x2*X1(1));
s=-delf1;
%%%%%%%%%%
%report
srep(1,1:2)=s;
%%%%%%%%%%
x1new(1)=s(1)^2;x1new(2)=2*X1(1)*s(1);x1new(3) = X1(1)^2;
x1new=x1new*x1(1);
x1new_(2)=x1(2)*s(1);x1new_(3)=x1(2)*X1(1);
x1new = x1new+x1new_;
x2new(1)=s(2)^2;x2new(2)=2*X1(2)*s(2);x2new(3) = X1(2)^2;
x2new=x2new*x2(1);
x2new_(2)=x2(2)*s(2);x2new_
展開 
深度學習中7種最優化算法的可視化與理解
梯度下降法
算法2：梯度下降法+動量
算法在純粹的梯度下降法之上，外加了梯度，從而記錄下了歷史的梯度情況，從而減輕了卡在局部最小值的危險，在梯度=0的地方仍然會有一定的v剩余，從而在最小值附近搖擺
首先給出學習率lr，動量參數m
初始速度v=0,初始x
while True：
v = m * v - lr * df/dx
x += v
下面可以看圖：
梯度下降+動量， lr=0.05
梯度下降+動量， lr=0.01
梯度下降+動量， lr=0.002
從中我們可以看出：
lr越小越穩定，太大了很難收斂到最小值上，但是太小的話收斂就太慢了
動量參數不能太小，0.9以上表現比較好，但是又不能太大，太大了無法停留在最小值處
算法3：AdaGrad算法
AdaGrad算法的思想是累計歷史上出現過的梯度（平方），用積累的梯度平方的總和的平方根，去逐元素地縮小現在的梯度。某種意義上是在自行縮小學習率，學習率的縮小與過去出現過的梯度有關。
缺點是：剛開始參數的梯度一般很大，但是算法在一開始就強力地縮小了梯度的大小，也稱學習率的過早過量減少。
展開 解析深度學習優化：Momentum、RMSProp 和 Adam
我們想要下降到最低點，因此，需要穿過峽谷。這個區域就是所謂的病態曲率。為了了解為何將其稱為病態曲率，讓我們再深入研究。放大了看，病態曲率就像這樣
**病態曲率**
要知道這里發生的事情并不難。梯度下降沿著峽谷的山脊反彈，向最小的方向移動的速度非常慢。這是因為山脊的曲線在 W1 方向上彎曲的更陡。
考慮山脊表面的 A 點。我們看到，梯度在這點可以分解為兩個分量，一個沿著 W1 方向，另外一個沿著 W2 方向。如果 f 顯著下降的唯一方向是低曲率的，那么優化可能會變得太慢而不切實際，甚至看起來完全停止，造成局部最小值的假象。
正常情況下，我們使用一個較慢的學習率來解決這種山脊間反彈的問題，正如上一篇關于梯度下降的文章所述。然而，這卻產生了麻煩。
當我們接近最小值時，慢下來是有意義的，我們想要收斂于它。但是考慮一下梯度下降進入病態曲率的區域，以及到最小值的絕對距離。如果我們使用較慢的學習率，可能需要花費更多的時間才能到達極小值點。事實上，有研究論文報道過使用足夠小的學習率來阻值山脊間的反彈可能導致參與者以為損失根本沒有改善，從而放棄訓練。
如果 f 顯著下降的唯一方向是低曲率的，那么優化可能會變得太慢而不切實際，甚至看起來完全停止，造成局部最小值的假象。
也許我們想要的是能讓我們慢慢進入病態曲率底部的平坦區域，然后在最小值的方向上加速。二階導數可以幫助我們做到這一點。
牛頓法
梯度下降是一階優化方法。它只考慮損失函數的一階導數，而不考慮更高階的導數。這基本上意味著它不知道損失函數的曲率。它只能說明損失是否下降以及下降的速度，而不能區分曲線是平坦的，向上的，還是向下的。
之所以會發生這種現象，是因為梯度下降只關心梯度，就好像上圖中紅色的點，三個曲線在這一點上的梯度是相同的。如何解決？
展開 深度學習|會開發AI的AI：超網絡有望讓深度學習大眾化
變成“超網絡”
目前，訓練和優化深度神經網絡最好的方法是隨機梯度下降（SGD） 技術的各種變種。訓練涉及到將網絡在給定任務（例如圖像識別）中所犯的錯誤最小化。 SGD 算法通過大量標記數據來調整網絡參數，并減少錯誤或損失。梯度下降是從損失函數的高位值一級級向下降到某個最小值的迭代過程，代表的是足夠好的（或有時候甚至是可能的最好）參數值。
但是這種技術只有在你有需要優化的網絡時才有效。為了搭建最開始的神經網絡（一般由從輸入到輸出的多層人工神經元組成），工程師必須依靠自己的直覺和經驗法則。這些結構在神經元的層數、每層包含的神經元數量等方面可能會有所不同。
