最小二乘法的案例
最小二乘法程序
最小二乘法程序挺實用的
最小二乘法程序.rar
非線性偏最小二乘回歸在電力負荷預測中的應用.pdf
基于MATLAB的圖像處理與圓弧擬合技術
觀測向量b：
最小二乘法求解
使用最小二乘法來解這個線性方程組：
通過MATLAB的A \ b，我們可以得到最小二乘解params。
圓心坐標：
xc = params(1)
yc = params(2)
半徑計算：
圓半徑可以通過將圓心坐標代入計算得到：r=√(xc^2+yc^2-params(3))
這里，params(3)對應于xc2 + yc2 - r2的部分。
圖2 部分核心代碼
應用案例
以圖像test3.jpg為例，本技術能夠準確地從圖像中識別出底部的圓弧部分，并計算出其半徑和圓心坐標。通過MATLAB的圖形界面，我們可以直接看到原圖、邊緣檢測結果、圓弧邊緣檢測以及最小二乘法擬合圓的直觀展示。
圖3 圓弧擬合結果
結論
本技術展示了MATLAB在圖像處理和圓弧擬合方面的高效性和準確性。通過結合Canny邊緣檢測和最小二乘法擬合圓，我們能夠對圖像中的圓弧部分進行精確的測量和分析。這一技術不僅提高了工業檢測的自動化水平，也為科研領域提供了一種新的圖像分析工具。
最后，有相關需求歡迎通過公眾號“320科技工作室”與我們聯絡。
展開 以單元為中心的重疊網格系統的雙網格插值
作者Cadence CFD 解決方案
概述： 對于以單元為中心的 CFD 流動求解器，使用連通性信息在重疊域中進行插值通常會使用最小二乘法來確定插值權重。使用最小二乘法產生的權重不受 0 和 1 之間的限制。因此，插值可能是非單調的，并且會在解中引入新的極值，這會給 CFD 解帶來困難。使用連接原始單元中心以形成雙網格單元的雙網格插值可以與三線性插值一起使用以產生介于 0 和 1 之間的權重。全局的雙網格方法，其中單個網格連接所有單元格中心，其存儲成本可能很高。在使用一組局部對偶網格時，其中每個原始網格元素都有一個獨立于相鄰局部對偶的關聯局部對偶網格，可以通過僅加載插值所需的局部雙網格集來減少內存需求。在本文中，將使用最小二乘插值權重的可壓縮 CFD 解決方案與使用全局雙網格插值權重的解決方案進行了比較。這些結果表明，使用最小二乘插值權重的非單調插值會導致解不穩定。當使用雙網格插值權重時，觀察到 CFD 解更穩定。這些結果表明，使用最小二乘插值權重的非單調插值會導致解不穩定。當使用雙網格插值權重時，觀察到 CFD 解更穩定。這些結果表明，使用最小二乘插值權重的非單調插值會導致解不穩定。當使用雙網格插值權重時，觀察到 CFD 解更穩定。
介紹
重疊或嵌合網格方法利用一組重疊網格來離散化解決方案域。組件網格可以在不考慮幾何體其他部分的情況下進行擬合，并且可以在很大程度上簡化網格生成過程。結果是一個靈活的計算模擬框架，可以在許多情況下成為推動力。它已被廣泛用于簡化復雜幾何結構的結構化網格生成要求。使用重疊網格系統也是模擬相對運動物體的一種很有前途的解決方案，例如從飛機和旋翼飛機上掉落的油箱。
在確定重疊復合網格系統上的流動解決方案時，點模板和定義插值權重的方法是關鍵因素。
展開 基于節點位移的應力強度因子外推法
這一期包括以下內容：（1）簡要講述INP文件（2）運用最小二乘法進行線性擬合（3）對裂尖數據進行特殊處理。
硬菜：什么是表面粗糙度？
一般有最小二乘法中線和輪廓算術平均中線。
【最小二乘法中線】是把測量過程中采集的點進行最小二乘法計算。
【輪廓算術平均中線】在取樣長度內，使中線上下兩部分輪廓的面積相等。
理論上最小二乘中線是理想的基準線，但在實際應用中很難獲得，因此一般用輪廓的算術平均中線代替，且測量時可用一根位置近似的直線進行代替使用。
05 . 表面粗糙度如何獲得？
表面粗糙度的評價在制造業中越發被重視。要研究表面粗糙度，需要使用專用的機器，即：
表面粗糙度測量儀
Formtracer Avant系列
表面粗糙度測量機是以安裝高敏感性金剛石測針劃過表面，就像是留聲機的拾音器一樣。再將大規模波紋以及輪廓的小波長粗糙度從較長波長中分離出來，即測量儀做電子過濾。
* 測針型粗糙度測量儀特性的定義可參考ISO 3274：1996。
測針式表面粗糙度測量儀的構成示意圖：
大部分正確的、完整的表面粗糙度測量法，雖然都是使用專用的測量機，但在有的情況下，為了快捷且低成本操作也可以使用手持套裝工具測量，如下圖：
粗糙度比較片是以鎳為基礎，以電鑄方式制成的樣本，用于金屬加工非常理想，屬于非常有效的輔助工具。
操作者使用時只要以指甲在一組中的每一片表面都橫刮而過，尋找與被比較工件最接近的即可。有人會將這些模型組作為查詢表，但是值得注意的是，這并非材質標準。
粗糙度測量機可以實現的功能不同，評價的方法不同，成本也各有高低。選型之前可以到專業的生產廠商進行咨詢，根據所需選擇最適合的機型。
展開 激光跟蹤儀SpatialMaster測量軟件
PTB認證結果表明SpatialMaster軟件的兩種分析算法的精度達到PTB可認證的高標準：
（1）針對所有ISO標準幾何特征擬合（直線、平面、圓、球、圓柱、圓錐）的高斯-最小二乘法
（2）針對所有GD&T特征公差度評價（直線度、平面度、圓度、球度、圓柱度）的切比雪夫-最小區域法
SMT軟件分析算法精度
