稀疏矩陣求解
關注創建者：匿名 創建時間：2026-01-04
稀疏矩陣求解的視頻教程
新一代強大的柔性多體動力學仿真解決方案——ANSYS Motion
緊密集成多體和結構仿真求解器，可以同時求解剛體、柔性體、力實體和連接副的控制方程。專門為剛性體和柔性體混合系統定制的稀疏矩陣求解器已得到驗證，可以更好地處理大規模自由度系統仿真分析。 ANSYS Motion通過腳本、FMI可以與其他軟件集成交互，并提供了專門的Matlab接口。
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稀疏矩陣求解的實例教程
在有限元求解中，最終通常要求解的是一個關于場變量的線性方程組，在常見的位移場有限元中，要求解的是各個節點的位移，該線性方程組的系數矩陣通常稱為剛度矩陣，方程組右邊通常稱為右端項或者荷載向量。一般情況下，由于網格劃分后并不是所有節點都兩兩連接，因此實際上最終形成的整體剛度矩陣中大部分元素為0，這種矩陣稱為稀疏矩陣。在有限元求解中，對于這種系數矩陣為稀疏矩陣的方程組，一種常見的方法是僅保存剛度矩陣的非0元素到內存中，0元素不保存，這樣就可以以更小的內存保存大型結構的剛度矩陣。
那具體矩陣中有多少元素為0，就可以認為其是稀疏矩陣呢？這個界限實際上比較模糊，有文獻給出如下定義：如果矩陣的A的非0元素數量為O(n)，其中n是A的階數，則矩陣為稀疏矩陣。
稀疏矩陣經常通過非0元素分布圖表示其稀疏性質，以下是兩個常見的稀疏矩陣的分布圖：
在有限元分析中，非0元素的分布，實際上主要取決于單元的節點連接，以下圖中的單元連接為例：
假設圖中每個節點一個自由度，則整體剛度矩陣為16x16的矩陣，而具體非0元素的分布，可以通過單元連接得到鄰接點得到，所謂鄰接點，指的是相對于當前單元位于同一單元內的所有點的集合。以節點6為例，其鄰接點是1,2,3,5,7,9,10,11。
獲得上述鄰接點后，剛度矩陣中第6行的非0元素的位置實際上就確定了：k(6,1),k(6,2),k(6,3),k(6,5),k(6,6),k(6,7),k(6,9),k(6,10),k(6,11)。
在實際采用稀疏矩陣求解有限元問題時，獲得上述非0元素位置后，就可以對剛度矩陣采用稀疏矩陣存儲，常見的存儲方式有COO，CSR，CSC和DIA等。
展開 在有限元求解中，最終通常要求解的是一個關于場變量的線性方程組，在常見的位移場有限元中，要求解的是各個節點的位移，該線性方程組的系數矩陣通常稱為剛度矩陣，方程組右邊通常稱為右端項或者荷載向量。一般情況下，由于網格劃分后并不是所有節點都兩兩連接，因此實際上最終形成的整體剛度矩陣中大部分元素為0，這種矩陣稱為稀疏矩陣。在有限元求解中，對于這種系數矩陣為稀疏矩陣的方程組，一種常見的方法是僅保存剛度矩陣的非0元素到內存中，0元素不保存，這樣就可以以更小的內存保存大型結構的剛度矩陣。
那具體矩陣中有多少元素為0，就可以認為其是稀疏矩陣呢？這個界限實際上比較模糊，有文獻給出如下定義：如果矩陣的A的非0元素數量為O(n)，其中n是A的階數，則矩陣為稀疏矩陣。
稀疏矩陣經常通過非0元素分布圖表示其稀疏性質，以下是兩個常見的稀疏矩陣的分布圖：
在有限元分析中，非0元素的分布，實際上主要取決于單元的節點連接，以下圖中的單元連接為例：
假設圖中每個節點一個自由度，則整體剛度矩陣為16x16的矩陣，而具體非0元素的分布，可以通過單元連接得到鄰接點得到，所謂鄰接點，指的是相對于當前單元位于同一單元內的所有點的集合。以節點6為例，其鄰接點是1,2,3,5,7,9,10,11。
獲得上述鄰接點后，剛度矩陣中第6行的非0元素的位置實際上就確定了：k(6,1),k(6,2),k(6,3),k(6,5),k(6,6),k(6,7),k(6,9),k(6,10),k(6,11)。
