主應(yīng)力空間的案例
常規(guī)巖土力學(xué)試驗(yàn)主應(yīng)力組成分析與疲勞仿真驗(yàn)證
在此種條件下，巖土材料樣件中對(duì)應(yīng)某一節(jié)點(diǎn)的主應(yīng)力可以用1,2,3表示，在此種狀態(tài)下，樣件的應(yīng)力狀態(tài)可以用主應(yīng)力空間中的隨機(jī)一點(diǎn)P表示[4]。將主應(yīng)力空間劃分為若干個(gè)平面，隨機(jī)一個(gè)主應(yīng)力平面上都應(yīng)當(dāng)存在正向應(yīng)力分量，但無(wú)論分量如何發(fā)生變化，第一主應(yīng)力都應(yīng)當(dāng)保持不變，此時(shí)，第一主應(yīng)力可以用下述公式計(jì)算得到。
式中：I1代表第一主應(yīng)力。
在此種條件下，主應(yīng)力主要由平面上的剪應(yīng)力構(gòu)成，剪應(yīng)力計(jì)算公式如下：
式中：τπ代表平面上的剪應(yīng)力；J2代表第二偏應(yīng)力不變量。
完成上述計(jì)算后，以巖土力學(xué)試驗(yàn)中的有限元仿真試驗(yàn)為例，進(jìn)行主應(yīng)力分布特點(diǎn)的具體分析[5]。在此過(guò)程中，采用數(shù)值計(jì)算的方式，進(jìn)行力學(xué)試驗(yàn)中相關(guān)數(shù)值的模擬，計(jì)算過(guò)程中，可按照表1，設(shè)定巖土力學(xué)試驗(yàn)中巖土材料樣件對(duì)應(yīng)有限元模型的技術(shù)參數(shù)。
表1 巖土力學(xué)試驗(yàn)中巖土材料樣件對(duì)應(yīng)有限元模型的技術(shù)參數(shù)
研究過(guò)程中，進(jìn)行建立帶模板與不帶模具的仿真結(jié)構(gòu)模型，將兩個(gè)模型標(biāo)注為(1)、(2)，對(duì)樣件的底部節(jié)點(diǎn)施加全約束，將其頂部與豎向垂直方向發(fā)生耦合，在頂部的中心節(jié)點(diǎn)位置，施加一個(gè)垂直向下的作用力，將其作為主應(yīng)力，構(gòu)件的主應(yīng)力分布如圖2所示。
圖2 主應(yīng)力分布云圖
2 疲勞仿真驗(yàn)證
2.1 建立疲勞仿真計(jì)算模型
通過(guò)上文試驗(yàn)獲得主應(yīng)力組成，將其大致分為三個(gè)部分，分別為：?jiǎn)屋S貫入中的純壓分布、雙軸貫入中的純拉分布和純剪中的拉壓復(fù)合應(yīng)力組成。結(jié)合上述得到的主應(yīng)力組成方式下的疲勞荷載仿真算例，實(shí)現(xiàn)對(duì)研究試件在疲勞荷載方式下的主應(yīng)力分布情況分析。該計(jì)算實(shí)例是一種以拉、剪、壓為交變應(yīng)力的彈塑性材料為研究對(duì)象，以有限元方法模擬其疲勞加載特性。具體如圖3所示。
圖3 疲勞仿真計(jì)算模型
該模型是一種長(zhǎng)方體，其長(zhǎng)為101 mm，寬為50mm，厚度為50 mm。
展開(kāi) 聊一聊應(yīng)力狀態(tài)，有誤請(qǐng)包涵指正
因此，在描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，也應(yīng)該說(shuō)明是在哪個(gè)坐標(biāo)系下描述的
主應(yīng)力
不斷改變坐標(biāo)軸的方向，當(dāng)坐標(biāo)軸改變到某一方位時(shí)，應(yīng)力分量中的切應(yīng)力分量全為0，我們稱此時(shí)的坐標(biāo)軸方向?yàn)镾點(diǎn)的應(yīng)力主向，此時(shí)的三個(gè)正應(yīng)力稱為主應(yīng)力，按照大小順序稱為第一主應(yīng)力σ1，第二主應(yīng)力σ2，第三主應(yīng)力σ3，即σ1≥σ2≥σ3。以第一主應(yīng)力、第二主應(yīng)力、第三主應(yīng)力所在方向定義坐標(biāo)系的XYZ軸，這個(gè)坐標(biāo)系所描述的空間稱為主應(yīng)力空間。
若將應(yīng)力不變量用主應(yīng)力表示，則有：
