B樣條的案例
機械臂B樣條插補軌跡規劃 ￥56
([T(i,:),RPY]);
%自己編寫求逆解的函數，已判斷是否在轉動范圍以內
[~,Theta,~]=InverseMDH_ZY(DH,FK,InitAngle);
InitAngle=Theta;
% end
q(i,:)=Theta*180/pi;
end
qT=q';
% figure1=figure('Color',[1,1,1],'Position',[485,180,536,325],'Name','B樣條末端運動軌跡');
W=[-700,+400,-500,+400,-0,+600]*0.001;
hold on
plot3(position(1,:)',position(2,:)',position(3,:)','b');hold on;grid on;axis(W);
q=q'*pi/180;save('SimBSplineData.mat','q');
xlabel('x(m)');ylabel('y(m)');zlabel('z(m)');
robot.model3d = 'ROCR6/MDH_stl';
qc=q(:,1:round(end/100):end);
light('Position', [1 0.5 1]);
fileName= ['CartesianSpace_',datestr(datetime('now'),'yyyy-mm-dd-HH-MM'),'.gif'];
robot.plot3d(qc','workspace',W,'movie',fileName, ...
展開 基于CAESES的超臨界二氧化碳（sCO2）軸流透平葉片優化設計研究
其他方法比如采用B樣條曲線建模和采用類函數變換（CST）方法等，可以帶來了更大的靈活性和局部形狀控制，從而使得優化過程中出現新的、出乎意料的設計。
*透平葉片截面形狀參數化定義
本研究使用基于B樣條曲線和CST方法進行幾何參數化、仿真和優化，具體步驟如下：
1. 導入現有二維基礎輪廓線；
2. 將其分割為壓力面和吸力面；
3. 使用B樣條曲線和CST方法自動匹出新的壓力和吸力面曲線；
4. 創建設計變量控制B樣條曲線控制點和CST參數變化，從而控制葉型輪廓線變化；
5. 創建幾何約束，例如某些區域的內切輪廓面積和的曲率單調性，保證曲線變化時的光順性；
6. 建立軟件連接，導出文件，運行Matlab腳本及MISES軟件；
7. 在CAESES中使用DAKOTA全局優化算法，進行透平葉片氣動性能優化。
透平葉片的表面曲率對亞音速機翼的壓力分布有重大影響，因此CAESES中創建了獨特的曲率識別功能，并將其作為約束，從而在保證參數變化靈活性的同時，保持曲率分布合理過渡。下圖顯示了擬合后葉片型線輪廓的曲率分布，其中位置0表示壓力面的尾緣，位置1表示吸力面的尾緣。
*葉型表面單調曲率分布
通過曲率分布的導數能夠評估曲率的單調性，將曲率分析劃分為不同的區域，并設置約束條件來判斷這些區域的單調性，下圖顯示了違反曲率約束的示例（以紅色顯示）。CAESES中能夠采用光順程序進行曲線曲率分布的自動光順（僅適用于B樣條曲線）。
軸流透平葉片的空氣動力學優化
透平葉片優化是為了最大程度地減少葉片氣動損失。
展開 LS-DYNA IGA同幾何分析介紹（上）
IGA中最常用的樣條曲線為NURBS（Non-Uniform Rational B-splines）是一種B-樣條曲線，此外還有T-splines，LR-splines，LRB-splines，HR-splines, THR-splines等曲線，后四種可以做局部的網格細化。本文將主要介紹NURBS，是用得比較多的，也是在LS-DYNA中最早采用的樣條曲線。
