板殼理論的案例
板殼單元的分析詳解 附板殼理論鐵摩辛柯下載
之后Mindlin發展了Reissner理論，該修正理論的應用領域擴至厚板殼，我們將其稱為Reissner-Mindlin板殼理論，亦為一階剪切變形理論。
Reissner-Mindlin橫截面假設
【總結】Kirchhoff理論忽略了剪切變形以及法向應力對殼變形的影響。當殼的厚度與寬度比h/L處于薄殼范圍時，采用Kirchhoff薄殼理論進行計算可以減少計算量，而且誤差較小。
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奇怪：線性化后的薄膜+彎曲應力值竟然大于最大總應力值？
等效線性化處理的修正方案
基于上述六應力分量線性化法存在的橫剪應力的影響缺陷，清華大學陸明萬教授和北京化工大學徐鴻教授在2006年的時候發表相關論文提出了一個等效線性化處理的修正方案，該方案回歸到材料力學和板殼理論的基本處理方法，即將等效線性化處理主要用在正應力上，具體評定步驟如下：
（1）不考慮τθz和τxz兩個橫剪應力（z指的是沿中面法線方向或沿校核線方向），只對其余的4個應力分量求主應力，這些主應力都是垂直于中面的（或通過校核線的）橫截面上的正應力，與材料力學和板殼理論的處理對象相一致。對于軸對稱情況，另一個橫剪應力也是零，那么只剩下三個主應力，這三個主應力分別是沿環向、軸向和徑向的正應力；
（2）對上述三個主應力作等效線性化處理，并按照通常的做法進行應力分類和應力評定；
（3）對若干橫剪應力很大的部位，尤其是同時也存在較大薄膜應力的部位，單獨進行增補的應力評定。
上述即是修正方案的處理方法，很顯然這樣處理起來確實要更精確但是也更復雜更不具備可操作性，需要專門進行用戶子程序的編制并接入有限元軟件，然后用算例來考核，并與現用的等效線性化處理方法進行對比。
上述方法可避免橫剪應力對應力線性化結果的影響，能夠得到更為精確的應力評定，這是2006年陸教授針對現行方法中缺陷提出的改進方案，但可惜的是時至今日也只是停留在論文階段，并沒有得到更多實質性的開發進展，也并未納入相關標準規范中，所以也沒有相關操作案例和工程應用案例。希望后面能有更多有熱情的朋友涌入到相關軟件程序的開發中，將一些優秀的方法變為工程可操作的實際，期待中國軟件變得越來越強大！
以上內容由筆者參考相關資料并結合自己的理解整理而得，僅供交流討論用。
展開 【JY】板殼單元的分析詳解
之后Mindlin發展了Reissner理論，該修正理論的應用領域擴至厚板殼，我們將其稱為Reissner-Mindlin板殼理論，亦為一階剪切變形理論。
Reissner-Mindlin橫截面假設
【總結】Kirchhoff理論忽略了剪切變形以及法向應力對殼變形的影響。當殼的厚度與寬度比h/L處于薄殼范圍時，采用Kirchhoff薄殼理論進行計算可以減少計算量，而且誤差較小。
關于應力線性化的介紹
其來源于板殼理論。板殼理論中，薄膜應力和彎曲應力都是平行于中面的正應力，分別沿厚度方向均勻分布和線性分布。而橫剪應力沿厚度方向呈拋物線分布；它既不是薄膜應力，也不是彎曲應力。所謂的應力線性化等效原理即把應力分解成三部分，一是與合力等效的沿厚度方向均勻分布的薄膜應力；二是，與合力矩等效的沿厚度方向線性分布的彎曲應力；第三部分是合力和合力矩都為零沿厚度方向非線性分布的峰值應力。
