模型推導的案例
使用格子 BGK 模型推導 Navier-Stokes 方程
格子玻爾茲曼模型的優點和應用。
用格子 BGK 模型代替 Navier-Stokes 方程。
使用格子 BGK 模型進行湍流分析。圖片來源。
數學算法的開發通常是為了應對缺乏現成的工具來解決特別具有挑戰性的問題。然而，在某些情況下，解決方案范例或模型是基于特定工具的存在而創建的。格子波爾茲曼方法 (LBM) 是后者的示例，因為 LBM 是專門為利用大規模并行處理計算機環境（例如超級計算機）的功能而創建的。
如今，幾乎所有計算平臺都內置了一定程度的并行性。這可能包括多核微處理器和/或圖形處理單元 (GPU)，它們可以大大提高復雜問題解決方案的數學準確性并減少計算時間開銷。在執行流體動力學分析時，這兩個屬性都促進了對 Navier-Stokes 方程使用替代格子 BGK 模型。
什么是格子玻爾茲曼方法？
典型的 CFD 方法尋求從宏觀有利位置（通常在表面和流體環境之間的邊界層）解釋流體屬性（例如動量和能量）的行為。另一方面，格子玻爾茲曼方法在更小的尺度上使用虛擬或虛擬粒子。這允許在定義的網格上進行離散化，并應用并行處理來解決流動傳播和內部碰撞問題。
這種結構允許晶格節點之間的流體參數發生變化。例如，當流體在點陣中從一點傳播到另一點時，流體密度可能會發生變化，這表明流動碰撞和流動活動。此活動定義了所謂的 Bhatnagar Gross and Krook (BGK) 或格子 Boltzman BGK 模型，它為CFD 分析提供了多項優勢。
格子 BGK 模型的優點和應用
上圖說明了應用格子 BGK 建模來分析渦流的產生。這與渦流脫落相結合是湍流研究的一個主要領域，可以使用 BGK 模型。
展開 本構模型_Umat子程序中Jacobian矩陣的推導示例
本構模型_Umat子程序中Jacobian矩陣的推導示例
雙足溜冰機器人運動原理與運動學分析
針對機器人自由度較多,不存在固
定基座,常規的方法不宜進行其運動學分析的困難,引入右腳等效滾輪相對于參考坐標系的坐
標轉換矩陣,建立了雙足溜冰機器人統一的運動學模型,推導了機器人正逆運動學公式。通過
步態規劃仿真實驗,驗證了運動學模型及其推導公式的正確性。
雙足溜冰機器人運動原理與運動學分析.pdf
Tensorflow+實戰Google深度學習框架pdf高清文檔下載
書中省略了煩瑣的數學模型推導，從實際應用問題出發，通過具體的TensorFlow示例介紹如何使用深度學習解決實際問題。書中包含深度學習的入門知識和大量實踐經驗，是走進這個前沿、熱門的人工智能領域的優選參考書。
第2版將書中所有示例代碼從TensorFlow 0.9.0升級到了TensorFlow 1.4.0。在升級API的同時，第2版也補充了更多只有TensorFlow 1.4.0才支持的功能。另外，第2版還新增兩章分別介紹TensorFlow高層封裝和深度學習在自然語言領域應用的內容。
《TensorFlow：實戰Google深度學習框架（第2版）》適用于想要使用深度學習或TensorFlow的數據科學家、工程師，希望了解深度學習的大數據平臺工程師，對人工智能、深度學習感興趣的計算機相關從業人員及在校學生等。
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目錄
第1章 深度學習簡介
第2章 TensorFlow環境搭建
第3章 TensorFlow入門
第4章 深層神經網絡
第5章 MNIST數字識別問題
第6章 圖像識別與卷積神經網絡
第7章 圖像數據處理
第8章 循環神經網絡
第9章 自然語言處理
第10章 TensorFlow高層封裝
第11章 TensorBoard可視化
第12章 TensorFlow計算加速小結
展開 
黃永剛晶體塑性UMAT及VUMAT理論及程序詳細解讀
