行列式的案例
等參單元的雅可比矩陣行列式與單元面積的關(guān)系
物理坐標(biāo)系下的、方向可表示為、，兩方向的向量可表示為：
單元面積進(jìn)而可以表示為：
雅可比行列式就此登場(chǎng)！
比如，常應(yīng)變單元中的單元面積可在三節(jié)點(diǎn)等參單元區(qū)域內(nèi)進(jìn)行二重積分求解：
對(duì)于等參四邊形單元：
相同的道理，對(duì)于等參六面體單元：
通過(guò)上述變換，公式左側(cè)為物理坐標(biāo)系下的單元面積，1/2、4、8均為相應(yīng)等參單元的面積、體積，兩者通過(guò)雅可比行列式相連接。
以上觀點(diǎn)乃木木學(xué)習(xí)有限元過(guò)程中的一些個(gè)人觀點(diǎn)，不一定完全正確，僅供參考，感謝您的閱讀，歡迎批評(píng)指正！
聲明：文中的公式部分參考了張雄老師的《有限元法基礎(chǔ)》。
覺(jué)得本篇推文對(duì)你有幫助的話，可以動(dòng)動(dòng)的小手一鍵三連（點(diǎn)贊?在看?分享）哦~
展開(kāi) Cadence CFD學(xué)習(xí)：Hessian 矩陣凹性檢驗(yàn)
檢查給定點(diǎn)的上凹或下凹
Hessian矩陣的凹性和行列式是相關(guān)的。如果 Hessian 矩陣在給定點(diǎn)的行列式小于零，則函數(shù)在該點(diǎn)的凹性不一致。
例如，考慮一個(gè)二變量函數(shù) f(x)。計(jì)算函數(shù) f(x) 在 (x o , y o ) 處的 Hessian 矩陣的行列式。如果行列式小于零，則函數(shù)在點(diǎn) (x o , y o ) 處的凹性不一致。函數(shù)為凹函數(shù)的必要條件是函數(shù)的 Hessian 矩陣的行列式應(yīng)大于零。凹性的性質(zhì)可以從矩陣的元素來(lái)識(shí)別。
Hessian 矩陣可以寫(xiě)成如下：
如果 Hessian 矩陣的行列式在 (xo, yo) 處大于零并且
如果 f xx (x o , y o ) > 0，則函數(shù)f在 (x o , y o )處為上凹函數(shù)。
如果 f xx (x o , y o ) < 0，則函數(shù)f在 (x o , y o ) 處下凹。
Hessian 矩陣如何支持工程系統(tǒng)的優(yōu)化過(guò)程
在優(yōu)化和逼近過(guò)程中，凹性的知識(shí)很重要，因?yàn)樗硎竞瘮?shù)的變化率（導(dǎo)數(shù)）。在大多數(shù)工程優(yōu)化問(wèn)題中，確定可行解涉及確定導(dǎo)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。例如，在局部線性逼近中，可以利用二階導(dǎo)數(shù)信息來(lái)改進(jìn)逼近。
考慮兩個(gè)變量 x 和 y 的函數(shù) f。在計(jì)算Hessian矩陣時(shí)，我們得到一個(gè)具有四個(gè)二階導(dǎo)數(shù)的2×2矩陣。計(jì)算 Hessian 矩陣行列式并使用它來(lái)檢查凹性需要有關(guān)某些二階導(dǎo)數(shù)的附加信息。
對(duì)于使用哪種導(dǎo)數(shù)來(lái)測(cè)量凹度常常會(huì)產(chǎn)生混淆。計(jì)算 Hessian 矩陣的特征值可以幫助確定函數(shù)在給定點(diǎn)是上凹還是下凹。上凹表示函數(shù)導(dǎo)數(shù)增加，下凹表示函數(shù)導(dǎo)數(shù)減少。了解這一點(diǎn)有助于工程師確定所獲得的解決方案是局部最小值還是最大值。
展開(kāi) 有限元分析入門(mén)概念之三（沙漏控制）
雅閣比矩陣的行列式值為負(fù)值就是負(fù)體積,雅閣比矩陣的行列式值為負(fù)值就是沙漏控制
沙漏(hourglass)模式是一種非物理的零能變形模式，產(chǎn)生零應(yīng)變和應(yīng)力。沙漏模式僅發(fā)生在減縮積分(單積分點(diǎn))體、殼和厚,
殼單元上.沙漏模式也就零能模式
沙漏要控制的，沙漏能一般不大于總能量的10%。
沙漏現(xiàn)象的判別最簡(jiǎn)單的是察看單元變形情況，如果如果單元
變成交替出現(xiàn)的梯形形狀，就是由沙漏
沙漏控制.rar
材料強(qiáng)度理論（含應(yīng)力分析）
01 應(yīng)力張量
02 斜截面應(yīng)力
03 主應(yīng)力（特征值）
主應(yīng)力滿足方程：
求解行列式，可得三個(gè)主應(yīng)力：
展開(kāi)行列式：
04 八面體應(yīng)力
八面體總應(yīng)力：