從應用層面講，應力線性化是針對壓力容器設計的規范驗算提供的一項計算功能，是按照容標委的規范設定一個應力分類線，然后對應力分類線上的應力強度分布進行應力分類，也就是按照力平衡原則將應力分解為線性成分和非線性成分，線性成分叫做局部薄膜應力強度，非線性成分叫做一次+二次應力強度，這些數據是進行壓力容器設計校驗做需要的規范數據。
a. 膜應力(membrane stress)：沿著路徑指定方向的法向所受應力的值的總和
b. 彎應力(bending stress)：沿著路徑指定方向結構（或容器壁）內外應力差
c. 二次應力：由于為了滿足位移連續性而產生的自生應力，一般此項可得到最大值。
d. 峰值應力(Peak)：沿著路徑方向最大的應力值；
應力分類線的兩個端點，其選擇是有一定原則的，通常需要位于應力強度最大部位壁厚方向的兩個端部（一個內壁點，一個外壁點），通常確定大概位置后，進行適當微調，直到分類線使得分類應力達到最大為止。
展開 基于eta/Dynaform發蓋外板拉深后切邊回彈的模擬研究
3.板殼理論及板殼單元
常用的板殼理論有兩個重要的假設：一是板殼厚度方向應力為零;二是板料變形前垂直于板殼中性面的纖維在板料變形過程中保持直線狀體，但不一定垂直于變形后的板殼中性面。這兩個假設在大多數情況下基本反應薄板的變形特性。在相同的板殼理論前提下可形成不同的殼體單元，目前在顯示算法中應用最為廣泛的是三節點或四節點的雙線性單元。
4.計算回彈的數學方法
利用隱式算法分析回彈的模型有兩種：無模法和有模法。采用有模法時，因為仍有接觸計算，計算時間比無模法長，而且許多計算結果表明，無模法和有模法得到的回彈量大小幾乎完全一致。因此，多數板成形模擬軟件(如Dynaform)在分析制件回彈時采用的是無模法。無模法的計算思路為：在制件沖壓成形結束時去除模具，使所有和模具接觸的節點均轉變成為自由節點;然后，根據彈塑性有限元法計算得到的最后一步加載結果，按照反向原則，將其結果數據轉化為卸載過程節點力的初始值。由于板料零件此時處于無邊界約束狀態下，為防止出現剛體位移，需要施加位移以及轉動約束邊界條件。這樣，回彈模擬結束后，各節點的位移量即為回彈量。
實驗過程及分析
1.切邊前的回彈結果分析
圖1所示發動機罩的開口四周是全封閉結構，加之制件拉深深度較大(356mm)，塑性變形充分，因此可以預見，機罩拉深件切邊前的回彈量不會太大。下面通過回彈數值模擬實驗加以檢驗。
(1)回彈實驗過程
在Dynaform中進行機罩回彈分析時通常采用dynain方法。dynain方法一般分為兩步，首先利用有限元動力顯式算法求解制件的成形過程，并將最終計算結果中的制件厚度、應力應變分布等信息寫入dynain文件;然后把該文件導入回dynaform，設置好回彈計算條件，再提交給dynaform的動力隱式求解器進行回彈計算。
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列15： 殼的剪切應力
iSolver按照常用的殼的理論得到的剪切應力是個與厚度無關的常量，但Abaqus的橫向剪切應力分量TSHR13，TSHR23，在各個截面方向積分點section point不一樣。
花了點時間細致的研究了一下，猜測Abaqus中剪切應力TSHR13、23是真實應力，但有限元理論和iSolver中計算的是板殼近似理論中平均剪切應力。本章將介紹殼單元中實際的和板殼近似理論中的剪切應力，也猜測了Abaqus的內部實現流程，最后通過一個算例來驗算Abaqus中的真實的剪切應力，并通過iSolver來計算板殼理論的平均剪切應力。
