非線性優化算法的案例
【數值算法】系數矩陣非對稱時，線性方程組如何求解？-穩定雙共軛梯度法(Bicgstab)求解線性方程組
在前面的文章和中表明共軛梯度法是求解對稱正定線性方程組的一種有效方法，當針對不同的系數矩陣采用不同的預處理方式時，其可以以較少的迭代次數獲得較高精度的解。然而，該方法的一個缺點就是其只能適用于對稱正定系數矩陣，當系數矩陣不再是對稱正定時，此方法可能失效。
以下舉例：
上面矩陣A為非對稱矩陣，采用共軛梯度法求解過程如下：
該方程組采用共軛梯度法迭代4862次依然未收斂。因此，對于該非對稱方程，可以認為，共軛梯度法幾乎是失效的。
在實際工程中，有限元方法形成的剛度系數以對稱正定居多，但是實際上也存在非對稱的可能，例如，當材料本構采用摩爾-庫倫本構時，其形成的剛度矩陣就有可能會是非對稱的，此時如果是使用商業軟件，應當在軟件中選擇非對稱求解器。如果是自主編程且采用迭代法求解線性方程組，則需要找到一種適用于非對稱矩陣的求解方法。
常見的非對稱系數矩陣求解方法主要有：廣義最小殘差法(GMRES)，雙共軛梯度法（Bicg）穩定雙共軛梯度法(BiCGStab)，穩定混合雙共軛梯度法（BiCGStab(l)），這些方法相對于常規的共軛梯度法在推導上均增加了一些難度，實際推導往往較為復雜。本文不展開推導，僅對穩定雙共軛梯度法(BiCGStab)的偽代碼作簡要粘貼。
展開 非線性方程組解法----討論算法實現------專題
因為要用UL迭代法計算非線性大變形問題，為提高精度，用弧長法求解非線性方程組！
多謝幫忙！
C3D8單元幾何非線性算法研究及UEL開發 ￥99
因科研需要，一直在研究一些單元算法，看著網上相關資料很多，但是和商軟對標的非線性單元技術相對較少。非線性這方面ABAQUS比較受人認可，所以打算用空余時間研究一下ABAQUS的單元技術，推導編寫一下相關程序供大家討論。本人水平十分有限，主要是學習ABAQUS的文檔，力學理論和代碼方面的問題請大家不吝賜教。
本文主要推導ABAQUS在幾何非線性（大變形）有限元分析中，用于計算單元切線剛度矩陣的算法。幾何非線性意味著需要考慮變形梯度、應力的客觀性以及應變與位移關系的高階項。總切線剛度矩陣通常由材料剛度矩陣和幾何剛度矩陣構成。附件是算法的研究報告及子程序測試情況。
ABAQUS三維實體單元幾何非線性算法研究.pdf
展開 論文分享 samcef復合材料優化 線性與非線性有限元分析
論文分享 samcef復合材料優化 線性與非線性有限元分析
論文題目：EXPLOITING SEMIANALYTICAL SENSITIVITIES FROM LINEAR AND NONLINEAR FINITE ELEMENT ANALYSES FOR COMPOSITE PANEL OPTIMIZATION
論文介紹了基于samcef的飛機機身復合材料層壓板的高級優化設計方法。文章的主要內容如下：
This paper presents a solution procedure developed in the SAMCEF ˉnite element code for the advanced optimal design of sti?ened composite panels of an aircraft fuselage. The BOSS Quattro, a task manager and optimization toolbox, is used for deˉning and running the optimization problem. The objective function to be minimized is the weight, and the restrictions depend on structural stability requirements, such as buckling and collapse. The design variables are the panel and stringer thicknesses of the conventional proportions (i.e. 0_; 90_ and _45_) in a homogenized laminate.