最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力分別是該點(diǎn)任意截面上正應(yīng)力的最大值和最小值，并且三個(gè)主應(yīng)力一定是相互垂直的。利用斜截面應(yīng)力計(jì)算公式，可以求得：最大剪應(yīng)力所在平面與主應(yīng)力σ2平行，與主應(yīng)力σ1、σ3的角度為45度。其大小為：
應(yīng)力狀態(tài)的分解
如果應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力當(dāng)成主應(yīng)力空間中的坐標(biāo)，那么主應(yīng)力空間中任意一點(diǎn)就代表了一種應(yīng)力狀態(tài)。過(guò)主應(yīng)力空間原點(diǎn)作一條與三個(gè)坐標(biāo)軸具有相同夾角的直線，其方向余弦為（），該直線稱為靜水壓力軸，其上任意一點(diǎn)所代表的應(yīng)力狀態(tài)為σ1=σ2=σ3，為靜水壓力狀態(tài)。以靜水壓力軸為法向，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的平面稱為π平面。π平面上的應(yīng)力狀態(tài)有σ1+σ2+σ3=0，為偏應(yīng)力狀態(tài)。如下圖所示，對(duì)于任意的應(yīng)力狀態(tài)(σ1,σ2,σ3)，均可以將其在主應(yīng)力空間中分解到靜水壓力軸上和π平面上，分別是靜水壓力部分σm和應(yīng)力偏量部分s，這在塑性力學(xué)上是十分重要的。靜水壓力部分使物體產(chǎn)生體積變化，應(yīng)力偏量部分使物體產(chǎn)生形狀變化。
展開(kāi) 關(guān)于mises應(yīng)力
在主應(yīng)力空間研究。我們?nèi)稳∫粋€(gè)直角坐標(biāo)，設(shè)其為主應(yīng)力空間，坐標(biāo)軸設(shè)為三個(gè)主應(yīng)力。對(duì)應(yīng)要研究的某點(diǎn)，根據(jù)其應(yīng)力狀態(tài)可以計(jì)算得到它的三個(gè)主應(yīng)力（不管方向），這三個(gè)主應(yīng)力對(duì)應(yīng)于主應(yīng)力空間中的一個(gè)空間點(diǎn)，連接此點(diǎn)與原點(diǎn)，得到一條線。過(guò)原點(diǎn)取一個(gè)平面，與三個(gè)坐標(biāo)軸等傾，稱為PI平面。其過(guò)原點(diǎn)的法線上，每點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)均為球形應(yīng)力狀態(tài)。將某點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)在此直線上投影，則只有垂直pi平面法線的分量會(huì)引起屈服。那么，在此空間中，所有屈服點(diǎn)將是一個(gè)封閉曲面，它以pi平面的法線為軸，在pi平面上的投影是一個(gè)封閉曲線。
mises屈服條件。由于pi平面的法線垂直于八面體的一個(gè)面，此面上的八面體剪應(yīng)力才會(huì)導(dǎo)致屈服，因此也可用八面體剪應(yīng)力建立屈服條件，實(shí)質(zhì)一樣，因此也稱最大八面體剪應(yīng)力屈服條件。當(dāng)然還有其它解釋。
mises應(yīng)力是一個(gè)等效應(yīng)力，注意等效的意義。在單拉時(shí)其值就等于拉伸應(yīng)力。
展開(kāi) 關(guān)于mises應(yīng)力
在主應(yīng)力空間研究。我們?nèi)稳∫粋€(gè)直角坐標(biāo)，設(shè)其為主應(yīng)力空間，坐標(biāo)軸設(shè)為三個(gè)主應(yīng)力。對(duì)應(yīng)要研究的某點(diǎn)，根據(jù)其應(yīng)力狀態(tài)可以計(jì)算得到它的三個(gè)主應(yīng)力（不管方向），這三個(gè)主應(yīng)力對(duì)應(yīng)于主應(yīng)力空間中的一個(gè)空間點(diǎn)，連接此點(diǎn)與原點(diǎn)，得到一條線。過(guò)原點(diǎn)取一個(gè)平面，與三個(gè)坐標(biāo)軸等傾，稱為PI平面。其過(guò)原點(diǎn)的法線上，每點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)均為球形應(yīng)力狀態(tài)。將某點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)在此直線上投影，則只有垂直pi平面法線的分量會(huì)引起屈服。那么，在此空間中，所有屈服點(diǎn)將是一個(gè)封閉曲面，它以pi平面的法線為軸，在pi平面上的投影是一個(gè)封閉曲線。