1.1 殼的真實的剪切應力
剪應力是材料由于抗拒面之間的滑動而產生的沿表面方向的應力。殼的中間層存在剪切應力，這個可以通過下面簡單的例子驗證。兩塊板疊加在一起，簡支，中點加力，板間假定無摩擦，那么將會得到下面的形狀，中間層表面上梁的伸長和下梁的縮短完全由x方向應力決定，此時中間層無抗拒滑動的力，也就不存在剪應力，。
但如果兩塊板中面部分用膠水粘住，膠水將會阻礙中間層上下兩個面的相對滑動，上邊面的纖維長度會變少，下邊面的纖維長度增加，使得中間層上下兩個纖維長度相等，也就在中間層將產生剪應力。
同時，很顯然，上圖最上層面任意一點沒有任何切向的外力，所以不會有阻礙滑動的剪切應力了。而從中間層到最上層，可以猜測剪應力將逐步減小。根據材料力學的理論，實際的截面上的剪應力分布如下：
其中V為剪力。
顯然與材料點所在截面的y方向坐標y1是二次關系。用圖形化表示為下圖右側，隨截面厚度方向是拋物線，中面最大，上下表面為0：
在各向同性材料中，剪切應力和剪切應變也就是剪切角成正比，所以，如果一個橡皮條做成的懸臂梁，那么原來在鉛直線上畫的直線受力后將會變成如下圖所示的m1n1的曲線。
展開 沖壓工藝仿真中界面接觸壓力計算精度研究
單元類型的影響
殼單元是基于板殼理論，在厚度方向尺度遠小于其他方向的尺度時，把單元從3D簡化成2D就可以簡化大量預算而獲得比較準確的解。實體單元不引入板殼理論，直接計算位移、變形和力，當結構比較復雜時運算量非常大，但應用實體單元運算更為準確。
表1是在相同條件下工藝過程仿真中常用的BT殼單元和實體單元兩種單元得到的界面接觸壓力仿真數值，可以看出，兩種不同類型單元得到的結果幾乎相同。兩種單元得到相同的結果說明：在薄板仿真中，單元類型的選擇對界面接觸壓力仿真結果沒有影響。因此工程設計中滿足板殼理論的結構件可以直接采用默認的BT殼單元進行仿真，節省模型計算時間。
表1 Dynaform單元類型與接觸壓力的關系(單位：MPa)
板料網格大小的影響
圖3是不同板料網格大小情況下板料―凹模圓角界面接觸壓力對比情況，其他條件為壓邊力12MPa,BT殼單元，網格大小為0.25mm，采用5個積分點，虛擬沖壓速度2000mm/s。實踐表明：凹模圓角小于5mm時，先進高強鋼沖壓過程可能過早出現開裂；通過預先計算證明，DP590鋼所需最小壓邊力為12MPa，故本研究采用12MPa。從圖3可以看出，網格板料網格大小對接觸壓力仿真精度影響明顯，呈現出隨著板料網格變大，界面接觸壓力值也隨之增加的規律。從界面接觸壓力的原始數據中還可以看到：即使在平穩階段，界面接觸壓力并不連續，這表明Dynaform仿真結果并不精確，只能在工程設計中用平均結果預估磨損情況。
圖3 板料網格大小對接觸壓力的影響
模具網格大小影響
圖4為凹模圓角區網格大小對界面接觸壓力的影響，其他條件為壓邊力12MPa,BT殼單元，板料網格0.25mm，采用5個積分點，虛擬沖壓速度2000mm/s。
展開 板殼結構的CAE有限元分析
板殼結構是一種厚度方向的尺寸小于長度和寬度方向尺寸的結構。其中，表面為平面的稱為板，表面為曲面的稱為殼。由于殼體考慮表面曲率，從數值理論上來說要比板復雜很多。同時，板作為殼的一個特例，在實際分析時，完全可以被殼替代，也就是說殼更加通用。
1. 實物
板殼結構以其優良的輕量化和易于加工等性能，被廣泛應用于汽車船舶和航空領域遙。比如我們常看到的汽車飛機車身覆蓋件，還有我們不常看到的潛艇，壓力容器等結構，表面都是殼體結構。
2. 理論
