有限元-元胞自動機法的案例
基于有限元-元胞自動機法（CAFE）的增材制造過程組織模擬
<p>關鍵詞：增材制造；有限元，元胞自動機，凝固組織，晶體塑性</p><p class="ql-align-justify">增材制造技術是一種先進的數字化制造技術，其采用熱源熔融離散材料（如粉末），并逐層逐道沉積成3維實體構建。這與傳統減材制造 (切削、磨削等) 和等材制造 (鑄造、鍛壓等) 加工材料方式的本質不同。增材制造過程伴隨著快速的熔化和凝固循環，材料經歷復雜的熱歷程。這導致熔池內部及相鄰層、道之間形成獨特的微觀結構，包括精細的枝晶結構、晶粒尺寸、晶粒取向（織構）以及由微觀偏析引起的潛在析出相。這些凝固組織特征直接決定了制件最終的力學性能（如強度、韌性）和物理性能。因此，精準預測和控制凝固組織演變對于增材制造的工業化應用至關重要。</p><p>有限元-元胞自動機（CAFE）法是一種強大的跨尺度模擬方法，為研究增材制造凝固組織形成提供了有力工具。其采用有限元法或有限體積法建立起制造過程的宏觀熔池模型，模擬激光/電子束等熱源移動產生的瞬態溫度場（包括熔池形狀、溫度梯度G、冷卻速率R）、熱應力及潛在的熔池流動。</p><div contenteditable="false" width="100%" class="ql-align-justify">
<img src="https://p3-sign.toutiaoimg.com/tos-cn-i-axegupay5k/6d18f544077e4f7891aafa2bda90eca2~tplv-tt-origin-web:gif.jpeg?
展開 解析DEFORM軟件中的元胞自動機法
■ 介觀行為是指材料顯微組織結構的轉變，如金屬的凝固結晶、再結晶和相變等過程，介觀組織模擬的模型主要有幾何模型、頂點模型、元胞自動機模型（Cellular Automata，簡稱CA）、蒙特卡洛模型（Monte Carlo，簡稱MC）。
■ 宏觀行為主要是材料加工方面，主要是材料變形和熱處理過程中的應力、應變、溫度場等。
元胞自動機法最早提出用于模擬生命系統所具有的自我復制功能，其數學模型是時間、空間、狀態都離散，空間相互作用和時間因果關系為局部的網格動力學模型，能夠模擬復雜系統時空演化過程，廣泛應用于數學、物理學、生物學、化學、地理學和經濟學等各個學科的非線性現象和分形結構的研究。
Hesselbarth和Gobel最早將元胞自動機法應用到再結晶方面，他們的模型研究了再結晶形核和晶核長大的動力學以及其不同的參數和算法對再結晶行為的影響，結果成功得描述了已被公認的再結晶動力學理論JMAK方程。隨著國內外大量研究人員進一步發展完善模型，將元胞自動機法應用于不同金屬材料再結晶過程，與實驗測試得到的再結晶結果吻合。
DEFORM軟件以模擬金屬變形和熱處理過程為主要目的，在不斷深入研究發展中，加入了金屬微觀組織演變模擬，能夠從宏觀和介觀兩個尺度下模擬金屬材料變形行為和組織演變過程，不但具有經典的JMAK法用于金屬再結晶模擬，而且包含了當前流行的元胞自動機法和蒙特卡洛法，能夠直觀的分析觀察晶粒演變過程。
DEFORM中的CA法介紹
目前CA法在再結晶模擬方面的大部分研究與應用，都是針對具體的材料和特定變形條件下，研究人員通過Fortran、MATLAB等編譯軟件編程定義轉變規則和圖形可視化，無法直接輸入實際復雜的工藝加工過程，適用普遍性不強，難以推廣。
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介觀行為是指材料顯微組織結構的轉變，如金屬的凝固結晶、再結晶和相變等過程，介觀組織模擬的模型主要有幾何模型、頂點模型、元胞自動機模型（Cellular Automata，簡稱CA）、蒙特卡洛模型（Monte Carlo，簡稱MC）。宏觀行為主要是材料加工方面，主要是材料變形和熱處理過程中的應力、應變、溫度場等。
