慣性矩的案例
VDI2230中關于扇形圓環截面的慣性矩公式小結 ￥10
背景：
在學習螺栓強度校核VDI2230的過程中，有使用到求：螺栓連接面的慣性矩問題。其中遇到對于圓周均勻分布的螺栓求取單個螺栓在通孔位置的慣性矩公式。
VDI2230未注明公式出處，為驗證準確性與機械設計手冊公式及制圖軟件進行對比。該過程中注意到如下問題：
問題：
機械設計手冊中關于“扇形圓環” 慣性矩的公式：
設計手冊中關于Ix特指穿過截面重心“S”的xx軸慣性矩。
當關注的軸線沒有穿過截面重心“S”時，簡單將Ix公式中ys替換為y會造成錯誤。
示例：
使用3D軟件和手冊推薦公式進行對比
原因：
關鍵點在于手冊中的“ys”特指穿過截面重心“S”的xx軸與圓心ox軸的距離。
展開 動力總成主慣性矩計算及扭矩軸(TRA)位置確定
1、主慣性軸和扭矩軸
假設一個剛體繞任意方向的軸線旋轉，此時一般會有一個使該旋轉軸方向改變的力矩產生，但肯定會存在一些軸線使剛體繞其旋轉時，不產生改變方向的力矩，這樣的軸線即為剛體的主慣性軸，繞主慣性軸的轉動慣量稱為主慣性矩。在剛體內的任一點只存在三個相互正交的主慣性軸（見圖1）。
圖1主慣性軸示意圖
換言之，動力總成在作自由扭轉振動時，它必然以主慣性軸作為扭轉的中心軸，當一個擾動力或力矩作用于發動機主慣性軸上時，則發動機沿此主慣性軸平動或轉動。實際上，對于動力總成來說，扭轉外力來自于發動機曲軸，通常曲軸與主慣性軸一般不重合（見圖1），而存在一定的夾角，因而在此外力矩的作用下，發動機并不沿任何一根主慣性軸轉動，而是繞某一根特殊軸轉動，此軸即為扭矩軸(TRA)。
扭矩軸的大小與主慣性矩幅值和他們相對于曲軸的方向有關，其位置由動力總成的三個主慣性矩以及三根主慣性軸在參考坐標系（曲軸坐標系）中的方向余弦唯一確定。如果把左右懸置的連線放置在扭矩軸（TRA）線上，隔振效果最佳，動力總成只繞扭矩軸線振動，而不會引起繞其它軸線的旋轉和平動，并具有較好的橫向穩定性。
2、扭矩軸（TRA）計算實例
2.1、Matlab計算（質心坐標系）
動力總成在質心坐標系中的轉動慣量以及慣性積Ixx 、Iyy 、Izz 、Ixy 、Ixz 、Iyz 很容易通過實驗得到，見表1。
表1測得的動力總成的慣性參數
通過構建慣性矩矩陣如下：
求解此矩陣的標準特征值，所得到的三個特征值即為主慣性矩，特征
值所對應的模態向量即為相應的主慣性軸的方向余弦。圖2為Matlab程序計算界面。
展開 AQWA中慣性矩的計算
源自《船舶耐波性》
橫向慣性半徑：
縱向慣性半徑：
源自《船舶原理》下
杜埃爾公式：
Zg為以基線算起的重心高度。
在模型試驗中，為保證慣性力相似，對實船慣性矩的估算多采用慣性半徑法，把船體縱搖慣性矩寫成：
通常取
文章來源：CFD流場分析
有限元基礎編程 ｜高階單元計算環形區域慣性矩
本次給大家分享的是：如何使用有限元方法近似估計環形區域慣性矩？
主要圍繞以下內容進行展開：
直角坐標-極坐標-等參元坐標的相互轉換；
采用高斯積分法計算慣性矩積分公式；
粗網格（兩個8節點單元）離散計算域；
細網格（八個8節點單元）離散計算域。
塑膠的結構設計：加強筋篇（上）
圖：某玻纖增強ABS性能表
鑒于此，增大塑膠件的剛度，應設法增大塑膠件截面慣性矩I值。下面介紹截面慣性矩是如何影響塑膠件的剛度的。
2、慣性矩的計算
把塑膠件簡化成一根簡支梁，在梁的上方施加力，梁在力的作用下發生彎曲變形。
中性軸與中性層
如果設想梁是由無數層縱向纖維組成的，由于橫截面保持平面，說明縱向纖維從縮短到伸長是逐漸連續變化的，其中必定有一個既不縮短也不伸長的中性層（不受壓又不受拉）。中性層是梁上拉伸區與壓縮區的分界面。中性層與橫截面的交線，稱為中性軸，如下圖所示截面aabb中，cc為中性軸。
慣性矩：其物理意義是指截面抵抗彎曲的性質。結構設計和計算過程中，構件慣性矩I為截面各微元面積與至截面上指定軸線距離二次方乘積的積分。
