非彈性理論的案例
非等溫線彈性UMAT子程序及Abaqus內(nèi)部實現(xiàn)方法
本文介紹Abaqus官方教程的第2個案例——非等溫線彈性UMAT子程序。本文首先簡要介紹非等溫線彈性理論，再采用批注的方式介紹UMAT子程序的實現(xiàn)方法。最后將計算結(jié)果與Abaqus自帶材料的進行對比，探討Abaqus熱力耦合的實現(xiàn)方式。筆者水平有限，若有不足之處，煩請指出，不甚感激。
將拉梅常數(shù)看做是溫度的函數(shù)，則非等溫彈性張量方程為：
其中，l和m是拉梅常數(shù)，a是線膨脹系數(shù)，T是溫度。對方程兩邊取材料時間導(dǎo)數(shù)，得到Jaumann率形式：
寫成增量形式為：
Abaqus Standard采用增量法逐步施加載荷/位移，每步增加的應(yīng)力即可按上式進行計算。
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</p><p><br></p><p><span style="color: rgb(0, 0, 0); background-color: transparent;"> 非彈性非牛頓流體有多種本構(gòu)定律，需要擬合多個系數(shù)，此次的模型通過在comsol內(nèi)置全局最小二乘目標優(yōu)化，進行參數(shù)估計，優(yōu)化本構(gòu)方程系數(shù)，讓本構(gòu)方程的結(jié)果更貼近實驗數(shù)據(jù)。</span></p><p> 通常非彈性非牛頓流體的本構(gòu)定律有如下幾種，剪切速率和動力粘度的方程展示在下列。</p><p><br></p><div contenteditable="false" width="100%"><img title="QQ圖片20210127153318.png" style="max-width:760px;" alt="QQ圖片20210127153318.png" src="https://img.jishulink.com/upload/202101/f1bb0b848de4441c92d73ebeb33bd7bc.png" data-mobile-src="https://img.jishulink.com/upload/202101/f1bb0b848de4441c92d73ebeb33bd7bc.png?image_process=/format,webp/resize,w_400" data-pc-src="https://img.jishulink.com/upload/202101/f1bb0b848de4441c92d73ebeb33bd7bc.png?
展開 彈性力學(xué)的理論體系與學(xué)習(xí)建議
如果我們明白了彈性力學(xué)在思維培養(yǎng)上是雙向的，那么我們可以構(gòu)造一個三段式的彈性力學(xué)學(xué)習(xí)方法：
其一、按照學(xué)習(xí)工程的方式，理解彈性力學(xué)各知識點所對應(yīng)的工程背景，培養(yǎng)具象思維能力；
其二、按照學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，理解彈性力學(xué)各知識點所需要的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，培養(yǎng)抽象思維能力；
其三、依據(jù)力學(xué)原理，構(gòu)建在工程與數(shù)學(xué)之間的相互解釋、翻譯的橋梁，培養(yǎng)雙向綜合的力學(xué)思維。
幸好我們在數(shù)理基礎(chǔ)、理論力學(xué)、材料力學(xué)之后才學(xué)習(xí)彈性力學(xué)，上述的三者基本上就是前面這些課程的綜合提升。提到工程背景，材料力學(xué)為彈性力學(xué)提供了工程解釋的素材（如強度、剛度、穩(wěn)定性），可達到目標一；數(shù)理基礎(chǔ)就包括了高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、數(shù)理方程等等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，可達到目標二；彈性力學(xué)中用到的力學(xué)原理，完全可以在理論力學(xué)中找到原型，也就是借助于理論力學(xué)可以達到目標三。學(xué)習(xí)彈性力學(xué)要做好與前期課程的銜接，如圖2所示。
圖2 彈性力學(xué)知識點劃分與材料力學(xué)與數(shù)理課程的銜接關(guān)系
無論是學(xué)還是教，彈性力學(xué)只要能夠還原出這三類課程，在理解上就不會有大困難。如果再有難點，就是如何把這些零散的知識點體系化，融入到學(xué)習(xí)者已有的知識體系中。由此可以看出，學(xué)習(xí)彈性力學(xué)需要具有良好數(shù)理基礎(chǔ)、材料力學(xué)基礎(chǔ)、理論力學(xué)基礎(chǔ)，換言之，如果這些課程學(xué)的不是很好，可能學(xué)習(xí)彈性力學(xué)就會有困難。
但也完全不必氣餒，換個思路來考慮，前期課程沒有學(xué)好的話，在彈性力學(xué)里還會再學(xué)一次，得以加固。如果這些課程都沒有學(xué)好，彈性也還能學(xué)，彈性力學(xué)只是用到這些課程中的某些知識點，與系統(tǒng)學(xué)習(xí)該課程相比難度大大降低；并且在提到相關(guān)課程中的知識點時馬上就能體會其在彈性力學(xué)中的應(yīng)用，這和初學(xué)時“不知何用”在感情上更容易接受。有這兩點便利，只要自己不放棄，彈性力學(xué)就能學(xué)好。
展開 彈性流體動力油膜理論
在接觸區(qū)內(nèi)壓力很高，使表面產(chǎn)生相當大的彈性變形，同時也使其間的潤滑油粘度大為增加。理論分析和試驗研究證實，在一定的條件下，接觸區(qū)內(nèi)可形成將兩表面完全隔開的油膜。
這類潤滑問題的特點是：要考慮接觸面的彈性變形和潤滑油的粘度變化。
實際上，接觸體表面都不是絕對光滑的，設(shè)兩表面粗糙度的均方根值分別為和
用表示兩表面合成的粗糙度，
用 h 表示兩表面間形成的平均油膜厚度；
則表示彈流油膜比厚，它反映著彈流潤滑的性能。
當3" data-mobile-src="https://img.jishulink.com/images/202205/tZjrtupswVRT5euQNenMAp.png?image_process=/format,webp" data-pc-src="https://img.jishulink.com/images/202205/tZjrtupswVRT5euQNenMAp.png?