元胞自動機法最早提出用于模擬生命系統所具有的自我復制功能，其數學模型是時間、空間、狀態都離散，空間相互作用和時間因果關系為局部的網格動力學模型，能夠模擬復雜系統時空演化過程，廣泛應用于數學、物理學、生物學、化學、地理學和經濟學等各個學科的非線性現象和分形結構的研究。Hesselbarth和Gobel最早將元胞自動機法應用到再結晶方面，他們的模型研究了再結晶形核和晶核長大的動力學以及其不同的參數和算法對再結晶行為的影響，結果成功的描述了已被公認的再結晶動力學理論JMAK方程。隨著國內外大量研究人員進一步發展完善模型，將元胞自動機法應用于不同金屬材料再結晶過程，與實驗測試得到的再結晶結果吻合。
DEFORM軟件以模擬金屬變形和熱處理過程為主要目的，在不斷深入研究發展中，加入了金屬微觀組織演變模擬，能夠從宏觀和介觀兩個尺度下模擬金屬材料變形行為和組織演變過程，不但具有經典的JMAK法用于金屬再結晶模擬，而且包含了當前流行的元胞自動機法和蒙特卡洛法，能夠直觀的分析觀察晶粒演變過程。
DEFORM中的CA法介紹
目前CA法在再結晶模擬方面的大部分研究與應用，都是針對具體的材料和特定變形條件下，研究人員通過Fortran、MATLAB等編譯軟件編程定義轉變規則和圖形可視化，無法直接輸入實際復雜的工藝加工過程，適用普遍性不強，難以推廣。
展開 元胞自動機模擬動態再結晶
有沒有大佬會用元胞自動機模擬動態再結晶晶粒長大的，有償代做微ddw1679
python自動元胞機方法實現晶粒生長模擬，二維 ￥39
python模擬晶粒生長
晶體塑性耦合元胞自動機模擬熱壓縮過程中的再結晶行為
本構理論分成晶體塑性和再結晶兩部分，其中晶體塑性部分公式如下：
流動方程（經典的唯象流動）：
硬化方程使用的taylor位錯模型
位錯密度的演化使用經典的KM方程：
再結晶部分公式包含形核和晶界遷移兩部分，其中形核的理論公式是
晶界遷移速度為：
整體數值實現框架示意圖如下：
作者以OFHC銅為研究對象，對775K和875K的熱壓縮進行了研究，分析了溫度對再結晶的影響，以及定向形核和生長選擇兩類機制的差異，同時模擬了順序耦合的 DRX→SRX（退火）過程及異常晶粒長大（AGG），模擬效果如下：
根據作者提供的思路（相對簡單清晰），可以編寫對應的子程序，完整晶體塑性和元胞自動機的完全耦合，同樣使用隱式umat實現。數值案例如下：
建立一個包含20個晶粒8000個單元的RVE模型，如下所示
給定對應的初始形核臨界位錯密度和初始的形核率計算公式以及晶界遷移率公式，通過施加周期性邊界PBC沿著X方向壓縮45%（使用鎳基高溫合金的材料參數）。
根據FCC的取向差計算公式，得到初始的晶界分布：
初始的IPF圖如下：
初始的晶粒尺寸分布（mm）：
變形45%后的IPF圖如下：
變形45%后的晶界分布情況：
變形45%后的應力分布情況：
變形45%后的位錯密度分布情況：
變形45%后的晶粒尺寸分布情況：
感興趣的歡迎加入知識星球交流討論，當前效果是初步的建模分析結果：
展開 旋轉體結構有限元網格自動劃分法
摘 要：用有限元法對進行結構和自由度體系進行分析，其網格的生成是建立有限元模型的重要技術，利用分塊分割法對網格自動劃分，從而形成有限元網格模型，完成有限元分析的前處理。
關鍵詞：有限元法；分塊分割；網格
中圖分類號：O241.82；O24221 文獻標識碼：A
0 前 言
有限元分析技術作為一種運用計算機工具的數值分析方法已經取得了巨大的成功，其應用的領域亦已從力學分析拓展到各類物理場的分析(如溫度場，電場，磁場，滲流場，聲波場等)，成為結構和多自由度體系分析的有力工具，已被廣泛用于產品結構設計、傳導、屈曲分析及其它科學研究領域，原來進行有限元分析常常采用手工計算生成有限元模型的輸入數據，既耗費時間，又容易出錯，特別是大型復雜的結構，其手工輸入數據的計算工作量大得驚人。故為減少數據輸入的準備工作和提高工作效率，有限元系統都應配有使用方便，功能齊全的前處理程序。有限元網格自動生成，是建立有限元模型的重要技術條件。但目前還沒有一種通用的網格自動自動生成方法。本文采用分塊分割法對網格自動劃分，使用這種方法首先將整體結構分割成若干個適用于網格自動劃分的參數子域，然后在相應的參數域上生成子域的網格，再組合成完整的有限元網格模型。
1 傳統等參數映射法計算節點坐標
如果子域看作是一個大的等參單元，根據等參單元坐標變換公式，可以計算子域的點坐標：