基礎知識
隨著越來越多的專家學者開始研究IGA，產生了各種各樣不同的樣條曲線，但并非所有的樣條曲線都適合分析。圖中展示了部分適合用來進行工程分析的樣條曲線，這些曲線未來也將會添加到LS-DYNA中，里面包括：
Unstructured Splines，可以模擬復雜的形狀；
Hierarchical splines可進行局部網格細化；
B-splines是一種比較規則的曲線；
Bernstein-Bézier forms等
B-樣條曲線（B-splines）和非均勻有理B樣條曲線 (NURBS)是CAD中使用最廣泛的幾何描述，下文將就此進行介紹。
圖中的公式為B-splines的基函數，i代表基函數序號，p為階數，ξ為節點向量（是一系列參數坐標），B-樣條曲線的特征包括：
不減的
遞歸方式計算
數值大于等于零的，沒有負值
基于節點向量和階數
單位分解
B樣條曲線與普通有限元參數坐標形式對比。
B-樣條曲線的表達類似傳統有限元，選取一些控制點，前面乘上基函數，然后相加。
如何定義B樣條曲線單元？
展開 『原創』申請兌換《小波有限元理論及其工程應用》
ISBN：7030165608
印次：1
紙張：膠版紙
字數：387000
版次：1
內容提要：
本書論述了小波有限元的基礎理論，介紹了小波多分辨分析，以及Daubechi es小波、區間B樣條小波和第二代小波的基本性質；探討了小波多分辨分析對于有限元解空間逐層嵌套逼近的本質，構造了一系列一維和二維Daubechi es小波、區間B樣條小波以及第二代小波有限元單元；運用小波有限元方法進行了非線性幾何大變形、溫度場大梯度和結構裂紋定量辨識等問題的理論與實驗研究，應用于辦公機械送紙機構改進設計、印刷包裝行業燙金模切機和鐵路運輸軌道轉轍機裂紋故障診斷工程實踐。
本書可作為機械、能源、航空航天等專業的大學本科生和研究生的參考書或教學用書，也可供相關領域從事有限元動態分析與動態設計、機械監測診斷的科技工作者參考。
展開 
《小波有限元理論及其工程應用》
ISBN：7030165608
印次：1
紙張：膠版紙
字數：387000
版次：1
內容提要：
本書論述了小波有限元的基礎理論，介紹了小波多分辨分析，以及Daubechi es小波、區間B樣條小波和第二代小波的基本性質；探討了小波多分辨分析對于有限元解空間逐層嵌套逼近的本質，構造了一系列一維和二維Daubechi es小波、區間B樣條小波以及第二代小波有限元單元；運用小波有限元方法進行了非線性幾何大變形、溫度場大梯度和結構裂紋定量辨識等問題的理論與實驗研究，應用于辦公機械送紙機構改進設計、印刷包裝行業燙金模切機和鐵路運輸軌道轉轍機裂紋故障診斷工程實踐。
本書可作為機械、能源、航空航天等專業的大學本科生和研究生的參考書或教學用書，也可供相關領域從事有限元動態分析與動態設計、機械監測診斷的科技工作者參考。
展開 細分曲面建模技術01-總覽和介紹
B樣條和Bezier面片之所以如此廣泛使用的原因之一是，它們都可以被完善。統一細分-沿其一個或兩個方向拆分每個補丁的過程-是改進的一種特殊情況，這兩種補丁類型都支持：
B樣條曲面及其籠
籠子細分1x
籠子細分為2x
在上述B樣條曲線的情況下，均勻精制的保持架產生與原始保持架相同的極限表面（分批提供）。因此可以說，均勻的B樣條曲線和Bezier曲面都是細分曲面。
