振型的案例
【JY】主成分分析與振型分解
主成分分析法&振型分解法
首先小談下主成分分析法（principal components analysis），也稱主分量分析，是利用降維的思想，在損失很少信息的前提下，把多個指標轉化為幾個綜合指標的多元統計方法。通常把轉化生成的綜合指標稱為主成分，其中每個主成分都是原始變量的線性組合，且各個主成分之間互不相關，使得主成分比原始變量具有某些更優越的性能。這樣在研究復雜問題時就可以只考慮少數幾個主成分而不至于損失太多信息，從而更容易抓住主要矛盾，揭示事物內部變量之間的規律性，同時使問題得到簡化，提高分析效率。
再談下
振型分解法，在討論多自由度體系的強迫振動時，如采用質點位移作為坐標（稱為幾何坐標），則所得到的振動方程為耦聯微分方程，因而必須聯立求解。對于無阻尼簡諧強迫振動，在平穩階段，由于各質點都作同步振動，利用這一特性可將微分方程轉化為代數方程，故求解沒有困難。然而，當考慮阻尼影響或者在一般動力荷載作用下時，求解聯立的微分方程組就會比較困難。按振型分解的計算方法就是針對這一問題提出來的。振型分解法是
基于坐標變換，把原來耦聯的微分方程組變為n個互相獨立的微分方程，從而使原來多自由度體系的動力計算變為一系列單自由度體系的問題，當然這一方法只限于線性體系的應用。下面介紹振型分解法。
展開 【JY】振型求解之子空間迭代
（注：首步初始形狀矩陣可任意生成一個非零矩陣~）
Step2：將生成的振型矩陣的各個位移模都進行標準化(即將各向量中位移的最大模化為1，做一個比例變換。)
Step3：求出廣義剛度矩陣和廣義質量矩陣。(此時已經進行了縮減自由度)
Step4：求出縮減自由度后結構方程的振型和圓頻率，此時的求得的圓頻率是首次迭代的系統圓頻率估計值。
Step5：將Step4中所求的“子空間振型”和Step1中得到的形狀矩陣進行相乘，即可以得到本次迭代中，系統振型的估計值。
ANSYS模態分析固有頻率及振型等結果怎么理解
2.模態振型
從計算模態的角度來講，由特征值求解得到的特征值和特征向量，分別對應一階模態頻率和模態向量（當然也可能存在重根）。模態振型，也稱為模態向量，模態振型向量，模態位移向量。
模態振型，通俗地講是每階模態振動的形態。但從數學上講，模態振型是模態空間的“基”向量。在線性代數中，基向量是描述、刻畫向量空間的基本工具。向量空間中任意一個元素，都可以唯一地表示成基向量的線性組合。在模態空間，這個基向量的個數就是模態的階數。重要一點，模態振型的變形不是絕對值，是一種相對值，默認情況是經過對質量矩陣歸一化得到的相知值，該值反映了實際激勵作用下的變形規律。
3.參與系數
在模態計算中，在總體笛卡爾坐標系中，三個平動方向和三個轉動方向上，假設施加單位位移譜激勵，從而得到振型參與系數，即
由于軟件默認采用，對質量矩陣進行歸一化，則
參與系數反映了某階振型在某個方向的參與程度，如圖所示給出了某產品的X方向的振型的參與系數。
圖 參與系數列表
4.有效質量
模態計算中的有效質量計算公式：
由于程序模態計算時，各個振型關于質量矩陣進行歸一化，即
-理想情況下，在每個方向的所有有效質量之和等于結構的總質量，但是這個取決于模態計算提出的模態階數；
-有效質量與結構總質量的比值對于確定提取的模態數量是否足夠，非常有幫助。對于基于模態疊加法的諧響應，瞬態動力學還有響應譜與隨機振動建議提取的模態的數量要達到90%的物理質量。如圖所示的提取12階模態的Z方向的有效質量與實際物理質量比為0.83。
展開 【JY】土木工程振型求解之蘭索斯法(Lanczos法)
因此，我們的目的是將矩陣A轉化為T，并且只要求得T的特征值和特征向量，則可以通過一定關系得到原結構特征矩陣的特征值和特征向量，也即可以得到結構振型和頻率。
首先對于一般結構來說，均需要進行初始向量的預設進行迭代，但是大部分振型都難以提前預估，我們可以聽下威爾金森(Wilkinson)的建議預先不必猜測，而統一初始的向量為：
然后進行預設需求的振型數量為 i≤n (結構特征矩陣維度)進行求解，以下流程圖對于自己編寫Lanczos方法中的T矩陣集成有較好的理解幫助。
通過上述的迭代方法，并將求得的α和β帶入矩陣T中，即可將結構特征矩陣是大型、稀疏的實對稱矩陣化為
一個三對角陣T。
那么結構的頻率和振型與該三對角矩陣T的關系是什么呢？
