非線性的案例
線性/非線性分析及注意事項 附Abaqus 非線性有限元分析實例下載
如果在分析過程中，外載荷與模型的響應之間為線性關系，去掉載荷后，模型能夠恢復至初始狀態，這就是一個線性分析，其特點是：
1）幾何方程的應變和位移的關系是線性的；
2）物理方程的應力和應變 的關系是線性的；
3）根據變形前的狀態建立的平衡方程是線性的；
4）可以滿足疊加原理。
上述 4 條中如果有 1 條不滿足要求，就必須進行非線性分析。
如果外載荷與模型的響應之間具有非線性的關系，就屬于非線性問題，它可以分為三類：幾何非線性、邊界條件非線性和材料非線性。
1）幾何非線性
如果模型在分析過程中出現大的位移或轉動、突然翻轉（snap through）、初始應力或載荷硬化（load stiffening），位移的大小會影響模型的響應，就是幾何非線性問題。
幾何非線性問題比較復雜，它不僅涉及非線性的幾何關系，而且還涉及到依賴于變形的平衡方程等問題，其計算表達式與線性問題的表達式有很大的不同。
2）邊界條件非線性
如果在分析過程中邊界條件發生變化，就屬于邊界條件非線性問題。接觸問題是最常見的邊界條件非線性問題。
3）材料非線性
如果材料的應力-應變關系曲線是非線性的，或者模型中涉及材料失效或與應變率相關的材料屬性，就屬于材料非線性（又稱為物理非線性）。常見的非線性材料包括：超過屈服點的金屬材料、超彈性材料（如橡膠）、粘彈性材料、亞彈性材料等。
展開 非線性振動了解下 附非線性振動劉延柱清晰版下載
非線性振動簡介
能用線性微分方程描述的振動稱為線性振動，如前面所討論的簡諧振動、弱阻尼的諧受迫振動等。不能用線性微分方程描述的振動即稱為非線性振動。
從動力學角度分析，發生非線性振動的原因有兩個方面，即振動系統內在的非線性因素和系統外部的非線性影響。
1. 內在的非線性因素
振動系統內部出現非線性恢復力，這是最直接的原因。例如，單擺（或復擺），當擺角θ>5°時，非線性函數sinθ=θ - θ 3/3！+θ 5/5！- ···就不能近似簡化為θ 的線性函數，這時系統的恢復力矩M=-mgl (θ - θ 3/3！+θ 5/5！- ···) 即為非線性的。又如彈簧振子，只有當振子的位移較小時，恢復力才與位移成正比。當位移較大時，即使仍在彈性形變的范圍，其恢復力與位移之間也將呈現出非線性關系，即F=-k1x - k2x 2 - k3x 3···。
振動系統在非線性恢復力作用下，即使作無阻尼的自由振動也不是簡諧振動，而是一種非線性振動。
如果振動系統的參量不能保持常數，例如描述系統“慣性”的物理量或擺長之類的參量不能保持常數，則形成參量振動一類的非線性振動。如漏擺，其在擺動過程中質量m 和擺長l 均在變化；而蕩秋千則是轉動慣量和擺長均在變化的復擺。
自激振動也是一種非線性振動，產生這種非線性振動的根本原因仍是系統本身內在的非線性因素。
展開 初識非線性有限元 附非線性有限元及程序下載
在有限元分析中，我們經常會和非線性打交道，如材料非線性、幾何非線性、邊界非線性。非線性有限元一直是有限元中較為困難的一部分，在非線性有限元中我們經常碰到諸如Newton-Raphson迭代法，切線剛度陣等概念，今天我們就單的介紹一下非線性吧。
1.簡單實例
首先看一個簡單的彈簧桿件結構，如圖所示，中間節點作用一個F的力，會產生一個位移v
由靜力平衡關系可得到