極限曲面與更多的控制點保持不變（細分的每次迭代大約為4倍），并且這些點更接近（但不在曲面上）。可能會嘗試使用這些新的控制點來表示表面，但是使用在表面上相應均勻間隔的參數位置處評估的相同數量的點通常更簡單，更有效。
還要注意的是，籠子的點通常沒有任何與它們關聯的法線向量，盡管我們可以像對位置一樣對表面上的任意位置顯式地評估法線。因此，如果將籠子顯示為帶陰影的表面，則必須在每個控制點處構造法線向量。因此，精制籠子上的點的位置和法線都是近似值。
對于更一般的細分曲面，也是如此。細分將細化任意拓撲的網格，但是結果點將不會位于極限曲面上，并且從這些點構造并與之關聯的任何法向矢量都只會近似于極限曲面。
鑲嵌
當可以直接計算參數曲面（即可以將其細分）時，幾乎不需要使用細分來近似它。我們可以在曲面上的任意位置進行評估，然后將結果點連接起來以形成細分（即極限曲面的離散化），這比通過均勻細分獲得的結果要靈活得多：
B樣條曲面的均勻（3x3）細分
B樣條曲面的曲率自適應鑲嵌
對于簡單的參數曲面，對極限曲面的直接求值也很簡單，但是對于任意拓撲的更復雜的細分曲面，情況則更少。
展開 無人機航跡規劃技術研究綜述
目前航跡平滑研究方法有圓弧段串聯法、地形光滑法、力平衡法、平滑算子法、濾波法、B樣條曲線法和Dubins path法等[41]。而比較實用有效的一種航跡平滑算法是B樣條曲線法，該算法不僅能對某個航跡段進行局部平滑，更能進行整體全局的平滑，平滑后的航跡在轉折點前后曲率變化不大，能較好解決轉折點處大角度控制的問題，因此所獲得的航跡整體過渡自然，能滿足無人機的機動性能約束，并且局部控制能力較強，不會出現突發反復轉向操作。考慮到計算的復雜度及實際飛行效果，一般只要曲線曲率不小于無人機最小轉彎半徑，選擇2次或3次B樣條曲線進行平滑即可，更高次的沒有太大實際意義。
Foo等[42]結合B樣條曲線法和粒子群算法對無人機進行路徑規劃，其中將生成的備用路徑用B樣條曲線表示，最大限度地減少了計算量，并且將B樣條曲線限制為3次，確保了生成的曲線盡量靠近控制點。Bai等[43]提出改進的人工勢場方法對多UAV編隊路徑進行規劃，其中引入了B樣條插值方法對所規劃的路徑進行平滑處理，插補后的曲線路徑更短更平滑，并且性能穩定、具有最小的均值誤差。趙明[44]提出3次B樣條曲線和反求控制點的3次B樣條曲線相結合的方法，當關鍵路徑點與最近威脅中心的距離較大時，采用3次B樣條曲線法，得到比較平滑的航跡；距離較小時，采用反求控制點的B樣條曲線法擬合，避免航跡接近威脅區。段彩萍等[45]在存在威脅的二維飛行環境中，采用3次非均勻B樣條曲線插補的航跡平滑方法，對用蟻群算法所得到的航跡進行平滑處理，獲得了較好的平滑效果。
4 存在的問題
盡管目前針對無人機航跡規劃的研究已經取得了豐富的成果，然而，從實際使用需求出發，當前的研究還存在一定的不足，具體表現在如下幾個方面。
(1)無人機規劃模型構建方面：①二維模型多，三維模型少。
展開 車身A級(Class A)曲面模型的構造
依次類推，對于車身內覆蓋件，如內板件，其曲面稱為Class B、Class C等。
Class A曲面是既滿足幾何光滑要求，又滿足審美需求的曲面。
對于光滑曲面已經有很多的研究結論，參照施法中和朱心雄的定義可歸納如下：1)曲面片滿足G2連續；2)沒有多余的拐點；3)曲率分布均勻；4)應變能最小。
光順則包含光滑和順眼兩層含義，上面歸納的定義是對光滑的數學描述，而對順眼的衡量則是仁者見仁，智者見智，沒有統一的評判標準。曲面模型設計從始至今已有了四十多年的歷史，取得了很大的進展，尤其體現在大型CAD應用軟件包上，出現了很多曲面建模系統，如基于NURBS的、基于Bezier的、基于B樣條的以及混合建模系統等，不一而足。而由Dassault System提出的Class A曲面，為業界所承認并得到了廣泛應用，主要是因為其簡潔明了。
