徑向分布函數的案例
基于MS的水分子徑向分布函數(RDF)計算
最后選定模塊中分析中的RDF功能，計算可得到RDF計算結果就是分子間H-H、H-O、O-O的徑向分布函數。O-O 徑向分布函數在0. 275 nm處出現最高峰值,表示由于氫鍵相互作用下中心水分子與最近鄰水分子間氧氧距離；O-H 徑向分布函數在0. 175 nm 和0. 325 nm 處均出現峰值,這分別是有氫鍵作用和無氫鍵作用的O-H 距離；H-H 徑向分布函數在0. 245 nm處出現峰值。
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利用MS計算水分子的徑向分布和擴散系數
1.進行水分子徑向分布函數及擴散系數分析
激活Sketch 1 Disco Dynamics文件夾里面的Sketch 1.xtd文檔，按住Alt鍵雙擊其中一個H原子即選中所有水分子中的H，在菜單欄Edit下拉菜單中選Edit Sets，打開Edit Sets對話框，按New按鈕將所有H原子命名為H；用同樣的方法將體系中的O原子命名為O；按Ctrl+A選中所有水分子命名為H2O。設置完成后，就可以對水分子進行分析了。
(1)徑向分布函數
在工具欄Discover下拉列表選擇Analysis，打開Discover Analysis對話框。在窗口菜單中選中Structural目錄下的Pair correlation function（徑向分布函數），點擊按鈕Define，打開Trajectory Specification(Discover)對話框，點擊Add to list，添加命名后的水分子軌跡文件，關閉對話框。回到Discover Analysis，在Choose sets中在第一個下拉框選擇H，第二個下拉框選擇O，如下圖所示。設置完成后，點擊Analyze按鈕開始進行分析。
運行結束后會自動產生一個Sketch 1 Disco Pair correlation function文件夾，激活該目錄下的Sketch 1.xcd文檔。可以看到圖中有九條g(r)曲線，其中aa、ab、bb分別表示H-H、H-O、O-O；total、intra、inter分別表示分子內和分子間總的g(r)、分子內g(r)、分子間g(r)。右擊圖像，在快捷菜單中選擇Delete Graphs，選中所有total和intra項，點擊Delete。剩下的就是分子間H-H、H-O、O-O的徑向分布函數，如下圖。
上圖給出了水分子中各原子對徑向分布函數。
展開 基于Materials Studio計算膽堿類低共熔溶劑的相互作用
其中膽堿陽離子上得電子位點主要分布在C-H上。丙二酸主要失電子位點為一個C=O上的O，得電子主要分布在C、O上。通過圖3可以看出氯離子與氧、碳原子發生強烈共振,最高占據態內是由Cl-3s、Cl-3p、O-2s、O-2p、C2-2s、C2-2p、C4-2s、C4-2p、C5-2s、C5-2p貢獻，其中Cl-3p、O-2p、C2-2p、C4-2p、C5-2p占主導地位，說明形成的p-p雜化軌道是陰陽離子間電子轉移的主要通道。圖4為經過優化得到的氯化膽堿-丙二酸穩定構型，發現兩種物質以
多重分子間氫鍵相結合，圖5徑向分布函數證明氫鍵供受體之間主要以分子間氫鍵相互作用。
ChCl-MA徑向分布函數
Dmol3計算面板：
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展開 基于CP2K的退火產生非晶態二氧化硅分子動力學模擬
最后通過徑向分布函數考察其結構特征，如圖4和圖5 所示。可以看到，初始晶態結構的rdf十分陡峭，體現出原子排列的顯著周期性。而無定型二氧化硅的RDF很平滑，類似于液態物質，體現出盒子里的原子分布十分無序。
圖4 初始二氧化硅的徑向分布函數
圖5 模擬產生的非晶二氧化硅的徑向分布函數
結語
本案例通CP2K分子動力學模擬，成功探究了通過高溫退火產生非晶體二氧化硅的過程。對于相關領域的研究人員和工程師來說，本案例提供了一個有力的工具，可以為解決實際問題提供理論依據和技術支持。
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展開 
基于MS對溶劑萃取體系：TBP-NaBPh4-CH2ClBr萃取鋰離子的機理研究
關鍵詞：Materials Studio，分子動力學模擬，徑向分布函數，鎂鋰分離，溶劑萃取法