八面體正應(yīng)力：
八面體切應(yīng)力：
05 主應(yīng)力空間
06 Tresa強(qiáng)度準(zhǔn)則&Mises強(qiáng)度準(zhǔn)則
07 莫爾-庫(kù)侖強(qiáng)度準(zhǔn)則
08 Drucker-Prager強(qiáng)度準(zhǔn)則
四結(jié)點(diǎn)四邊形等參元插值函數(shù)的計(jì)算
程序名稱(chēng)
shapef(s,t,xl,xsj,shp)――四結(jié)點(diǎn)四邊形等參元插值函數(shù)的計(jì)算
功 能
本程序用以計(jì)算四結(jié)點(diǎn)四邊形等參元的Jacobi矩陣，Jacobi行列式的值及導(dǎo)數(shù)之間的變換。
使用說(shuō)明
子程序語(yǔ)句 subroutine shapef(s,t,xl,xsj,shp)
參數(shù)說(shuō)明
◎ s，t 實(shí)變量，輸入?yún)?shù)，自然坐標(biāo)下所求點(diǎn)的座標(biāo)值。
◎ xl 實(shí)變量，輸入?yún)?shù)，結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。其中xl(1,i)表示x方向坐標(biāo)，xl(2,i)表示y方向坐標(biāo)。
◎ xsj 實(shí)變量，輸出參數(shù)，所求點(diǎn)Jacobi行列式的值。
◎ shp 實(shí)變量，輸出參數(shù)。其中shp（1，i）是插值函數(shù)對(duì)x的偏導(dǎo)，shp（2，i）是插值函數(shù)對(duì)y的偏導(dǎo)，
shp（3，i）是插值函數(shù)。
方法簡(jiǎn)介
四結(jié)點(diǎn)四邊形自然坐標(biāo)下的插值函數(shù)：
由等參元的概念得：
則導(dǎo)數(shù)之間的變換為：
程序（提供下載）
shapef.zip
展開(kāi) 讀《理解矩陣》的一點(diǎn)心得及整理歸類(lèi)
我們?nèi)绻J(rèn)為矩陣是一組列(行)向量組成的新的復(fù)合向量的展開(kāi)式，那么為什么這種展開(kāi)式具有如此廣泛的應(yīng)用？特別是，為什么偏偏二維的展開(kāi)式如此有用？如果矩陣中每一個(gè)元素又是一個(gè)向量，那么我們?cè)僬归_(kāi)一次，變成三維的立方陣，是不是更有用？矩陣的乘法規(guī)則究竟為什么這樣規(guī)定？為什么這樣一種怪異的乘法規(guī)則卻能夠在實(shí)踐中發(fā)揮如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相關(guān)的問(wèn)題，最后竟然都?xì)w結(jié)到矩陣的乘法，這難道不是很奇妙的事情？難道在矩陣乘法那看上去莫名其妙的規(guī)則下面，包含著世界的某些本質(zhì)規(guī)律?如果是的話，這些本質(zhì)規(guī)律是什么？行列式究竟是一個(gè)什么東西？為什么會(huì)有如此怪異的計(jì)算規(guī)則?行列式與其對(duì)應(yīng)方陣本質(zhì)上是什么關(guān)系？為什么只有方陣才有對(duì)應(yīng)的行列式，而一般矩陣就沒(méi)有(不要覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題很蠢，如果必要，針對(duì)m、x 、n矩陣定義行列式不是做不到的，之所以不做，是因?yàn)闆](méi)有這個(gè)必要，但是為什么沒(méi)有這個(gè)必要)？而且，行列式的計(jì)算規(guī)則，看上去跟矩陣的任何計(jì)算規(guī)則都沒(méi)有直觀的聯(lián)系，為什么又在很多方面決定了矩陣的性質(zhì)？難道這一切僅是巧合？矩陣為什么可以分塊計(jì)算？分塊計(jì)算這件事情看上去是那么隨意，為什么竟是可行的？對(duì)于矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算A?，有(AB)?=B?A?，對(duì)于矩陣求逆運(yùn)算A?1，有(AB)?1=B?1A?1。兩個(gè)看上去完全沒(méi)有什么關(guān)系的運(yùn)算，為什么有著類(lèi)似的性質(zhì)？這僅僅是巧合嗎？為什么說(shuō)P?1AP得到的矩陣與A矩陣“相似”？這里的“相似”是什么意思？特征值和特征向量的 本質(zhì)是什么？它們定義就讓人很驚訝，因?yàn)锳x=λx，一個(gè)諾大的矩陣的效應(yīng)，竟然不過(guò)相當(dāng)于一個(gè)小小的數(shù)λ，確實(shí)有點(diǎn)奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”來(lái)界定?它們刻劃的究竟是什么？
