材料的彈性特征可以使用剛度矩陣來進行完全描述。剛度矩陣中任意元素都可以根據由第一性原理計算得出的聲子色散曲線來確定。

 

在本次案例研究中，我們介紹了一個用立方體結構來分析硅、金剛石和銅單晶的剛度矩陣的方法。

如圖1，硅是具有金剛石結構的立方晶體，其剛度矩陣如下所示。

由于立方晶體具有對稱性，使用SIESTA模擬軟件計算可得該模型中有3個獨立元素：C11C11，C12C12，和C44C44。

圖1 硅的金剛石結構

立方晶體的剛度矩陣

 

 

 

 

 

硅的聲子色散曲線可以用SEISTA模擬軟件直接計算（如圖2）。

根據硅的晶胞中原子數為2這一事實依據，硅有三種聲振模式和三種光學模式。硅是具有金剛石結構的立方晶體，其色散曲線表現出不同晶體取向的色散特性。

 

這里我們重點關注從ΓX點指向的(1,0,0)方向，和從ΓL點指向的(1,1,1)方向擴展的聲振模式色散特性。聲振模式的色散特性在近場的長波區呈線性Γ，且該梯度曲線給出了聲速。

 

圖2 硅的聲子色散曲線

 

 

 

圖3 區域1和2的色散曲線

圖中虛線表示靠近該區域的每個傳播方向上的聲速Γ點，下標L/T代表縱波和橫波。

 

在（1,0,0）方向傳播的聲波由一個縱波和兩個簡并后的橫波組成，它們各自的聲速和剛度矩陣可以表示為下列關系式，由此結果可得C11C11 和 C44C44。

進一步使用該結果，根據（1,1,1）方向傳播的聲波可以得到c12。在本案例中，梯度（聲速）在Γ點可以通過使用圖中1和2區域的三階最小二乘法構造一條近似曲線獲得，這是SIESTA模塊的聲子分析功能。根據取得的聲速，可以按以下公式計算剛度矩陣。

聲速與(1,0,0)/(1,1,1)方向上剛度矩陣的關系。

各個箭頭表示偏振方向，紅色箭頭表示縱波，綠色箭頭表示橫波。ρ表示硅的重量密度。

表1給出分析所得剛度矩陣中每個元素值和文獻中的值之對比。（C. Kittel 《固體物理學導論》，紅色括號）。

表1 剛度矩陣所得值與文獻中的值對比