在實際采用稀疏矩陣求解有限元問題時，獲得上述非0元素位置后，就可以對剛度矩陣采用稀疏矩陣存儲，常見的存儲方式有COO，CSR，CSC和DIA等。
展開 PARDISO是一個商用的高速的稀疏矩陣線性方程組直接法求解器，其可以用于大型稀疏對稱或非對稱線性方程組的求解，商用版支持的并行方式包括共享內存，分布式內存和NVIDA的GPU并行。多次實踐已經表明，PARDISO求解器具有優秀的性能，在各種稀疏矩陣直接求解器的比較中通常處于第一梯隊，其他常見的直接法求解器包括SuiteSparse，MUMPS，SPOOLES等，商用有限元軟件COMSOL的官方文檔甚至直接指出在COMSOL中PARDISO求解速度快于MUMPS。。
對于線性方程組求解來說，一般常見的求解方法可分為直接法和迭代法。直接法常見的方法是高斯消去，LU分解法等，在求解過程中不需要迭代，但是在求解中可能需要較大內存，商業軟件中經常使用的一種直接法叫做多波前法。迭代法又可分為兩個大類，分裂迭代和Krylov迭代。前者通過將系數矩陣進行拆分形成迭代列式，常見的是雅克比迭代，高斯賽德爾迭代等，分裂迭代這一類型的迭代法在商業軟件中很少直接使用，但是經常作為Krylov迭代的預處理基礎；后者以Krylov子空間為基礎上，常見的包括共軛梯度法，廣義最小殘差法等，Krylov迭代法在商業軟件中較為常見。
在稀疏矩陣直接法求解中，一個常見的技術是矩陣重排，通過矩陣重排，可以使得矩陣的帶寬減小（即非0元素位置相對更趨近于對角線），從而使得直接求解效率更高，一種常見的矩陣重排方法是Cuthill_McKee，常見的可以實現矩陣重排的庫是METIS。以下是采用Cuthill_McKee重排前和重排后的非0元素分布。
重排前非0元素分布
重排后非0元素分布
商用版本的PARDISO個人一般較少直接使用（主要是要買）。實際中較為廣泛使用的其中一個版本是配置在MKL庫的PARDISO版本。
展開 對于工業軟件研發尤其是CAE軟件研發來說，線性方程組的求解精度和速度較為重要，在方程組規模上來以后，以Krylov子空間為基礎的PCG，Bicgstab，Gmres等方法相對于直接法在求解效率和精度控制上有較大優勢。這也是abaqus等商業軟件在對于規模較大的模型時采用迭代法求解通常會比直接法求解更快的其中一個原因。
以自由度數為41w的如下分布的稀疏矩陣為例，
該稀疏矩陣形成的系數方程組在matlab中采用直接求解為1.5s,采用一定預處理下的PCG求解時間為0.55s。
用筆者自行開發的稀疏矩陣PCG求解器運行此算例，方程組求解時間為0.628s。
此時，整個程序的運行時間瓶頸實際上并不在方程求解，而在于從文件中讀取稀疏矩陣對應的數據。一般情況下采用fscanf讀取數據會快于用fstream讀取。改用fscanf讀取數據后，程序總運行時間從原來的16s變為9s。
【完】
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一個講有限元技術的公眾號
展開 惠普公司機械工程師Paul Poorman：“新版本預應力模態分析的稀疏矩陣求解器的求解效率得到了極大的提高，另外，我特別喜歡多方案計算環境。”
ALGOR公司產品經理Bob Williams：“新版本中的CAD/FEA一體化環境提供了更快的模型導入和建模能力，另外新版本針對用戶需求，提供了許多其他的新功能，進一步提升了軟件的易學易用性”
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核心技術原理
基于拉格朗日方程與牛頓 - 歐拉方程，采用變步長剛性積分算法 + 稀疏矩陣技術，高效求解大規模非線性動力學方程；支持剛柔耦合、非線性接觸、摩擦、疲勞、振動等多物理場耦合分析，兼顧計算精度與效率。
二、核心優勢
1.