該方程為典型的非線性方程，對于這個方程，如果給定一個位移v就能求得F，如下圖所示，從圖中曲線可以看到非線性的含義了。圖中不同k對應的曲線，可以看到k比較小時，桿內力起主要作用，呈現出幾何非線性，K較大時，彈簧起主要作用，呈現出彈簧的線彈性。
2.牛頓迭代法
但是在實際中，我們往往是不知道位移v的，而是知道F，那么給定一個F，怎么求v呢？這時候牛頓迭代法就要上場了。牛頓迭代法的思想是將非線性方程線性化，以線性方程的解逼近非線性方程的解，具體操作如下：
牛頓迭代法圖形解釋
對于非線性方程f(x)=的迭代解法有如下格式
3.非線性有限元迭代法
雖然上文只是簡單的一維問題，但是我們可以把它當做位移法有限元的原型，對于一般有限元，離散平衡方程一般具有如下形式：
對于試探解、一般有
該方程的求解有如下形式
（1）直接迭代法
直接迭代法中要求K矩陣為u的顯式函數，只適用于和變形歷史無關的非線性問題。
展開 Abaqus接觸非線性在有限元計算分析中的應用 附莊茁ABAQUS非線性有限元分析與實例下載
來源：有限元在線
ABAQUS的非線性主要在有三種：幾何非線性，材料非線性以及接觸非線性。接觸非線性在ABAQUS的有限元計算分析中應用非常廣泛，特別是動態顯式的求解，只要模型中包含兩個以上相互接觸的部件，就要用到接觸非線性。
ABAQUS接觸非線性的設置主要在Interation模塊中完成，設置接觸的屬性時，可以設置摩擦系數，阻尼系數，損壞，失效準則等非線性參數，如圖1所示。
如圖2所示，在接觸定義界面，可以選擇通用接觸、面-面接觸、自接觸等各種非線性接觸方式。
在接觸編輯界面，可以選擇機械約束方式為運動學接觸算法，或是懲罰接觸方式，還可選擇滑移方式為有限滑移或小滑移，如圖3所示。
這是對模型定義非線性接觸后得到的分析結果，以供參考。
下載地址：莊茁ABAQUS非線性有限元分析與實例
展開 
數學模型與非線性的定義——《非線性計算與多物理場耦合》系列課程之一
本節課是“非線性計算與多物理耦合”系列課程的第一課，“數學模型與非線性的定義”。課程內容分為3個內容：
1.數學物理模型與有限元解。
2.非線性的定義。
3.非線性方程組的求解。
分別圍繞下面三個問題展開：
1.實際物理問題與數學模型之間的關系，怎么去建立或定義一個有效的數學模型，其與有限元方法的關系是什么？
2.我們為什么需要考慮非線性，非線性的數學關系式是什么，在有限元算法中體現在什么地方？
3.怎么運用基礎的Newton-Raphson方法去求解非線性方程組？
在視頻的中間穿插講述了本系列課程的基本框架，也就是一步一步非線性研究的每一個遞進關系的知識點，帶大家一步一步掌握非線性計算的相關知識。
此課附件包含兩個基于Julia寫的兩個代碼（Julia的安裝與基本操作視頻看完主頁的julia課程），PPT和完整視頻（免費完整視頻在我主頁課程里面），免費分享給大家，希望有興趣，覺得此視頻還有點用的同學關注我，后續會有更加精彩的內容。
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展開 探索結構工程中的線性靜態分析與非線性分析
在結構工程領域，線性靜態分析和非線性分析是兩種常用的分析方法，用于研究和評估結構在受力情況下的行為和性能。本文將詳細介紹這兩種分析方法的基本概念、適用范圍、計算方法以及在實際工程中的應用。
1. 線性靜態分析
1.1 基本概念
線性靜態分析是基于線性彈性理論的一種分析方法。它假設結構的材料行為是線性的，即應力與應變之間存在線性關系；同時假設加載是靜態的，即載荷是恒定的且不隨時間變化。
