四面體的案例
四面體網格與六面體網格的爭議
關于在有限元實體建模中，采用四面體網格還是半自動六面體網格，在
CAE
工程師中存在著廣泛的爭議。
對于包含局部薄殼特征的裝配實體結構，在集中載荷的作用下，不同的材料屬性，自動網格劃分產生的不同的單元延伸率都會影響單元的計算精度，而不只是單元類型會對其有影響。復雜的設計往往會帶來大規模的自由度問題。通常，檢驗單元的標準包括具備完整的形狀函數多項式，邊界連續性，適用于貼片測試，收斂性。這個問題的癥結在于如何獲得復雜區域的精確計算結果，而不是孤立的判斷四面體和六面體網格的優缺點。
六面體和四面體各自優越性
IBM研究部門的A.O. Cifuentes和A.Kalbag發表的一篇名為《三維四面體單元在結構分析中的性能研究》的論文，得出了一個有趣的結論。“……這里研究了一次和二次的四面體，及六面體單元在不同結構問題的特性，這些結構問題包括彎曲，偏轉，扭轉和軸向變形。觀察到了采用二次四面體和六面體單元的分析在求解精度和CPU時間上是相當的。”
作者同樣也指出了，對于簡單幾何，或者說可以方便的手動劃分網格的模型，更多的依賴于8節點的六面體網格，通常稱為“砌磚單元”。而對于復雜幾何模型通常采用自動或半自動的方式劃分網格，自動生成網格的算法通常采用四面體，而非六面體。原因是通常的三維模型不能精確的被六面體堆砌所描述，然而總能剖分為四面體單元的集合。
我們在結構研究分析中也總是對比四面體和六面體劃分的模型，并得到了比較可靠計算結果對比。無論對于哪種單元類型，較少的節點數，會導致低精度。4節點四面體和8節點六面體通常用于近似直線的邊界模型中，而對于曲線邊界模型，要得到更精確的解，需要更多節點和單元數，或者采用10節點二次四面體,20節點二次六面體。
展開 有限元四面體網格與六面體網格的爭議
關于在有限元實體建模中，采用四面體網格還是半自動六面體網格，在CAE工程師中存在著廣泛的爭議。
對于包含局部薄殼特征的裝配實體結構，在集中載荷的作用下，不同的材料屬性，自動網格劃分產生的不同的單元延伸率都會影響單元的計算精度，而不只是單元類型會對其有影響，復雜的設計往往會帶來大規模的自由度問題。通常，檢驗單元的標準包括具備完整的形狀函數多項式，邊界連續性，適用于貼片測試，收斂性。這個問題的癥結在于如何獲得復雜區域的精確計算結果，而不是孤立的判斷四面體和六面體網格的優缺點。
六面體和四面體各自優越性
IBM研究部門的A.O. Cifuentes 和A.Kalbag發表的一篇名為《三維四面體單元在結構分析中的性能研究》的論文，得出了一個有趣的結論。“……這里研究了一次和二次的四面體，及六面體單元在不同結構問題的特性，這些結構問題包括彎曲，偏轉，扭轉和軸向變形。觀察到了采用二次四面體和六面體單元的分析在求解精度和CPU時間上是相當的。”
作者同樣也指出了，對于簡單幾何，或者說可以方便的手動劃分網格的模型，更多的依賴于8節點的六面體網格，通常稱為“砌磚單元”。而對于復雜幾何模型通常采用自動或半自動的方式劃分網格，自動生成網格的算法通常采用四面體，而非六面體。原因是通常的三維模型不能精確的被六面體堆砌所描述，然而總能剖分為四面體單元的集合。
我們在結構研究分析中也總是對比四面體和六面體劃分的模型，并得到了比較可靠計算結果對比。無論對于哪種單元類型，較少的節點數，會導致低精度。4節點四面體和8節點六面體通常用于近似直線的邊界模型中，而對于曲線邊界模型，要得到更精確的解，需要更多節點和單元數，或者采用10節點二次四面體，20節點二次六面體。
展開 對于大型模擬應選擇四面體網格還是六面體網格？
對于大型模擬應選擇四面體網格還是六面體網格？
四面體網格劃分簡單，但精度不高，且網格數量大。