接下來討論下T矩陣和結構的頻率和振型的關系，繼上面的公式推導得到三對角矩陣T，由Gram-Schmidt正交化條件得到：
繼上述推導公式可得到下式：
將Gram-Schmidt正交化條件帶入上式中可得到：
考慮列向量間的正交性，并將得到的上述公式往會帶入可得到：
得到這個標注了三星的重要級公式！其中標記紅框部分是左乘部分。若將紅框這么一畫，就變成了：
再通過上述這樣一個化解，原結構和變換后的T的頻率和振型的關系一目了然。若令原結構的特征向量（振型）為：
則通過上述可知：
也就是求解T矩陣的完全解為，則該完全解的特征向量與原結構的特征向量(振型)的關系式之間相差一個系數矩陣X，而特征值(頻率)是原結構的倒數。
展開 
ABAQUS 小應變分析(例2) 各向異性復材層板的振型分析 ￥53.34
各向異性 復材層板 的 振型分析
建模介紹：
（1）復材層板，長30cm, 寬2cm, 厚0.5cm，共計10層的，每層厚度為0.05cm。
（2）鋪層角度為0度和90度交替，零度方向與長邊方向相同。
邊界條件：單邊固支
模擬結果：
能看到固有頻率、模態振型、應力、應變及位移云圖
復材層板鋪層角度的實現：
網格劃分細節：
模擬結果：
（1） 前五階振型及對應自振頻率下的位移云圖：
（2） 一階振型下的應力云圖（如需要可導出足夠的階數）
（3） 一階振型下的應變云圖（如需要可導出足夠的階數）
展開 【JY|STR】求解器之三維結構振型分析
有你關注
所以值得
注：這篇推文編制的理論基礎是 【JY】振型求解之子空間迭代，在閱讀本文時，可先閱讀上述推文。
本期推送自編的一款小型計算分析軟件，對于計算振型的方法，將采用子空間迭代法進行計算。為了驗證理論的可行性，以下進行對比測試。
ansys模態分析中的振型
ansys模態中的振型怎么看，怎么知道是第幾階的振型
247 基于matlab的梁的振型仿真 ￥15.9
基于matlab的梁的振型仿真。利用有限元理論，求二維梁的固有頻率和振型。短邊固定，給定長度、橫截面積，彈性模量及材料密度已知。并對比理論計算結果進行分析。各參數自己設定。程序已調通，可直接運行。
三自由度系統固有頻率及振型的求解
求解三自由度系統固有頻率；
求解三自由度系統固有頻率對應的振型；
理解歸一化是如何實現的。
三自由度無阻尼系統的固有頻率和振型的求解
求解三自由度無阻尼系統的固有頻率；
求解三自由度無阻尼系統的固有頻率分別對應的振型；
理解什么是歸一化。
145基于matlab的求解懸臂梁前3階固有頻率和振型 ￥19.89
基于matlab的求解懸臂梁前3階固有頻率和振型,采用的方法分別是（假設模態法，解析法，瑞利里茲法）。程序已調通，可直接運行。
ANSYS振型疊加計算及工況組合例子
ANSYS振型疊加計算及工況組合例子
! Example for load cases and models combination in ANSYS
! 作者：陸新征，清華大學土木系
! Author: Lu Xinzheng Dept. Civil Engrg. of Tsinghua University
[replyview]
/PREP7
!*
ET,1,PLANE42
!*
!*
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,1,,30e9
MPDATA,PRXY,1,,.2
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,DENS,1,,2500
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,DAMP,1,,.05
K,1,,,,
K,2,5,,,
K,3,5,.5,,
K,4,0,0.5,,
A,1,2,3,4
ESIZE,0.25,0,
MSHAPE,0,2D
MSHKEY,0
!*
!*
AMESH,ALL
!*
FINISH
/SOLU
!*
ANTYPE,2
!*
MODOPT,LANB,6
EQSLV,SPAR
MXPAND,0, , ,0
LUMPM,0
PSTRES,0
!*
MODOPT,LANB,6,0,0, ,OFF
FLST,2,1,4,ORDE,1
FITEM,2,4
!
