cross模型的案例
Moldex3D模流分析材料性質與模型之熱塑材料黏度模型
Modified Cross 模型(2)
此模型類似于Cross模型1，也是用以表征在上牛頓區域及剪切變稀區域對剪應變速率的相關性。然而，此模型因可包括較寬廣分子量分布(BMWD)，故更適合用于熱塑性材料，因為市面上可得的各式各樣之材料，通常都具有寬廣分子量分布，所以此模型于Moldex3D數據庫中被廣泛地應用。另外又因此模型對溫度效應采用指數型模型，因而此模型又稱為 Cross-Exp 模型。
其中τ* 代表牛頓區域及剪切變稀區域間剪切應力的轉換；n為power-law的冪指數。
Modified Cross 模型(3)
此模型是Cross模型2的修正版本，其中對溫度效應改采用Willam-Landel-Ferry (WLF)模型，因此本模型也被稱為Cross-WLF 模型。
其中剪切相關的參數均與Modified Cross Model (2) 相同。Cross-WLF模型通常在低溫時能加以修正黏度特性，具有較高的準確性，尤其是在溫度低于Tg+100oC時，Cross-WLF模型所仿真出來的結果通常比Cross-Exp的結果好得多。
Carreau 模型
此模型被用來描述剪切率在上牛頓區間 (Upper Newtonian Region) 和剪切薄化區域(Shear-Thinning Region) 的相依性。其跟溫度存在可用自然對數(Exp)表示的關系，被稱為Carreau-Exp塑料黏度模型。
其中η0代表剪切率為0時的粘度，而τ* 代表牛頓區域及剪切變稀區域間剪切應力的轉換；n為power-law 的冪指數。
展開 【JY】超詳細的非牛頓流體模型使用方法
剪切速率非常大時，聚合物大分子鏈容易發生降解，有時可取為0；
Yasuda指數：a，控制從第一牛頓流動區到剪切變稀指數區域的粘度轉變速度的常數（a＜1時，轉變區域擴大），當a取2時就是 Carreau模型。
例如：下圖是3%乳清蛋白分離物和0.4%黃原膠假塑性溶液的粘度曲線。
如果應用Carreau-Yasuda流變方程進行擬合，擬合參數如下：
Carreau Yasuda模型適用于高分子聚合物的剪切變稀行為，而且是最常用于表征人體血液粘稠度的非牛頓模型之一。
不同模型血液粘度值測量數據的對比
（圖片摘自 G. Mach 等人員在 COMSOL 用戶年會 2016 慕尼黑站發表的演示作品）
③ 交叉模型：
交叉（Cross）模型可全面描述“S”形流動曲線反應的轉折，石油化工領域應用較多，通常用來描述瀝青等熱塑性材料。
冪律指數：n，為流動行為指數或非牛頓指數，n可取大于1或小于1的數值；
時間常數：λ，也稱松弛時間，指材料受力變形，外力解除后恢復正常狀態所需的時間；
零剪切粘度：η_0，也稱第一牛頓粘度。剪切速率很小時，聚合物粘度較大，且通常為一個定值，所以常作為聚合物粘度的標準；
交叉（Cross）模型還有一些其他表達形式，例如：Cross-Exp模型、Cross-WLF模型。
Cross-Exp模型：
Cross-WLF模型 ：
④ Herschel-Bulkley模型：
Herschel-Bulkley模型可以描述帶有屈服應力的剪切變稀或剪切增稠流體。
模型中的流動行為指數n=1的情況下，Herschel-Bulkey模型將退化為Bingham模型，可用來描述賓漢流體。
一致性指數：k，也稱稠度系數。
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剪切速率非常大時，聚合物大分子鏈容易發生降解，有時可取為0；
Yasuda指數：a，控制從第一牛頓流動區到剪切變稀指數區域的粘度轉變速度的常數（a＜1時，轉變區域擴大），當a取2時就是 Carreau模型。
例如：下圖是3%乳清蛋白分離物和0.4%黃原膠假塑性溶液的粘度曲線。
如果應用Carreau-Yasuda流變方程進行擬合，擬合參數如下：
Carreau Yasuda模型適用于高分子聚合物的剪切變稀行為，而且是最常用于表征人體血液粘稠度的非牛頓模型之一。