課程的內容主要包括如下方面：
本構模型推導
主要包含了應變分解、本構方程、硬化方程、本構時間積分方法及雅克比矩陣等推導。
雅克比矩陣推導過程
本構子程序逐行解讀
主要包括了UMATs基本功能、UMATs結構、函數解讀、主程序逐行解讀等；
主程序代碼逐行展開解讀
3.UMATs改寫VUMATs方法
UMAT主要應用于隱式分析，而對于大變形接觸問題，隱式分析往往計算效率較低。對于接觸、碰撞、沖擊等問題采用VUMAT往往具有更高的計算效率和收斂速度。該部分主要對UMATs和VUMATs的區別進行講解，介紹UMATs改寫VUMATs的要點。
UMAT和VUMAT應力場對比
UMAT和VUMAT計算得到的力-位移響應
4.子程序的使用方法等
對材料模型參數定義、內變量定義，子程序使用方法進行簡單介紹。
材料參數列表
最后，如有需要歡迎通過公眾號“320科技工作室”與我們聯系
展開 有限元計算誤差的影響因素
并且在了解誤差來源之后，我們可以將實際測量結果回代入仿真模型中，改進仿真結果，計算出新的仿真結果。
有限元仿真的結果基本上和真實解都會存在誤差的，可從多個方面:
1) 就是在有限元模擬的時候，我們都要對模型進行一些簡化，這一定或多或少影響計算精度的;
2) 有限元求解的時候，由于各個項目的差異，我們定義各種參數（和實際的一定有差異）例如滑動摩擦系數的值等等，這也會影響理論公式的計算精度;
3) 建立有限元模型的時候網格的劃分，熟練人員和不熟練人員的網格劃分有很大差別，這更是影響著求解的計算精度；
4) 有限元求解本身就是近似計算，它用近似模型替代實際模型，所以計算的最終結果一定和實際存在著一定的差別；
5) 即使有限元的計算結果正好等于實際值，但是有的實際解在實際中根本沒辦法測量或者說即使測量了由于采取的手段的差異，它的結果也不一定非常的精確，這樣來說實際的解本身也存在誤差；
至于減小誤差，,是一種經驗的積累，對分析所采用的各種手段（采用什么樣的網格？材料模型？各種參數控制？等等的一些）理解的更加透徹，計算精度一定會更加的精確
6) 首先有限元的發展是利用現有的力學理論發展起來，這些理論本身就存在與實際情況存在差異，象彈性力學中其考慮為小變形，忽視了應力應變的高階量 這本身便會與實際情況存在誤差;
7) 其次有限元的算法以及單元類型也會對結果造成影響，象我們使用協調模型推導處的單元函數總會使得單元偏硬;
8) 邊界條件和加載條件的簡化也會造成差異;
所以有限元的誤差大小不是很重要，大多數情況下使用有限元只是給提供一個結構變化趨勢（只要其在合理的誤差范圍內）來指導產品的設計，改良并最終實驗驗證。（本總結借鑒了網上一些無法查到來源的資料）
展開 Moldex3D模流分析之Viscosity Model for Thermoplastic
為揣摩黏度和溫度的關系，目前為大家所廣泛接受的有兩大溫度依存模型：阿瑞尼士(指數型) 模型 (Arrhenius (Exponential) model) 及William-Landel-Ferry (WLF) 模型。為進一步揣摩黏度和剪應變的關系，針對熱塑性材料有許多不同的數學模型可以應用，以下是在Moldex3D中可支持的各種模型：
牛頓流體
牛頓流體是假設其黏度與溫度及剪應變速率兩者無關，具有最簡單的數學形式，但基本上此模型無法解釋熱塑性材料的非線性特征，故我們通常不建議使用此模型來仿真熱塑性材料。當然，此模型有利之處在于可以快速檢查網格模型，且其近乎常數的黏度可以使得指令周期快上許多。
η = η0
其中 η 是黏度，η0 是牛頓黏度。
Power-law 模型
Power-law模型是忽略上牛頓區域的模型，其黏度與剪應變速率的關系可以被簡化成一個 power-law (冪次律)方程式。若以此模型來仿真熱塑性材料，則可能會過度預估其低剪應變速率區域的黏度。