六面體網格劃分需耗費大量的時間，且對網格劃分經驗要求高，但網格數量較少，可節省計算時間且精度高。
那么對于大型模擬，是選擇四面體網格佳，還是六面體網格佳？
就這一問題，技術鄰平臺各路豪杰顧抒己見，分享了自己的經驗之談。
總的來說，四面體網格和六面體網格從不同的角度各有各的優勢，在進行大型模擬的時候需根據想獲得的結果擇優，或者結合使用，相輔相成。專家君莫從各個角度，較詳盡的表達了自己的觀點。
君莫
1.說說計算精度
有限元中，為了提高計算精度，一種辦法是增加離散單元的數量，另一種就是使用更高精度的單元，比如六面體或者高階單元，一般的商業軟件，均采用h單元，最高階才到2階，只有少數有限元軟件采用p收斂的高階單元。所以從理論上講，為了提高計算精度，使用更多的四面體網格和使用較少的高階六面體網格這兩種方法都可以實現。
2.實際工程應用
上述兩種方法也各有優缺點，四面體精度差，但是適應性強，六面體精度相對較高，但是很多很多復雜零件是很難完全用六面體網格離散的。這時候就不得不使用四面體網格進行離散。
3.折中考慮
在有些商業有限元軟件中，可以實現四面體與六面體網格的耦合，比如在需要重點考慮的部位，通過幾何切分，將其切分為規則體。然后劃分六面體網格，在不太關心的位置使用四面體進行離散。兩種網格的分界面通過綁定等進行約束。
4.未來趨勢
(1)升階譜有限元 采用高階形函數，即高階單元，比如，5階，8階單元 這樣即使采用四面體同樣也能獲得很高的精度。
(2)無網格法，避免拉格朗日網格嚴重變形帶來的精度降低問題，這里已經沒有四面體六面體的概念了。
展開 仿真筆記——有限元四面體網格與六面體網格的爭議
關于在有限元實體建模中，采用四面體網格還是半自動六面體網格，在CAE工程師中存在著廣泛的爭議。
對于包含局部薄殼特征的裝配實體結構，在集中載荷的作用下，不同的材料屬性，自動網格劃分產生的不同的單元延伸率都會影響單元的計算精度，而不只是單元類型會對其有影響，復雜的設計往往會帶來大規模的自由度問題。通常，檢驗單元的標準包括具備完整的形狀函數多項式，邊界連續性，適用于貼片測試，收斂性。這個問題的癥結在于如何獲得復雜區域的精確計算結果，而不是孤立的判斷四面體和六面體網格的優缺點。
六面體和四面體各自優越性
IBM研究部門的A.O. Cifuentes 和A.Kalbag發表的一篇名為《三維四面體單元在結構分析中的性能研究》的論文，得出了一個有趣的結論。“……這里研究了一次和二次的四面體，及六面體單元在不同結構問題的特性，這些結構問題包括彎曲，偏轉，扭轉和軸向變形。觀察到了采用二次四面體和六面體單元的分析在求解精度和CPU時間上是相當的。”
作者同樣也指出了，對于簡單幾何，或者說可以方便的手動劃分網格的模型，更多的依賴于8節點的六面體網格，通常稱為“砌磚單元”。而對于復雜幾何模型通常采用自動或半自動的方式劃分網格，自動生成網格的算法通常采用四面體，而非六面體。原因是通常的三維模型不能精確的被六面體堆砌所描述，然而總能剖分為四面體單元的集合。
我們在結構研究分析中也總是對比四面體和六面體劃分的模型，并得到了比較可靠計算結果對比。無論對于哪種單元類型，較少的節點數，會導致低精度。4節點四面體和8節點六面體通常用于近似直線的邊界模型中，而對于曲線邊界模型，要得到更精確的解，需要更多節點和單元數，或者采用10節點二次四面體，20節點二次六面體。
展開 
ANSA中劃分四面體網格的方法及步驟
5.四面體網格生成
ANSA的四面體生成需要在二維網格生成后，在此基礎上定義一個體，然后再進行四面體網格劃分。體檢測有三種方法，可根據需要進行選擇。