通過參閱一些資料，并且做了大量曲面和零件的設計工作，對Class A曲面的要求總結如下：
(1)曲面片由B樣條方法(包括NURBS和Bezier方法)描述，節點向量采用累加弦長參數化法；
(2)曲面在u，v方向上次數在三次(四階)至七次(八階)之間，最高不要大于九次(十階)；
(3)相鄰曲面片滿足G2連續（曲率過渡均勻，至少滿足G1，特殊要求滿足G3）；
(4)大的曲面片為全凸的(法方向指向曲面同側)。
自由形狀描述理論在許多文獻中都有詳細論述，現在總結的對車身曲面模型的更高要求，就是建立在這些理論的基礎上。現在大多數CAD系統和曲面建模系統都是以B樣條作為自由曲線曲面的表達方法，而且國際標準化組織已將NURBS采納為產品數據描述的標準格式。NURBS方法是B樣條方法更一般化的表達形式，公式(1)是直角坐標系下的B樣條曲線表達式，如下所示。
展開 廣義CAD技術發展歷程
從1963年佛格森（Ferguson）將曲線曲面表示成參數矢量函數形式開始，線框、曲面建模經歷了如下發展階段：
----1963年佛格森（Ferguson）將曲線曲面表示成參數矢量函數形式；
----1964年孔斯（Coons）用封閉曲線的四條邊界定義一塊曲面；
----1971年貝塞爾（Bezier）發表了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法；
----1972年德布爾（DeBoor）給出了B樣條的標準計算方法；
----1974年戈登（Gordon）和里森費爾德（Riesenfeld）將B樣條理論用于形狀描述，提出了B樣條曲線、曲面；
----1975年佛斯普里爾（Versprill）在其博士論文中提出了有理B樣條方法；
----20世紀80年代后期皮格爾（Piegl）和蒂勒（Tiller）將有理B樣條發展成非均勻有理B樣條（NURBS）方法，并成為當前自由曲線和曲面描述的最廣為流行的技術。用NURBS可統一表示初等解析曲線和曲面以及有理與非有理Bezier、非有理B樣條曲線和曲面。
----(2)實體建模
----由于線框和曲面建模不能表示出形體內部的狀況，不能支持形體的優化設計等應用，60年代末，美國和英國都分別進行了實體造型技術與系統的研發。美國羅切斯特大學1972年開始PADL實體造型系統的研究，并于1976年和1982年分別推出PADL1版及PADL2版；英國ShapeData公司也在70年代初推出了Romulus實體造型系統。
展開 一個好用的Abaqus晶體塑性模型(Voronoi模型)生成插件-V9.0版
完整功能介紹
2.1 二維Voronoi模型
2.1.1 基礎晶體模塊
二維基礎晶體模塊包括矩形和圓形邊界子模塊，用戶界面如下：
圖2.1 二維基礎晶體模塊(矩形邊界)
圖2.2 二維基礎晶體模塊(圓形邊界)
模塊提供兩種算法，Random和Uniform算法，兩種算法生成的晶體示例如下：
圖2.3 不同生成算法下的矩形邊界二維晶體模型示例
圖2.4 不同生成算法下的圓形邊界二維晶體模型示例
2.1.2 B樣條晶體模塊
該模塊會對生成的二維晶體進行B樣條填充，其用戶界面如下：
圖2.5 二維B樣條晶體模塊
該模塊可生成開放和封閉式兩種B樣條填充模型，具體示例如下：
圖2.6 開放和封閉式B樣條填充晶體模型示例
2.1.3 加權晶體模塊