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基于回映算法的Chanboche各向同性非線性隨動硬化本構matlab程序 ￥369
<p>Chanboche模型是一種用于描述材料各向同性非線性隨動硬化行為的材料本構模型。該模型由Chanboche在1981年提出，其基本形式包括各向同性部分和隨動硬化本構部分。</p><p>具體而言，Chanboche模型各向同性本構部分可以用以下方程表示：</p><p>dR(p)=b(Q-R)dp</p><p>非線性隨動硬化模型可以用以下方程表示：</p><p>dx=(2/3)cdεp-rxdp</p><p>程序基于3個背應力分量編寫，效果參見鏈接<a href="https://www.bilibili.com/video/BV1B54y1F7gS/?vd_source=9f1dda2358e63ace0b661e56fe417806" rel="noopener noreferrer" target="_blank">https://www.bilibili.com/video/BV1B54y1F7gS/?vd_source=9f1dda2358e63ace0b661e56fe417806</a>，程序為回映算法核心算法，可以修改此程序實現基于試驗數據的本構參數計算，不太會編程的可移步我的另外一個帖子，具體的<a href="https://www.yqgqt.org.cn/major/matlab" rel="noopener noreferrer" target="_blank">matlab程序</a>如下：</p>
展開 TOSCA幾何非線性優化的優勢
在這種情況下，借助結構優化軟件工具能夠起到縮短開發周期、節約開發成本和提高產品質量的作用，從而達到全面提升企業競爭力目的。
作為完善的具有世界領先水平的結構優化系統Hyperworks優化模塊OptiStruct均已被廣泛應用于汽車、航空、船舶、機械制造、加工工業等眾多領域。但是，Optistruct常被應用在結構線性優化方面，相較于結構實際情況，常不考慮幾何非線性、材料非線性、邊界（接觸非線性），從而得出的優化結構不是很貼近現實。從而，就需要另外一款考慮非線性的優化軟件，以使得優化結果更加貼近實際，更趨于合理化。
Tosca是標準的無參結構優化系統，可以對具有任意載荷情況的有限元模型進行拓撲和外形優化。在優化過程中，可以直接使用已經存在的有限元模型。Tosca進行結構優化的每一迭代過程均在外部求解器中進行求解，通過采用眾多業界認可的標準求解器而保證了計算結果的高質量。而且由于迭代獨立于優化軟件本身，所以例如調用大型通用非線性有限元軟件Abaqus求解，就可以考慮求解過程中的幾何、材料、邊界（接觸）非線性。
下面通過一個實例來說明Tosca在非線性優化方面的優勢。模型如下圖所示：
設計區域：圖示綠色區域，為某支架;
優化目標：
1，支架重量控制在6Kg以內，越少越好（材料為球鐵，密度為7060）;
2，考慮所有三個工況，權重為1:1:1；
3，考慮5個M16螺栓的預緊力。
展開 多目標優化之非支配排序遺傳算法（NSGA-II） ￥39.99
非支配排序遺傳算法NSGA (Non-dominated Sorting Genetic Algorithms)是由Srinivas和Deb于1995年提出的。這是一種基于Pareto最優概念的遺傳算法，它是眾多的多目標優化遺傳算法中體現Goldberg思想最直接的方法。該算法就是在基本遺傳算法的基礎上，對選擇再生方法進行改進:將每個個體按照它們的支配與非支配關系進行分層，再做選擇操作，從而使得該算法在多目標優化方面得到非常滿意的結果。
2000年，他們又提出NSGA的改進算法—帶精英策略的非支配排序遺傳算法(NSGA-II)。 NSGA-II改進了原來算法的不足之處，提高了算法的運算速度和魯棒性，并保證了非劣最優解的均勻分布。因而，NSGA-II比NSGA更具優越性。
NSGA-II的三大優點分別是引入了非支配排序、提出擁擠度和擁擠度比較算子以及引入精英策略等。非支配排序利用Pareto最優解的概念將種群中的個體進行分級，非支配狀態越高的個體層級越靠前，從而能夠挑選出個體中較為優異的，使其有較大機會進入下一迭代。擁擠度只適用于同一支配層級的個體之間的比較，通過對每個個體的每個目標函數進行計算擁擠度，進而得出每個個體的擁擠度，通過擁擠度比較個體的優異程度。精英策略是把當前種群和通過選擇、交叉和變異產生的子種群合并，共同競爭產生下一種群，保證具有較好特性的個體能夠保留在種群中，提高了種群的多樣性和計算效率。
以下是NSGA-II算法的Matlab代碼，需要的可以嘗試下載。
展開 白車身非線性碰撞拓撲優化