不同模型血液粘度值測量數據的對比
（圖片摘自 G. Mach 等人員在 COMSOL 用戶年會 2016 慕尼黑站發表的演示作品）
③ 交叉模型：
交叉（Cross）模型可全面描述“S”形流動曲線反應的轉折，石油化工領域應用較多，通常用來描述瀝青等熱塑性材料。
冪律指數：n，為流動行為指數或非牛頓指數，n可取大于1或小于1的數值；
時間常數：λ，也稱松弛時間，指材料受力變形，外力解除后恢復正常狀態所需的時間；
零剪切粘度：η_0，也稱第一牛頓粘度。剪切速率很小時，聚合物粘度較大，且通常為一個定值，所以常作為聚合物粘度的標準；
交叉（Cross）模型還有一些其他表達形式，例如：Cross-Exp模型、Cross-WLF模型。
Cross-Exp模型：
Cross-WLF模型 ：
④ Herschel-Bulkley模型：
Herschel-Bulkley模型可以描述帶有屈服應力的剪切變稀或剪切增稠流體。
模型中的流動行為指數n=1的情況下，Herschel-Bulkey模型將退化為Bingham模型，可用來描述賓漢流體。
一致性指數：k，也稱稠度系數。
展開 Moldex3D模流分析材料性質與模型之黏彈模型 (僅適用于熱塑性材質)
此模型也可以很容易的來基于第一正向應力差來設定材料參數，且適合來表現瞬時的快速移動情況。
黏度(η)和松弛時間(λ)皆是溫度及剪切率的方程式表示的，粘度由cross模型計算并可在Moldex3D材料庫中取得，松弛時間則是計算黏度除以模數(G)。G的數值在黏度區間在100 – 1000 (1/s)的實驗中，約落在105~107 (dyne/cm2)的區間內而大多接近106 (dyne/cm2)。
?White-Metzner模型 (Modified)
此模型是由White-Metzner模型修改而來，故名，而其松弛時間的變化與黏度不相關而藉由cross模型匹配而得。
λ 為松弛時間，λ0 為剪切率為0時的松弛時間， aT 為轉移因子。此模型提供了更彈性的黏度、松弛時間與剪切率的相依性變化。
?Giesekus模型
此模型用非線性的應力項復合模型(Multi-mode)來描述流變性質，如下：
λi 與 ηi 為 i 模型下的松弛時間與剪切粘度，而 gi=ηi /λi；α (0~1)為流動性因子的無因次數。公式第二項包含α的項目相關了塑料分子的異向性布朗運動與流動阻力。在此模型下，黏度與正向應力系數大量減少時，剪切率還是有可能會上升，比較線性模型更合乎實際。
?線性PTT 模型 (Linear Phan-Tien and Tanner Model)
此模型是由Giesekus模型簡化而來，其流變性質的公式與變量定義基本一樣，除了將剪切應力項改以以下格式描述：
ξ (τ ? D + D ? τ) 表示每條聚合物煉僅將其一部分張力傳遞給連續體而D 為 (?v+?vT)/2；ξi 唯一實驗取得的系數來考慮非親和行為而 εi 則是在 i 模型下控制非線性行為的材料性質。
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fluent中使用非牛頓流體
FLUENT中比較常用的用于非牛頓流的計算的四種模型為冪律模型、Carreau模型、Cross 模型和Herschel-Bulkley 模型。下面分別介紹這四種模型：
冪律模型
在 Viscosity（粘度）右邊的下拉列表中選擇non-newtonian-power-law（非牛頓冪律），則Non-Newtonian Power Law（非牛頓冪律）面板隨即打開。輸入項包括Consistency Index k（稠度指數k）、Power-Law Index n（冪律指數n）、Reference Temperature T0（參考溫度T0）、Mininum Viscosity Limit ηmin （最小粘度ηmin ）和Maximum Viscosity Limit ηmax（最大粘度ηmax）。對于溫度無關的粘度值，應該將T0設置為0。如果計算中不包含能量方程，FLUENT 用溫度的缺省值273K進行冪律粘度計算。