該模塊可用于生成多相二維Voronoi晶體模型，可分別控制每一相的占比，其用戶界面如下：
圖2.7 二維矩形邊界加權晶體模塊
圖2.8 二維圓形邊界加權晶體模塊
2.1.4 梯度晶體模塊
該模塊可用于生成二維梯度Voronoi晶體模型，其用戶界面如下：
圖2.9 二維梯度晶體模塊
2.1.5 周期性晶體模塊
該模塊可用于生成二維周期Voronoi晶體模型，其用戶界面如下：
圖2.10 二維周期性晶體模塊
2.1.6 柱狀晶體模塊
該模塊可用于生成二維柱狀Voronoi晶體模型，其用戶界面如下：
圖2.11 二維柱狀晶體模塊
2.1.7 分層晶體模塊
該模塊可用于生成二維多層Voronoi晶體模型，可分別控制每一層晶體的大小和厚度，其用戶界面如下：
圖2.12 二維分層晶體模塊
2.1.8 核殼晶體模塊
該模塊可用于生成二維核殼Voronoi
展開 Abaqus晶體塑性有限元三維泰森多邊形（voronoi模型）插件 V9.0
完整功能介紹
2.1 二維Voronoi模型
2.1.1 基礎晶體模塊
二維基礎晶體模塊包括矩形和圓形邊界子模塊，用戶界面如下：
圖2.1 二維基礎晶體模塊(矩形邊界)
圖2.2 二維基礎晶體模塊(圓形邊界)
模塊提供兩種算法，Random和Uniform算法，兩種算法生成的晶體示例如下：
圖2.3 不同生成算法下的矩形邊界二維晶體模型示例
圖2.4 不同生成算法下的圓形邊界二維晶體模型示例
2.1.2 B樣條晶體模塊
該模塊會對生成的二維晶體進行B樣條填充，其用戶界面如下：
圖2.5 二維B樣條晶體模塊
該模塊可生成開放和封閉式兩種B樣條填充模型，具體示例如下：
圖2.6 開放和封閉式B樣條填充晶體模型示例
2.1.3 加權晶體模塊
該模塊可用于生成多相二維Voronoi晶體模型，可分別控制每一相的占比，其用戶界面如下：
圖2.7 二維矩形邊界加權晶體模塊
圖2.8 二維圓形邊界加權晶體模塊
2.1.4 梯度晶體模塊
該模塊可用于生成二維梯度Voronoi晶體模型，其用戶界面如下：
圖2.9 二維梯度晶體模塊
2.1.5 周期性晶體模塊
該模塊可用于生成二維周期Voronoi晶體模型，其用戶界面如下：
圖2.10 二維周期性晶體模塊
2.1.6 柱狀晶體模塊
該模塊可用于生成二維柱狀Voronoi晶體模型，其用戶界面如下：
圖2.11 二維柱狀晶體模塊
2.1.7 分層晶體模塊
該模塊可用于生成二維多層Voronoi晶體模型，可分別控制每一層晶體的大小和厚度
展開 
PART-05 Texgen通用建模方法 ￥1
如圖所示：
這里提供了三種路徑可供選擇，分別為B樣條曲線（貝塞爾曲線），自然三次樣條曲線。這里就選擇B樣條曲線，并勾選周期性，如圖所示：
點擊ok，就可以賦予給紗線。
接下來就是紗線重復性賦予，一般要一根一根紗線的賦予，指定重復向量。這里要指定兩個方向的重復向量，紗線的重復向量依次為：
Yarn1：（0，2，0），（2，0，0）
Yarn2：（0，2，0），（2，0，0）
Yarn3：（0，2，0），（2，0，0）
Yarn4：（0，2，0），（2，0，0）
由于重復向量相同，所以我們可以通過多選同時賦予，然后點擊ok就行了。
材料屬性這里就不提了，按需自己設定就好，不同紗線可以賦予不同的材料屬性。
接下來就是box的創建，將控制臺切換為domain，也可以通過工具欄進行訪問，點擊 Box，（這里也可以通過平面創立，以后有機會會進行說明）界面如圖所示：
輸入前面確定的參數，參數設定如圖所示：
點擊ok，結果如圖所示：