這樣的一類(lèi)問(wèn)題，經(jīng)常讓使用線性代數(shù)已經(jīng)很多年的人都感到為難。
展開(kāi) ?LS_DYNA負(fù)體積解決建議
在大變形和大扭曲情況下， 全積分單元相對(duì)于單點(diǎn)積分單
元計(jì)算不夠穩(wěn)定， 因?yàn)橐粋€(gè)負(fù)雅克比行列式可以在意個(gè)積分點(diǎn)發(fā)生， 所以全積分單元比單點(diǎn)
積分發(fā)生負(fù)的雅克比行列式更快。 建議使用默認(rèn)的單元方程式（單點(diǎn)積分） 加上沙漏控制。
（6） 接觸設(shè)置不合理。 單面搜索的接觸形式相對(duì)于雙面搜索雖然節(jié)省了計(jì)算時(shí)間， 但
很容易因?yàn)槊娴姆较虿徽_而導(dǎo)致負(fù)體積的產(chǎn)生， 因此在不能確定面的方向時(shí)建議使用雙面
搜索。 另外， 適當(dāng)提高接觸剛度也可以防止負(fù)體積的產(chǎn)生。
（7） 另外也可以采用 ALE 或者 EULER 單元算法， 用流固耦合功能代替接觸， 控制網(wǎng)
格質(zhì)量， 例如承受壓力的單元在受壓方向比其他方向尺寸長(zhǎng)。
展開(kāi) 續(xù)集(一維彈簧單元的直接剛度方法)Python編程和ABAQUS結(jié)果對(duì)比
我們知道這個(gè)公式:
在整個(gè)系統(tǒng)來(lái)看，此時(shí)
所以我們可以寫(xiě)出
***注意一下，這里的剛度矩陣 [k] 的行列式 |K| =0, 是沒(méi)有逆矩陣的。
現(xiàn)在我們的目的是想求出U2,U3,U4 這三個(gè)位置位移，我們改寫(xiě)一下這個(gè)線性方程組
然后移項(xiàng)化簡(jiǎn)
這時(shí)，我們可以刪掉U=0的行，以及對(duì)應(yīng)的 [K] 中的列
整理一下
再把求得的位移反帶入公式中
這個(gè)是解線性方程組的直接解法，利用了矩陣的變換，結(jié)果是精確解。在過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)，原來(lái)不可逆的【K】矩陣經(jīng)過(guò)刪除行列之后變成了可逆的矩陣。
然而在ABAQUS中，不是這樣處理的。
在這一步的時(shí)候，我們的解法已經(jīng)介紹。然而，ABAQUS 運(yùn)用了補(bǔ)償法這一巧妙的解法。在邊界的節(jié)點(diǎn)上補(bǔ)償一個(gè)剛度為kb的彈簧，其中Kb為大剛度系數(shù)，具體在公式中體現(xiàn)如下
不用懷疑，理論來(lái)講，方程組中的未知數(shù)U2,U3,U4,F1x,F5x的結(jié)果沒(méi)變。這個(gè)時(shí)候【K】的行列式|K|≠0，于是【K】有逆矩陣，我們可以直接通過(guò)解矩陣方法求解位置向量{U}，
在這里就要注意了，假設(shè)我們?cè)O(shè)Kb = 10^36 N/mm ，我們可以忽略F1x和F5x，所以求得的解都是近似解，解的精確程度取決于Kb取值的大小，Kb越大，結(jié)果越精確。
此時(shí)再把{U}反帶入
求得{F}。
我們編程的結(jié)果如下所示
ABAQUS結(jié)果和編程結(jié)果對(duì)比
所以ABAQUS提取的整體剛度矩陣實(shí)際是經(jīng)過(guò)補(bǔ)償后的剛度矩陣，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)是不正確的，但是并不影響力和位移的結(jié)果。
正確的剛度矩陣如下
如果疑問(wèn)，歡迎交流和指正。
補(bǔ)償法的部分代碼如下
展開(kāi) umat子程序編寫(xiě)常用的fortran函數(shù)分享（二）
d = dmin(1,1)*dmin(2,2)*dmin(3,3) +
+ dmin(1,2)*dmin(2,3)*dmin(3,1) +
+ dmin(2,1)*dmin(3,2)*dmin(1,3) -
+ dmin(1,3)*dmin(2,2)*dmin(3,1) -
+ dmin(1,1)*dmin(2,3)*dmin(3,2) -
+ dmin(1,2)*dmin(2,1)*dmin(3,3)
return
end subroutine deter3x3
2*2矩陣的行列式的值：
subroutine deter2x2(dmin,d)
implicit none
real(8), intent(in) :: dmin(2,2)
real(8), intent(out) :: d