用于仿塑膠計算的Carreau 模型
非牛頓流體粘度的冪律模型給出的粘度η 隨剪切速率γ的變化關系為：γ趨近于0時，η趨近于η0；γ趨近于無窮大時，η趨近于η∞。Carreau模型則使用曲線擬合將牛頓流體和剪切變薄（n<1）非牛頓流體結合在一起，從而達到模擬更大范圍流體粘度的目的。
在 Viscosity（粘度）右邊的下拉列表中選擇carreau，Carreau Model（Carreau 模型）面板隨即打開。此時可以輸入時間常數λ、冪律指數n、參考溫度T0、零剪切粘度η0和無窮剪切粘度η∞。
Cross 模型
在 Viscosity（粘度）右邊的下拉列表中選擇cross，就可以打開Cross Model（Cross模型）面板。
展開 毛細管流變儀的模塊化測試技術
表觀黏度的產生，是基于一個理想的數學模型，簡單來說，就是將毛細管中流動的物料看作是牛頓流體，并將機械結構簡化后進行分析計算。而實際流體流動過程，要比假設的理想模型復雜得多，要得到更真實的黏度數據，就需要通過各種方法對表觀數據進行校正。比如，高分子流體往往是非牛頓流體，假塑性流體存在剪切變稀行為，因此需要非牛頓校正來修正剪切速率。此外，實際機械結構中，流體的壓力測量點，與分析模型中的完全發展流動區并不重合（如圖1所示），
圖1：料筒與毛細管中流體內部壓力分布示意圖
通過Bagley校正，可以計算出入口壓力降，并進行修正。有時，物料在毛細管管壁處的速度不是我們假設的那樣靜置不流動，為了得到更真實的黏度數據，就需要做Mooney校正。
在實際測試中，剪切速率的設置都是不連續的。
在實際應用中，尤其是在模擬流動分析中，就需要用黏度的斜率作為剪切速率的函數來計算測量數據之間的點。
因此，就有許多數學模型被創建出來，用于描述黏度和剪切速率之間的關系。
比如，Carreau模型和Cross模型，可以很好地
擬合測量數據，并可適當外推擬合得到測量范圍之外的數據。
口模脹大
為研究材料黏彈性對擠出吹塑過程的影響，可以在毛細管下方不同位置（可調節）安裝雷射系統，測量熔體的離模膨脹效應。流變曲線一致的兩種不同分子量分布的材料，可能在口模脹大測試上表現出明顯的差異，因此口模脹大測試可以在一定程度上反映材料的分子量分布。
反向壓力測試
聚合物在加工機械的高壓處理下，壓力對黏度會產生不可忽略的影響。這種現象不能用以前簡單的測試方法來分析。因此，反向壓力測試膛被開發出來（圖2），用來確定仿真加工的數據，特別是高壓下的加工，例如熔體泵、射出成型、基礎成型等。
展開 Fluent案例｜聚合物擠出模擬
在彈出的對話框中選擇Mesh Length Unit 為cm
創建流程
如下圖所示設置
選擇Type 為Extrusion
選擇Goal為Predict extrudate Shape
點擊按鈕Create 創建仿真流程
創建的流程如下圖所示
General設置
選中模型樹節點General ，在右側面板確認計算信息，如下圖所示
設置材料參數
點擊模型樹節點Materials → fluid ，右側面板進行如下設置
指定參數View Properties 為Viscosity law
指定Shear Rate Dependence為Cross
指定Zero Shear Viscosity為85000
指定Time Constant為0.2 s
指定Cross Law Index為0.3
Cross模型常用于許多聚合物材料特性模擬，其材料特性表現為剪切稀化（粘度隨著剪切速率增加而降低）。該模型表達式為：
其中，為參數Zero Shear Viscosity，為Time Constant，為Cross Law Index，為剪切率。
展開 Moldex3D模流分析Flow參考資料之數學模型及其假設
數學模型及其假設 (Mathematical Models and Assumptions)
數學模型及其假設(Mathematical Models and Assumptions) for Solid