創建好domain后，默認會將超出box的紗線裁剪進domain中，這里domain還未顯示出來，需要將工具臺切換為Rendering，勾選domain。如圖所示：
到這里，你也許還感覺有點奇怪，感覺和weave直接生成的有點不一樣，請按以下進行勾選就行了，如圖所示：
這個模型還不可以直接用，需要進行干涉修正。這里最后先來個干涉檢查吧，之后再出帖子說明如何修正。如圖所示：
圖中小白點的地方均需要修正喲。
到此就全部結束了，生成模型已放入帖子附件，可按需自取。
展開 AIBlade —— 智能化葉片設計軟件
提供Bezier、B樣條以及NURBS等多種參數化擬合方式
3. 具備輸出葉片擬合參數文件，文件數據格式與葉片造型設計時輸入格式一致。
4. 支持將離散點的葉型數據在UG中快速生成葉片幾何模型，提供AutoGrid（*.geomturbo）幾何數據的導入功能，一鍵導入自動生成UG幾何模型。
5. 最終提供葉片參數化擬合使用教程。
3.3 葉片幾何及網格數據轉換模塊
1. 能指定葉片輸出的葉型截面數和各個葉型截面輸出的數據點數
2. 截面數據提取可以按流面或者平面方式進行，可以快速實現葉片加工坐標生成
3. 可以實現具有單列葉片和多列葉片等葉片幾何數據轉換
4. 可以實現葉片幾何（*.prt等）轉換成AutoGrid以及TurboGrid格式
5. 具有對子午流道提取功能，提供線段、B樣條方式。
6. 自動完成AutoGrid生成網格數據文件的解析。
7. 自動整理AutoGrid所有數據文件，將所有信息統一到新的CGNS網格數據文件中，自動生成包含所有數據的CGNS文件，可順利導入到CFX中。
8. 最終提供幾何、網格數據轉換使用教程。
9. 針對數據轉換，給定根頂截面，中間截面只通過截面數給出，對給定的截面有預顯示功能，方便重新定義根頂截面位置；
10. 在轉換過程中，支持不給定hub/shroud也能輸出葉片GeomTurbo文件，以及不給定葉片幾何，只對hub/shroud進行離散功能；
11. 支持葉片的軸向和葉高方向為人工設定，不需要程序自動判斷；
12. UG插件中支持導入文件后綴名的多種方式，支持兩種后綴名；
13. 對輸出模型的單位可以進行設定，默認用mm，用戶可以自行輸入需要縮放的數值；
14. 針對輸出模型的單位，如果是m取11位小數點，如果是mm取8為小數點；
15.
展開 從TurboGrid BladeGen文件開始rotor37建模——Python腳本 ￥22
輪緣shroud.curve處理步驟與輪轂方式一致，讀取點文件并存入列表中，根據點創建NurbsCurve曲線（非均勻有理B樣條曲線），創建曲線后旋轉單周期的角度(360/blade_number)生成輪轂面。
一個好用的Abaqus晶體塑性模型生成插件-Voronoi模型
該模塊會對生成的二維晶體進行B樣條填充，其用戶界面如下：
圖1.5 二維B樣條晶體模塊
該模塊可生成開放和封閉式兩種B樣條填充模型，具體示例如下：
圖1.6 開放和封閉式B樣條填充晶體模型示例
1.3 加權晶體模塊
該模塊可用于生成多相二維Voronoi晶體模型，可分別控制每一相的占比，其用戶界面如下：
圖1.8 二維矩形邊界加權晶體模塊
圖1.8 二維圓形邊界加權晶體模塊
1.4 二維梯度晶體模塊
該模塊可用于生成二維梯度Voronoi晶體模塊，其用戶界面如下：
圖1.9 二維梯度晶體模塊
1.4 周期性晶體模塊
該模塊可用于生成二維周期Voronoi晶體模型，其用戶界面如下：
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