在實際運用中，測試員通常對切比雪夫-最小區域法最為關注，因為該方法完全遵照國際ISO和美國ANSI Y14.5標準對GD&T評價的定義。以平面度為例，最小區域法要求找出完全包夾被測平面數據點的兩個平行平面，滿足要求的兩平面最小間距則被定義為平面度。然而由于高斯-最小二乘法易于編程及保證效率，不少三坐標測量軟件仍在使用該方法擬合出最小化誤差平方之和的目標平面，再經過此平面兩側最遠數據點分別作平行平面以該間距作為平面度。這會導致零件的形狀誤差被高估，符合要求的零件被剔除從而增大廢品率和降低利潤；相反，切比雪夫-最小區域法不易實現且效率難以保證，但是在實際生產中，最小區域法遵照GD&T公差度定義進行評定，可以有效減少良品誤判廢品的可能性以降低成本。
展開 python實現S-N曲線，P-S-N曲線 ￥50
常用數學表達式：
對公式兩邊取對數，得到線性方程：
使用最小二乘法對數據點進行線性回歸，擬合出最佳直線即可獲得S-N曲線。這條直線也叫中值S-N曲線。
下面為python實現S-N，P-S-N曲線具體方式，最終獲取的結果為：
第一步當然是最小二乘法的實現：
def linear_least_squares_fit_y(x: np.ndarray, y: np.ndarray) -> Dict[str, Any]:
"""
對 y ~ x 進行最小二乘直線擬合：y = a*x + b
Args:
x: 自變量數組
y: 因變量數組
Returns:
字典包含 a, b, y_pred, residuals, metrics 等
"""
x = np.asarray(x)
y = np.asarray(y)
if len(x) !
展開 什么是表面粗糙度，別再傻傻分不清！
一般有最小二乘法中線和輪廓算術平均中線。
【最小二乘法中線】是把測量過程中采集的點進行最小二乘法計算。
【輪廓算術平均中線】在取樣長度內，使中線上下兩部分輪廓的面積相等。
理論上最小二乘中線是理想的基準線，但在實際應用中很難獲得，因此一般用輪廓的算術平均中線代替，且測量時可用一根位置近似的直線進行代替使用。
表面粗糙度如何獲得？
表面粗糙度的評價在制造業中越發被重視。要研究表面粗糙度，需要使用專用的機器，即：
表面粗糙度測量儀
Formtracer Avant系列
表面粗糙度測量機是以安裝高敏感性金剛石測針劃過表面，就像是留聲機的拾音器一樣。再將大規模波紋以及輪廓的小波長粗糙度從較長波長中分離出來，即測量儀做電子過濾。
*測針型粗糙度測量儀特性的定義可參考ISO 3274：1996。
測針式表面粗糙度測量儀的構成示意圖：
大部分正確的、完整的表面粗糙度測量法，雖然都是使用專用的測量機，但在有的情況下，為了快捷且低成本操作也可以使用手持套裝工具測量，如下圖：
粗糙度比較片是以鎳為基礎，以電鑄方式制成的樣本，用于金屬加工非常理想，屬于非常有效的輔助工具。
操作者使用時只要以指甲在一組中的每一片表面都橫刮而過，尋找與被比較工件最接近的即可。有人會將這些模型組作為查詢表，但是值得注意的是，這并非材質標準。
展開 有限差分、有限元及有限體積法概述
從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形 網格，從插值函數的精度來劃分，又分為線性插值函數和高次插值函數等。不同的組合 同樣構成不同的有限元計算格式。對于權函數，伽遼金(Galerkin)法是將權函數取為逼近函數中的基函數 ；最小二乘法是令權函數等于余量本身，而內積的極小值則為對代求系數的平方誤差最小；在配置法中，先在計算域 內選取N個配置點 。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程余量為0。插值函數一般由不同次冪的多項式組成，但也有采用三角函數或指數函數組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函數。有限元插值函數分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導數值在插值點取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標，有對稱和不對稱等。常采用的無因次坐標是一種局部坐標系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應用的最早，近來四邊形等參元的應用也越來越廣。對于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數為有Lagrange插值直角坐標系中的線性插值函數及二階或更高階插值函數、面積坐標系中的線性插值函數、二階或更高階插值函數等。
對于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為
(1)建立積分方程，根據變分原理或方程余量與權函數正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發點。
(2)區域單元剖分，根據求解區域的形狀及實際問題的物理特點，將區域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。
展開 什么是表面粗糙度？
一般有最小二乘法中線和輪廓算術平均中線。
【最小二乘法中線】是把測量過程中采集的點進行最小二乘法計算。
【輪廓算術平均中線】在取樣長度內，使中線上下兩部分輪廓的面積相等。
理論上最小二乘中線是理想的基準線，但在實際應用中很難獲得，因此一般用輪廓的算術平均中線代替，且測量時可用一根位置近似的直線進行代替使用。