由于模型設置過程負責，案例的詳細設置后續更新，敬請關注。
基于回映算法的Chanboche各向同性非線性隨動硬化本構編程重要參考資料 ￥599
<p><strong style="color: rgb(27, 27, 27); background-color: rgb(255, 255, 255);">Chaboche各向同性非線性隨動硬化行為的材料本構模型計算matlab程序+</strong>基于回映算法的Chanboche各向同性非線性隨動硬化本構<strong style="color: rgb(27, 27, 27); background-color: rgb(255, 255, 255);">本人編程所用的資料，沒有程序，只有資料，都是干貨</strong></p>
展開 某車型板簧支架非線性拓撲優化實例
在這種情況下，借助結構優化軟件工具能夠起到縮短開發周期、節約開發成本和提高產品質量的作用，從而達到全面提升企業競爭力目的。
作為完善的具有世界領先水平的結構優化系統Hyperworks優化模塊OptiStruct均已被廣泛應用于汽車、航空、船舶、機械制造、加工工業等眾多領域。但是，Optistruct常被應用在結構線性優化方面，相較于結構實際情況，常不考慮幾何非線性、材料非線性、邊界（接觸非線性），從而得出的優化結構不是很貼近現實。從而，就需要另外一款考慮非線性的優化軟件，以使得優化結果更加貼近實際，更趨于合理化。
Tosca是標準的無參結構優化系統，可以對具有任意載荷情況的有限元模型進行拓撲和外形優化。在優化過程中，可以直接使用已經存在的有限元模型。Tosca進行結構優化的每一迭代過程均在外部求解器中進行求解，通過采用眾多業界認可的標準求解器而保證了計算結果的高質量。而且由于迭代獨立于優化軟件本身，所以例如調用大型通用非線性有限元軟件Abaqus求解，就可以考慮求解過程中的幾何、材料、邊界（接觸）非線性。
下面通過一個實例來說明Tosca在非線性優化方面的優勢。模型如下圖所示：
設計區域：圖示綠色區域，為某支架;
優化目標：
1，支架重量控制在6Kg以內，越少越好（材料為球鐵，密度為7060）;
2，考慮所有三個工況，權重為1:1:1；
3，考慮5個M16螺栓的預緊力。
設計變量約束：
1，優化后最薄處不得小于6mm，最厚處不得大于20mm；
2，支架左右對稱；
3，沿著y方向分模。
展開 非線性有限元復合材料平板優化分析
分享一篇基于samcef 的復合材料平板的優化分析論文
This paper describes some recent developments of software tools for the optimizationof fuselage composite stiffened panels. The two most innovative features of theunderlying work are related to the evaluation of buckling and collapse reservefactors and the associated sensitivities, the latter being computed in theframework of both linear and nonlinear finite element analyses. Resultsobtained with an industrial test case are also presented to confirm thesuccessful integration of these tools in a powerful software environment.
[O] Composite panel optimization with NL FEA and semi-analytical sensitivities.pdf
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光刻技術第19期 | 非線性壓縮感知光源-掩模優化的數學模型
01/簡介
隨著集成電路制程向3nm及以下節點突破，光刻系統的光學畸變、掩模三維衍射及光致抗蝕劑非線性響應等效應疊加，使光源-掩模協同優化（SMO）成為保障成像精度的核心技術。
傳統線性壓縮感知技術雖在光源單變量優化中實現了降維高效求解，但面對SMO場景中掩模-成像的強非線性映射關系，其線性假設難以精準刻畫優化變量與成像質量的關聯，導致優化精度與可制造性失衡。在此背景下，非線性壓縮感知（NCS）理論與SMO技術的融合成為突破瓶頸的關鍵，而數學模型的構建則是該融合技術落地的核心前提。