η0 = B exp(Tb/T)
其中 n 為power-law 的冪指數，其值介于 0 到 1 之間；Tb 代表該材料的溫度敏感度；Ｔ為熔點溫度(K)；是指當剪應變速率趨近于零時之黏度值，而 B 為對應之常數。此模型是一個包括三個參數，可反映其在中到高剪應變速率下，黏度的log-log函式圖形將是近乎一直線的。事實上，目前常用之許多模型都是由此模型推導出來的。
展開 Moldex3D模流分析之Simple fluids
為揣摩黏度和溫度的關系，目前為大家所廣泛接受的有兩大溫度依存模型：阿瑞尼士(指數型) 模型 (Arrhenius (Exponential) model) 及William-Landel-Ferry (WLF) 模型。為進一步揣摩黏度和剪應變的關系，針對熱塑性材料有許多不同的數學模型可以應用，以下是在Moldex3D中可支持的各種模型：
l 牛頓流體
牛頓流體是假設其黏度與溫度及剪應變速率兩者無關，具有最簡單的數學形式，但基本上此模型無法解釋熱塑性材料的非線性特征，故我們通常不建議使用此模型來仿真熱塑性材料。當然，此模型有利之處在于可以快速檢查網格模型，且其近乎常數的黏度可以使得指令周期快上許多。
η = η0
其中 η 是黏度，η0 是牛頓黏度。
l Power-law 模型
Power-law模型是忽略上牛頓區域的模型，其黏度與剪應變速率的關系可以被簡化成一個 power-law (冪次律)方程式。若以此模型來仿真熱塑性材料，則可能會過度預估其低剪應變速率區域的黏度。
η0 = B exp(Tb/T)
其中 n 為power-law 的冪指數，其值介于 0 到 1 之間；Tb 代表該材料的溫度敏感度；Ｔ為熔點溫度(K)；是指當剪應變速率趨近于零時之黏度值，而 B 為對應之常數。此模型是一個包括三個參數，可反映其在中到高剪應變速率下，黏度的log-log函式圖形將是近乎一直線的。事實上，目前常用之許多模型都是由此模型推導出來的。
展開 高介電常數填料與結構設計：Comsol電樹枝擊穿現象（源代碼模型分享）
本人為大家提供了一篇文獻和文獻參考源代碼模型，為方便大家學習特將模型源代碼粘貼在文末，祝大家科研順利！源代碼圖片如下：
1.摘要
本研究提出了一種基于相場模型的介電損傷演化方法，通過引入損傷變量區分導電通道與未損傷區域，避免了復雜的微觀細節處理。采用Griffith能量準則描述導電通道傳播，并通過有限元法研究復合材料的抗擊穿性能。結果表明，高介電常數填料及橢圓形或層狀結構能有效抑制導電通道形成，增強抗擊穿能力。弱犧牲性填料引起的兩階段損傷過程也表現出良好的抗擊穿效果，為復合材料設計提供了新思路。
2.引言
介電擊穿是電氣工程中的關鍵問題，尤其是在高電場環境下。復合材料在抗擊穿性能上的優化仍面臨挑戰。本文提出了一種基于相場模型的方法，利用連續損傷變量模擬導電通道的形成與演化，避免了復雜的微觀細節處理。通過引入Griffith能量準則，模型能夠有效評估復合材料的抗擊穿性能。研究探索了不同填料類型（如高介電常數填料、橢圓形或層狀結構填料）對抗擊穿能力的影響，發現這些填料能顯著提高材料的抗擊穿效果。本研究為復合材料的設計與優化提供了新的思路。
3.模型推導：
模型概述：本研究的相場模型通過引入損傷變量來描述導電通道的形成與擴展，模擬了復合材料在電場作用下的介電擊穿過程。模型假設損傷變量與材料的電氣性質（如介電常數）密切相關，損傷變量的演化代表了導電通道的增長。
模型假設：為簡化計算過程，假設材料的電氣擊穿主要由導電通道的形成和擴展主導，忽略了材料微觀缺陷的細節。此外，導電通道的擴展遵循經典的斷裂力學理論，且材料的介電常數隨損傷程度變化。
展開 fluent中standard k-ε湍流模型介紹
standard, RNG, 和 realizable k-ε模型，這三種模型的形式都很相似，都有k和ε的輸運方程。這些模型的主要區別如下：