mises屈服條件。由于pi平面的法線垂直于八面體的一個(gè)面，此面上的八面體剪應(yīng)力才會(huì)導(dǎo)致屈服，因此也可用八面體剪應(yīng)力建立屈服條件，實(shí)質(zhì)一樣，因此也稱最大八面體剪應(yīng)力屈服條件。當(dāng)然還有其它解釋。
mises應(yīng)力是一個(gè)等效應(yīng)力，注意等效的意義。在單拉時(shí)其值就等于拉伸應(yīng)力。
展開(kāi) 
主應(yīng)力是凸的，應(yīng)力張量是凸的
我在看論文的過(guò)程中，看到文章中提到主應(yīng)力是凸的，應(yīng)力張量是凸的，這里的”凸“是什么意思呢
金屬材料塑性本構(gòu)模型（結(jié)合workbench）
workbench中常見(jiàn)的四種塑性本構(gòu)模型
涉及三個(gè)方面：
01 雙線性/多線性（bilinear / multilinear）
02 強(qiáng)化（hardening）
03 等向和隨動(dòng)（isotropic / kinematic）
如圖所示：
01 雙線性和多線性的區(qū)別是一目了然的，即應(yīng)力應(yīng)變曲線是兩條折線或兩條以上折線（三條及以上）。
02 強(qiáng)化是指材料在屈服后，應(yīng)力隨應(yīng)變還會(huì)增加，與此相對(duì)應(yīng)的是理想彈塑性，材料屈服后，應(yīng)力不隨應(yīng)變?cè)黾印?03 拉伸屈服點(diǎn)對(duì)壓縮屈服點(diǎn)存在影響（初始屈服影響后繼屈服）。等向模型中壓縮屈服點(diǎn)等于上一次最大拉應(yīng)力；隨動(dòng)模型中壓縮屈服點(diǎn)等于兩倍屈服應(yīng)力減去上一次最大拉應(yīng)力。由此可知，隨動(dòng)和等向模型定義的是材料屈服條件的變化，在材料加載后卸載再加載的情況下（多次屈服）才發(fā)揮作用。對(duì)于單調(diào)加載（不存在卸載過(guò)程），實(shí)際起作用的定義只是雙線性強(qiáng)化或者多線性強(qiáng)化。
另外，材料的屈服條件（屈服面）也有不同的描述模型。比如Tresca屈服準(zhǔn)則，Mises屈服準(zhǔn)則，D-P屈服準(zhǔn)則等。例如，對(duì)于二維應(yīng)力狀態(tài)，Mises屈服準(zhǔn)則在主應(yīng)力空間中是橢圓形；對(duì)于三維應(yīng)力狀態(tài)，Mises屈服準(zhǔn)則在主應(yīng)力空間中是圓柱形。
展開(kāi) ABAQUS實(shí)用子程序SPRINC提取主應(yīng)力
實(shí)用子程序SPRINC
在ABAQUS中使用UMAT子程序時(shí)有時(shí)會(huì)使用到最大主應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算。通過(guò)查閱幫助文檔，ABAQUS實(shí)用子程序SPRINC可以在UMAT中計(jì)算最大主應(yīng)力和最大主應(yīng)變，SPRIND可以計(jì)算最大主應(yīng)力和最大主應(yīng)變的方向。
下面是ABAQUS幫助文檔關(guān)于實(shí)用子程序SPRINC的介紹：
SPRINC (calculate principal values)
Interface
CALL SPRINC(S,PS,LSTR,NDI,NSHR)
Variables to be provided to the utility routine
S
Stress or strain tensor.