令 u, v ,w 代表速度分量，x,y 是平面坐標軸而z是gapwise坐標軸。假設空孔中充填的是不可壓縮流體，一般的射出充填可以很合理的假設為黏滯流。
射出成型常用的原理簡圖
在充填階段，空氣與塑料都被假設為不可壓縮的而熔膠的流動行為則以一般牛頓流體來描述。因此3D充填行為可以數學形式描述如下：
其中 u 是速度向量，T 是溫度，t 是時間，p是壓力，σ是總應力張量，ρ是密度，η是黏度，k為熱傳導系數，Cp 是比熱，是剪應變速率。要解決這個問題，高分子的特性必須被適當的描述。例如：與Arrhenius 溫度有關的modified-Cross 模型被用來描述高分子熔流的黏度。
和
其中 η 是power-law指標，η0 是零剪力黏度，τ* 是描述零剪應變區域與黏度曲線的power-law區域間的轉換區域之參數。體積分率函數f 是為追蹤流動波前的進展而導入的函數，f = 0 代表是氣相，f = 1代表高分子熔流相，當流動波前處于cells中時 0<f<1。f的增加除以時間可以以下的傳輸方程式來概括：
模具入口的流率與射出壓力是有規定的。假設模具內壁沒有任何滑移。體積分率函數的雙曲線傳輸方程式只需要入口的邊界條件。
數學模型及其假設(Mathematical Models and Assumptions) for Shell
理論上，射出成型之過程是一個移動波前有關的三維瞬時問題。非牛頓流體充填與熱傳導等問題都須于一并考慮。
展開 Moldex3D模流分析Flow參考資料之制程特征
數學模型及其假設 (Mathematical Models and Assumptions)
數學模型及其假設(Mathematical Models and Assumptions) for Solid
令 u, v ,w 代表速度分量，x,y 是平面坐標軸而z是gapwise坐標軸。假設空孔中充填的是不可壓縮流體，一般的射出充填可以很合理的假設為黏滯流。
射出成型常用的原理簡圖
在充填階段，空氣與塑料都被假設為不可壓縮的而熔膠的流動行為則以一般牛頓流體來描述。因此3D充填行為可以數學形式描述如下：
其中 u 是速度向量，T 是溫度，t 是時間，p是壓力，σ是總應力張量，ρ是密度，η是黏度，k為熱傳導系數，Cp 是比熱，是剪應變速率。要解決這個問題，高分子的特性必須被適當的描述。例如：與Arrhenius 溫度有關的modified-Cross 模型被用來描述高分子熔流的黏度。
和
其中 η 是power-law指標，η0 是零剪力黏度，τ* 是描述零剪應變區域與黏度曲線的power-law區域間的轉換區域之參數。體積分率函數f 是為追蹤流動波前的進展而導入的函數，f = 0 代表是氣相，f = 1代表高分子熔流相，當流動波前處于cells中時 0<f<1。f的增加除以時間可以以下的傳輸方程式來概括：
模具入口的流率與射出壓力是有規定的。假設模具內壁沒有任何滑移。體積分率函數的雙曲線傳輸方程式只需要入口的邊界條件。
數學模型及其假設(Mathematical Models and Assumptions) for Shell
理論上，射出成型之過程是一個移動波前有關的三維瞬時問題。非牛頓流體充填與熱傳導等問題都須于一并考慮。
展開 Moldex3D模流分析之SABIC透過先進黏度數據 改善射出成型壓力預測
材料特性量測：要針對高射出壓力下的樹脂流動行為作出正確的評估，除了傳統的Cross-WLF參數和壓力相關項之外，Cross-WLF模型中的D3系數也是相當重要。SABIC近來也開發出量測D3的方法。
2. 實驗設置：使用干燥機預先將材料干燥之后，透過科學成型技術優化制程設定。SABIC將此設定運作一小時(60個周期)，以穩定制程，并在量測之前就達到平衡。
3. 數據記錄：透過噴洗模腔表面，并使用熱探針檢視，可量測熔膠溫度和模具溫度等輸入值。所有的螺桿作動參數(包括行程、速度等)皆可由機器的壓力-時間變化曲線來捕捉。