對于二維，三維問題，分別采用6節點三角形，8節點四邊形和20節點六面體等參單元。因此Ni是對應單元的形函數，n是等參單元的節點數，Xi，Yi，Zi是等參單元節點坐標，子域可選擇由曲面三角形，曲面四邊形和曲面六面體。
一般情況下，采用等參數映射法生成結構網格模型，這樣，等參單元模擬圓時會出現誤差。如果圓心角小于90°時，誤差較小，但圓心角大于90°時，則誤差較大不可忽略。
展開 有限元+譜元法的高頻計算 附隨機有限元譜方法下載
本質上講述了一個譜元法可以減小計算量的故事，不過借著一個別人沒有用過的對象來講述，所以具有了一定的新意。所以說創新有三種：原理和方法型創新、對象型創新和結果型創新。第一種創新是真創新，后面兩個故事講得好也是極好的。
譜元法是啥？譜元法基于力學方程弱形式由Patera在1984年計算流體力學中提出。譜方法和有限元法的思想類似，都是有離散單元的存在，它在有限單元上進行譜展開，所以具有有限元方法和偽譜法的思想，同時兼備有限元可以模擬任何復雜介質模型的韌性和偽譜法的精度，所以譜元法又稱為域分解譜方法或高階有限元法。跟有限元差別在于譜方法以一系列全局連續的函數（可以是三角函數、多項式等）的疊加來近似真實解，而有限元法則是使用單元內簡單多項式插值函數的疊加來近似真實解。即有限元的插值函數只在該單元內作用，而譜元法則是大家一起用。
對高頻振動問題來講，傳統方法以有限元通用性最好，但是有限元法中分析波傳播需要使單元大小與波長相當，且時間分辨率也非常小，計算效率較低。譜元法則通過上述的全局插值函數（有點類似全局基函數，選三角函數時還可以利用FFT提高計算效率）來解決這些問題。
譜元法有時域的和頻域兩種。時域譜元法和傳統的有限元法區別較小，應該說是一種高階的有限元法，其為了達到精度，細分網格是通過切比雪夫多項式或者勒讓德多項式等正交多項式的根來定網格節點。頻域譜元法是分析波傳播的一種有限元方法，在頻域內使位移函數采用波動方程的一般解，得到與頻率相關的動剛度矩陣，利用快速傅里葉變換實現時域和頻域的轉換。
本文以線纜為例，分析波的傳播對故障的診斷效果（需計算的波長跟故障尺度相當）。若用有限元方法，網格大小為波長1、6，需要成千上萬的單元節點，而頻域譜元法則只需很少的節點。
展開 斷裂力學與有限元法、邊界元法
<p> </p><p>盡管有限元法的適應性極強，并具有廣闊的應用領域，但這種利用局部定義的多項展開式來實現的方法仍有某些不足之處。具體來進，困難出現在如下兩種情況下：（a）問題的定義域為無限域時，（b）存在奇異性（部分或全部導數為無窮大）時。</p><p>顯然，無限域無法用有限的單元來得到；而用多項展開式來描述奇異性時則近似程度很差。事實上，收斂定理在后一個問題中已不再能使用，因為在奇異點附近泰勒展開式不再收斂。</p><p>在著重于實用的工程方法中，常常十分正確地迴避了這兩種困難，因為實際上無限域及奇異性只是數學上的假設——這使我們能用大而有限的區域及接近奇異的點得到有用的結果，然而這兩種數學“假設”都是有用的，因為利用它們能使計算工作量有本質性的下降。實際上大家都知道，對于“無限域”和“奇異性”問題，存在著許多極為簡單的精確解，只要有可能，利用這些解答總是值得的。因此，本章的任務就是論述如何在數值離散化方法中利用這些解析解，可以用許多其它的辦法把問題轉變（或簡單地修正一下，以避免無限域及奇異性，但最有效的還是所謂“邊界解”法或特雷弗茨（Trefftz）法。因此，我們將首先較為詳細地討論這種方法和有限元法的異同，并且指出：只要表述和處理都得當邊界解法的所有長處均可在有限元分析中得到保留。我們將會發現，這里所用的一些方法和第十二章中推導各種雜交單元的方法是一樣的。</p><p> </p><p>邊界群法的本質是；按標準形式為未知函數選擇一組試試探函數。</p><p>邊界解法和普通有限元法的差別在于：</p><p>（1）選擇形狀函數時要滿足式。</p><p>（2）只在問題的邊界條件上作出近似。</p><p>由于現在的離散處理僅涉及邊界，所以其參數的數目可以比準有限元法所用的少很多。
展開 有限元法，有限差分法和有限體積法的區別 附有限體積法基礎文檔下載
有限差分方法(Finite Difference Method)