梯度下降算法讓網絡沿著其“損失景觀”向下走，其中高位值表示較大錯誤或損失。算法旨在找到全局最小值，讓損失最小化。
理論上可以從多個結構出發，然后優化每個結構并選出最好的。但Google Brain 訪問學者 MengYe Ren 說：“訓練需要花費相當多的時間，要想訓練和測試每以個候選網絡結構是不可能的。這種做法擴展不好，尤其是如果要考慮到數百萬種可能設計的話?！?于是 2018 年，Ren 與自己在多倫多大學的前同事 Chris Zhang ，以及他們的指導 Raquel Urtasun 開始嘗試一種不同的方法。他們設計出一種所謂的圖超網絡（Graph Hypernetwork， GHN），這種網絡可以在給出一組候選結構的情況下，找出解決某個任務的最佳深度神經網絡結構。
顧名思義，“圖”指的是深度神經網絡的架結構，可以認為是數學意義的圖——由線或邊連接的點或節點組成的集合。此處節點代表計算單元（通常是神經網絡的一整層），邊代表的是這些單元互連的方式。
原理是這樣的。圖超網絡從任何需要優化的結構（稱其為候選結構）開始，然后盡最大努力預測候選結構的理想參數。
展開 神經網絡中 BP 算法的原理與 Python 實現源碼解析
（Stochastic Gradient Descent，簡稱 SGD），原理與梯度下降相似，不同的是隨機梯度下降算法每次迭代只取數據集中一部分的樣本來更新 w 和 b 的值，速度比梯度下降快，但是，它不一定會收斂到局部極小值，可能會在局部極小值附近徘徊。
機器學習中的優化算法 ￥2
一階算法</strong></p><ul><li>梯度下降</li><li>隨機優化技術</li><li>進化算法</li><li>元啟發式優化</li><li>Swarm 智能算法</li><li>超參數優化</li><li>深度學習中的優化</li></ul><p><br></p><p>2 梯度下降及其變體</p><p>Gradient Descent 是一種基本的優化算法，用于通過迭代向最小值移動來最小化目標函數。它是一種一階迭代算法，用于查找可微分多元函數的局部最小值。該算法的工作原理是在當前點的函數梯度 （或近似梯度） 的相反方向上采取重復步驟，因為這是最陡下降的方向。</p><p>假設我們想要最小化函數 f（x）=x2使用 Gradient Descent。
展開 AI科普系列——機器學習 = 模型+策略+算法
但通常解析解不存在，這就需要用數值計算的方法求解，如常見的梯度下降方法。如何保證找到全局最優解，并使求解的過程非常高效，就成為一個重要問題。常見的梯度下降、網格搜索Grid-Search、貝葉斯優化等優化學習算法適用于不同應用場景，同樣的，這一方向也是近年來AutoML自動化機器學習著重研究的領域。
吳恩達：最新的28張圖，全解深度學習知識！
上圖也展示了歸一化的原因，因為如果特征之間的量級相差太大，那么損失函數的表面就是一張狹長的橢圓形，而梯度下降或最速下降法會因為「鋸齒」現象而很難收斂，因此歸一化為圓形有助于減少下降方向的震蕩。
后面的梯度消失與梯度爆炸問題也是十分常見的現象?！?em>梯度消失」指的是隨著網絡深度增加，參數的梯度范數指數式減小的現象。梯度很小，意味著參數的變化很緩慢，從而使得學習過程停滯。梯度爆炸指神經網絡訓練過程中大的誤差梯度不斷累積，導致模型權重出現很大的更新，在極端情況下，權重的值變得非常大以至于出現 NaN 值。
梯度檢驗現在可能用的比較少，因為我們在 TensorFlow 或其它框架上執行最優化算法只需要調用優化器就行。梯度檢驗一般是使用數值的方法計算近似的導數并傳播，因此它能檢驗我們基于解析式算出來的梯度是否正確。
下面就是具體的最優化算法了，包括最基本的小批量隨機梯度下降、帶動量的隨機梯度下降和 RMSProp 等適應性學習率算法。
小批量隨機梯度下降（通常 SGD 指的就是這種）使用一個批量的數據更新參數，因此大大降低了一次迭代所需的計算量。
展開 
【新聞】全參數化建模及優化軟件CAESES 5.1版本發布
帶懲罰函數的最速梯度下降法優化
梯度下降法是一種非常簡單的優化算法，常用于小規模的單目標優化問題。該算法的主要優勢在于通過非常少的評估次數就可以找到一個初始的優化方案。
在第一階段，通過n+1次評估確定目標函數的n維梯度，n是考慮的變量的數量。一旦梯度被確定，就在最陡峭的梯度方向上進行一維搜索，尋找最優。由于該方法的簡單性（一維搜索），所得到的設計不能被認為是最優解，而是找到更好設計的第一步。