板殼理論是以彈性力學與若干工程假設（KIRCHHOFF假設，KIRCHHOFF-LOVE假設，等等）為基礎，研究工程中的板殼結構在外力作用下的應力分布、變形規律和穩定性的學科。板殼理論在工程力學算是比較復雜的理論了。
3. 有限元建模分析
對于復雜的板殼結構，WELSIM提供了一些方便快捷的解決方案。今天我們就通過一個簡單的案例，來了解WELSIM所提供的對于殼體的支持功能。
3.1 CAD模型建立與導入
WELSIM內可以建立簡單的板型幾何模型，圖形界面如圖所示：
也可以導入STEP格式的CAD文件，如圖所示導入一個復雜的表面（Surface）模型。
用于是導入的模型，系統需要知道結構的類型，我們會在屬性窗口中，將結構類型（Structure Type）從Solid改為Shell。
結構類型設置為Shell以后，會有新的厚度與積分點數量的屬性出現，用戶可以設置殼體的厚度。
3.2 網格劃分
目前v1.7版本的殼單元求解支持TRI3單元，所以我們選用TRI3網格的自動劃分。簡單設置一下參數，很快可以得到網格。劃分好的網格一共有263個節點，437個三角單元。
展開 ANSYS結構單元簡介
BEAM188/189單元是基于Timoshenko梁理論的，即一階剪切梁，考慮剪切變形的影響，所謂一階是指截面的切應力為均布，學過材料力學都知道，其實截面的切應力不是均布的，這就會引起截面的翹曲。雖然BEAM188/189單元節點的默認自由度為三個沿節點坐標系的平移和三個繞節點坐標系的轉動，但也可以通過單元關鍵選項來設置翹曲自由度(WARP)，筆者一般不考慮翹曲。
3. BEAM4一般筆者是不用的，在ANSYS的HELP文檔中，已經沒有BEM3和BEAM4的單元介紹，但它們仍然是可用的，只是ANSYS會建議你用BEAM188/189來替代它們而已。
殼單元：SHELL63，SHELL181
對筆者來說，
1. 遇到板殼問題，會使用SHELL181單元，不設實常數，通過截面類型(SECTYPE)以及截面參數(SECDATA)來定義截面特性；材料參數有彈性模量、密度、泊松比、阻尼、等，一般只用到彈性模量、泊松比以及密度（考慮自重時）。SHELL181單元是基于Mindlin-Reissner板殼理論的，考慮了剪切變形的影響，筆者建議聯系有關梁的理論來理解這個問題。
2. 一般不用SHELL63，SHELL63基于Kirchhoff-Love板殼理論的，不考慮剪切變形的影響，筆者建議聯系有關梁的理論來理解這個問題。
彈簧單元：COMBIN14。
1. COMBIN14 的實常數(R)有剛度系數、阻尼系數、等。
2. COMBIN14 的單元關鍵選項 KEYOPT2 可取1-6，分別表示 UX、UY、UZ、ROTX、ROTY、ROTZ 的自由度；單元關鍵選項 KEYOPT3 可取0，表示具有UX、UY、UZ 三個自由度；可取1，表示 ROTX、ROTY、ROTZ 三個自由度；可取2，表示具有UX、UY 兩個自由度。
展開 殼單元
兩種殼單元采用不同的板殼理論，所以選取適當的殼單元很重要。
殼單元結果的后處理可以選擇顯示結果的位置有【上部】、【下部】，在沿厚度方向的應力分布可以分為兩個分量：【折彎】和【膜片】。或者選用3D渲染抽殼厚度。
你不知道的CAE小常識（六）
復合材料材料參數的轉化