體定義完成后，可以打開Volume列表，直接對體進行網格劃分。也可選擇體網格劃分菜單下的Mesh Volume功能，選擇對應的四面體網格劃分方式進行網格劃分。本文采用第一種方式進行四面體網格生成。生成網格如圖所示。
ANSA中劃分四面體網格的方法及步驟.pdf
有限元基礎（四）-四面體與六面體的比較_上
關于在有限元實體建模中，采用四面體網格還是半自動六面體網格，在CAE工程師中存在著廣泛的爭議。
對于包含局部薄殼特征的裝配實體結構，在集中載荷的作用下，不同的材料屬性，自動網格劃分產生的不同的單元延伸率都會影響單元的計算精度，而不只是單元類型會對其有影響。復雜的設計往往會帶來大規模的自由度問題。
通常，檢驗單元的標準包括具備完整的形狀函數多項式，邊界連續性，適用于貼片測試，收斂性。這個問題的癥結在于如何獲得復雜區域的精確計算結果，而不是孤立的判斷四面體和六面體網格的優缺點。
六面體和四面體各自優越性
IBM研究部門的A.O. Cifuentes 和A.Kalbag發表的一篇名為《三維四面體單元在結構分析中的性能研究》的論文，得出了一個有趣的結論。“……這里研究了一次和二次的四面體，及六面體單元在不同結構問題的特性，這些結構問題包括彎曲，偏轉，扭轉和軸向變形。觀察到了采用二次四面體和六面體單元的分析在求解精度和CPU時間上是相當的。”
作者同樣也指出了，對于簡單幾何，或者說可以方便的手動劃分網格的模型，更多的依賴于8節點的六面體網格，通常稱為“砌磚單元”。而對于復雜幾何模型通常采用自動或半自動的方式劃分網格，自動生成網格的算法通常采用四面體，而非六面體。
原因是通常的三維模型不能精確的被六面體堆砌所描述，然而總能剖分為四面體單元的集合。
我們在結構研究分析中也總是對比四面體和六面體劃分的模型，并得到了比較可靠計算結果對比。
無論對于哪種單元類型，較少的節點數，會導致低精度。4節點四面體和8節點六面體通常用于近似直線的邊界模型中，而對于曲線邊界模型，要得到更精確的解，需要更多節點和單元數，或者采用10節點二次四面體,20節點二次六面體。
展開 有限元基礎（五）-四面體與六面體的比較_下
現有存在的技術是，劃分網格是可以輕松的從1階四面體和六面體網格分別轉換成2階四面體和六面體網格。采用P-method，可以在不增加計算機資源的前提下增加10節點2階四面體的自由度，從而達到或超過20節點2次六面體網格的精度。比起是用四面體還是六面體的老生常談，這才是提高計算精度，成本效益的根本所在。
混合迭代和稀疏矩陣的新技術的出現，可以根據求解的需要任意的選用1階的四面體，六面體或采用P-method的2階四面體，六面體。因此，對于復雜裝配體可以在劃分完實體網格后進行有限元的裝配和連接。這種求解方式，在求解大規模自由度問題時節省CPU時間和存儲空間。事實上，這一新技術的性能，以及10節點二次四面體具有較小帶寬的系統矩陣，使得在相同求解精度的情況下，比20節點六面體求解更快。
為了避免一場新的辯論，這次看一看關于采用P-method和H-method的四面體和六面體的自適應網格情況。大多數工程師認為采用自適應網格是確保應力收斂和精度的唯一途徑。無論H-method，還是P-method的自適應網格都廣泛應用。H-method網格應用于高應力區，P-method可以通過增加多項式階數，更好的描述單元的形函數。
采用P-element，可以簡單但非常明顯的提高四面體和六面體網格的精度。如果使用了合理的初始網格，網格重構就沒有意義了。P-meshing方法只用于通過提高形函數多項式，從而增加應力求解精度的情況。四面體P-element的剛度矩陣比六面體的更稀疏，因此求解速度更快。4節點四面體P-自適應網格只有在減少求解時間是才應用。一般選用中間節點貼付于幾何上的10節點二次四面體求解。