隨著新能源行業的發展，鋰資源的需求量逐年增加。鹽湖鹵水中含有豐富的鋰資源。通過溶劑萃取技術從鹽湖鹵水中提取鋰資源具有高效的鋰離子回收率。鹽湖中高濃度的鎂，鈉，鉀等離子是萃取鋰資源的主要影響因素。其中，TBP為萃取劑，LiBPh4為協萃取劑，CH2ClBr為稀釋劑。文獻通過Materials Studio軟件模擬計算，采用分子動力學中的徑向分布函數（RDF）研究TBP對不同金屬離子(Li+ , Na+ , K+ , Mg2+)的內在相互作用強度。
以下內容分步驟對文獻模擬過程進行分析：
1、建立基礎模型
構建TBP、CH2ClBr、LiBPh4、KBPh4、Mg(BPh4)2、H2O分子模型，如圖1所示。
TBP CH2ClBr LiBPh4 KBPh4
Mg(BPh4)2 H2O
圖1 不同物質的分子結構模型
2、構建分子動力學模型
利用Materials Studio (MS)中的Amorphous cell模塊構建混合有機相模型，模型包含10個LiBPh4分子、10個KBPh4分子、10個Mg(BPh4)2分子、40個TBP分子、40個CH2ClBr分子和60個H2O分子。結構模型如圖2所示。其模型參數設置如圖3所示。
展開 非晶態合金表面的水潤濕動力學
圖(b) 是計算動態接觸角在鋪展過程中的變化，發現cosθ0-cosθ與時間t的關系符合冪指數函數:cosθ0-cosθ∝tα。對于非晶薄膜、(100)和(110)晶面α值分別為: 0.989，0.976，0.974。關于水滴潤濕過程的實驗研究結果相近(α=0.855)。需要指出的是在計算非晶表面上的動態接觸角時, 接觸角是指液滴與吸附層之間形成的夾角。
兩個方面清晰地表明水滴Cu50Zr50非晶薄膜表面上的鋪展速度快于晶體表面。從衡量鋪展能力強弱的鋪展系數的定義可以看出，固相基底表面能與液-固界面能之差γSO?γSL是決定非反應鋪展快慢的決定性因素；非晶態合金表面具有較高的原子遷移率，基底與水滴間的非成鍵相互作用是解釋非晶合金表面強鋪展性的關鍵因素。
CuZr合金非晶態基底以及 (100), (110) 晶面上吸附層中O-O徑向分布函數
非晶薄膜表面上吸附層中的O原子呈無序排列，與體相水中的O-O徑向分布函數相比較，前者最近鄰距離稍小，而次近鄰距離較大。CuZr (100)和(110)晶面上吸附層的水分子呈現有序的排列，特別是吸附在(100)晶面上的水分子呈長程有序排列。
水滴吸附層內分子排列結構的差異將對水分子方向乃至氫鍵結構產生影響，繼而影響鋪展行為，這是導致非晶合金表面快鋪展動力學的關鍵因素。
吸附層內水分子的分子方向與z 軸之間的夾角φ的分布
Cu50Zr50非晶薄膜表面上吸附層內水分子夾角φ的峰值約為90.0°，這表明水分子方向傾向于平行于基底。從φ值的分布可以看出，非晶合金表面吸附層內的水分子的兩O—H鍵傾向于指向層內水分子，(100)表面吸附層內水分子傾向于指向水滴內部，這暗示非晶吸附層內水分子以氫鍵結合的概率較大。
展開 ZK系鎂合金微合金強化機理研究
圖5 Mg
xZn
0.5M
0.5 (M = Ag，Ca 和Zr)、Mg
xZn
1和Mg平衡態中原子徑向分布函數圖，灰色陰影為Mg平衡態結構徑向分布函數，x是Mg層數。
注：上述研究發表于Acta Materialia 147:42-50
文獻鏈接：
https://doi.org/10.1016/j.actamat.2018.01.01 或 DOI: 10.1016/j.actamat.2018.01.010
不只有石墨烯碳納米管 梳理新型碳納米材料及其輔助機理研究方法
精確的理論計算可以給出在材料中原子間的距離，或者說，計算出材料中的徑向分布函數。圖四中理論結果和實驗結果比對，不僅證實了實驗合成物和理論結構符合，而且細致的分辨出了實驗結果的峰值分辨對應了哪些原子結構。
圖四、實驗合成的納米線的徑向分布函數（RDF）與理論生成的碳納米線結構的模擬徑向分布函數對比。
第一性原理計算可以得到材料的光學性質。通常在表征實驗合成物的時候，拉曼光譜都是一個可以信賴的手段，因為它不必破壞實驗合成物，而且光譜特征峰可以告訴我們具有拉曼活性的分子振動模式都有哪些。利用密度泛函理論計算拉曼光譜的一個辦法，是先計算出分子的介電常數，然后沿著分子振動的本征模式對原子位置進行小位移，進而計算出介電常數的變化。憑借現代計算機的高級計算能力，現在我們可以很容易的計算一個分子的拉曼活性，進而確定在實驗合成物中具有哪些結構單元。圖五就顯示了，通過拉曼光譜的計算分析，在碳納米線的合成結果中所包括的一個特征結構單元。