單向纖維增強復合材料（也稱單向板）是指纖維按照同一方向平行排列的復合材料，是構成層合板和殼的基本元素，可認為是一種正交各向異性材料，也是一種橫觀各向同性材料（存在一個各向同性面），在進行有限元計算時，必須知道復合材料的彈性特性參數，并由彈性特性參數來計算正交各向異性材料的9個參數（在ANSYS程序中定義材料時所需3個彈性模量、3個泊松系數和3個剪切模量），單向復合材料特性的計算有許多種方法，主要的方法有Halpin-Tai的彈性力學方法，這種方法根據彈性理論將復雜的纖維與樹脂間的關系用一組方程來表示，通過求解方程組，解得彈性參數，我們使用的9個彈性參數的計算是通過單向復合材料的剛度矩陣轉化得到。
2． 復合材料強度準則
復合材料結構的受力及應力應變情況非常復雜，并要考慮各種應力應變的耦合和相互影響，復合材料強度破壞準則基于結構的宏觀破壞，一般來說復合材料的二次蔡-吳強度破壞準則較為精確。有興趣的朋友可以參考科學出版社出版的蔡為侖先生的《復合材料設計》這一本書。
3． 復合材料結構剛強度分析
一般說來，復合材料結構總是受到空間力的作用，其應力分布是三維的，因此，復合材料結構的剛強度分析一般不宜采用復合材料的板殼理論（這種理論僅考慮板殼面內的應力和橫向剪切應力，而忽略法向應力），同時，對于簡單的結構（如板、殼），可以得到彈性力學的一般解，而對于大多數結構來說，則必須用數值的方法計算，三維有限元分析是最常用的方法。采用ANSYS程序對復合材料進行剛強度分析的步驟如下：
（1） 建立結構的幾何模型
由于復合材料分析單元一般都是六面體單元，因此，在建立幾何時要特別考慮到網格劃分的方便。
（2） 建立材料模型
根據復合材料材料參數建立單向復合材料材料模型，我所采用的是碳纖維增強復合材料，有兩種建立方法。
a.
展開 Abaqus-薄膜非線性撓度分析
膜撓曲的力學理論在S. Timoshenko的書《板殼理論》中有詳細描述，但在這份報告中被跳過了。
圖1 力學行為示意圖
膜的幾何形狀要求其厚度相對于其他尺寸來說足夠小。因此，在這種計算中，模型應具有均勻厚度的二維幾何形狀。然而，自由度應該是三維的，包括垂直方向撓曲。膜的撓曲具有非線性行為特性。需要使用牛頓-拉普森方法來計算位移。在撓曲較大的情況下，需要仔細設置材料屬性、尺寸和時間增量。如果膜沒有任何殘余應力或預應力，則垂直方向的剛度值非常小。由于模型應該使用牛頓-拉普森迭代，這會導致在第一步時計算非常不穩定。膜在所有邊緣處都受到所有自由度的約束。毫無疑問，膜應包含足夠細的網格以計算最大撓曲。因此，這些都是計算膜撓曲時需要克服的挑戰。
這里使用有限元分析（FEA）方法計算膜撓曲的數值解，并將計算結果與解析解進行比較，以驗證計算的準確性和可靠性。在文中，使用了FEA方法計算了膜的撓曲，并提供了膜在不同時間步驟下的撓曲圖像。還提供了膜的材料屬性和幾何形狀，楊氏模量100GPa，泊松比0.3。幾何模型為120umx120um的正方形殼，施加137880 Pa (20PSI)的壓力載荷。計算中使用的100個時間增量步。還提到，在計算中使用了小量的應變來避免垂直方向的無剛度問題。最后，作者將計算結果與解析解進行比較，以驗證計算的準確性。
圖2 網格模型
圖3 撓度變形云圖
圖4 解析解和仿真解撓度曲線
圖4顯示了解析解和計算解。前30個步驟中，這兩個值顯示出顯著的差異。在40個步驟之后，這兩個值有一定的差異。這些差異的原因之一可能是FEA中應用的小應變。特別是當應用的壓力很小時，應變（或殘余應力）起著重要作用。隨著壓力的增加，差異大小變得穩定，我們可以猜測這是由于預應力引起的。
展開 CAE/有限元分析工程師考級標準，你是第幾級？