d=0.
展開(kāi) 一個(gè)單元也能干大事之單元?jiǎng)偠瘸跆?/span>
三、我們計(jì)算一下剛度矩陣的行列式
可以看到，行列式|K|=0，即單元?jiǎng)傟囀瞧娈愱嚕瑥奈锢硪饬x上來(lái)解釋?zhuān)@是因?yàn)橛?jì)算單元?jiǎng)傟嚂r(shí)沒(méi)有對(duì)單元的節(jié)點(diǎn)加以約束，雖然，單元處于平衡狀態(tài)，但容許單元產(chǎn)生剛體位移，故從單元?jiǎng)偠绕胶夥匠滩豢赡艿玫轿ㄒ晃灰平狻? 四、我們來(lái)計(jì)算一下剛度矩陣的特征值
可以看到，矩陣共有八個(gè)特征值，其中有三個(gè)零特征值。你覺(jué)得這是偶然嗎？不，冥冥之中自有天數(shù)。剛度陣的秩為5，說(shuō)明剛度矩陣只有5行是線性無(wú)關(guān)的，需要約束其中的3個(gè)自由度，方程Ku=F才能求解。而約束3個(gè)自由度，就是為了消除3個(gè)剛體位移。
五、我們求一下單元?jiǎng)偠染仃嚫餍泻透髁械暮停l(fā)現(xiàn)他們的值均為零，那么這是偶然嗎，還是單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦裕窟@個(gè)問(wèn)題就留給小伙伴們思考一下了。
最后強(qiáng)調(diào)一下，書(shū)看千遍，不如公式推一遍，公式推千遍，不如代碼擼一行。關(guān)注公眾號(hào)，回復(fù)“代碼”獲取本文matlab計(jì)算代碼，可以在matlab或者Octave中計(jì)算。
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展開(kāi) 基于ABAQUS的直齒圓柱齒輪模態(tài)分析
對(duì)于一般的多自由度系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，運(yùn)動(dòng)都可以由其振動(dòng)的模態(tài)來(lái)合成，有限元的模態(tài)分析就是建立模型模態(tài)進(jìn)行數(shù)值分析的過(guò)程，其運(yùn)動(dòng)微分方程是
式中，[M] 為質(zhì)量矩陣，[C] 為阻尼矩陣，[K] 為剛度矩陣；X(t) 為系統(tǒng)各點(diǎn)的位移響應(yīng)向量；F(t) 為系統(tǒng)各點(diǎn)的激勵(lì)力向量。
對(duì)于無(wú)阻尼無(wú)振動(dòng)的自由系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，阻尼項(xiàng)和外力項(xiàng)都是零，于是上述微分方程可以化為
由于彈性體的自由振動(dòng)可以分為一系列的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的疊加，為了確定彈性體的自由振動(dòng)固有頻率和振型，考慮簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的解為
帶入上式
這是一個(gè)關(guān)于{x(t)} 的n 元線性齊次代數(shù)方程組，該方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式等于0，即
該行列式稱(chēng)為特征行列式，將它展開(kāi)可得到關(guān)于w 的n 次代數(shù)式此式稱(chēng)為系統(tǒng)頻率方程
假定系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣都是正定的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，在數(shù)學(xué)上可以證明，在這一條件下，頻率方程的n 個(gè)根均為正實(shí)根，他們對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的n 個(gè)固有頻率，即這里假定各根互不相等，即沒(méi)有重根，因此可以由小到大排列為w12<w22 <w32<...wn2，將求得的wi (i=1,2,3....n)帶入簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的解得相應(yīng)的解{x(t)}，這就是系統(tǒng)的模態(tài)向量或振型向量。
齒輪有限元模型的建立
1. 齒輪建模
由于直接在abaqus中建立齒輪的模型比較麻煩，故先在solidworks中建立齒輪的三維模型，然后再導(dǎo)入abaqus中。
圖1 齒輪模型
2.
