ansys減縮積分的案例
自研有限元程序的減縮積分單元如何添加沙漏剛度（理論解釋+數(shù)值實(shí)現(xiàn)）
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2階8節(jié)點(diǎn)減縮積分平面應(yīng)變單元子程序UELMAT ￥1
2階8節(jié)點(diǎn)減縮積分平面應(yīng)變單元子程序UELMAT源代碼及計(jì)算算例
為什么減縮積分線性單元會存在沙漏問題？
引言：
莊茁P65對沙漏現(xiàn)象的描述如下圖：
本文試圖基于純彎曲加載下線性減縮積分的應(yīng)變公式，對沙漏現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行淺淺的理論闡述。
我們在前一篇博文中簡述了有限元中的數(shù)值積分機(jī)理：
數(shù)峰青，公眾號：數(shù)峰青
有限元筆記#1：什么是剪切自鎖？為什么完全積分線性單元在彎曲載荷下會剪切自鎖？
以一個平面應(yīng)力問題的四節(jié)點(diǎn)矩形單元為例。
單元的坐標(biāo)系建立在中心。對于這樣一種線性單元，在構(gòu)造剛度矩陣的時(shí)候，需要進(jìn)行下式所示的積分。
（四節(jié)點(diǎn)矩形單元應(yīng)該是8×8)
其中B矩陣是單元形函數(shù)對空間坐標(biāo)的相關(guān)偏導(dǎo)，D矩陣是本構(gòu)矩陣。該積分中的被積矩陣（8×8）的每一個元素都是一個三元函數(shù)，其針對單元域的積分值成為一個剛度系數(shù)。如上單元在高斯積分方案下的減縮積分就是取被積函數(shù)在積分域中心點(diǎn)的函數(shù)值乘以2（曾攀04P178），實(shí)際上就是梯形積分公式。
在純彎曲變形加載模式下，該剛度矩陣得出的節(jié)點(diǎn)位移向量解具有一定的特征，莊茁P65的圖示（本文圖1）也表示了這種特征：四個節(jié)點(diǎn)在2方向的位移相等，1、3節(jié)點(diǎn)在1方向上的位移相等，2、4節(jié)點(diǎn)在1方向上的位移相等，且它們互為相反數(shù)，也即我們可以得到如下形式的一個節(jié)點(diǎn)位移向量：
但是需注意，只有在純彎曲加載模式下，才會得到這樣形式的位移向量。
針對上面的線性矩形單元，其應(yīng)變矩陣如下圖所示：
在減縮積分模式下，例如積分點(diǎn)(0,0)，并將得到的節(jié)點(diǎn)位移代入，可以得到該積分點(diǎn)下的應(yīng)變值為：
可以看出，在該積分點(diǎn)處，應(yīng)變的三個分量都為0。在非線性分析中，當(dāng)前增量步得到積分點(diǎn)上的應(yīng)力應(yīng)變值需要代入本構(gòu)曲線中，更新本構(gòu)數(shù)據(jù)，進(jìn)而構(gòu)造下一個增量步迭代所需要的初始切線剛度矩陣。
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B-bar方法完全積分
Workbench中的B-bar方法是一種常用于處理低階單元完全積分的技術(shù)，也被稱為選擇性減積分策略。它是針對有限元分析（FEA）中的一種改進(jìn)方法，旨在提高計(jì)算效率和準(zhǔn)確性。
在傳統(tǒng)的有限元分析中，低階單元（如線性單元）在處理不可壓縮材料或近似不可壓縮材料時(shí)，常常遇到體積鎖定問題。體積鎖定是指在近似不可壓縮材料的有限元模擬中，由于體積應(yīng)變被過度限制，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果偏離實(shí)際情況的現(xiàn)象。為了解決這個問題，B-bar方法被引入到ANSYS Workbench中。
B-bar方法的核心思想是在低階單元的完全積分過程中進(jìn)行選擇性減積分。它通過將高斯積分點(diǎn)處的體積應(yīng)變替換為單元的平均體積應(yīng)變，實(shí)現(xiàn)了對應(yīng)變的軟化處理，從而防止了體積鎖定的發(fā)生。這種選擇性減積分的策略可以在保證計(jì)算精度的同時(shí)，提高計(jì)算的收斂性和效率。
需要注意的是，B-bar方法并不能解決剪切鎖定問題，這是另一種常見的有限元分析問題。對于彎曲主導(dǎo)的問題，剪切鎖定可能導(dǎo)致結(jié)果的失真。因此，在處理這類問題時(shí)，用戶需要采用其他方法，如使用增強(qiáng)應(yīng)變公式等。
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