非線性壓縮感知光源-掩模優化的數學模型，通過多模塊協同實現非線性場景的精準優化：目標函數定義為成像質量的量化基準，為優化提供明確方向；含罰函數的總目標函數則通過約束項控制光源與掩模的復雜度，解決優化結果可制造性不足的問題；稀疏表示與參數變換借助小波、DCT等基函數實現變量降維，延續壓縮感知的高效優勢；
最終通過非線性CS-SMO模型整合上述模塊，構建非線性映射下的優化框架。本文聚焦該數學模型體系，系統解析各核心模塊的構建邏輯，闡明非線性場景下SMO的優化機理，為先進計算光刻的高精度優化提供理論支撐。
在先進光刻的圖形復刻流程中，“目標圖形與實際曝光圖形的精準匹配”是核心訴求。而目標函數與非線性CS-SMO模型，正是實現這一訴求的數學基石，既保障匹配精度，又兼顧運算效率與工藝可行性。
02/目標函數
目標函數的核心作用，是精準衡量“預設目標圖形”與“實際曝光圖形”的差異：
我們為不同電路布局區域設置專屬權重矩陣，以此區分各區域的重要性；目標函數通過“計算兩類圖形對應位置元素的差異平方，再結合對應區域權重求和”，得到兩者的匹配度量化值。
展開 基于耗散性理論的汽車底盤集成非線性魯棒約束優化控制
(２)基于耗散性理論和投影修正法設計了汽車主動前輪轉向子系統和直接橫擺力矩控制子系統集成非線性L２增益控制律,抑制系統加性不確定性和乘性不確定性對系統性能輸出的影響,并采用逐步二次規劃法來實現了所設計控制律輸出的校正橫擺力矩約束優化分配。
(３)結合車輛動力學仿真軟件對所設計的汽車底盤集成非線性魯棒控制器的可行性和有效性進行仿真驗證。
結果表明:本文設計的汽車底盤集成非線性魯棒控制器對系統加性不確定性和乘性不確定性具有強魯棒性,既可以提高汽車操縱穩。定性,又可以減小其對汽車乘坐舒適性的影響。后續將搭建硬件在環試驗平臺,進一步驗證所設計的汽車底盤集成非線性魯棒控制器的可行性和有效性。
展開 光刻技術第20期 | 非線性壓縮感知光源-掩模優化技術及對比分析
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01/簡介
隨著集成電路制程向3nm及以下先進節點演進，光刻成像系統中的光學衍射、掩模三維效應與光致抗蝕劑非線性響應相互疊加，使光源-掩模協同優化（SMO）成為保障圖形保真度與芯片良率的核心技術。傳統線性壓縮感知（CS）驅動的SMO技術，因難以精準刻畫掩模與成像之間的強非線性映射關系，在復雜圖形優化中常面臨精度不足、工藝窗口收縮等問題，已無法滿足極端制程對優化性能的嚴苛要求。
非線性壓縮感知（NCS）理論的興起為突破這一瓶頸提供了關鍵路徑，其通過構建非線性重構模型，可更貼合光刻系統的物理本質。然而，不同非線性CS-SMO技術的適配場景與性能表現尚未形成系統對比，仿真條件的差異也導致技術優劣難以客觀評判。
基于此，本文以非線性壓縮感知光源-掩模優化的數學模型為核心，搭建標準化仿真環境，選取水平條塊圖形、豎直線條圖形及復雜電路圖形作為典型測試對象，從成像精度、計算效率、工藝窗口兼容性等維度，系統開展不同SMO技術的性能對比研究。通過量化分析各類技術的適配特性與核心優勢，為先進計算光刻中SMO技術的選型與工程化應用提供科學依據與理論支撐。
展開 設計仿真 | 應用Marc和機器學習軟件進行非線性模型優化
03 優化
現在到了實際的優化階段，使用預測模型來找到最優解。圖11顯示了配置選項，可通過紅色框高亮顯示的按鈕訪問。
1）配置參數
顯示導入ODYSSEE的設計變量，這里沒有可改變的。
2）定義優化問題
在這里選擇 + 按鈕添加新目標，顯示下面的菜單，是定義優化目標的地方。如前所述，我們希望結果值（節點110的y位移）達到-20的值。
3）配置優化器
選擇用于優化的方法，此例使用默認設置。
圖11 優化問題設置（第2部分）
圖12 優化結果
通過在模型生成中輸入radius_punch和bend_radius的優化值來驗證結果，可以使用事先編（錄）好的過程文件來完成的。目標y位移為-20，所得值為-20.0114，非常接近。
圖13 使用優化得到的半徑和彎曲角度的工件Y向位移云圖
04 注意
1）如果已經安裝了Marc文檔，也可以參考用戶指南中的最后一個例子說明以及其所列出的相關文件。
2）從2023.2.1版本開始ODYSSEE軟件也開始提供中文菜單界面供用戶選用。
小 結
本文主要以金屬成形過程的非線性幾何優化模擬為例，介紹了機器學習工具在非線性優化中的應用方法。可以看到，在前處理器Mentat中引入了新的AI/ML工具菜單及后臺集成后，為Marc/Mentat用戶在ODYSSEE-CAE等軟件工具中部署AI/ML提供了一種有效的方式，便于用戶對非線性模型進行優化分析。
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