圖五、碳納米線的實驗拉曼圖譜與理論的比對。
四、功能化
碳納米材料一個重要的特點是可以在上面添加各種功能基團。只要在合成制備的準備階段，替換掉一些有機小分子就可以實現。在碳納米線這個材料里面，簡單的方法包括把反應物里面的氫原子（H）換成氯原子（Cl），或者把里面的碳原子換成氮原子（N）、硼原子（B），都可以實現其功能化，改變其電子性質、聲子性質、熱學性質或者力學性質。圖六給出了幾種典型的用氮原子替換碳氫基團而形成的納米線結構[4]。
用包含氮原子的初始反應物來替換苯進而合成納米線的研究就發表在文章[3]。
展開 徑向基函數內核 – 機器學習 ￥5
Radial Basis Function Kernel - Machine Learning - GeeksforGeeks
徑向基函數內核 – 機器學習
內核在將數據轉換為更高維空間方面發揮著重要作用，使算法能夠學習復雜的模式和關系。在眾多的內核函數中，徑向基函數（RBF）內核作為一種多功能且強大的工具脫穎而出。在本文中，我們深入探討了RBF內核的復雜性，探討了它的數學公式、直觀理解、實際應用及其在各種機器學習算法中的重要性。
目錄
? 什么是 Kernel Function？
? 徑向基函數內核
? 將線性算法轉換為無限維非線性分類器和回歸器
? 為什么 Radial Basis Kernel 如此強大？
o 使用RBF Kernel輕松擬合一些復雜數據集：
? 用于XOR分類的徑向基函數神經網絡
? 徑向基函數核的實際應用
? 什么是Kernel Function？
核函數用于將n維輸入轉換為m維輸入，其中m遠高于n，然后有效地找到更高維的點積。使用內核的主要思想是：高維的線性分類器或回歸曲線在低維變成非線性分類器或回歸曲線。
? 徑向基函數內核
徑向基函數 （RBF） 內核，也稱為高斯內核，是使用最廣泛的內核函數之一。它的工作原理是根據數據點在輸入空間中的歐幾里得距離來測量數據點之間的相似性。從數學上講，兩個數據點之間的 RBF 內核x和x’定義為：
注意：exp(x)等于 e^x
? ∣x–x'∣2表示兩個數據點之間的平方歐幾里得距離。
? σ是一個稱為 bandwidth 或 width of the kernel 的參數，用于控制決策邊界的平滑度。
展開 概率密度函數概率分布函數
概率密度函數概率分布函數
什么是徑向基函數神經網絡？
函數逼近：RBF 網絡在逼近非線性函數方面很有效。
RBF 網絡示例
考慮一個數據集，其中包含來自兩個類的二維數據點。用 20 個神經元訓練的 RBF 網絡將使每個神經元代表輸入空間中的一個原型。該網絡計算類別分數，可以使用 3-D 網格或等值線圖進行可視化。正權重分配給屬于同一類別的神經元，負權重分配給來自不同類別的神經元。可以通過評估網格上的分數來繪制決策邊界。
結論
具有徑向基函數的神經網絡是許多不同機器學習應用的有效工具。由于其三層架構，它們可以有效地仿真復雜的非線互，該架構由輸入層、具有徑向基函數的隱藏層和線性輸出層組成。選擇正確的中心、弄清楚分布參數和訓練輸出權重是訓練過程中的步驟。RBF 網絡為各種實際問題提供了靈活可靠的解決方案。它們在函數逼近、模式識別、時間序列預測和控制系統中特別有用。
徑向基函數神經網絡常見問題解答
您如何選擇 RBF 網絡中的中心？
可以通過優化方法進行訓練、從訓練數據中隨機選擇甚至 k-means 聚類來完成中心的選擇。使用聚類中心作為 RBF 中心，K-means 聚類是一種廣受歡迎的技術，可將輸入數據劃分為多個聚類。
RBF 網絡中的傳播參數是什么？
徑向基函數的寬度和每個中心對輸入空間的影響程度都由展開參數 （σ） 控制。它可以為每個 RBF 神經元專門選擇，也可以設置為所有 RBF 神經元的常數。通過測量中心之間的距離來確定σ是一種流行的啟發式方法。
RBF 網絡有哪些優勢？
與其他神經網絡相比，RBF 網絡具有許多優勢，包括設計和實現的簡單性、對非線性連接進行建模的靈活性以及使用較少數據進行訓練的效率。此外，他們還提供本地化回復，這在某些情況下是有利的。
如何在 RBF 網絡中訓練輸出權重？