其實作為一個學力學出身的人，需要學習的數學太多了，我列舉一些我學過的科目，這些科目在學習時沒覺得有多少用，但到做有限元時，是可能會用到的，張量理論，偏微分數值方法，最優化方法，積分變換，有了這些數學工具，就能夠比較容易理解軟件中，從理論到數值的過程。
作為的專業基礎課，力學科目自然是必不可少的，工科（非力學專業）本科教育會學到的是最基礎的理論力學，材料力學，或許有結構力學。理論力學給了最基本的力學知識，關注于剛體力學的經典理論，材料力學關注于梁的力學行為，結構力學關注于桿件力學行為。
碩士以后，就會接觸到彈性力學，塑性力學，斷裂力學，板殼理論，振動力學。這些科目，不可能記住或推導全部那些紛繁復雜的公式，但是，有一點是重要的，至少，遇到問題，能很容易的到對應的章節去找相關的公式和理論。特別要強調的課應該是彈性力學和振動力學，這兩本書是應該爛熟的，如果這兩門課沒有好好學，一定不能成為合格的有限元分析工程師，因為它們是靜力和動力分析的基礎。
學好了數學和力學，就能成為好的分析工程師了嗎，當然不能，工程理論仍然必不可少：機械原理，機械零件，金屬材料…一個都不能少！！！一些學力學出身的工程師，他們有很好的理論功底，但是ENGINEERING JUDGEMENT卻比較差，做工程師畢竟不是做研究員，所以如何將理論真正用到實踐中，才是最重要的。
最后，對照以下標準，看看自己到底是什么級別吧？
菜鳥1級：
會使用AUTOCAD畫一些簡單的二維圖，根據這個圖，能想象產品的三維形態。
菜鳥2級：
你的二維圖上能夠看到公差，材料，表面處理，工藝技術要求等信息了。而且這些信息是你自己標上去的，你知道他們意味著什么。
展開 學好壓力容器分析設計的核心永遠是“分析”而非有限元軟件
原因分析：六應力分量法存在的自身缺陷
等效線性化處理方法的基本思想來自材料力學和板殼理論中薄膜應力和彎曲應力（它們都是截面上的正應力）沿截面均勻分布和線性分布的現象。由材料力學的知識可知：彎曲應力沿截面的分布規律是線性分布的，而橫剪應力沿截面的分布規律應該是拋物線分布的，如下圖所示：
彎曲應力的最大值在截面的上下表面處，在中面處為零；而橫剪應力則恰恰相反，在上下表面處應力值為零，在中面處應力值最大，即彎曲應力最大的表面處橫剪應力為零，反之，在橫剪應力最大的中面處彎曲應力為零。所以在材料力學和板殼理論中強度校核都是嚴格的按兩步進行：先校核表面處薄膜+彎曲應力能否滿足強度要求，再校核中面處薄膜應力+橫剪應力是否滿足強度要求，這才是正確完整的校核步驟。而現用的等效線性化處理方法則忽略了這一基本思想，而是把6個應力分量一視同仁，都作線性化處理并混到一起去計算應力強度，這種一視同仁做法的結果就是：
原本沿截面拋物線分布且在上、下表面處本應該為零的橫剪應力按六應力分量法線性化等效處理后變成了沿截面均勻分布的平均剪應力，即在上下截面處人為的增加了虛假的剪應力分量，而這個平均剪應力按等效處理又被劃歸為薄膜應力成分，這就最終導致了線性化后的薄膜應力增大，進而薄膜+彎曲應力也相應增大，甚至當應力分布曲線下凹時也會出現薄膜+彎曲應力＞總應力的奇怪現象，這將直接影響PL+Pb和PL+Pb+Q兩項應力評定的準確性。
案例2-對標準的理解和應用
問題來源: SW6計算平蓋所需厚度為30mm，有限元計算需要20mm，那么平蓋厚度得減薄嗎？
本問題針對的平蓋連接結構如下圖所示。
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