注意：同一截面，對不同軸的慣性矩是不同的。
舉例：假設有一截面，如下圖，寬為b，厚為h，求截面對形心軸zc和yc的慣性矩。
由此可見，如果b不等于h，那么Izc不等于Iyc。同時如果改變厚度的值，慣性矩的變化就越大，這也是為什么增加塑膠件的壁厚，相應的剛度急劇增大的原因。
以上是矩形截面慣性矩的計算公式，如果是以下這種復合截面又怎么算呢？
首先需要計算出組合截面形心C的位置：
由上圖，Zc，y 為其形心軸，y 位置已知（圖形關于 y 軸對稱），Zc 位置未知（需要計算）。
計算過程：將基準線定在上面黃色矩形的上邊沿上，因此，可以得到黃色矩形的形心C1離基準線的距離為 t1 ，而紅色矩形的形心C2離基準線的距離為 t2。
展開 梁構件，你不得不知道的事
涉及到的關鍵詞：中性層，中性軸，慣性矩，抗彎模量。以下公式，包辦一切梁，深梁除外。
08 雖然經常不需要考慮梁的切應力（因為切應力通常比較小），但考慮的話，梁的切應力會是怎么樣的？
Timoshenko梁假設切應力在截面上是均布的，但其實根本就不是均布的！！
09 校核梁的強度，一般只需要考慮彎曲正應力，換句話說，就是調節彎矩和截面的抗彎模量。所以如何設計梁才合理？
第一，合理布置支座，比如
附：
01 什么是靜矩？（也叫一次矩）
注意積分變量是面積。
02 什么是慣性矩?（也叫二次矩，和梁截面正應力的計算相關，重要）
注意積分變量是面積，被積函數是平方形式。
03 什么是極慣性矩？
對極點的慣性矩，注意積分變量是面積。
04 什么是轉動慣量？
注意積分變量是質量。
05 容易造成混亂的稱呼有哪些？
慣性矩也叫做，面積慣性矩、面積轉動慣量。轉動慣量也叫做，質量轉動慣量，質量慣性矩。寫到此，筆者心中一萬只草泥馬奔騰。
以下為八卦話題
但筆者覺得八卦也能揭示真理。
01 本文討論的梁，局限于材料力學，材料力學有啥用？
可以說一般機械工程師掌握好材料力學，將一生夠用。不過這不是因為材料力學牛，而是因為你只是一枚名不見經傳的工程師。
02 劉鴻文簡介
浙大教授，長期從事固體力學教學工作，從政履歷較為豐富，但僅限于人代和政協的職位，你懂的。其著作主要是圍繞材料力學，編的很好，堪稱一代名師。
學而優則仕在中國有悠久的傳統，劉教師從政沒有任何問題。
展開 扭矩測量在高速應用中的挑戰
wx_fmt=jpeg"></p><p><em style="color: rgb(136, 136, 136);">圖3 顯示了1kNm范圍內不同扭矩傳感器的質量慣性矩及其最大轉速比較</em></p><p><br></p><p><strong style="color: rgb(0, 51, 90);">結論</strong> </p><p><span style="color: rgb(68, 68, 68);">除了通過選擇合適的材料（如鈦）來減輕重量外，實際測量體的設計在減少質量慣性矩方面也起著重要作用。在高速和動態應用中使用，HBK扭矩傳感器</span><strong style="color: rgb(51, 182, 177);">慣性矩</strong><span style="color: rgb(68, 68, 68);">比傳統傳感器大幅減小，且不會影響剛度或測量性能。因此，我們的傳感器非常適合于測試</span><strong style="color: rgb(51, 182, 177);">非常緊湊的驅動系統</strong><span style="color: rgb(68, 68, 68);">，或者用于模擬車輛駕駛條件的</span><strong style="color: rgb(51, 182, 177);">動態負載測試臺</strong><span style="color: rgb(68, 68, 68);">。</span></p><p><br></p><p><span style="color: rgb(68, 68, 68);">一般來說，日益增強的環保意識和可持續性的趨勢將影響交通的進一步發展。基于應變的扭矩傳感器在未來將繼續發揮重要作用，并成為優化機器、飛機和車輛部件過程中不可或缺的一部分。
