相場法的案例
當CO?變成‘數字流體’：相場法解鎖壓裂仿真新維度
<p><strong style="background-color: rgba(0, 0, 0, 0);">【引言】</strong></p><p>在頁巖油開采的競技場上，水力壓裂技術曾被譽為“解鎖地下黑金的鑰匙”，但隨之而來的水資源消耗、化學污染和低效裂縫預測等問題，正讓這把鑰匙逐漸生銹。當全球能源行業將目光投向更清潔的超臨界CO?壓裂技術時，一個更棘手的難題浮出水面：如何馴服這種介于氣液之間的“暴躁流體”，精準預判它在千米地層下的裂巖軌跡？</p><p>傳統實驗手段如同“盲人摸象”——物理模擬成本高昂，現場試錯風險巨大，而經典數值模型又難以刻畫CO?與頁巖間復雜的相變交互。直到相場法（Phase-Field Method）的出現，這場博弈迎來了轉機。這項起源于材料科學的數學工具，正將超臨界CO?轉化為可被方程描述的“數字流體”，在虛擬空間中重構裂縫生長的每一個細節：從CO?分子穿透巖石孔隙的微觀動力學，到宏觀裂縫網絡的混沌分形演化，原本不可見的流體暴力被解構成萬億次計算的優雅舞蹈。</p><p>當算法的精度突破物理實驗的邊界，頁巖壓裂正在從“經驗驅動”邁向“預測驅動”的新紀元。這場由相場法引領的仿真革命，或將重新定義非常規油氣開采的底層邏輯——用數字孿生代替盲目試錯，用計算預見性取代經驗不確定性。而我們，正站在這場技術范式轉移的臨界點上。
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案例1 單一裂縫延伸
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案例2 兩簇壓裂
兩簇裂縫排量相同，不考慮流量在裂縫間的動態分配
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案例3 三簇壓裂-對稱
三簇裂縫排量相同，不考慮流量在裂縫間的動態分配
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案例4 三簇壓裂-完全
三簇裂縫排量相同，不考慮流量在裂縫間的動態分配
模型尺寸30m×30m
案例5 水力裂縫與垂直天然裂縫相交
案例6 水力裂縫與傾斜裂縫相交
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初始地應力場作用下多孔介質水力壓裂
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基于Comsol固體力學相場法模擬焊點熱應力裂紋擴展
</p><p> 本例基于“非線性結構材料模塊”中的模型“焊點的黏塑性蠕變”、基于相場的損傷，耦合溫度場對單個焊點進行仿真分析，分析焊點在極端熱循環下的裂紋萌生和擴展情況。</p><p> </p><div contenteditable="false" width="100%"><p><img src="https://img.jishulink.com/upload/202109/c03555933668420082284eb58bcf3090.gif" title="Untitled.gif" alt="Untitled.gif" style="max-width: 760px; width: 536px; height: 310px;" width="536" height="310" data-mobile-src="https://img.jishulink.com/upload/202109/c03555933668420082284eb58bcf3090.gif?image_process=/format,webp/quality,q_40/resize,w_400" data-pc-src="https://img.jishulink.com/upload/202109/c03555933668420082284eb58bcf3090.gif?