其他新功能
1. BRep of Revolution：通過旋轉一組曲線輕松創建BRep。
2. 設計空間降維
① 將主參數與CAD設計變量相結合，給用戶更多的選擇和細節控制；
② 選擇替代的反向變換（從主參數空間到原始的CAD參數空間）方法來處理更多的主參數和對某些幾何形狀更高的精確度要求；
③ 使用Dakota設計引擎的降維方法；
④ 在BReps上也可以可視化和檢查曲率。
更多的版本更新細節可以登錄CAESES官網查看版本更新日志。
展開 深度學習訓練營-使用 Python、Pytorch 的神經網絡 ￥10
使用 NumPy 從頭開始構建 DNN.實施機器學習算法，包括梯度下降、邏輯回歸、前饋和反向傳播.模塊 3：使用 PyTorch 進行深度學習了解張量及其在深度學習中的重要性。對張量執行操作并了解 autograd 以進行自動微分。使用 PyTorch 構建基本和復雜的神經網絡，實現 CNN 以執行高級圖像識別任務。最終項目：使用 MRI 圖像檢測腦腫瘤模塊 4：掌握 TensorFlow 進行深度學習深入了解 TensorFlow 并了解其核心功能。使用 TensorFlow 構建您的第一個深度學習模型，從簡單的神經元開始，逐漸發展到人工神經網絡 （ANN）。TensorFlow Playground：試驗各種模型并可視化性能。探索高級深度學習項目，學習梯度下降、紀元、反向傳播和模型評估等概念。誰應該參加這門課程？有抱負的數據科學家和機器學習愛好者渴望培養 Deep ExpertISE 中的定義。希望使用 PyTorch 和 TensorFlow 擴展技能的軟件開發人員。有興趣將深度學習應用于實際問題的業務分析師和 AI 愛好者。任何熱衷于了解深度學習如何推動從醫療保健到自動駕駛等各行各業創新的人。學習內容：使用 Python、NumPy 和 Pandas 進行編程，以進行數據操作和模型開發。如何使用 PyTorch 和 TensorFlow 構建和訓練深度神經網絡和卷積神經網絡.實用深度學習應用程序，如腦腫瘤檢測和 IRIS 分類。關鍵的機器學習概念，包括 Gradient Descent、Model Optimization 等。如何使用 PyTorch 中的 DataLoader 和 Transforms 等工具高效地預處理和處理數據以進行數據增強。實踐經驗：在本課程結束時，您不僅會學習理論，還會構建多個深度學習模型，獲得實際項目的實踐經驗。
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在最新的工作中，研究者采用梯度優化的方法來端到端地優化基于相關濾波器算法的深度框架。在CREST算法中，深度學習中常見的隨機梯度下降算法（Stochastic Gradient Descent，SGD）被用于優化正則化最小二乘損失（即嶺回歸），來學習一個類似于相關濾波器的、具備前景背景區分能力的卷積核。此卷積核與搜索圖的特征圖進行卷積，生成目標跟蹤響應圖。在CREST跟蹤器中shrink loss，作者進一步引入殘差項來彌補目標外觀的快速變化，取得了進一步的性能提升。在DLST算法中，作者引入了收縮式損失，極大地抑制了冗余的、容易分類的負樣本的權重，使得學習到的濾波器更加具有區分力且學習的速度更快。上述的隨機梯度下降方案通常需要數十次甚至上百次迭代才能較好地收斂，因而一定程度抑制了跟蹤器的效率。在最近的工作中，研宄人員轉向更加快速的梯度下降方法。在最近的ATOM算法中，作者采用共軛梯度策略結合深度學習框架進行快速優化。該研宄團隊在工作DiMp中進一步將該思想擴展到了端到端的學習中，并通過神經網絡學習跟蹤模型所需的各種參數。由于端到端地估計梯度下降的優化步長，使得模型可以在少數幾次迭代中快速收斂，保持了嶺回歸損失的區分能力同時保證了跟蹤效率。該算法在數個跟蹤數據集上都刷新了當時的性能記錄。
基于分類網絡的跟蹤算法：基于分類的深度跟蹤方法將視頻目標跟蹤視為前景（目標）和背景的二分類任務，并借鑒流行的目標檢測算法R-CNNM訓練跟蹤器。該深度跟蹤網絡包含一系列卷積層以提取候選樣本的魯棒特征表達，并通過后續的全連接層對樣本進行二分類。該方法利用初始幀中的標注樣本進行模型微調，并在跟蹤過程中不斷更新網絡，因而效率較低。
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