展開 【HyperMesh寶典】之四面體網格劃分
本貼原創，作者：AltairChina 方獻軍
四面體網格劃分在HyperMesh中可以說是非常簡單的。基本思路是先劃分外表面的三角形網格，然后由外向內生成四面體網格。
對外表面的三角形的基本要求有：
1、精確捕捉幾何特征
2、形成封閉空間
3、單元質量不能太差
3、相鄰單元的法向夾角不能太小
4、相鄰兩片外表面之間的距離不能太小
先用一個簡單的結構四面體的例子來說明：
Step1、打開幫助文件中的manifold_surf_mesh.hm
Step2、檢查自由邊
因為該模型沒有自由邊，點擊find edges后，屏幕左下角會顯示
如果有自由邊，那邊使用幾何/網格編輯工具修復。
再檢查T型連接
因為該模型沒有T型連接，點擊find edges后，屏幕左下角會顯示
如果有T型連接，那邊使用幾何/網格編輯工具修復。
Step3、生成四面體單元
如果是結構四面體，使用如下設置可以直接生成四面體，這里我們讓程序自動將四邊形切割成三角形。
或者先在split面板將四邊形切割成三角形
如果是CFD分析用的體網格，需要先在CFD tetramesh面板生成邊界層
對于復雜流體空間，可以使用1st cell height calc按鈕計算第一層邊界層的厚度。
展開 基于ANSA的四面體網格
本文主要介紹了ANSA中四面體網格的生成功能，其中包括導入零件文件后的幾何清理，生成三角形面網格（用于生成四面體網格）及提高面網格質量，創建四面體網格，質量檢查，輸出文件等四面體網格生成的全過程。 在“4 生成高質量的三角形面網格”這一部分中對提高面網格的質量進行了很詳細的說明，介紹了我們生成四面體網格時最典型最常用的方法。
基于ANSA的四面體網格.doc
HyperMesh四面體網格劃分
四面體網格劃分在HyperMesh中可以說是非常簡單的。基本思路是先劃分外表面的三角形網格，然后由外向內生成四面體網格。對外表面的三角形的基本要求有：
精確捕捉幾何特征；
形成封閉空間；
單元質量不能太差；
相鄰單元的法向夾角不能太小；
相鄰兩片外表面之間的距離不能太小。
實例說明
用一個簡單的結構四面體的例子來說明。
Step1
打開幫助文件中的manifold_surf_mesh.hm
Step2
檢查自由邊。
因為該模型沒有自由邊，點擊find edges后，屏幕左下角會顯示：
如果有自由邊，那邊使用幾何/網格編輯工具修復，再檢查T型連接。
因為該模型沒有T型連接，點擊find edges后，屏幕左下角會顯示：
如果有T型連接，那邊使用幾何/網格編輯工具修復。
Step3
生成四面體單元。
如果是結構四面體，使用如下設置可以直接生成四面體，這里我們讓程序自動將四邊形切割成三角形。
或者先在split面板將四邊形切割成三角形。
如果是CFD分析用的體網格，需要先在CFD tetramesh面板生成邊界層。
展開 Moldex3D模流分析之四面體網格
四面體網格 (Tetrahedral Mesh)自動生成法是最簡單的三維度實體網格建立方法。使用者可以從封閉表面網格輕松建立四面體網格。此方法的缺點在于它的每個單位體積需要較多的元素，才能達到與其他實體網格類型相同的網格質量。此處描述的網格質量是由 Moldex3D Mesh 中的質量表格，以及厚度方向之間的元素圖層數目所定義。使用四面體網格自動生成方法，使用者無法完全控制塑件的元素層數。因此，CAE 分析有時候無法提供較差質量區域中的正確溫度分布。若四面體網格未符合求解器的需求，系統便會產生發散或不合理的結果，尤其是較薄的塑件。