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基于ProCAST和ANSYS軟件分析徑向加載的鋁合金輪轂應力分布
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基于ProCAST和ANSYS軟件分析徑向加載的鋁合金輪轂應力分布
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基于ProCAST和ANSYS軟件分析徑向加載的鋁合金輪轂應力分布.pdf
北京化工大學隋剛教授《Adv. Sci.》：原位構筑聚1,3-二氧戊環基電解質用于安全的鋰金屬電池
在圖2d中，PDOL上O原子與PVDF-HFP或PP中原子的徑向分布函數(RDF)中沒有出現明顯的峰。相反，PDOL上O原子和PDA上H原子之間的RDF分別在1.7 ?和2 ?處顯示出兩個不同的峰，表明在PDOL鏈周圍出現PDA上的原子可能性更高，反映了PDA/PVDF-HFP體系中存在明顯的分子間強相互作用。這也與FTIR的結果一致。解釋了PDOL@PDA/PVDF-HFP GPE比另外兩種GPEs更好的機械性能原因。
PVDF-HFP膜在吸收前驅體溶液后易于收縮，沒有自支撐能力。通過在纖維表面原位生長PDA層以提高膜的自支撐能力，吸液前后膜的尺寸沒有發生變化。接觸角測試結果顯示，相比于非極性的商業化PP膜，前軀體溶液快速地在極性的PVDF-HFP和PDA/PVDF-HFP纖維膜表面鋪展，與前軀體溶液的親和性和浸潤性能優異。由于森林狀的靜電紡絲膜具有多重曲折的孔洞結構，有利于捕獲前驅體溶液，允許更多的Li+在3D復合電解質內自由傳輸。
圖2. 原位制備的PDOL@PDA/PVDF-HFP GPE同時擁有高的離子電導率和力學強度。a) DOL、PDOL，PVDF-HFP膜, PDA/PVDF-HFP膜和其復合PDOL后GPE的FTIR光譜及b, c)它們的局部放大圖；d) PDOL中O原子與PP, PVDF-HFP, PDA/PVDF-HFP上原子的徑向分布函數g(r)；e) 從MD模擬中獲得的快照；f) 鏈運動過程中PDOL鏈與不同膜的鏈之間的相對位置變化示意圖；g) 三種膜與電解液的接觸角；h) 不同膜和不同GPE的應力-應變曲線。
展開 《ACS AMI》：鋰離子電池Si/C復合負極中鋰離子擴散機理的探討
（文：李澍）
圖1 (a) c-Si和 (b) a-C的原子結構；(c)、(d)和(e)是不同碳層厚度的Si/C復合材料（Si：紅點；C：灰點；和Li：藍點）；本研究中的兩種復合模型：（f）混合模型和（g）核殼模型（亮粒子為c-Si，暗粒子為a-C）
圖2 (a)Si/Si, (b) Si/Li和(c) Li/Li在不同嵌鋰階段的徑向分布函數；（d）c-Si和（e）a-C嵌鋰后的最終結構；在(d,e)中，粉色、灰色和藍色分別代表Si原子、C原子和Li原子
圖3 C層厚度為(a)2、(b)3和(c) 4?的Si/C復合材料（混合模型）在嵌鋰過程中不同模擬時間下的Li擴散的結構快照（粉色、灰色和藍色分別代表Si原子、C原子和Li原子）
圖4 C層厚度為(a)2、(b)3和(c) 4?的Si/C復合材料（核殼模型）在嵌鋰過程中不同模擬時間下的Li擴散的結構快照。（粉色、灰色和藍色分別代表Si原子、C原子和Li原子）
圖5 (a) 初始狀態和嵌鋰狀態下的Si/Si、(b) 具有不同C層厚度的混合模型Si/C復合材料嵌鋰過程中的Si/Li、C/Li和Li/Li的徑向分布函數；(c) 不同C層厚度的Si/C復合材料嵌鋰狀態下的界面結構，(d) 不同C層厚度的C層中Li原子的分布。
展開 Material studio(MS）軟件介紹及其應用的領域
（3）對體系進行分子動力學模擬，體系平衡后，對體系中的物質進行RDF（徑向分布函數）分析，MSD（均方根位移）分析，鍵長、鍵角以及末端距等結構變化分析等。
（4）分析化學反應過程，搜索反應的過渡態，從化學反應的熱力學和動力學角度去判斷化學反應的過程、反應的難易程度等，計算化學反應的勢能變化（△E），焓變（△H），自由能變化（△G）等。
（5）模擬不同壓力和溫度等條件下，吸附劑骨架對吸附質分子的吸附過程，得到飽和吸附量、吸附的最佳位點、吸附能、吸附熱等，判斷骨架與分子的吸附形式（物理吸附與化學吸附）。
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