展開 FLUENT中被動型動網格問題求解方案：6DOF（2）
利用該模型時，需要確定計算模型中運動部件的質量、三方向轉動慣量及慣性矩、重心坐標。因此在幾何模型創建過程中，盡量使這些值容易獲取（比如將重心位置放置在坐標原點），當然這不是必須的，在CAD建模軟件中都包含了這些物理量的查詢。
圖 1 旋轉體幾何
如圖1所示的幾何體，在受到圖中流動方向的流體作用下，若軸向旋轉自由度未被約束，則會產生旋轉位移。本次實例幾何如圖1所示。
在建立流體計算域之前，需要利用CAD軟件獲取幾何的特征物理量，我們這里使用Solidworks實現此功能。
1、獲取幾何屬性
利用solidworks載入幾何體，進入【評估】>【質量屬性】，選擇幾何體進行計算，如圖2所示。
圖 2 質量屬性
在計算幾何質量屬性對話框中，可以點擊【選項】按鈕，設置材料參數，如圖3所示。
圖 3 幾何參數
從圖2可以看出，該幾何體的重心（0,0,25.19），Z方向慣性矩IZZ=324047.793g*mm^2，由于我們的幾何體約束了X,Y,Z三方向移動自由度，X，Y方向的旋轉自由度，因此只需要Z方向的慣性矩。需要注意的是，這里的單位是mm，而UDF中必須全部為國際單位制，需要做單位轉換。
2、計算域模型
在workbench中的DM中創建計算域模型。主要是利用DM中方便的布爾運算功能。建立的計算域如圖4所示。
圖 4 計算域模型
為計算域邊界命名，分別命名內部區域面、入口面、出口面、圓柱面邊界為：WallRotation、VelocityInlet、Outlet、wallCylinder。
計算域建立完畢后即進行網格的劃分，這里不詳細描述。
3、UDF宏的編寫
利用文本編輯器編寫UDF宏文件。
展開 如何快速建立大型多體動力學模型
如前所述，還可以點擊創建剛體域 按鈕將質量和慣性矩節點添加到每個自動生成的剛性域。為此，你需要選中自動模型設置部分中的包括質量和慣性矩框。這會將所有剛性域的質量密度設置為零，并添加一個質量和慣性矩節點，這樣你就可以在其中將集中質量和慣性矩輸入到每個剛性域中。
在人體坐姿的生物力學模型中，創建剛體域按鈕用于在六個身體部位的每一個部位添加單獨的剛體域節點。通過自動添加的質量和慣性矩節點為每個零件的集中質量和慣性矩建模。
自動化齒輪建模
自動模型設置功能中的另一個重要新增功能是創建齒輪按鈕，用于在多體動力學 接口中自動生成齒輪節點。
無論是汽車和玩具，還是風力渦輪機和發條鐘，齒輪是大多數機器不可或缺的組成部分。這些機器都使用了不同類型和尺寸的齒輪，用于在不同零件之間傳遞機械動力。通過連續嚙合相鄰齒輪，能夠讓齒輪系統改變軸間速度或運動方向。
與其他機械傳動系統（如皮帶傳動和鏈傳動）不同，齒輪傳動可用于在平行軸和非平行軸之間傳輸動力。傳遞高扭矩、高效率和緊湊尺寸的能力是對齒輪特征的額外需求，這使其成為許多工業機器的理想組成部分。
在設計含齒輪的機器時，進行數值建模至關重要。與分析計算和經驗法則相比，精細的數值模型總是可以為大多數實際問題提供優化的解決方案。COMSOL Multiphysics 提供了一種簡單的方法對不同齒輪類型及其之間的連接進行數值建模。
展開 抗彎慣矩、抗扭慣矩的物理意義
慣性矩
有了靜矩的分析經驗，我們還是來“望文生義”，把慣性矩看為“慣性力矩”，慣性力指的是什么呢？
什么時候有慣性？當然是運動的時候啦，所以，這回和剛體運動聯系上，物體發生轉動的時候，有外力矩=轉動慣量*角加速度的關系，那么回顧一下轉動慣量是怎么定義的：
其中，m是質量，r是半徑，長度單位。
從上圖可見，是不是找到相似之處了？同樣是面積量(這里把面積等同于質量)乘以到坐標軸力臂的平方：