展開 COMSOL 軟件建模教程：如何模擬自由液面 (一)
所以，與相場法中更加平滑的力相比，水平集方法得到的表面力更“尖銳”。
從上至下依次為：0.07 秒、0.57 秒和 1.0 秒后水平集（左）和相場（右）方法得到的結果。
水平集和相場法還能計算自由液面上的空氣域流場。從圖片中可以看出，長方形條的運動在整個相界面上方引起了持續顯著變化的流場。
利用相場法計算 0.57 秒后水域和空氣域內的流場。
如果增強攪動能使液面運動更劇烈，那么液面可能先破裂再合并，如下方動畫所示。這也是水平集與相場法的一個優勢：我們能夠更簡單地處理自由表面的拓撲變化。
方形條的攪動頻率和幅度增大，致使較小的波浪破裂，并生成了滯留在水相中的氣泡。
盡管水平集和相場法類似，但表面張力的處理對二者的穩定性產生很大的影響，至少在 COMSOL Multiphysics 中存在區別。在處理對表面張力非常敏感的問題時，相場法在求解時間方面比水平集方法表現得更好，原因在于利用水平集方法計算表面曲率時，瞬態求解器需要采用比相場法小得多的時間步長。
在此例中，水平集方法的平均時間步長是相場法的六倍，所以水平集方法需要六倍的計算時間。因此，對于較小尺度自由液面問題和對表面張力極其敏感的層流（例如微流體）問題，相場法通常是更好的選擇。
自適應網格細化與自由表面
針對本文探討的二維示例，在采用了水平集和相場法的整個自由表面區域中，網格足夠密集。不過，對于三維模型而言，這種水平的分辨率的計算成本太高。一種替代方案是使用自適應網格細化功能，它能夠自動根據我們選擇的任何函數創建更密集的網格。
舉例來說，下方動畫展示了基于最大速度梯度的位置（上圖）和相場函數的最大梯度（下圖）生成的網格自適應結果。繪圖展示了氣相和水相。需要注意的是，與剪切率相關的自適應網格在氣相中生成了細化網格，而水相的細化程度相對較低。
展開 COMSOL 軟件建模教程：如何模擬自由液面 (二)
在某種程度上，相比于水平集和相場法，利用動網格方法為自由液面建模顯得更加簡單干脆，因為如前文所述，我們可以直接將表面張力及其他表面力用作邊界條件。不求解自由液面上方空氣域內的流體流動有利于大大提高計算速度，因為納維-斯托克斯系統的自由度數量幾乎減少到基于場的方法的一半。在這種情況下，我們之所以忽略空氣域的影響，是因為水和空氣的密度與動力粘度比值很大。所造成的差異將在下一節中詳述。
比較動網格與相場法的結果
下圖比較了分別使用動網格與相場法計算的自由液面。我們可以看到兩種方法的結果非常一致，自由液面的形狀和速度場的流線都很相似。
不過模型并非完全相同。在相場法的案例中，自由液面上方的空氣域在液面上產生了微小的阻尼效應，而動網格案例中不存在空氣域，并且液面只“看見”流體表面上氣壓恒定不變。換句話說，動網格案例中的自由液面不必移動空氣，并且可以利用這種能量使水波更高，表面波動更大。
使用兩相流動網格接口（左）和相場方法（右）計算得到的不同時間下的自由液面形狀和速度場。
下方動畫展示了利用動網格方法求得的動態自由液面，我們可以將它與上一篇中只用相場法生成的動畫作比較。可以清晰地看到，與相場動畫相比，自由液面的波動幅度更大，反應也更快。這可能是因為動網格中沒有空氣域，而水平集和相場方法中的空氣域會阻礙自由液面運動。
利用動網格方法獲得的自由液面動畫。
我們還可以將默認的自由液面動網格功能與兩相流動網格 接口進行比較，后者能夠分析液相和氣相的流場。可以看到，不管是包含兩相的動網格，還是相場法，流場和速度矢量的大小都非常相似。對于三種情況（動網格、相場及包含兩相的動網格），自由液面的形狀均相似，但是在此例中，兩個動網格案例所對應的形狀更加相似。根據仿真結果，結論是空氣域對流體的速度場具有一定的阻尼效應。
展開 COMSOL多相流仿真方法
對于不希望發生拓撲變化的微流體系統，通常首選動網格法；
如果需要拓撲變化，則必須使用相場法：
當表面張力的影響較大時，首選相場法