另一方面，混合式網格 (Hybrid Mesh) 生成與四面體網格生成有顯著的差異。用戶可以輕松控制網格質量以符合求解器的需求。此方法的缺點在于，經驗不足的使用者需花較多時間來架構網格。混合式網格的架構時間是四面體網格自動生成的三倍或以上。對于大部分的使用者來說，這是一大缺點，雖然它可以達到較高的網格質量。
為解決上述困境，Moldex3D Mesh 還提供邊界層網格 (BLM) 法。針對 BLM，使用者無需在實例化網格上花很多時間。此外，BLM 所產生的實體網格質量相當良好，已足以進行 CAE 分析，可取得準確的結果。一般而言，它會為整個塑件在厚度方向之間提供至少五個元素層數。如此一來，便可更準確模擬在模穴邊界由剪切生熱現象所導致的溫度升高。再者，亦可更加準確地預測填充、壓力曲線等的分析結果。三種網格生成法的詳細比較會于本章節結尾的表格中列出。
四面體網格自動生成和 CAE 溫度分布
BLM 和 CAE 溫度分布
不同網格生成法之間的比較
針對射出成型的 CAE 分析，塑件厚度方向之間的元素圖層數目非常重要，因為他決定著分析結果的分辨率。以厚度方向的溫度分布來當做范例。
展開 
Hypermesh網格劃分四面體-六面體網格聯合使用技巧
有很多的小技巧可以加快建模速度以及分析速度，比如本期要講解的四面體-六面體網格聯合使用方法。
四面體六面體網格聯合使用的關鍵是兩者之間的網格協調，保證節點重合。雖然在有限元軟件里面可以設置連接關系，保證二者之間的傳力，但是可能造成應力不聯系，并且過多的tie可能會影響計算速度。因此，網格劃分過程中，我們最好保證二者之間網格共節點。
本例使用的幾何模型如圖所示，由一個帶缺口的圓柱體，一個長方體，和一個四棱柱組成。
幾何模型
顯而易見，圓柱體以及長方體可以劃分成六面體，但是也要注意保證二者之間的節點重合，我們可以通過面網格map的形式保證二者之間的網格連續。
本例的重點是，如何保證四棱柱與長方體之間的網格連續，方法是根據長方體的六面體網格生成面網格。使用F12工具對四面體其他5個面進行網格劃分，最終運用如下圖所示四面體生成工具，選擇根據面網格生成體網格的形式，完成四面體網格劃分。
四面體網格生成方法
最終效果如下圖所示
網格劃分最終效果
詳細操作過程見視頻 http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c10167
購買視頻的同學請連續我，可提供hypermesh模型。
歡迎大家收看并留言，謝謝！
技術鄰:小月
展開 四面體網格，六面體網格，低高階單元，對比研究
00 網格怎么選
四面體網格適應性強，自動化高。六面體網格雖然質量高，但劃分起來更麻煩。到底該怎么選擇？本文用一個例子進行對比研究。
01 幾何模型
02 部分網格展示
04 用低階六面體單元進行仿真計算
某兩點的位移隨節點數的變化趨勢：
某應力梯度較小位置的應力隨節點數的變化趨勢：
某應力梯度較大位置的應力隨節點數的變化趨勢：
05 用高階六面體單元進行仿真計算
某兩點的位移隨節點數的變化趨勢：
某應力梯度較小位置的應力隨節點數的變化趨勢：
某應力梯度較大位置的應力隨節點數的變化趨勢：
06 六面體單元的相關結論
01 位移結果可靠，節點數和單元階數的影響較小；
02 應力梯度較小位置的應力結果可靠，節點數和單元階數的影響較小；
03 應力梯度較大位置的應力結果不可靠，節點數和單元階數的影響較大；
07 四面體單元仿真計算與相關結論
01 高階四面體單元的位移結果可靠，節點數的影響較小；
02 低階四面體單元的位移結果不可靠，建議不要使用；
03 高階單元在應力梯度較小位置的應力結果可靠，節點數的影響較小；
04 低階單元在應力梯度較小位置的應力結果不可靠，建議不要使用；