1.2 適用范圍
線性靜態分析適用于小變形、小位移的結構，例如剛度相對較高、加載相對較小的情況。它通常用于進行結構的初步設計和評估。
1.3 計算方法
線性靜態分析采用有限元、有限差分、有限體積等數值方法進行計算。通過求解線性方程組，可以得到結構在靜態加載下的位移、應力等信息。
2. 非線性分析
2.1 基本概念
非線性分析考慮了結構在加載過程中可能出現的非線性行為，例如材料的非線性、幾何的非線性、邊界條件的非線性等。這些非線性因素可以包括材料的塑性變形、接觸問題、大變形、非線性材料性質等。
2.2 適用范圍
非線性分析適用于大變形、大位移、非線性材料行為等情況。它通常用于處理地震分析、塑性分析、非線性接觸問題等復雜情況。
2.3 計算方法
非線性分析需要采用更復雜的數值方法，例如增量法、有限元法中的非線性材料模型、非線性接觸模型等。這些方法考慮了結構在加載過程中的非線性響應，可以更準確地描述結構的行為。
3. 實際應用
線性靜態分析常用于進行結構的初步設計和評估，例如建筑物的靜力分析、橋梁的強度評估等；而非線性分析則常用于處理復雜情況，例如地震工程中的地震響應分析、大變形問題的研究等。
展開 線性Wi-Fi FEM被卷死，非線性FEM是未來？
非線性Wi-Fi FEM的設計創新在于數字預失真（DPD）技術，通過算法預補償PA的非線性特性，顯著提升線性輸出功率（如從20dBm提升至28dBm）。非線性Wi-Fi FEM的誕生是無線通信系統逼近香農極限的必然結果，其技術本質是通過聯合優化器件物理特性（如材料、工藝）與信號處理算法（如DPD、ET），在效率、線性度和成本之間取得平衡。隨著Wi-Fi 7/8的演進，非線性管理將成為FEM設計的核心差異化競爭點。
因此，沒有Wi-Fi主芯片的配合和調試，非線性Wi-Fi FEM就無從做起；沒有Wi-Fi主芯片廠家提供功率曲線，閉門造車的非線性Wi-Fi FEM就沒法適配。還有更重要的一點，不是所有的非線性Wi-Fi FEM都叫非線性Wi-Fi FEM，就如華為海思研發跟我說的，他們希望通過非線性Wi-Fi FEM把電流降低100mA，降低80mA是底線。
非線性Wi-Fi FEM這路很難走，門檻也很高，正是因為這條路難而正確，所以非線性Wi-Fi FEM才是未來。
展開 MATLAB規劃問題——線性規劃和非線性規劃
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2.非線性規劃
也有兩種求解的方法，一種是fmincon命令，另一種是optimtool工具箱.
①fmincon命令
fmincon命令的一般參數形式為fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,’nonlinearcondition’)，其中各個參數含義如下
fun 目標函數(以求最小值為目標函數)
x0 最優解迭代的初始值
A,b 線性約束不等式A*x<= b
Aeq,beq 線性約束等式Aeq*x =beq
lb,ub 自變量的上下界
nonlinearcondition 非線性約束函數，它有兩個返回值，其中一個為非線性不等式約
束，另一個是非線性等式約束(具體舉例說明該項參數的設置)
在具體編寫代碼過程中，可以將線性約束也寫在非線性約束函數nonlinearcondition中，簡化代碼.