LSTR
An identifier. LSTR=1 indicates that S contains stresses; LSTR=2 indicates that S contains strains.
NDI
Number of direct components.
NSHR
Number of shear components.
Variables returned from the utility routine
PS(I), I=1,2,3
The three principal values.
展開(kāi) 有限元軟件結(jié)構(gòu)主應(yīng)力計(jì)算
在Workbench的幫助文檔看到一段求解Mises的程序代碼，而程序求解Mises應(yīng)力時(shí)是通過(guò)三個(gè)主應(yīng)力進(jìn)行求解的，而我們知道根據(jù)有限元求解問(wèn)題時(shí)，最先得到的已知量是位移，再根據(jù)物理方程即可得到應(yīng)力分量，而主應(yīng)力的求解依然需要利用應(yīng)力分量根據(jù)相關(guān)公式進(jìn)一步計(jì)算。
Mises應(yīng)力是結(jié)構(gòu)的第四強(qiáng)度等效應(yīng)力，其計(jì)算公式如下：
上式通過(guò)六個(gè)應(yīng)力分量求解Mises等效應(yīng)力，用主應(yīng)力的形式表示即為：
上式中的三個(gè)應(yīng)力為主應(yīng)力。
程序代碼計(jì)算如下：
該段程序是一段函數(shù)，聲明變量是張量tensor，該張量的列向量即是節(jié)點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)力分量，為弄清楚該段代碼采用的公式，查相關(guān)文獻(xiàn)，得到主應(yīng)力的計(jì)算公式，如下，參考文獻(xiàn)《王凱. 主應(yīng)力的計(jì)算公式[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 2014(6):783-785.》
式中：
上述代碼中定義了一個(gè)很小的數(shù)值，用于比較，當(dāng)三個(gè)切應(yīng)力同時(shí)小于這個(gè)極小值時(shí)，可以認(rèn)為三個(gè)正應(yīng)力即可當(dāng)作主應(yīng)力。
當(dāng)三個(gè)切應(yīng)力分量不是同時(shí)小于這個(gè)極小值時(shí)，需要根據(jù)公式進(jìn)行計(jì)算，代碼中分別定義局部變量A、B、C、p、q、R、z和phi，最終返回三個(gè)主應(yīng)力S1、S2和S3.