如果可以忽略表面張力，首選水平集法
分離多相流模型和湍流模型
在湍流模型中，由于僅求解平均速度和壓力，流體的細節會丟失。從這一點來看，表面張力效應在流體的宏觀描述中也變得不那么重要。又由于湍流表面的流動比較劇烈，因此幾乎不可能避免拓撲變化。所以，對于湍流模型和分離多相流模型的組合，最好使用水平集法。水平集法和相場法都可以與 COMSOL Multiphysics 中的所有湍流模型結合使用，如下圖和動畫所示。
在 COMSOL Multiphysics 中，所有湍流模型都可以與相場法和水平集法相結合來模擬兩相流。
將水平集法與 k-e 湍流模型相結合模擬反應堆中水和空氣的兩相流。
分散多相流模型
萬一相邊界過于復雜而無法求解，我們必須使用分散多相流模型。
展開 基于相場損傷模型的混凝土細觀壓縮斷裂模擬
近年發展起來的斷裂相場法,通過場變量的自動演化獲取裂紋路徑,可方便地模擬出裂紋的動態擴展過程。因此本案列將采用基于<a href="/major/<a href="/major/ABAQUS的斷裂相場模型實現對混凝土斷裂問題的模擬分析并探討該模型的工程實際適用性
理論基礎
相場法是一種以經典熱、動力學理論為基礎,由耦合的非線性的力平衡方程和相場梯度型演化方程組合而成的唯象方法。該方法引入一組場變量來描述結構的相變過程。與銳界面法中場變量的不連續性相反的是,相場法中場變量在界面區域具有連續性,可以用來描述材料初始時和完全破壞之間的平滑過渡。相場變量能分成保守的場變量與非保守的場變量兩種,總量在物體結構演化中保持不變的為保守的場變量,如原子和電荷的濃度場;總量在物體結構演化中為不守恒的并從0到1變化的是非保守的場變量,如馬氏相變。
Frankfort和Marigo基于能量最小化原理提出了Griffith理論的變分形式。描述斷裂的相場法中材料勢能分為兩部分，彈性應變能和表面能，分別對應于完好相和斷裂相。Griffith理論的泛函形式可以表達為:
其中是對稱的小應變張量，代表裂紋面，Ω為求解區域。斷裂問題系統自由能由彈性應變能(等號右邊第一項)和斷裂表面能(等號右邊第二項)構成，裂紋的擴展受自由能最小化原理控制。通過求能量泛函的極值可以獲得材料系統的控制方程。
采用有限寬度的彌散區域來近似表征離散裂紋面，如圖 1所示。所有場變量均是全域連續。采用一個標量d來表征材料的狀態，稱之為相場。d=1代表材料完全失效，d=0代表材料完好無損。
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COMSOL實現水力壓裂過程中復雜裂縫擴展
目前使用comsol實現水力壓裂的方法主要是相場法與連續介質損傷方法，相場法的實現比較復雜，不過一些學者已經把模型代碼部分開源，幫助我們學習。連續介質損傷方法發展的比較早，其中國產軟件RFPA在這方面做的比較好。目前線彈性損脆性或者軟化模型使用的比較多，對于頁巖、花崗巖水力壓裂一般使用脆性損傷模型。而對于煤這種軟巖，脆性模型有時候并不適用。基于煤破壞峰后軟化行為，軟化損傷模型比脆性模型更適用煤。相場法模型應用在彈性模量與強度比較低的巖石壓裂過程中，很容易出現模型不收斂現象。相場法主要用在彈模比較大的且以張拉破壞為主的巖石壓裂過程中，對于軟煤可能存在失效的問題。
RFPA比較適用于脆性巖石的壓裂或者破壞，模擬出來的效果也比較好，但是應用在煤的壓裂時，形成的裂縫很寬，并不能很好的反映壓裂效果。我目前借助使用比較多的COMSOL with Matlab平臺，初步實現了實驗室和現場中裂隙煤體中復雜裂縫擴展的模擬。模型中很大的問題，也是收斂問題，主要的參數與方程來自與公開發表的文獻。該模型使用的主要方程是線彈性軟化損傷方程與裂隙本構方程。水力裂縫與天然裂縫之間的相互作用，是模型的難點。comsol中的裂隙流模塊，可以實現裂隙中水流動。在5.6之前的版本中，固體力學模塊中有彈性薄層接口，這個接口可以自定義裂隙的本構方程。基于裂隙的本構模型，可以獲得裂隙表面的法向應力與剪切應力，從而實現裂隙的閉合與張開，具體方程可以參考Qinghua Lei在IJRMMS上發表的論文。使用零厚度的線段或者平面來代替裂隙，煤巖的損傷主要發生在基質中，天然裂隙或其他節理不會出現損傷。使用矩形或者很薄的長方體表征裂隙，可以設置裂隙的強度參數和根據破壞準則判斷破壞類型。不過，使用成百上千的矩形或者長方體的話，網格單元數量比較多，對計算機配置有較高的要求。