湍流粘度的計算方法；
控制K和ε湍流擴散的湍流普朗特數；
ε方程中的生成項和消耗項；
Standard k-ε Model
雙方程湍流模型允許通過求解兩個獨立的輸運方程來確定湍流長度和時間尺度。Fluent中的standard模型就屬于這類模型，自Launder和Spalding提出以來，一直是實際工程流動計算的主力。它具有很好的魯棒性、經濟性和對大范圍湍流的合理預測，所以它在工業流動和傳熱模擬中非常受歡迎。它是一個半經驗模型，模型方程的推導依賴于現象和經驗。
standard模型是基于湍流動能K及其耗散率ε的輸運方程的模型。K的模型傳輸方程是從精確方程推導出來的，而ε的模型傳輸方程是通過物理推理得到的，與數學上的精確方程相似性很小。
在模型的推導過程中，假設流動完全是湍流，分子粘度的影響可以忽略不計。因此，standard模型只適用于完全湍流。隨著standard模型的優缺點逐漸為人所知，為了提高其性能，對其進行了一些改進。Fluent中有:RNG模型和relizable模型。
展開 軸承的壽命理論（二）
因為這里僅討論軸承疲勞壽命的一般概念，所以我們只要考慮這個模型的基本可用性就可以了。不用太糾結圖片細節的呈現。
因為材料的極限強度不可能用一個簡單的數值表示，韋布爾模型就給了我們一個很好的處理方法，因為可靠性最主要討論的早期失效、隨機失效和老化失效三個階段，在這個模型里，我們可以通過調整不同的參數，表征整個產品生命周期。
由上式可以看出，韋布爾在這里的主要貢獻是提出了結構破壞是應力體積的函數。這一理論的假設是原始裂紋導致斷裂。至于該公式中具體的參數的含義，我們不用太深入的了解。
但是在滾動軸承中，產生在表面下的許多裂紋并不會擴展至表面。因此韋布爾理論不能直接適用于滾動軸承。因為按照我們上一章分析的軸承壽命理論，軸承的疲勞斷裂概率應該是表面下最大剪應力深度的函數。
討論和推導過程我們不需要了解，我們只要知道：
軸承的疲勞是根據脆性材料的可靠性分布韋布爾模型得到的，
韋布爾理論不能直接表征滾動軸承的疲勞，因為假設機制不同，
軸承科學家根據滾動軸承疲勞的概率參數，結合韋布爾分布最終得到了滾動軸承的概率結果，
最終我們得到滾動軸承的幸存概率，（或者我們暫且把它理解成滾動軸承的疲勞壽命）：
從上一篇文章至此，我們說完了到底什么是軸承的疲勞壽命，軸承的疲勞壽命是如何得到的，我們為什么要了解軸承的疲勞壽命，還有軸承疲勞壽命背后的假設機理是什么。
展開 
拉伐爾噴管的壅塞壓力比究竟怎樣算？
在流體力學教科書中，通常采用一維流動的模型來分析，認為壅塞壓力比就是拉伐爾噴管處于臨界流動狀態的時候，出口截面壓力和入口總壓的比值。這個臨界流動狀態如圖2所示，噴管收縮段為亞聲速流動，喉部流動馬赫數恰好等于1，氣流在噴管擴張段又減速為亞聲速流動。另外，認為氣流在整個流動過程中都是等熵的。
圖2 拉伐爾噴管的臨界流動狀態（一維流動模型）
根據這種模型推導出的壅塞壓力比是
式中的k是氣體的比熱比。λ是臨界流動狀態時，噴管出口截面的速度因數，它是通過下面的非線性方程解出的
其中At是噴管喉部面積，Ae是噴管出口面積。
有些資料則直接認為拉伐爾噴管的壅塞壓力比就是臨界壓力比
這兩種方法算出的壅塞壓力比相差甚遠。例如，假設工質為空氣（比熱比k=1.4），噴管面積比Ae/At=4，則根據公式（1）算出的壅塞壓力比是0.98，而根據公式（2）算出的壅塞壓力比為0.53。
究竟哪個是對的呢？
公式（2）其實是收縮噴管的壅塞壓力比計算公式。收縮噴管由于沒有擴張段，所以最小截面就是出口截面，所以，如果在保持入口總壓不變的條件下逐漸降低反壓，那么當剛好達到壅塞的時候，出口截面的流動馬赫數等于1，且出口截面的壓力和反壓相等。由于收縮噴管的總壓損失很小，所以流動是很接近于等熵的，因此，這時候出口截面壓力與入口總壓的比值可以按照等熵流動氣動函數來計算，其結果就是公式（2）。所以，收縮噴管的壅塞壓力比可以用公式（2）計算。