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展開(kāi) 有限元軟件結(jié)構(gòu)主應(yīng)力計(jì)算
有限元軟件結(jié)構(gòu)主應(yīng)力計(jì)算
今天在Workbench的幫助文檔看到一段求解Mises的程序代碼，而程序求解Mises應(yīng)力時(shí)是通過(guò)三個(gè)主應(yīng)力進(jìn)行求解的，而我們知道根據(jù)有限元求解問(wèn)題時(shí)，最先得到的已知量是位移，再根據(jù)物理方程即可得到應(yīng)力分量，而主應(yīng)力的求解依然需要利用應(yīng)力分量根據(jù)相關(guān)公式進(jìn)一步計(jì)算。
Mises應(yīng)力是結(jié)構(gòu)的第四強(qiáng)度等效應(yīng)力，其計(jì)算公式如下：
上式通過(guò)六個(gè)應(yīng)力分量求解Mises等效應(yīng)力，用主應(yīng)力的形式表示即為：
上式中的三個(gè)應(yīng)力為主應(yīng)力。
程序代碼計(jì)算如下：
該段程序是一段函數(shù)，聲明變量是張量tensor，該張量的列向量即是節(jié)點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)力分量，為弄清楚該段代碼采用的公式，查相關(guān)文獻(xiàn)，得到主應(yīng)力的計(jì)算公式，如下，參考文獻(xiàn)《王凱. 主應(yīng)力的計(jì)算公式[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 2014(6):783-785.》
式中：
上述代碼中定義了一個(gè)很小的數(shù)值，用于比較，當(dāng)三個(gè)切應(yīng)力同時(shí)小于這個(gè)極小值時(shí)，可以認(rèn)為三個(gè)正應(yīng)力即可當(dāng)作主應(yīng)力。
當(dāng)三個(gè)切應(yīng)力分量不是同時(shí)小于這個(gè)極小值時(shí)，需要根據(jù)公式進(jìn)行計(jì)算，代碼中分別定義局部變量A、B、C、p、q、R、z和phi，最終返回三個(gè)主應(yīng)力S1、S2和S3.
展開(kāi) ANSYS經(jīng)典三個(gè)主應(yīng)力代數(shù)和云圖顯示方法（UPFS子程序）
求解前使用
outres,svar,all命令，應(yīng)用
plnsol,svar,1命令即可查看用戶自定義的輸出變量，即三個(gè)主應(yīng)力代數(shù)和的應(yīng)力云圖。
完結(jié)
文章來(lái)源：ansys學(xué)習(xí)分享網(wǎng)
Tresca本構(gòu)模型VUMAT（2D/軸對(duì)稱）（附源代碼和詳細(xì)注釋）
屈服面采用與線σ1=σ2=σ3對(duì)齊的六角棱鏡的形式，可由六個(gè)屈服函數(shù)定義：
對(duì)于i=1,…,6，方程fi（σ，k）=0對(duì)應(yīng)于主應(yīng)力空間中的平面Si ,這六個(gè)屈服面如下圖所示。
材料強(qiáng)度理論（含應(yīng)力分析）
01 應(yīng)力張量
02 斜截面應(yīng)力
03 主應(yīng)力（特征值）
主應(yīng)力滿足方程：
求解行列式，可得三個(gè)主應(yīng)力：
展開(kāi)行列式：
04 八面體應(yīng)力
八面體總應(yīng)力：
八面體正應(yīng)力：
八面體切應(yīng)力：
05 主應(yīng)力空間
06 Tresa強(qiáng)度準(zhǔn)則&Mises強(qiáng)度準(zhǔn)則
07 莫爾-庫(kù)侖強(qiáng)度準(zhǔn)則
08 Drucker-Prager強(qiáng)度準(zhǔn)則
Abaqus通過(guò)VUMAT子程序?qū)崿F(xiàn)混凝土拉壓不對(duì)稱彈塑性損傷本構(gòu)模型
彈性階段應(yīng)力應(yīng)變滿足如下關(guān)系
通過(guò)對(duì)應(yīng)力進(jìn)行譜分解，可得
式中，σ 為名義應(yīng)力，d 為損傷，d=1-exp(-εp/ρ0)，公式右端σ為有效應(yīng)力的正負(fù)分解。
拉壓屈服函數(shù)如下所示
屈服后，塑性流動(dòng)由下式定義