表面粗糙度如何獲得？
表面粗糙度的評價在制造業中越發被重視。要研究表面粗糙度，需要使用專用的機器，即：
表面粗糙度測量儀
Formtracer Avant系列
表面粗糙度測量機是以安裝高敏感性金剛石測針劃過表面，就像是留聲機的拾音器一樣。再將大規模波紋以及輪廓的小波長粗糙度從較長波長中分離出來，即測量儀做電子過濾。
*測針型粗糙度測量儀特性的定義可參考ISO 3274：1996。
測針式表面粗糙度測量儀的構成示意圖：
大部分正確的、完整的表面粗糙度測量法，雖然都是使用專用的測量機，但在有的情況下，為了快捷且低成本操作也可以使用手持套裝工具測量，如下圖：
粗糙度比較片是以鎳為基礎，以電鑄方式制成的樣本，用于金屬加工非常理想，屬于非常有效的輔助工具。
展開 什么是表面粗糙度？
一般有最小二乘法中線和輪廓算術平均中線。
【最小二乘法中線】是把測量過程中采集的點進行最小二乘法計算。
【輪廓算術平均中線】在取樣長度內，使中線上下兩部分輪廓的面積相等。
理論上最小二乘中線是理想的基準線，但在實際應用中很難獲得，因此一般用輪廓的算術平均中線代替，且測量時可用一根位置近似的直線進行代替使用。
表面粗糙度如何獲得？
表面粗糙度的評價在制造業中越發被重視。要研究表面粗糙度，需要使用專用的機器，即：
表面粗糙度測量儀
Formtracer Avant系列
表面粗糙度測量機是以安裝高敏感性金剛石測針劃過表面，就像是留聲機的拾音器一樣。再將大規模波紋以及輪廓的小波長粗糙度從較長波長中分離出來，即測量儀做電子過濾。
*測針型粗糙度測量儀特性的定義可參考ISO 3274：1996。
測針式表面粗糙度測量儀的構成示意圖：
大部分正確的、完整的表面粗糙度測量法，雖然都是使用專用的測量機，但在有的情況下，為了快捷且低成本操作也可以使用手持套裝工具測量，如下圖：
粗糙度比較片是以鎳為基礎，以電鑄方式制成的樣本，用于金屬加工非常理想，屬于非常有效的輔助工具。
展開 
加速度積分得到速度和位移的問題小結
圖11用速度恢復位移和測試結果比較，黑色為diff+fir低通濾波結果，藍色為diff+移動平均結果，說明diff+移動平均結果也不錯
圖12 最小二乘法與diff法得到的加速度對比，低通截止0.05
圖13 最小二乘法與diff法得到的加速度對比，低通截止0.5
提高低通截止，最小二乘法得到的加速度結果明顯優于diff，說明這個時候差分的噪聲很難消除。
防塵罩（超彈性材料）分析
材料常數根據最小二乘法(least square method)近似計算，并根據材料模型決定使用線性還是非線性最小二乘法。
支持通過四種試驗方法計算材料常數，分別為純拉伸/壓縮、等雙軸拉伸、純剪切和簡單剪切。
多項式模型和奧格登模型在處理體積壓縮試驗外的試驗數據時，需要假設為非壓縮性材料。
收集的試驗數據應該是工程應變和工程應力。
參考文獻：
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END
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有限元法，有限差分法和有限體積法的區別 附有限體積法基礎文檔下載
其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限元方法(Finite Element Method)
有限元法的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發展慢慢用于流體力學的數值模擬。
在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。常見的有限元計算方法是由變分法和加權余量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據所采用的權函數和插值函數的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法。
有限體積法（Finite Volume Method）
有限體積法又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，并使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變量的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布剖面。
展開 P-S-N曲線的制作過程
3.8862
xp=0.999(σa=353)
4.1368
xp=0.999(σa=273)
4.4498
xp=0.999(σa=204)
4.6586
xp=0.999(σa=171)
4.9939
同理，可以計算得到當存活率P=90% 時的概率疲勞壽命：
xp=0.9(σa=450)
3.9974
xp=0.9(σa=353)
4.2109
xp=0.9(σa=273)
4.5511
xp=0.9(σa=204)
4.9691
xp=0.9(σa=171)
5.3271
3.5 使用最小二乘法擬合
使用最小二乘法對參數B和A進行估算：
本文采用冪函數擬合P-S-N曲線。
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