展開 自動動態增量非線性分析-1981年的開源非線性有限元軟件是什么樣子
本文以1986年的文檔《ADIINA_ADINAT使用手冊-自動動態增量非線性分析有限元程序》和ADINA81，ADINA84兩個版本的源代碼為基礎，回顧一下當時先進的非線性有限元程序。文檔和源代碼均從網絡獲得。
手冊描述了adina支持的單元類型，材料本構及分析類型。可以看出，即使在1981年，adina的單元類型和材料支持也已經比較豐富，超彈性，彈塑性，粘塑性都已經支持，分析類型包括振型疊加，隱式或者顯式直接積分，非線性求解采用修正的牛頓迭代或者BFGS，技術似乎并沒有落后太多。
ADINA81的文件夾下一共有11個程序，文件命名居然是A10,A20這種，完全看不出含義。ADINA84文件多一些，并且還包含了一個輸入文件，經過查看可知其包含了手冊中16個例子的輸入文件。
在VS2019+oneAPI環境下進行編譯，解決一些bug后，我們終于成功編譯了兩個版本的adina。
運行ADINA.D1中的第一個例子，這是一個塔索結構的模態分析：
輸入文件內容：
很快，我們得到了該分析的后綴名為.OUT的結果文件：
以上，就是對adina81和adina84版本代碼編譯運行的過程，盡管這兩個程序產生于四十年前，完全沒有任何前處理界面，只能通過手動填寫輸入文件，但是其依然能夠高效完成彈塑性，超彈性，幾何非線性等基本的結構有限元分析。
【完】
注：關注公眾號 有限元術 回復adina，獲得adina81和adina84的源代碼，exe運行文件及《ADIINA_ADINAT使用手冊-自動動態增量非線性分析有限元程序》。
展開 非線性
7.1
非線性的來源
在結構力學模擬中有三種非線性的來源：
·材料非線性
·邊界非線性
·幾何非線性
7.1.1
材料非線性
這種非線性也許是人們最熟悉的，并將在第八章中進行更深入的討論。大多數金屬在小應變時都具有良好的線性應力/應變關系，但在應變較大時材料會發生屈服，此時材料的響應變成了非線性和不可逆的（見圖7-2）。
圖7-2
彈－塑性材料軸向拉伸應力－應變曲線
橡膠可以近似認為具有非線性的、可逆的（彈性）響應的材料（見圖7-3）。
材料的非線性也可能與應變以外的其它因素有關。應變率相關材料的材料參數和材料失效都是材料非線性的表現形式。材料性質也可以是溫度和其它預先設定的場變量的函數。
圖7-3
橡膠類材料應力－應變曲線
7.1.2
邊界非線性
若邊界條件隨分析過程發生變化，就會產生邊界非線性問題。考慮圖7-4所示的懸臂梁，它隨施加的載荷發生撓曲，直至碰到障礙。
圖7-4
將碰到障礙物的懸臂梁
梁端部的豎向撓度與載荷在它接觸到障礙以前是線性關系。在端部碰到障礙時梁端部的邊界條件發生突然的變化，阻止豎向撓度繼續增大，因此梁的響應將不再是線性的。邊界非線性是極度不連續的，在模擬分析中發生接觸時，結構的響應特性會在瞬時發生很大的變化。
另一個邊界非線性的例子是將板材材料沖壓入模具的過程。在與模具接觸前，板材在壓力下的伸展變形是相對容易產生的，在與模具接觸后，由于邊界條件的改變，必須增加壓才能使板材繼續成型。
邊界條件非線性將在第十一章進行討論。
7.1.3
幾何非線性
第三種非線性的來源是與分析過程中模型的幾何改變相聯系的。幾何非線性發生在位移的大小影響到結構響應的情形。這可能由于：
·大撓度或轉動。
·“突然翻轉”。
·初應力或載荷硬化。
展開 《線性與非線性有限元及其應用》
【基本信息】 ISBN：7111130960 336 系列：高等工程力學系列規劃教材 尺寸：小16開 印張：10.875 字數：423000 印次：2 印刷時間：2005/06/01 用紙：膠版紙 版次：1