按照彈性預(yù)測(cè)-塑性修正-損傷修正的流程，通過(guò)在主應(yīng)力空間進(jìn)行譜分解，結(jié)合徑向返回算法，本文編寫(xiě)了混凝土彈塑性損傷的VUMAT子程序。
通過(guò)對(duì)單胞的單向拉壓模擬可以計(jì)算得到混凝土的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)如下圖所示。
拉伸損傷演化過(guò)程
壓縮損傷演化過(guò)程
不同圍壓下的應(yīng)力應(yīng)變曲線
可以發(fā)現(xiàn)，隨著圍壓增大，混凝土壓縮強(qiáng)度提高
展開(kāi) Abaqus通過(guò)VUMAT子程序?qū)崿F(xiàn)混凝土拉壓不對(duì)稱彈塑性損傷本構(gòu)模型
彈性階段應(yīng)力應(yīng)變滿足如下關(guān)系
通過(guò)對(duì)應(yīng)力進(jìn)行譜分解，可得
式中，σ 為名義應(yīng)力，d 為損傷，d=1-exp(-εp/ρ0)，公式右端σ為有效應(yīng)力的正負(fù)分解。
拉壓屈服函數(shù)如下所示
屈服后，塑性流動(dòng)由下式定義
按照彈性預(yù)測(cè)-塑性修正-損傷修正的流程，通過(guò)在主應(yīng)力空間進(jìn)行譜分解，結(jié)合徑向返回算法，本文編寫(xiě)了混凝土彈塑性損傷的VUMAT子程序。
通過(guò)對(duì)單胞的單向拉壓模擬可以計(jì)算得到混凝土的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)如下圖所示。
拉伸損傷演化過(guò)程
壓縮損傷演化過(guò)程
不同圍壓下的應(yīng)力應(yīng)變曲線
可以發(fā)現(xiàn)，隨著圍壓增大，混凝土壓縮強(qiáng)度提高
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展開(kāi) ABAQUS不收斂的原因一
一般說(shuō)來(lái),Mohr-Coulomb相對(duì)難收斂些,因?yàn)樗?em>主應(yīng)力空間的屈服面上存在尖角——因?yàn)樵谟?jì)算過(guò)程中需要對(duì)屈服函數(shù)求導(dǎo),而如果曲線不光滑,尖角處也就沒(méi)法求導(dǎo),向后歐拉算法也就沒(méi)法進(jìn)行了。理論上基本是不能算的,但Abaqus內(nèi)部對(duì)尖角處進(jìn)行了一定的處理,替代為光滑的函數(shù),這樣收斂性就得到了一定的保證,雖然還不夠好。而Drucker-Prager準(zhǔn)則就較好地克服了這一點(diǎn)。因此,相對(duì)來(lái)說(shuō),建議考慮使用DP模型。尤其是ABAQUS中有非線性的DP模型,可以在一定程度上克服線性DP在剪拉區(qū)面積過(guò)大的情況,因此可以在一定程度上減小開(kāi)挖卸載時(shí)土體的回彈。
一般材料相關(guān)的不收斂提示基本就是類似以下:
The plasticity/creep/connector friction algorithm did not converge at 364 points
碰到這個(gè)錯(cuò)誤,一般直接原因就是材料應(yīng)變太大了,塑性計(jì)算迭代不收斂。但這并不意味著材料參數(shù)給得不合適或材料強(qiáng)度太弱,很有可能是你的接觸、約束、荷載或邊界出了問(wèn)題,導(dǎo)致計(jì)算中出現(xiàn)的特別大的位移。或者是初始條件(如初始地應(yīng)力)出了問(wèn)題,程序沒(méi)有計(jì)算,直接就報(bào)了這個(gè)錯(cuò)誤。可以在下面位置看到計(jì)算不收斂的單元位置:
后處理 -> Tools->Job Diagnostics
不收斂需要單一調(diào)每個(gè)參數(shù)確定哪里有問(wèn)題。
另外，在使用Soils分析步進(jìn)行孔壓—應(yīng)力分析時(shí):
a. 墻裂建議各位注意單位,應(yīng)力單位最好選擇kPa或MPa,不要用Pa,否則可能會(huì)遇到各種無(wú)腦錯(cuò)誤提示。
b. 墻裂建議給定孔壓邊界,否則會(huì)遇到DOF. 8極大的情況(孔壓就是第8自由度)。
轉(zhuǎn)自公眾號(hào)——ABAQUS大世界
旨在分享，若侵即刪.
展開(kāi) 