展開(kāi) 
關(guān)于 Hessian 矩陣、凸性和優(yōu)化
當(dāng)雅可比矩陣的行列式不為零時(shí)，可以對(duì)矩陣求逆。如果雅可比矩陣的行列式等于0，則函數(shù)可以求逆，也可以不求逆。
借助雅可比矩陣，可以計(jì)算多變量函數(shù)中的臨界點(diǎn)。然而，要將臨界點(diǎn)分類(lèi)為最小值、最大值和鞍點(diǎn)，需要 Hessian 矩陣。讓我們看看 Hessian 矩陣如何幫助找到最大值和最小值。
最小值、最大值和鞍點(diǎn)
雅可比矩陣給出函數(shù)的梯度。當(dāng)函數(shù) f 在某個(gè)點(diǎn) x 的梯度為零時(shí)，該函數(shù)在 x 處具有臨界點(diǎn)。為了確定臨界點(diǎn)是局部最小值、最大值還是鞍點(diǎn)，可以利用 Hessian 矩陣。
如果 Hessian 矩陣是正定的，則臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)于函數(shù)的局部最小值。如果 Hessian 矩陣是負(fù)定的，則臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)于函數(shù)的局部最大值。
如果 Hessian 矩陣不定，則臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)于鞍點(diǎn)。類(lèi)似地，Hessian 矩陣可用于識(shí)別函數(shù)的凸性和凹性。
使用 Hessian 矩陣確定函數(shù)的凸性
對(duì)于二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)f，可以利用Hessian矩陣來(lái)確定其凸凹性。如果 Hessian 矩陣在集合 A 上的所有點(diǎn)都是半正定的，則該函數(shù)在集合 A 上是凸的。如果 Hessian 矩陣在集合 A 上的所有點(diǎn)都是正定的，則該函數(shù)是嚴(yán)格凸的。
一階導(dǎo)數(shù)、Hessian 矩陣、凸性等知識(shí)對(duì)于采用基于梯度的算法獲得工程問(wèn)題的優(yōu)化解決方案至關(guān)重要。在大多數(shù)計(jì)算軟件中，采用基于梯度的算法來(lái)實(shí)現(xiàn)優(yōu)化，例如順序二次規(guī)劃、有限內(nèi)存 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno 方法、Levenberg-Marquardt 和 Gauss-Newton。
Cadence 的工具可以幫助您解決高度復(fù)雜的工程系統(tǒng)中的優(yōu)化問(wèn)題。
展開(kāi) 案例實(shí)操：四面體單元懸臂梁的Matlab有限元編程過(guò)程講解
如下式（9），
上述形函數(shù)對(duì)物理坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)的求解過(guò)程對(duì)應(yīng)的matlab代碼如下：
function [NDxyz,JacobiDET] = ShapeFunction(ElementNodeCoordinate)%計(jì)算形函數(shù)及形函數(shù)對(duì)局部坐標(biāo)ksi eta zeta的導(dǎo)數(shù)NDL = [-1 1 0 0;-1 0 1 0;-1 0 0 1];%3*4 [N1Dksi N2Dksi N3Dksi N4Dksi;N1Deta N2Deta N3Deta N4Deta……]Jacobi = NDL*ElementNodeCoordinate;%計(jì)算雅可比矩陣3*4 4*3JacobiDET = det(Jacobi);%計(jì)算雅可比行列式3*3 [DxDksi DyDksi DzDksi;DxDeta……JacobiINV=inv(Jacobi);%對(duì)雅可比行列式求逆3*3NDxyz=JacobiINV*NDL;%利用雅可比行列式的逆計(jì)算形函數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)[DN1Dx DN2Dx DN3Dx;DN1Dy DN2Dy DN3Dy;……]end