至于“慣性”也好理解，截面在受彎時，是不是可以理解為繞著中性軸發生截面的微小轉動呢？
上面的公式，分別是表示繞著Z軸轉的Iz和繞著Y軸轉的Iy，那么在一個平面內，只能繞著兩個軸轉么？能繞著一個點轉嗎？別忘了還可以引入“極坐標”的概念：
想一想，一個截面，繞著一個點旋轉，是什么效果？這就是扭轉啦！
慣性積
注意上面的各種“力臂”，討論了一階的力臂，也討論了一階力臂的平方，那么將兩個一階力臂相互乘積，能得到什么物理量：
如果截面對Y或Z有一個對稱軸，則Iyz=0，它的意義在于——表明截面是有對陣軸的，那么稱這對使慣性積為零座標軸稱為慣性主軸，若是慣性主軸再通過形心，就叫形心主軸。
展開 聯合ABAQUS與Fe-safe的隨機振動疲勞分析（隨機疲勞理論及有限元軟件操作講解） ￥25
2.3 應力功率譜密度慣性矩與不規則因子
在時域中，常用一些統計參數來描述一個隨機應力應變時間歷程中1s的樣本，如圖2所示，圖中E[0]為樣本中自下而上穿越均值的次數，E[P]為樣本中出現峰值的次數。
E[0]和E[P]可以通過功率譜密度函數的i階慣性矩mi換算得到。慣性矩即為功率譜密度函數曲線下包括的面積。如圖3所示。
應力功率譜密度的第 i 階慣性矩 mi 為
不規則因子計算公式為
不規則因子γ，來分辨平穩過程X(t) 是符合窄帶過程還是寬帶過程。當不規則因子γ接近0時，平穩過程X(t) 符合寬帶隨機過程。當不規則因子γ趨向于1時，平穩過程X(t)符合窄帶隨機過程。
2.4 隨機振動疲勞壽命計算
振動耐久理論研究興起于20世紀80年代末，很多學者專家為此做了很多研究，因此振動疲勞壽命的計算方法也比較多，其中Dirlik算法具有廣泛的應用范圍，且計算結果與試驗結果最接近，成為基于功率譜密度計算疲勞失效的首選算法，已被大多數商用疲勞分析軟件采用。
2.4.1 Dirlik 雨流幅值分布模型
Dirlik通過Monte Carlo技術時域模擬，研究并總結出用1個經驗表達式去估計雨流循環幅值的概率密度函數，即應力幅值概率密度函數P(S)的經驗表達式為
m 0，m1，m2，m4 分別為功率譜密度函數的0，1，2，4階慣性矩；
γ 為不規則因子。
2.4.2 累積損傷理論與疲勞壽命計算
根據Miner線性累積損傷理論，結構的材料疲勞損傷為
式中，ni表示應力水平Si下實際應力循環次數，Ni表示應力水平為Si時的結構疲勞壽命。
展開 
(轉帖)對梁的扭轉問題的計算--經驗分享
后來我只好自己仔細尋找原因，剛才終于找到了問題所在：在用Patran進行前處理時，對梁單元輸入的參數除了輸入Izz element外，還應該輸入Torsional Const，即梁的極慣性矩。以前我多注意梁的彎曲問題，都只輸入Izz element，即彎曲慣性矩，而不用輸入極慣性矩。這次是進行扭轉分析，我竟然也只輸入了Izz element, 而沒有輸入TorsionalConst，這樣軟件就認為所計算的梁沒有抗扭轉能力，當然扭轉變形就大得離譜了。
理論上講，對于圓形截面梁，知道了Izz element, 就同時知道Torsional Const, 因為Torsional Const是Izz element的二倍，所以只輸入其中一個似乎就可以了。但是Patran軟件沒有那么聰明，并沒有把我輸入的Izz element自動轉化到Torsional const。所以最后還是要自己手動輸入才行。
從此例扭轉問題可見，有時用有限元軟件做模擬不要太想當然了。軟件畢竟是軟件，并沒有我們所期望的那么聰明，有很多很簡單的轉換關系它并不知道，所以還是要人手工輸入才行。
展開 對塔式起重機附著裝置力學分析的系列思考
----2017.11.23
（四）
上篇文章筆者和大家一起聊了撐桿慣性矩的概念，并在最后拋出了一個問題，今天的文章就來揭曉這個問題的答案。
眾所周知，慣性矩越大，越能抵抗構件失穩，回到第3篇文章中的圖4和圖5兩個撐桿的安裝方式，使用軟件計算兩根槽鋼所組成的撐桿慣性矩，見圖2。