4. CAE模型：塑件和進料系統(包含澆口、冷流道及熱嘴)皆須以3D元素進行建模。在最終的網格建構之前，透過較精細的網格，來研究其對壓力、流動特征等關鍵分析結果的靈敏度。而為了考慮螺桿料管中的壓力損失，SABIC以三次元量測儀(CMM)測量機臺噴嘴前段，并開發CAD幾何模型。這些皆以3D元素建構網格，形成FE網格模型的基礎；并在CAE模型中進行模具排氣設計的量測和建模。
5. 后處理：使用Moldex3D進行成型制程模擬，包括典型的充填、保壓分析等研究。比較實驗及CAE仿真結果顯示，在黏度模型沒有材料參數D3的情況下，壓力峰值的預測低估了約28.9%。而在黏度模型中納入D3之后，壓力峰值的模擬與量測結果相較，則僅低估約4.2%。
效益
FE模型精確度相當高，且可以真實呈現物理問題。
改善樹脂的流變特征
考慮熔膠和模具溫度，獲得準確的量測結果
將噴嘴納入流動路徑，得到更細節的量測結果
排氣的配置可運用在FE模型
復制機臺設定，作為充填和保壓的輸入值
透過CAE強大的模擬結果，幫助了解熔膠特性和成型條件之影響，并提供準確的預測，使SABIC可以做出完整的決策。
展開 擴展有限元(XFEM)模擬巖體節理網絡(DFN | Joint Network）
(4) Cross Jointed模型
該模型由兩組正交節理組成，產狀分別為46°和-46°，傾角為46°的層間距平均值取20m, 按正態分布，標準偏差2m；正交節理組的平均間距20m, 也按正態分布，標準偏差2m，最大位移量為0.11m，屈服的節理如下圖所示。
(5) Parallel Statistical模型
節理產狀按Fisher分布，傾角46°，順層邊坡，節理平均長度10m, 按正態對數分布，標準偏差1m, 節理貫通度按正態分布，標準偏差0.1, 節理間距平均值20m, 按正態分布，標準方差2m, 最大位移量為0.11m, 屈服的節理如下圖所示。
(6) Parallel Deterministic模型
節理傾角46°,與邊坡順層，節理間距20m, 節理長度10m, 貫通度0.5， 最大位移量為0.11m，屈服的節理如下圖所示。
4 結束語
本文使用擴展有限元XFEM分析了在不同節理模型下的邊坡穩定性。結果顯示，在相同材料參數條件下，節理的分布模型控制著邊坡的屈服模式，但對總體位移影響不大。XFEM與網格劃分無關，節理可以放在模型的任何地方。與顯式的離散斷裂網絡DFN相比，XFEM可以在解決較大網格尺寸的問題時減少計算時間。
展開 
Moldex3D模流分析之雙料共射成型模塊
數學模型及其假設 (Mathematical Models and Assumptions)
當兩種塑料同時在模穴里移動，分別稱之為EM#1 及 EM#2，其皆為可壓縮的泛牛頓流體，波前表面張力忽略，因此三維瞬時非等溫下的統馭方程式為：
?質量守恒：
?動量守恒：
?能量守恒：
其中 ρ 是密度；u 是速度向量；t 是時間；τ 是應力張量；g 是重力向量；p 是壓力；η 是黏度；CP 是比熱；T 是溫度；k 是熱傳導系數。
本構方程式：由于塑料被視為是泛牛頓流體，應力張量可表示為：
τ = -η (?u + ?uT)
我們利用Cross 黏度模型加上Arrhenius溫度相關性來描述熔膠黏度。
其中
其中η 為剪切稀薄指數，η0 是零剪切速率黏度，τ* 決定由低剪切牛頓區至高剪切非牛頓指數關系區。
波前追蹤：
體積分率 fi 用來表示第一種熔膠(EM#1)／空氣(i=1) 以及第二種熔膠(EM#2)／空氣(i=2) 間的界面。當 f = 0為未填滿，當 f = 1 為完全填滿，接口波前在流動末端 f 在0與1之間的元素上。波前發展依據以下質傳方程式：
在熔膠充填階段，速度與溫度由熔膠入口處決定。于射出過程，流率由熔膠入口處決定。在模壁上，熔膠邊界層不滑動，模溫預設為定值。
展開 Moldex3D模流分析之雙料共射模擬成型教程
數學模型及其假設
當兩種塑料同時在模穴里移動，分別稱之為EM#1 及 EM#2，其皆為可壓縮的泛牛頓流體，波前表面張力忽略，因此三維瞬時非等溫下的統馭方程式為：
•質量守恒：
•動量守恒：
•能量守恒：
其中 ρ 是密度；u 是速度向量；t 是時間；τ 是應力張量；g 是重力向量；p 是壓力；η 是黏度；CP 是比熱；T是溫度；k 是熱傳導系數； 是剪切速率。
