三大方程
關注創建者：dwg_2931 創建時間：2023-05-17
三大方程的實例教程
5.3 DQ坐標系下三大方程
前面我們所有的三大方程（磁鏈、電壓、轉矩）都是用矢量來表示的，形式是相當簡潔的，但是考慮到大多人還是習慣標量的表示方法，而且矢量運算在計算機中也不容易實現，所以大多數教材上一般都是給出標量形式下的電機三大方程。
Source：SPEEDs Electrical Machines
我們首先將電壓、電流及磁鏈矢量投影到dq坐標系上：
帶入到原始旋轉矢量方程：
代入電壓平衡方程可得：
化簡可得：
則通過簡單的數學運算，很容易得到 坐標下標量形式的磁鏈方程：
坐標下標量形式的電壓方程：
畫成相量圖的形式如下：
坐標下矢量的力矩方程：
標量形式 力矩方程為：
進一步變形：
這就是教科書上最常見的形式了，這表明：永磁同步電機的力矩包含兩個部分，一是 ，這是由永磁體產生的力矩，一般稱之為勵磁力矩或對齊力矩（Alignment Torque）；另一部分 是由于磁路上磁阻不均勻（ ）引起的，所以稱之為磁阻力矩，如果磁路交直軸磁阻相等，則這部分力矩消失。
Source: Dr. Galea (AC Drives)
將 、 用電流幅值及角度進行表示，輸出轉矩為：
上式對 求導，并取導數為零，即可以得到轉矩取極值時對應的 值：
，其中
上式中，位移的未知量是 ，也就說有了測量到了電流值，就可以計算出 ，從而獲得最大的轉矩——這就是最大轉矩比電流控制（Maximum Torque per Ampere），簡稱MTPA。
展開 人們通過質量守恒、動量守恒和能量守恒三大方程為世界上大多數物理、化學現象建立了離散化的數學模型并不斷完善，而計算機技術的發展有支持了復雜幾何和現象的大規模運算。加上對于高速列車、大型飛機的風洞試驗成本極高、周期長，而CFD技術則更有效率上的優勢。有分析稱，目前90%的風洞試驗已被CFD模擬所取代。所以，一個算法完善的CFD工具在計算列車風阻上已不存在問題。
這里散仙使用Star-CCM+進行列車風洞系統建模和CFD模擬。首先依照國內比較常見的A型高鐵列車頭建模，列車截面寬3m，高3.8m，總長約50m，列車頭型按常見的和諧號建模。車底和其余部位做了幾何簡化。并置于一個長60m、寬15m、高10m的長方體風洞中。按直線行進時速300km計，邊界條件設置為入口83.3m/s，計算模型使用穩態、k-ε湍流模型、分離流等模型。網格基本尺寸為0.2m；邊界層取三層，邊界層的網格生長率為1.3，總厚度取網格基本尺寸的10%。待各殘差趨于穩定后得到阻力的圖像和車頭處的速度矢量圖如下。
可以看到，對于這種速度和車型，氣動阻力在大約25000到26300N之間。本算例如換算為列車單位基本阻力，則大約在250到263N/每噸之間，對于常見高鐵列車型號來說，也處于合理的范圍。而這僅僅為50m長的列車的風阻，實際列車往往長度在此之上，風阻也會更大。而且列車速度越快，面臨的風阻越大，且成平方增長。有研究顯示，當列車速度達到350km/h以上時，總阻力的90%以上來自空氣阻力，也就是說，列車牽引動力的90%以上都用來對抗空氣阻力了。因此，鑒于列車在高速時所受的空氣阻力十分巨大，列車的氣動外形設計也就尤為重要。優良的氣動外形設計在列車的速度和經濟性方面起著比較重要的作用。
展開 連續介質力學的唯象模型要求：
在空間尺度上，“宏觀無限小、微觀無限大”；（外部特征尺度—材料內部特征尺度）；
在時間尺度上，“宏觀無限短、微觀無限長”；（外部特征時間-測量宏觀量隨時間的變化—內部特征時間-保證宏觀量在統計上的意義）；
連續介質是一個抽象的概念，不具體地針對某一變形物質而又包含了所有可以發生變形的物質。流體-固體、彈性材料-塑性材料，這些概念都是相對而言的，有條件的。
所謂本質論方法指的是物質的宏觀行為由粒子理論推導而來。而實際中，采用連續介質理論相對而言更加簡單實用，在工程領域應用極為廣泛。但也正是因為連續介質是數學上的一種抽象，在真實使用場景中也必須十分謹慎，要解決好連續介質觀點與粒子論觀點的協調——借助的工具是宏觀無限小—微觀無限大的物理模型。
連續介質力學的大致分類：流體力學、固體力學、流變力學。連續介質力學關注連續體的宏觀性質——三維歐氏空間及均勻流逝時間下受牛頓力學支配的物質行為。
連續介質力學包含的基本內容：變形幾何學；運動學；基本方程；本構關系。連續介質力學的任務：首先是討論基本方程的建立；其次是關于初、邊值問題的求解；在此基礎上揭示物體在變形和運動過程中的基本特性。
變形體在外部作用下的全部響應：3個位移、6個應變、6個應力；三大基本方程：力學的應力平衡方程、幾何學的變形協調方程、物理學的本構方程。
下載地址：連續介質力學馮元楨
展開 關鍵詞：瞬態，熱傳導，有限元求解器，三角形單元
熱傳遞有三種方式：熱傳導、熱對流、熱輻射。就熱傳導問題而言，無論是結構力學還是流體力學都會涉及，兩邊都沒拿它當外人。
前面的文章提到過，結構力學的有限元發展地非常成熟，大部分的剛度矩陣在文獻里面都推導好了。而流體力學的很多單元類型的有限元方程，可能需要自行推導完成。在熱傳導問題中，我采用加權余量法進行處理，推導出了符合結構力學有限元文獻中給出的剛度矩陣，殊途同歸。