圖1
由圖可知，該截面對X軸的慣性矩為18386666mm的4次方，對Y軸的慣性矩為458616666mm的4次方。將模型導入Ansys，進行必要設置，求解結果見下圖
圖2
圖3
經過計算，圖2的失穩載荷為2.69e6牛，圖3的失穩載荷為3.08e6牛。從結果可以看出，不管是哪種方式，撐桿都是向著綴板方向（弱軸）失穩，既然都是朝綴板方向失穩，那為什么失穩載荷的數值會有差異？
答案出現在連接附墻支座與撐桿的銷軸和連接附墻框和撐桿的銷軸上。經過筆者通過對圓管撐桿失穩計算發現，第一階失穩容易繞撐桿兩端銷軸軸線方向，正是這個原因，導致圖3的失穩載荷要大于圖2中的失穩載荷。看到這里，我想各位讀者應該知道日后出現槽鋼綴板結構的附墻撐桿應該如何安裝了吧。
展開 從零開始學振動（1）
Q2 彈性模量、慣性矩和力矩之間存在什么樣的關系？
彈性模量E 和慣性矩I 是衡量抗彎的性質，抗彎剛度=E*I，變形量=My/(EI)，其中y為長度，M為彎矩。
Q3 加速度傳遞函數(導納)的相位，理論上加速度傳遞函數的相位應該在0~-180 度之間變化，但實際中測試得到的傳遞函數相位大于零，是什么原因？
Arctan 自動取模了。如想真實描述系統響應的延遲時間，是不應該去模的。換一個角度說，取模以后相位只是延遲時間的零頭，因此正的相位延遲不表示響應比激勵超前發生。
Q4 倒立擺建模問題，摩擦系數作用是什么？
由于摩擦產生阻力，摩擦系數b 就相當于阻尼系數c，就是對運動的抑制或衰減作用。
Q5 已知一懸臂梁，材料是剛，密度7850KG/m3，長寬高分別為a=0.2m，b=0.06m，c=0.01m，彈性模量為210GPa。求此梁的剛度和固有頻率？
如果按照分布質量考慮，就需要用頻率方程計算固有頻率，有無窮多個固有頻率；如果按照集中質量計算，可以簡化成單自由度系統分析，只有一個固有頻率。
1. 懸臂梁自由端有轉角的情況下，
集中載荷作用在端點時，端點位移與載荷之間的剛度為3EI/L3，其中L 為梁長度，E 為彈性模量。截面慣性矩I=bh3/12，b和h分別為截面的寬和高。如果截面形式不同，或位移形式和位置不同，則形式有變化。
2. 懸臂梁自由端無轉角的情況，
Q6 剛體位移是什么？存在剛體位移時為什么用矩陣迭代法時第一階求出的是不是剛體位移？
這里所涉及的剛體模態是指結構處處存在位移，但沒有變形或沒有應變，這種平動或轉動在理論力學里稱為剛體運動，這里成為剛體模態。系統處于半正定就會出現特征值為零的剛體運動模態。剛體位移應該為剛體運動。
展開 袋除塵器鋼架和灰斗結構加固計算及有限元分析 ￥15
圖1 20#工字鋼加固方案
第一層5.7m長橫梁的組合應力比為1.17，原20#工字鋼的強軸慣性矩Iy= 23686112mm4，Wx=236861mm3，加固后強軸抗彎模量Wx需大于236861×1.17=277127mm3。根據圖1加固方案，加固后組合截面強軸慣性矩Iy= 43302284mm4，Wx=298636mm3>277127mm3,第一層5.7m長橫梁的組合應力比為0.92小于[1]滿足要求。
柱間支撐梁長細比應小于150，第二層5.7m長橫梁的長細比加固后弱軸的轉動半徑應滿足大于40mm，現將20#工字鋼加固為圖1。 加固后的截面的弱軸慣性矩Iy=14306561mm4，截面積A=7400mm2，轉動半徑r=44mm>40mm，經計算可得此截面的最大長細比為λ=130小于[150]，滿足要求；第二層40.4面20#工字鋼由于現場焊接16#槽鋼難以施工，因此獨立增加柱間支撐梁，與原20#工字鋼距離為500mm,新增柱間支撐選型為圓管Φ159x6,轉動半徑r=54mm>40mm，經計算可得此截面的最大長細比為λ=75小于[150]，滿足要求；
因此此加固方案能滿足要求。
（2） 灰斗加固
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