但是，公式（2）其實并不適用于拉伐爾噴管。
展開 船舶轉向控制系統設計及仿真研究
來源：互聯網 作者：吳琦
關鍵字：船舶運動 PID控制 轉向模型
本文在傳統控制的基礎上對船舶運動控制方法進行的進一步探討與研究，利用PID控制方法對船舶運動的航向進行反饋控制，使其在受風浪等外界環境干擾的情況下，具有良好好的控制效果。
1 課題研究的背景及意義
船舶航向控制系統的可靠性及性能特點直接關系著航行的安全性和經濟性。從20世紀20年代PID控制應用于船舶航向控制以來，經過實踐的不斷積累和無數高科技人才的不斷探索與完善，其已經成為船舶航向控制領域最基本、最經典的方法。
船舶航向控制系統是一個非線性的、外界環境干擾復雜的系統，從理論上很難用一個精確的數學模型來對其進行描述。在一些特殊的場合、航道復雜或者進行避碰操作的時候甚至需要極富經驗的舵手進行人工操作。而較為精確的PID控制經過多年的摸索和完善可以極大程度的從經濟、環保等方面滿足現代船舶航行控制的要求。
2 船舶轉向模型推導
在確定船舶模型的時候采用野本模型的原因主要是因為參數容易換算出深和航速的關系，但是由于二階模型在轉化為狀態空間模型時不便于加上非線性力以及風浪的干擾，于是我們采用野本的三階模型：
此三階模型公式為傳遞函數的形式，為了在將來的仿真過程中更為方便地添加非線性的風、浪等干擾，必須把傳遞函數的形式轉化為擁有三個自由度的狀態空間數學模型式，而轉化后的數學模型參數矩陣為：
將上述的的參數矩陣轉化為標準形式：
其中：
轉化為標準形式后，可以更為方便地加上非線性力和風浪的干擾。
展開 COMSOL基于漿液黏度時空變化的水平裂隙巖體注漿擴散數值模擬 ￥210
基于此，認為速凝類漿液流型為具有黏度時變性的賓漢流體，研究其在靜水條件下水平裂隙中的注漿擴散過程，建立恒定注漿速率條件下考慮漿液黏度時空變化的水平裂隙注漿擴散理論模型，推導漿液擴散區內的黏度及壓力時空分布方程，進而得到注漿壓力與注漿時間及漿液擴散半徑的關系。
Moldex3D模流分析材料性質與模型之熱塑材料黏度模型
為揣摩黏度和溫度的關系，目前為大家所廣泛接受的有兩大溫度依存模型：阿瑞尼士(指數型) 模型 (Arrhenius (Exponential) model) 及William-Landel-Ferry (WLF) 模型。為進一步揣摩黏度和剪應變的關系，針對熱塑性材料有許多不同的數學模型可以應用，以下是在Moldex3D中可支持的各種模型：
牛頓流體
牛頓流體是假設其黏度與溫度及剪應變速率兩者無關，具有最簡單的數學形式，但基本上此模型無法解釋熱塑性材料的非線性特征，故我們通常不建議使用此模型來仿真熱塑性材料。當然，此模型有利之處在于可以快速檢查網格模型，且其近乎常數的黏度可以使得指令周期快上許多。
η = η0
其中 η 是黏度，η0 是牛頓黏度。
Power-law 模型
Power-law模型是忽略上牛頓區域的模型，其黏度與剪應變速率的關系可以被簡化成一個 power-law (冪次律)方程式。若以此模型來仿真熱塑性材料，則可能會過度預估其低剪應變速率區域的黏度。
其中 n 為power-law 的冪指數，其值介于 0 到 1 之間；Tb 代表該材料的溫度敏感度；Ｔ為熔點溫度(K)；是指當剪應變速率趨近于零時之黏度值，而 B 為對應之常數。此模型是一個包括三個參數，可反映其在中到高剪應變速率下，黏度的log-log函式圖形將是近乎一直線的。事實上，目前常用之許多模型都是由此模型推導出來的。
Modified Cross 模型(1)
此模型可用以表征材料于上牛頓區域及剪切變稀區域對剪應變速率的相關性。
其中 D 是調整壓力對粘度影響的壓力參數；C 剪切率參數；n 為 power-law的冪指數。
展開 