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轉(zhuǎn)貼——彈性力學(xué)的基本理論
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1 說明
該本構(gòu)完全從文檔《Writing User Subroutines with Abaqus》中摘抄而來，采用Fortran77格式編寫
2 理論文檔
需要考慮熱膨脹（熱應(yīng)變）和材料參數(shù)隨溫度變化。
3 與Abaqus自帶本構(gòu)的對比
4 改進
在Abaqus中，在設(shè)置材料與溫度相關(guān)的數(shù)據(jù)時，可以設(shè)置多組，如圖所示：
該子程序只處理了兩組數(shù)據(jù)點的情況。將其擴展至多個數(shù)據(jù)點的情況（改進后的代碼采用Fortran90編寫）：
! 插值函數(shù), 用于插值計算特定溫度下的材料參數(shù)值
! 文檔 "Writing User Subroutines with Abaqus" 只考慮了兩個數(shù)據(jù)點的情況
! 將其擴展至多個數(shù)據(jù)點的情況
! 輸入：
! * npt: 數(shù)據(jù)點個數(shù)
! * xp： 溫度列表
! * yp： 材料參數(shù)列表
! * x: 待求點溫度值
!
展開 NX 超彈性材料的大變形非線性分析
NX 高級非線性分析
NX高級非線性集成了強大的非線性解算器ADINA，能夠處理大量具有挑戰(zhàn)性的非線性仿真，這些仿真涉及面對面接觸、大變形、大應(yīng)變和非線性材料。可使用的材料模型有：彈性各向同性、彈性正交、復(fù)合、密封材料、彈塑性、超彈性、溫度依賴、非線性彈性和彈性蠕變。解決方案功能包括：靜態(tài)解決方案、動態(tài)解決方案、蠕變分析、負荷位移控制、自動時間步長。曲面接觸功能包括：單面和雙面、自接觸、全接觸、摩擦模型、偏移、剛性和柔性接觸曲面。包括了隱式解算器解決方案（SOL 601）和顯式解算器解決方案（SOL 701）。
本例使用解算序列：601，106
下壓500mm，以下是結(jié)果動畫。
該題目保證收斂性應(yīng)注意：網(wǎng)格劃分控制，可適當進行切分，材料參數(shù)中的屈曲模量需根據(jù)理論手冊中的計算設(shè)置。可能產(chǎn)生接觸的位置都定義接觸對（注意自接觸）。接觸穿深的設(shè)置會直接影響變形形狀和收斂性。
豎向剛度曲線：
展開 8_APDL基礎(chǔ)及仿真理論-–非線性屈曲分析
2、何為非線性屈曲分析Eigen Buckling
首先了解屈曲問題。在理想化情況下,當F < Fcr時, 結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，若引入一個小的側(cè)向擾動力，然后卸載, 結(jié)構(gòu)將返回到它的初始位置。當F > Fcr時, 結(jié)構(gòu)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài), 任何擾動力將引起坍塌。當F = Fcr時,結(jié)構(gòu)處于中性平衡狀態(tài)，把這個力定義為臨界載荷。在實際結(jié)構(gòu)中, 幾何缺陷的存在或力的擾動將決定載荷路徑的方向。在實際結(jié)構(gòu)中, 很難達到臨界載荷，因為擾動和非線性行為, 低于臨界載荷時結(jié)構(gòu)通常變得不穩(wěn)定。
要理解非線性屈曲分析，首先要了解特征值屈曲。特征值屈曲分析預(yù)測一個理想線彈性結(jié)構(gòu)的理論屈曲強度，缺陷和非線性行為阻止大多數(shù)實際結(jié)構(gòu)達到理想的彈性屈曲強度，特征值屈曲一般產(chǎn)生非保守解, 使用時應(yīng)謹慎。
非線性屈曲分析時考慮結(jié)構(gòu)平衡受擾動（初始缺陷、載荷擾動）的非線性靜力分析，該分析時一直加載到結(jié)構(gòu)極限承載狀態(tài)的全過程分析，分析中可以綜合考慮材料塑性、幾何非線性、接觸、大變形。非線性屈曲比特征值屈曲更精確，因此推薦用于設(shè)計或結(jié)構(gòu)的評價。