展開 四邊鉸支平板的固有頻率和振型
假設矩形薄板的四邊鉸支，計算該薄鋼板的固有頻率和振型。
二、問題分析：
彈性薄板是指厚度比平面尺寸小很多的彈性體，它可提供抗彎剛度。在板中，與兩表面等距離的平面成為中面。對板彎曲振動的分析基于下述Kirchhoff假設：
（1）微振動時，板的撓度遠小于厚度，從而中面撓曲線為中性面，中面內無應變。
（2）垂直于平面的法線在板彎曲后仍為直線，且垂直于撓曲線后的中面；該假設等價于忽略橫向剪切變形。
（3）板彎曲變形時，板的厚度變化可忽略不計。
（4）板的慣性主要由平動的質量提供，忽略由于彎曲而產生的轉動慣量。
根據以上Kirchhoff假設，薄板固有頻率的解析解為
解析解參考文獻：《機械振動基礎》，胡海巖，pp118-121。
三、計算結果：
四、命令流
/PREP7
ET,1,SHELL281
MP,EX,1,2e11
MP,PRXY,1,0.3
MP,DENS,1,7850
sect,1,shell,,
secdata, 4e-3,1,0.0,3
secoffset,MID
seccontrol,,,, , , ,
RECTNG,0,1,0,1,
/VIEW,1,1,1,1
/VUP,1,Z
/REPLOT
ESIZE,,50,
MSHAPE,0,2D
MSHKEY,0
AMESH,1
DL,all, ,UX
DL,all, ,UY
DL,all, ,UZ
FINISH
/SOL
ANTYPE,2 !
展開 【算例驗證】固有頻率和振型分析的平板算例[Workbench版]
假設矩形薄板的四邊鉸支，計算該薄鋼板的固有頻率和振型。
二、問題分析：
彈性薄板是指厚度比平面尺寸小很多的彈性體，它可提供抗彎剛度。在板中，與兩表面等距離的平面成為中面。對板彎曲振動的分析基于下述Kirchhoff假設：
（1）微振動時，板的撓度遠小于厚度，從而中面撓曲線為中性面，中面內無應變。
（2）垂直于平面的法線在板彎曲后仍為直線，且垂直于撓曲線后的中面；該假設等價于忽略橫向剪切變形。
（3）板彎曲變形時，板的厚度變化可忽略不計。
（4）板的慣性主要由平動的質量提供，忽略由于彎曲而產生的轉動慣量。
根據以上Kirchhoff假設，薄板固有頻率的解析解為
解析解參考文獻：《機械振動基礎》，胡海巖，pp118-121。
三、計算結果：
轉載自好學ANSYS，詳細操作過程，請移步好學ANSYS公眾號，鏈接：https://mp.weixin.qq.com/s/Akd6WFFMDh48KIN0iO6Lkw
展開 剪切型減振器扣件工作性能及改進
【摘要】 剪切型減振器扣件減振性能良好，廣泛應用于城市軌道交通線路，但在減振器扣件區段發生較為嚴重的鋼軌異常波磨。在300Hz頻段減振器軌道振動加速度存在較大峰值帶，發生輪軌強烈共振；在200~350Hz頻段，減振器扣件軌道系統的阻尼比很小，動剛度在300Hz存在波谷。
同時，振動加速度頻域分布、行車速度和波磨特征波長具有高度相關性，所以，在300Hz頻段的輪軌共振是產生異常波磨的主要原因。針對此問題，提出通過安裝調頻鋼軌阻尼器(TRD)的方案改善軌道動力特性，并進行安裝前后的實驗室動力特性測試。
研究結果表明：安裝TRD能夠改善Ⅲ型減振器軌道的動力特性，調節頻率，提高阻尼，降低工作頻率，改善軌道的減振性能。本方案可以作為地鐵線上整治異常波磨的有效方法。
【關鍵詞】地鐵；剪切型減振器；減振性能；異常波磨；調頻鋼軌阻尼器
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