【內容提要】
本書主要介紹線性與非線性有限元法的基本概念、力學模型和數值方法及其在工程中的應用。主要內容包括線性彈性力學問題，材料非線性問題，幾何非線性問題，接觸、摩擦等邊界非線性問題，由幾何非線性引起的結構穩定性問題，非力學的場問題以及隨機有限元問題。同時，還介紹有限元分析中影響到解的收劍性、可靠性和精度的幾個必須注意的問題。最后，對最常見的有限元商用軟件作了簡單的介紹。
本書可作為機械工程、土木工程、水利工程、材料工程和動力工程等專業研究生和力學專業高年級本科生的教材，也可作為應用有限元軟件進行分析、設計的工程技術人員的參考書。
展開 
如何在 COMSOL 中建立線性和非線性光學模型
光學材料的二階磁化率
有些非線性晶體具有相對較高的二階磁化率 (
)。當一束單色光穿過這種非線性晶體時，輸出頻譜不僅顯示出原始頻率(ω)，也顯示出二階諧波頻率(2ω)。因此，這種現象被稱為二次諧波生成 (SHG)。
SHG 被應用于激光設計和工程領域，在這個領域，很難找到一種材料來發射比入射波長波長更短的光。例如，當紅外光源(1064nm)通過磷酸二氫鉀(KDP)晶體泵浦時，晶體會發射出綠色(532nm)的激光源。
在 COMSOL Multiphysics 中，這種方法可以用瞬態或頻域分析來建模，其中使用非線性系數(d)定義極化，如下所示。在高斯光束的二次諧波產生教程模型中，需要將與電場相關的非線性項引入電位移場 (D)中。在這個模型中，引入非線性項的方式是通過巧妙使用殘余電電位移(Dr)。事實上，殘余電位移也可以接受一個非線性場量，這里涉及到一個電場分量的平方。這種方法顯示了和頻生成以及差頻生成。
其中，
,
是非線性系數，Ez 是 z-電場的分量。
在
高斯光束的二次諧波產生
教程模型中，只能分析一個特定的頻率。(換句話說，用亥姆霍茲方程只能分析一個頻率。)因此，該模型建立了兩個接口，并耦合了兩個物理場。第一個界面代表基波，第二個界面代表二次諧波頻率。第一個界面的極化
，以及第二個界面的極化
，可定義如下:
其中，d 是非線性系數，
是 y-基頻電場分量，
是 y-二次諧波頻率下的電場分量。
左:輸出頻譜。大峰左邊的小峰表示差頻產生，右邊的小峰表示 SHG。右:基波和二次諧波的電場 y- 分量。
展開 申請兌換《線性與非線性有限元及其應用》
《線性與非線性有限元及其應用》
作者：郭乙木 等編著
出版社：機械工業出版社
出版日期：2005-6-1
CAEnet價：￥29元
郵費:￥5元
總價:￥34元
可用分兌換：
兌換要求及條件:請參考中國CAE聯盟網站書籍獎勵活動
兌換所需可用分：按照中國CAE聯盟網站書籍獎勵活動相關條款。
申請兌換或有疑問請到《兌換申請區》發貼。
注：書價可能會根據市場價格波動，以您兌換時的價格為準。
【基本信息】 ISBN：7111130960 336 系列：高等工程力學系列規劃教材 尺寸：小16開 印張：10.875 字數：423000 印次：2 印刷時間：2005/06/01 用紙：膠版紙 版次：1
【內容提要】
本書主要介紹線性與非線性有限元法的基本概念、力學模型和數值方法及其在工程中的應用。主要內容包括線性彈性力學問題，材料非線性問題，幾何非線性問題，接觸、摩擦等邊界非線性問題，由幾何非線性引起的結構穩定性問題，非力學的場問題以及隨機有限元問題。同時，還介紹有限元分析中影響到解的收劍性、可靠性和精度的幾個必須注意的問題。最后，對最常見的有限元商用軟件作了簡單的介紹。
本書可作為機械工程、土木工程、水利工程、材料工程和動力工程等專業研究生和力學專業高年級本科生的教材，也可作為應用有限元軟件進行分析、設計的工程技術人員的參考書。