這樣求出形函數(shù)對(duì)物理坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)后就可以代入公式（2）幾何方程求出應(yīng)變場(chǎng)矩陣B，經(jīng)過(guò)能量原理的推導(dǎo)可以得到單元?jiǎng)偠染仃嚨谋磉_(dá)式，注意剛度矩陣的表達(dá)式是一個(gè)積分的運(yùn)算，由于被積函數(shù)較為復(fù)雜，如果代數(shù)積分進(jìn)行計(jì)算要消耗大量的計(jì)算資源，因此有限元理論中引入數(shù)值積分，即我們熟悉的高斯積分和hammer積分，對(duì)于直角坐標(biāo)系我們采用高斯積分，對(duì)于面積或者體積坐標(biāo)系我們采用hammer數(shù)值積分，具體這兩類(lèi)積分的原理大家可以參考相關(guān)數(shù)值積分教材即可，這里我們只利用hammer數(shù)值積分的結(jié)論。
展開(kāi) Workbench中網(wǎng)格質(zhì)量檢查
03 Jacobian Ratio
雅可比矩陣行列式的最大值與最小值的比率。1最好，值越大就說(shuō)明單元越扭曲。如果雅可比行列式最大值跟最小值正負(fù)號(hào)不同，直接賦值-100。
04 Warping Factor
主要用于檢查四邊形殼單元，以及實(shí)體單元的四邊形面。其值基于單元跟其投影間的高差。0表示面上的節(jié)點(diǎn)位于一個(gè)平面上，值越大說(shuō)明單元翹曲越厲害。
05 Parallel Deviation
在一個(gè)四邊形中，由兩條對(duì)邊的向量的點(diǎn)積，通過(guò)acos得到一個(gè)角度。取兩個(gè)角度中的大值，0表示最好。
06 Maximum Corner Angle
最大角度。對(duì)三角形而言，60度最好，為等邊三角形。
展開(kāi) Ansys Zemax | 模擬 AR 系統(tǒng)中的全息光波導(dǎo)：第二部分
根據(jù)右手規(guī)則，如果你想讓直線 BA 保持在直線 BC 的左邊，那么訣竅就是計(jì)算出直線 BA 和直線 BC 的行列式作為判定標(biāo)準(zhǔn)，并且目標(biāo)值小于零。用 RAGY 和 RAGZ 求點(diǎn) B 和點(diǎn) A 的坐標(biāo)，用 RAGB 和 RAGC 操作數(shù)可以很容易地求出直線 BC 的單位向量。
步驟三
下一步是確保光線在表面 13 和 16 之間以及表面 16 和 19 之間的傳播可行，這需要限制所有相關(guān)的 PLEN 操作數(shù)都為正數(shù)。
步驟四
第四步，按照第二步的操作將控制點(diǎn) D 移至 EF 線左側(cè)。這一次通過(guò)計(jì)算兩個(gè)向量 EF 和 ED 之間的行列式來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)控制。
將系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)際限制 – 步驟五
最后的約束條件是點(diǎn) F（邊緣光線穿過(guò)表面 14）的 Y 位置必須大于點(diǎn) D 的 Y 位置，如下圖所示。為了得到點(diǎn) F 的位置，我們需要使用虛擬曲面 14：
一旦所有這些限制都設(shè)置完畢，優(yōu)化系統(tǒng)將實(shí)現(xiàn)一個(gè)物理上可行的設(shè)計(jì)。您會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)的性能受到像散的限制，這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)用光學(xué)構(gòu)造全息圖替換全息圖 2 來(lái)解決。
最后的系統(tǒng)可以在文章的附件中找到。
參考資料
1. Konica Minolta Technology Report Vol.1 (2004）
2. OpticStudio help files
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