展開 傳統脆性斷裂相場模型的三維UEL理論及代碼 ￥120
對上述弱形式進行分部積分可得：
因次位移場和相場的強形式控制方程為：
以及相應的邊界條件為：
3 有限元離散
為推導有限元離散方程，對位移場和相場控制方程的弱形式進行處理：
對位移場和相場進行插值可得：
m指單元節點的個數。因此相應的梯度場可以插值為：
B矩陣的是由形函數對物理坐標的導數組成的。同理有：
代入到弱形式方程中可得殘值方程；
使用牛頓迭代法求解上述非線性系統。更新格式為:
剛度矩陣為：
為了保證損傷不能愈合，即：
需要做出一些修改，即取歷史上最大的彈性應變能，即：
4 代碼
《斷裂相場法》書中提供了傳統脆性斷裂相場模型的二維UEL代碼。本文將其拓展為三維情況。
UEL需要更新單元的剛度矩陣和右端項，公式在理論部分已詳細給出。
5 測試
5.1 一個單元拉伸破壞
對一個單元施加的邊界條件為，x=0面約束所有位移自由度，即u=0,v=0,w=0;在x=1面進行位移加載，即u=0.1，v=0,w=0。單個單元拉伸破壞時具有解析解。因為相場在單元內是均勻的，因此相場梯度為0，因此可以直接求解相場控制方程得到：
因此可以得到真實應力的表達式為：
數值計算得到的應力應變曲線與解析解的對比結果如下：
取單元上一個積分點，繪制其相場值隨加載時間的變化曲線如下：
5.2 單邊裂紋拉伸
對于單邊裂紋板的拉伸案例，我們選取兩種相場特征裂紋寬度的情況，來展示特征寬度對于結果的影響。
第一個取l=0.015，相場分布圖如下：
第二個取l=0.0075場分布圖如下：
6 參考文獻
[1]. 胡小飛, 張鵬, 姚偉岸. 斷裂相場法. 北京: 科學出版社; 2022.
展開 【全源碼】MATLAB相場脆性斷裂模擬代碼（AT1/AT2）【附對應文獻公式說明】 ￥1000
交替迭代算法：采用了魯棒性較好的位移場與相場交替求解策略，收斂性好，適合初學者學習。
完全開源透明：可以看到剛度矩陣組裝、殘差計算、相場演化的每一行代碼，適合用于理解相場法的原理。
【科普系列】有限元軟件如何助力鑄造過程
圖2 金屬熔體流場有限元計算流線圖
03 有限元軟件如何預測凝固
早在1939 年，Chvorinov 就引入了鑄件模數的概念，建立了求解鑄件凝固時間和凝固層厚度的數學方程，推導出著名的凝固時間平方根定律。Turbull于1945 年前后建立了經典的晶體形核理論，Kurz 等建立了快速枝晶生長理論，Chalmers 等研究固液界面附近的溶質提出了成分過冷理論。Flemings 等研究了固液兩相區內液相的流動效應，提出了液相區內局部溶質再分配方程等理論模型。傳統的凝固理論已經高度成熟，而新的凝固理論又促進了如準晶和大塊非晶的新發現。
隨著模擬計算技術的進步和材料熱力學與動力學的鑄件完備，凝固時組織形成的數值模擬發展出了數種技術路徑。相場模擬是基于擴散界面理論與相變理論構建的一種方法。相場法的微分方程具有明確的物理意義，但計算區域較小，無法應用到工程實踐當中（圖3）。另一種思路是通過隨機性方法計算概率來預測，如蒙特卡洛法(MC)和元胞自動機法(CA)，MC 法把形核看作概率問題，以體系自由能為依據計算形核長大的概率問題，可以預測凝固過程中的隨機事件，但MC 法缺乏物理基礎，無法有效反映晶粒生長的真實過程。
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