展開 非線性材料的熱疲勞仿真
模擬非線性材料中疲勞的工程師們常常面臨著兩個挑戰。一是必須用正確的本構關系表征材料的力學行為，二是使用一個能夠描述壽命控制機制的疲勞模型，應對這兩個挑戰需要有全面的材料力學知識。今天，我們將討論在對非線性材料中的熱疲勞進行建模時面臨的這些挑戰。
熱疲勞
我們可以使用 COMSOL 軟件中提供了一系列預定義的非線性材料模型的
非線性結構材料模塊
，與包含了許多用于不同應用的疲勞模型的
疲勞模塊
，來解決包含上述挑戰的一些應用的數值模擬。
當溫度變化時，材料會膨脹或收縮。在由幾個不同零件組成的應用中，這種熱變形將受到限制，因為各種材料的熱膨脹系數不同。在存在非線性材料的情況下，這種現象將更具挑戰性。
關于非線性材料
材料的非線性意味著變形與載荷不成正比。不同材料的非線性可以大致分為可逆的非線性和不可逆的非線性。可逆的非線性也被稱為彈性非線性，這意味著一旦外部載荷回到起始點，應變狀態就會回到初始狀態。
表現出不可逆非線性的材料在加載時可以承受永久性的損傷，并且在卸載時不會恢復到初始狀態。例如，下圖中的一個具有非線性焊接材料的
表面貼片電阻
受到了熱循環的影響示例就表現出這種現象。
在熱負荷周期結束時，表面貼片電阻的位移。藍色表示零位移。
材料的非線性是一種蠕變機制，一旦材料受到應力場的影響就會發生變形，即使應力場保持不變。由于表面貼片電阻的不同部分的
熱膨脹
是不均勻的(底部的印刷電路板更大，頂部的電阻更小)，因此在熱載荷循環中，該組件受到了壓力。
一旦熱載荷達到載荷循環的終點，并返回到初始溫度，電阻器兩端的焊點就會留下永久變形(蠕變應變)。焊點的永久變形會阻止其余部分恢復到初始狀態。我們可以在圖中看到這一點，電阻被壓縮并隆起，而印刷電路板被拉長。
展開 Moldex3D模流分析之非線性翹曲分析
翹曲預測是射出成型模擬中的一個關鍵環節，而大多數翹曲分析都采用線性彈性法。一般情況下，模型適用線性分析，而不用考慮幾何、材料或邊界條件非線性的影響。然而有時會造成模擬結果與實驗結果不一致，尤其是對軟薄構造的模型，例如汽車產品和光學組件等。而為了改善數值模擬與實驗的差異，我們在計算中引入幾何非線性效應，詳細說明如下。
非線性結構分析
在數值結構分析中，線性彈性分析是計算在外力施加下結構變形最簡單的方法。然而在真實的實驗案例中，幾何或材料的非線性特性會顯著影響變形狀況。這些效應可能導致力和位移的非線性關系。 圖一顯示線性彈性和非線性彈性分析之平衡關系差異。
圖一 線性彈性和非線性彈性分析之平衡路徑差異
本文聚焦于幾何變化引起的非線性效應。這種非線性通常發生在厚度較小的殼狀產品，或是厚度分布明顯不均勻的產品中。 因此，若要考慮幾何非線性效應，就必須先考慮有限元變形理論。
有限元變形理論
有限元變形理論考慮了原始和變形配置之間的位置變化。因此在非線性分析中，結構剛性和邊界條件在計算過程中可能由于幾何形狀的變化而改變（不同于線性彈性分析中，剛性矩陣會維持不變）。 故結構系統可看作是位移的函數，可以表示為：
此函數中，是結構剛性，是位移量，則是外力。
上述為非線性等式，我們須將其正切剛性線性化，并迭代求解。線性化后的平衡系統可以以下公式表示：
為了進行迭代計算，我們采用牛頓-拉弗森方法──解決非線性數學問題的最著名的方法。此分析會持續收斂，直到殘余力小于收斂標準時即完成解答。
幾何擾動(Imperfection)模型應用
有時在數值分析過程中，結構分析中不容易出現非線性情況。但由于真實通常不如理想考慮，模型中可能會存在制造過程產生的不完美，而這些不完美處可能會觸發非線性平衡路徑。
展開 