在有限元分析中，ANSYS 可以導出大規模稀疏矩陣（如剛度矩陣、質量矩陣），通常使用 Harwell-Boeing (HB) CCS 格式。這些矩陣對后續二次開發、動力學分析或自定義求解器非常重要，但由于其稀疏和壓縮存儲形式，直接在 MATLAB 中讀取和使用并不方便。
本文提供了 兩個 MATLAB 函數，可直接從 ANSYS 導出的 HB 矩陣文件中讀取并重構成 MATLAB 稀疏矩陣：
基于三維全波電磁場有限元FEM理論，運用2D/3D自適應網格剖分技術和自動對齊約簡技術，搭配大規模稀疏矩陣求解器和先進的并行計算技術。使得Wisim DC可以仿真跨多個數量級的大尺度的多層版圖時表現出卓越的HPC仿真計算能力。
Wisim DC主界面
Wisim DC集成了最新的電源完整性分析技術和先進的設計理念，旨在為設計工程師提供一個高效、準確且易于上手的分析平臺。
一、背景
在工業仿真領域，對各種現實世界的問題進行數值模擬時，如流體動力學分析、電磁場仿真、結構力學應力應變分析等，其控制方程通常是偏微分方程組，在經過不同方法的隱式離散之后最終都可轉化為大型稀疏線性方程組。隨著人們對計算精度要求的不斷提高，方程組的階數也從上千階、幾十萬階提高到百萬、千萬階甚至更高，所需的計算量以及存儲需求也隨之迅速膨脹。根據一般經驗，方程組求解時間會占總計算時間的
基于matlab的實現四節點板單元剛度矩陣求解，振動模態分析。可自主輸入材料參數，板單元長寬厚尺寸。輸出振型結果，輸出多少階可自主設置。最后以可視化的形式展示，程序已調通，可直接運行。
基于matlab針對壓縮重構感知中的稀疏優化問題，實現L1范數最小化問題求解，首先構造信號，并進行離散余弦變換，保證稀疏度，采用多個方法進行稀疏重構，分別有，（1）基于L1正則的最小二乘算法-L1_Ls，（2）軟閾值迭代算法（ISTA)，（3）快速的迭代閾值收縮算法（FISTA），（4）平滑L0范數的重建算法（SL0算法）,(5)正交匹配追蹤算法（OMP），（6）壓縮感知重構算法之壓縮采樣匹配追蹤
該稀疏矩陣的下載鏈接如下：
鏈接：https://pan.baidu.com/s/1lw-SgNlnSUAB4o9dwJa14Q
提取碼：xmim
以上，即是高性能稀疏矩陣線性方程組求解器的簡單介紹，感謝您的閱讀，歡迎關注公眾號 有限元術
二十名實踐同學將在接下來的六周時間于天洑研發部、運維部各開發組內完成實踐工作，實踐課題包括：基于AI技術的稀疏矩陣系統求解加速、壓力基的可壓縮流動求解器的測試和改良、基于三維卷積神經網絡的穩態流場預測技術等。
對于自由度1千萬以下稀疏矩陣的求解，好的臺式機基本能應付，而當自由度達到1億的時候，簡單的將硬件乘以10倍完全不能滿足要求。因為計算的空間復雜度，時間復雜度并不是線性，通常是NlogN，N^2或者更高。當自由度達到1億時，不僅需要對硬件核心部件CPU，內存擴容，而且在磁盤陣列，I/O，并發計算，GPU，網絡，帶寬等方面都提出了更苛刻的要求。
在實際采用稀疏矩陣求解有限元問題時，獲得上述非0元素位置后，就可以對剛度矩陣采用稀疏矩陣存儲，常見的存儲方式有COO，CSR，CSC和DIA等。