05 應力梯度較大位置的應力結果不可靠，節點數和單元階數的影響較大；
08 總結論
01 在結構有限元分析中，建議不要使用低階四面體單元；
02 對于位移結果來說，六面體單元，高階四面體單元的求解都是可靠的，并且節點數影響較小。
展開 美國布朗大學Ou Chen教授今日Nature：來自去頂四面體量子點中的超結構
甚至最簡單的柏拉圖形狀，四面體，當被組裝在一個確定的空間中時，也會變得復雜，因為它不在歐幾里德幾何的三維（3D）空間中平鋪。在研究人員提出四面體可能具有任何凸形的最低堆積密度之后，它們排列成的致密相就引起了科研人員極大的興趣。到目前為止，四面體填充的數學構造已經取得了相當大的進展，這包括以準晶方式組裝四面體的開創性工作。與廣泛的數學研究不同，這一領域的實驗成果報道很少。組裝四面體的復雜超結構，尚未通過實驗觀察到。
【成果簡介】
近日，來自美國布朗大學的Ou Chen教授（通訊作者）在Nature上發表文章，題為“Superstructures generated from truncated tetrahedral quantum dots”。作者報道了通過控制組裝條件，將去頂四面體量子點（TTODs）納米晶體組裝成三種不同的超結構——一維手性四螺旋、二維準晶近似超晶格和基于三維團簇的體心立方單晶。利用實空間和倒易空間中的技術，作者團隊成功地表征了從納米晶體平移有序到單個量子點的原子取向排列的超結構。作者的組裝模型表明，納米晶超結構的形成主要是由四面體的各向異性斑片狀引起的選擇性面對面接觸所決定的。這項研究提供了關于將非球形納米晶體組裝成復雜超結構的信息，并可能增強自組裝納米晶超材料在實際應用中的潛力。
【圖文導讀】
圖1. TTQD構件和四螺旋組件的特性
圖2. 基于3D團簇的bcc單晶的表征
圖3.
展開 案例實操：四面體單元懸臂梁的Matlab有限元編程過程講解
之前的課程我們學習了一維梁單元，二維平面單元，三維板殼單元的matlab有限元編程，本次案例主要講解如何用matlab實現針對四面體單元劃分的三維結構進行有限元編程，具體案例是一個懸臂梁受集中荷載的問題。圖1為本案例Matlab編程計算得到的結果。主要內容涉及四面體單元的有限元基本理論的推導，主要是單元剛度矩陣的推導，此外還包括等參單元和Hammer數值積分以及三維問題的后處理計算。
圖1 懸臂梁受集中荷載的應力云圖
一個完整的有限元程序基本組成部分包括前處理模塊、分析主程序模塊和后處理模塊。在前處理模塊中，實現節點坐標輸入、單元節點編號、網絡劃分以及邊界條件輸入等工作；在分析主程序模塊中，求解整體剛度方程；在后處理模塊中，實現結果顯示、數據輸出等工作。對應的有限元法的基本步驟：（1）幾何域離散，獲得標準化的單元；（2）通過能量原理（虛功原理或最小勢能原理，獲得單元剛度方程；（3）單元的集成（裝配）；（4）處理位移邊界條件；（5）計算位移場；（6）計算單元的其他物理量（應力應變）。這幾步中，最核心的內容是單元研究，具體包括：（1）節點描述（不同坐標系節點坐標的變化）；（2）場描述（位移場，應變場，應力場，形函數）；（3）單元剛度方程（基于能量原理推導）。需要說明的是后文的四面體單元有限元方程的推導過程是基于等參單元的基本理論從局部坐標（自然坐標、體積坐標）出發來推導四面體單元的剛度矩陣，因為這樣做比較規范自然，推導過程也適用于其他類型單元。但是因為四面體單元相對簡單也可以直接從直角坐標（全局坐標）進行推導，具體推導過程可參考清華大學曾攀老師的課程，直接從直角坐標（全局坐標）進行推導的過程省去了等參單元雅各比矩陣呀等坐標系映射的各種概念，理解起來相對容易。
展開 