實際上，傳統的結構力學有限元三大控制方程：幾何方程、物理方程、平衡方程。幾何方程描述位移-應變關系，物理方程描述應力-應變關系，平衡方程描述內應力-外載荷關系。傳熱問題從控制方程角度，更偏向流體力學（能量方程）。但是熱對于結構變形太重要了，因此結構有限元必須要把傳熱問題解決掉。
從結構力學跨到流體力學，在有限元方法中，流體力學控制方程左邊的矩陣都可以用剛度矩陣去看待它。控制方程的右邊的列陣，都可以用載荷的角度去看待，對于第二類邊界條件，則可以分成左側矩陣的修正+右側列陣的載荷組合。有些文獻上，用所謂的“內部單元方程”、“邊界單元方程”的描述，會增加我們的困惑，可以不必糾結在此。
控制方程
二維瞬態熱傳導控制方程如下：
這個方程里面的常數有密度、比熱容、導熱系數。
三種邊界條件：
（1） 已知邊界溫度值，屬于第一類邊界條件，它的處理就和結構有限元里面的位移以一樣，可以用置大數法對方程左邊的矩陣進行約束處理。
（2） 已知邊界熱流密度，屬于第二類邊界條件，作為熱源。可以類比到結構有限元里面的均布載荷。
（2） 已知邊界對流換熱系數和接觸環境溫度，也屬于第二類邊界條件。這個邊界條件在處理的時候，需要進行拆分，一部分放到左側單元矩陣，一部分作為右側的載荷。
展開 （直法線假定：彎曲變形前垂直于中面的直線段，變形后仍為直線且長度不變）
補充板殼力學基礎理論
（參考資料：河海大學在線課程>>板殼力學課程；科羅拉多大學Kirchhoff薄板理論講義>> 20 Kirchhoff Plates: Field
Equations ；印度DRDO平板理論講義>>Theory of Plates
）
學習板殼力學之前，首先要了解彈性力學的三大基本方程。
幾何方程
物理方程（廣義胡克定律）
平衡方程
1、薄板小撓度彎曲基本假定：除了滿足彈性力學中均勻性、連續性、各向同性、完全彈性、小變形外，還增加以下三個計算假定（Kirchhoff假定）。
（1）假定垂直于中面方向的應變可以忽略不計。即有<img style="font-family:宋體, SimSun;font-size:14px;BorDer-Top-sTYLe: none; VerTiCAL-ALiGn: middle; BorDer-BoTToM-sTYLe: none; pADDinG-BoTToM: 0px !important; pADDinG-Top: 0px !important; BorDer-riGHT-sTYLe: none; pADDinG-LeFT: 0px !important; MArGin: 0px; BorDer-LeFT-sTYLe: none; pADDinG-riGHT: 0px !
展開 
三大方程的最新內容
瞬態熱傳導有限元求解器開發3個月前
實際上，傳統的結構力學有限元三大控制方程：幾何方程、物理方程、平衡方程。幾何方程描述位移-應變關系，物理方程描述應力-應變關系，平衡方程描述內應力-外載荷關系。傳熱問題從控制方程角度，更偏向流體力學（能量方程）。但是熱對于結構變形太重要了，因此結構有限元必須要把傳熱問題解決掉。
從結構力學跨到流體力學，在有限元方法中，流體力學控制方程左邊的矩陣都可以用剛度矩陣去看待它。
<p><br></p><p>這次我們談談流體力學理論知識-高斯公式，對雷諾輸運定理及流體力學三大守恒方程比較熟悉的同學，會發現這些方程在推導的過程中經常會出現高斯公式，當然還會出現咱們文章十二中講到的散度和梯度，這些都是流體力學基礎中的基礎。
變形體在外部作用下的全部響應：3個位移、6個應變、6個應力；三大基本方程：力學的應力平衡方程、幾何學的變形協調方程、物理學的本構方程。
下載地址：連續介質力學馮元楨
5.3 DQ坐標系下三大方程
前面我們所有的三大方程（磁鏈、電壓、轉矩）都是用矢量來表示的，形式是相當簡潔的，但是考慮到大多人還是習慣標量的表示方法，而且矢量運算在計算機中也不容易實現，所以大多數教材上一般都是給出標量形式下的電機三大方程。
人們通過質量守恒、動量守恒和能量守恒三大方程為世界上大多數物理、化學現象建立了離散化的數學模型并不斷完善，而計算機技術的發展有支持了復雜幾何和現象的大規模運算。加上對于高速列車、大型飛機的風洞試驗成本極高、周期長，而CFD技術則更有效率上的優勢。有分析稱，目前90%的風洞試驗已被CFD模擬所取代。所以，一個算法完善的CFD工具在計算列車風阻上已不存在問題。
用計算流體力學技術，對數據中心系統進行建模，并對求解域進行網格化，然后求解質量守恒、動量守恒和能量守恒三大基本方程的數值形式、利用合理的時間格式，計算出穩態或瞬態數據中心內的溫度場和速度場。而且數據中心的的相關CFD數值計算方法一般不涉及多相流、大渦旋、高速流等一些CFD領域的難點問題，求解算法已比較成熟，且能達到較高的準確度。
（直法線假定：彎曲變形前垂直于中面的直線段，變形后仍為直線且長度不變）
補充板殼力學基礎理論
（參考資料：河海大學在線課程>>板殼力學課程；科羅拉多大學Kirchhoff薄板理論講義>> 20 Kirchhoff Plates: Field
Equations ；印度DRDO平板理論講義>>Theory of Plates
）
學習板殼力學之前，首先要了解彈性力學的三大基本方程。