!3、非線性屈曲分析的理論計算及有限元計算
!理論解，根據(jù)Euler公式。其中μ取決于固定方式。
!有限元方法，
已知在特征值屈曲問題：
求解，即可得到臨界載荷
而非線性屈曲問題：
其中為結(jié)構(gòu)初始剛度， 為有缺陷的結(jié)構(gòu)剛度，{δ}為位移矩陣，{F}為載荷矩陣。
!4、弧長法的介紹(圖片摘于ansys)
如上分析，特征值屈曲分析得到的是非保守解，具有兩個優(yōu)點：快捷分析，屈曲模態(tài)形狀可用作非線性屈曲分析的初始幾何缺陷。因此為了得到較為精確的屈曲分析，還需要做非線性屈曲分析，結(jié)構(gòu)達到極限載荷時，非線性求解將發(fā)散，為獲得結(jié)構(gòu)屈曲后加載歷程的下降段，將會采用弧長法進行求解。
展開 非等溫各向同性線彈性umat開發(fā)
1 說明
該本構(gòu)完全從文檔《Writing User Subroutines with Abaqus》中摘抄而來，采用Fortran77格式編寫
2 理論文檔
需要考慮熱膨脹（熱應(yīng)變）和材料參數(shù)隨溫度變化。
3 與Abaqus自帶本構(gòu)的對比
4 源代碼
isotropic_non_isothermal_elasticity.f
本人用C++寫了一版，見https://www.yqgqt.org.cn/post/1942074
光刻技術(shù)第18期 | 非線性壓縮感知理論
然而，當優(yōu)化對象轉(zhuǎn)向掩模時，線性CS理論的局限性愈發(fā)凸顯——掩模圖形的像素級調(diào)控與光刻成像之間存在顯著的非線性映射關(guān)系，這種非線性源于掩模三維衍射、光致抗蝕劑化學(xué)反應(yīng)等多物理效應(yīng)疊加，導(dǎo)致線性模型難以精準刻畫優(yōu)化目標與掩模參數(shù)的關(guān)聯(lián)，直接影響OPC的校正精度與SMO的協(xié)同優(yōu)化效能。
為破解這一瓶頸，非線性壓縮感知（NCS）理論應(yīng)運而生，其通過非線性映射構(gòu)建信號與觀測的關(guān)聯(lián)，能夠適配掩模優(yōu)化場景中的復(fù)雜非線性特性。與線性CS相比，非線性CS理論的核心突破在于重構(gòu)模型對非線性關(guān)系的精準表征，而迭代公式則為非凸優(yōu)化問題提供了高效的求解路徑，二者共同構(gòu)成了掩模優(yōu)化場景下計算光刻技術(shù)的理論核心。
本文聚焦非線性壓縮感知理論的工程化應(yīng)用需求，從掩模-成像的非線性機理出發(fā)，系統(tǒng)解析非線性CS重構(gòu)模型的構(gòu)建邏輯，深入推導(dǎo)關(guān)鍵迭代公式的演化過程，為OPC、SMO等技術(shù)的精度提升提供理論支撐。
02/仿真非線性CS重構(gòu)模型
在先進光刻的非線性優(yōu)化場景中，非線性CS重構(gòu)算法（IHTs、Newton-IHTs、L-BFGS）是破解復(fù)雜運算難題的核心工具——它們既能精準適配非線性光刻的優(yōu)化需求，更能通過梯度、Hessian矩陣的協(xié)同作用加速收斂，在保障優(yōu)化精度的同時，大幅提升計算效率。
非線性CS重構(gòu)：適配光刻的核心邏輯
非線性壓縮感知重構(gòu)的核心任務(wù)，是在預(yù)設(shè)的約束集合范圍內(nèi)，找到能讓目標函數(shù)取值最小的“待恢復(fù)信號”——這一邏輯恰好匹配了非線性光刻優(yōu)化中“精準求解、高效運算”的核心需求。
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復(fù)旦大學(xué)唐萍課題組近期研究進展：締合高分子的線性粘彈性--分子理論與模擬
締合高分子是一類含有可逆非共價相互作用的特殊高分子體系，其中的粘性基體或粘性鏈段（通常稱為“sticker”）可以彼此間以氫鍵、π-π堆積、金屬配位等形式發(fā)生可逆的締合反應(yīng)。這些締合高分子具有廣泛的用途，不僅可以用于實現(xiàn)諸如自愈合、形狀記憶等功能材料，也因其獨特的流變學(xué)性質(zhì)廣泛用于相關(guān)領(lǐng)域，如作為流變調(diào)節(jié)劑使用。因此深刻理解締合高分子的流變現(xiàn)象具有普遍意義。