本構方程式：由于塑料被視為是泛牛頓流體，應力張量可表示為：
τ = -η (∇u + ∇uT)
我們利用Cross 黏度模型加上Arrhenius溫度相關性來描述熔膠黏度。
其中
其中η 為剪切稀薄指數，η0 是零剪切速率黏度，τ* 決定由低剪切牛頓區至高剪切非牛頓指數關系區。
波前追蹤：
體積分率 fi 用來表示第一種熔膠(EM#1)／空氣(i=1) 以及第二種熔膠(EM#2)／空氣(i=2) 間的界面。當 f = 0為未填滿，當 f = 1 為完全填滿，接口波前在流動末端 f 在0與1之間的元素上。波前發展依據以下質傳方程式：
在熔膠充填階段，速度與溫度由熔膠入口處決定。于射出過程，流率由熔膠入口處決定。在模壁上，熔膠邊界層不滑動，模溫預設為定值。
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數學模型及其假設 (Mathematical Models and Assumptions)
當兩種塑料同時在模穴里移動，分別稱之為EM#1及EM#2，其皆為可壓縮的泛牛頓流體，波前表面張力忽略，因此三維瞬時非等溫下的統馭方程式為：
?質量守恒：
?動量守恒：
?能量守恒：
其中ρ 是密度；u 是速度向量；t 是時間；τ 是應力張量；g 是重力向量；p 是壓力；η 是黏度；CP 是比熱；T 是溫度；k 是熱傳導系數。
本構方程式：由于塑料被視為是泛牛頓流體，應力張量可表示為：
τ = -η (?u + ?uT)
我們利用Cross 黏度模型加上Arrhenius溫度相關性來描述熔膠黏度。
其中
其中η 為剪切稀薄指數，η0 是零剪切速率黏度，τ* 決定由低剪切牛頓區至高剪切非牛頓指數關系區。
波前追蹤：
體積分率 fi 用來表示第一種熔膠(EM#1)／空氣(i=1) 以及第二種熔膠(EM#2)／空氣(i=2) 間的界面。當 f = 0為未填滿，當 f = 1為完全填滿，接口波前在流動末端 f 在0與1之間的元素上。波前發展依據以下質傳方程式：
在熔膠充填階段，速度與溫度由熔膠入口處決定。于射出過程，流率由熔膠入口處決定。在模壁上，熔膠邊界層不滑動，模溫預設為定值。
展開 ENGEL sim link數據接口實現模流分析和射出機之間的直接數據傳輸
在常用的Cross-WLF模型中，壓力與材料黏度相關性是用參數D3來描述的，在這個案例中，D3 = 0。通過經驗性地調整參數，實際測得的壓力曲線和模擬的壓力曲線很快就變得更加吻合。
圖7：比較絕對注射壓力的壓力曲線時會發現，盡管工藝參數接近現實，但模擬仿真預測的壓力峰值比實際生產中測得的壓力曲線要低得多。仔細觀察材料數據顯示，壓力與材料黏度的相關性未測量。（圖片來源：ENGEL）
對于模流分析工程師來說，生產的反饋有助于形成對生產中使用的材料和相關工藝參數質量更好的意識。由此，后續應用的模擬仿真質量就能夠獲得提高。例如，在后續項目中，可以做出更準確的壓力預測。
比較模內壓力曲線也可提供額外信息，包括儲存在模流分析軟件數據庫中的材料參數的質量。模內壓力曲線對所成型件的收縮和變形有很大影響。因此，模擬仿真的目標是盡可能準確地預測模內壓力曲線。
結語
ENGEL sim link是一款多功能的工具，能將模流分析工程師的專業知識直接轉移到生產中。在量產開始之前便能驗證，擬用于生產的射出機是否確實適用于這一產品。通過對選擇的射出機的模擬仿真參數設置進行修改這一方法，我們可以使用更復雜的工藝參數，并盡可能估計出真實的周期時間。生產的反饋有助于提高模擬仿真的質量，以避免修模、迭代產生的高昂費用。
優勢
sim link結合了設計與生產，數據障礙得以克服。
模擬仿真的結果可輕易地利用起來，轉移到批量生產中。
模擬仿真的質量不斷提高。避免了后期修模產生額外的高昂成本。
產品面市的時間縮短。
不同專業領域之間的合作得到促進，并拓展跨學科的專業know-how。
sim link實現了模擬仿真和生產的閉環，包括數位孿生。
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