目前在不考慮稀溶液條件下的流體力學(xué)效應(yīng)以及高分子纏結(jié)效應(yīng)時，可以通過拓展經(jīng)典Rouse模型理解締合高分子的線性粘彈性。基于高分子體系中應(yīng)力的分子表達形式，他們指出，從分子層面理解締合高分子體系流變學(xué)行為的關(guān)鍵在于如何描述一條締合高分子單鏈處于其它高分子鏈背景下的布朗運動。為此他們提出了粘性Rouse模型（Sticky Rouse Model, SRM），其物理圖景如圖1(b)所示，即考察具有不同運動能力的鏈段在一個均質(zhì)背景中的運動。運動能力的差異用一個表觀摩擦系數(shù)參數(shù)δ表示，直接由締合強度決定。
圖1 描述締合高分子鏈布朗運動的兩種物理圖景
與圖1(a)所示的直觀物理圖景相比，SRM在計算上更為方便，同時又真正將分子層面的結(jié)構(gòu)和運動行為與宏觀力學(xué)性能聯(lián)系起來，是一個普遍適用的分子理論模型。他們在SRM的框架下開展了大量的理論計算，其中最關(guān)鍵的是對運動方程進行簡正化處理，即求出他們所定義的粘性Rouse-Zimm矩陣的本征值與本征向量。通過計算發(fā)現(xiàn)，基于SRM不僅可以得到與實驗結(jié)果一致的粘彈性函數(shù)，并且進一步通過本征值得到了松弛時間譜的完整信息，以及通過本征向量分析出了分子運動模式的變化。
展開 『分享』非線性彈性轉(zhuǎn)予系統(tǒng)動力特性分析
摘要：以線性項和立方項之和來表示轉(zhuǎn)軸材料的物理非線性因素，建立了具有非線性彈性軸的轉(zhuǎn)子系
統(tǒng)的動力學(xué)方程，利用多尺度法對系統(tǒng)的非共振、主共振、超諧共振和亞諧共振等非線性動力學(xué)響應(yīng)進行了分
析，為具有此類特性的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安全運行提供了一定的參考。
非線性彈性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力特性分析.pdf
（由彈性力學(xué)虛功原理導(dǎo)出的）有限元法的核心理論的個人總結(jié)，請大家指正。
（由彈性力學(xué)虛功原理導(dǎo)出的）有限元法的核心理論的個人總結(jié)，請大家指正。
1） 虛功原理看起來沒有什么價值，的確在生產(chǎn)中毫無價值。但是沒有虛功原理，有限元法是無法建立起來的。毫不夸張的說，沒有虛功原理，就沒有有限元法。
2） 能用節(jié)點的位移來表示單元內(nèi)任意一點的位移，是微積分一個巨大的飛越。類似用導(dǎo)數(shù)表示斜率一樣，節(jié)點的位移來表示單元內(nèi)任意一點的位移絕對是人類數(shù)學(xué)史上的巨大成功。
3） 直接剛度法是有限元法的前身。有了直接剛度法，人們才有動力和能力建立有限元法。把（需要力或者位移分解的）角度揉入剛度矩陣，是直接剛度法最拍案驚奇之處。
4） CAD為各單元在整個物理場或者位移場的變化提供角度依據(jù)。一個單元便是一個點，再根據(jù)（CAD給出精準的角度）幾何關(guān)系把整個位移場疊加起來，或者把內(nèi)力疊加起來。
（由彈性力學(xué)虛功原理導(dǎo)出的）有限元法的核心理論的個人總結(jié)，請大家指正。
展開 轉(zhuǎn)子——非線性彈性支承系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)
轉(zhuǎn)子——非線性彈性支承系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)<BR><Font color=#FF0000><B>.PS.:</B>該帖附件于2006-10-13 07:50:34被malong評為4星級，為發(fā)貼者加分80。</Font><BR><Font color=#FF0000><B>點評:</B></Font>
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