有限差分法是計算機數值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。它以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。這是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。
構造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限元方法(Finite Element Method)
有限元法的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發展慢慢用于流體力學的數值模擬。
在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。常見的有限元計算方法是由變分法和加權余量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。
展開 有限元基礎理論——有限元法 ￥1
筆者前述
有限元法作為當今科學研究與工程應用中被廣泛應用的一種數值方法，受到越來越多人關注，越來越多學者與高校學生也開始從事有限元分析。筆者作為一個CAE菜鳥，在剛接觸有限元分析時，有種被有限元虐的體無完膚的凄慘，一個人摸索，真是處處碰壁，原本打雞血似的學習熱情也慢慢冷卻，就這樣持續一段時間后，在不斷查看相關論壇與帖子之后，終于迎來了轉機。
在技術鄰的帖子里，看到了一些前輩分享的學習經驗，了解到學習有限元分析，萬萬不能停留在只學習軟件操作的層面上，過去的我，因為沒有這個思想指導，忽略了理論的學習，導致一直在學習案例，雖然跟著視頻可以完整的做出一個案例，但是在做的過程中，完全不知道為何這么做，為什么這么設置？原理是什么？久而久之，由于無法自己創造出東西來，就會被一直的模仿操作消磨掉學習興趣與耐心。所以，我開始接觸一些有限元理論和力學理論，發現當你有意識地去完成一個項目和案例，會大大提高你的學習動力和毅力，就這樣，我開始進行理論學習與操作學習相結合的學習生活。此帖，主要是我學習有限元法的相關筆記，供大家參考。
如何學習有限元
首先，我們要明白，CAE是一種解決復雜問題的思路，其理論基礎是有限單元法（有限差分法、有限體積法以及邊界元法）等數值方法，基于這些數值計算的理論基礎，我們開發出來ANSYS、ABAQUS等各種有限元軟件，用于降低我們利用有限元法等數值計算方法進行分析問題的難度，這意味著他們只是一種工具。所以，如果不懂有限元，學習CAE沒有多大意義。會用軟件只是軟件操作層面，對學習者并沒有太大要求，稍微有點文化或者懂點英文，就能對著教材或者視頻做完一個案例，問題是做完之后，絕大部分人甚至都不知道自己在做什么，結果是什么含義，他們一片茫然，這種學習方式，基本上沒有什么用處。
展開 
有限元法講解及運用常應變三角形單元解彈性力學平面問題（FORTRAN語言編寫有限元法程序算例）
1970年以后有限元方法 開始應用于處理的非線性分大變形問題，Oden于1972年出版了第一本關于處理非線性連續體的專著。這一時期 的理論研究工作是比較簡單的實際問題，1975年，對一個300單元的模型，在當時先進的計算機上進行2000萬次 計算大約需要30小時的機時，花費約3萬美金，如此高昂 的計算成本嚴重限制了有限元方法得發展和普及。然而，許多工程師們都對有限元方法的發展你前途非常清楚，因為它提供了一種處理復雜真實問題的有力工具。
在工程師研究和應用有限元方法得同時，一些數學 家也在研究求解有限元的數學基礎，實際上1943年 Courant得哪一篇開創性得論文就是研究求解平衡問題的 變分方法，1963年Besseling，Meldsh和jones等人研究 了有限元方法得數學原理。還有學者進一步研究了加權 殘值法與有限元方法之間的關系，對于一些尚未確定出 能量泛函得復雜問題，也可以建立起有限元分析的基本方程，這可以將有限元方法德應用領域大大的擴展，我 國的胡海昌于1954年提出了廣義變分原理，錢偉長最先 研究了拉格朗日乘子法與廣義變分原理之間的關系。馮 康研究了有限元分析得精度于收斂性問題。
我國著名力學家，教育家徐芝綸院士（河海大學教授）首次將有限元法引入我國，對它的應用起了很大的推動作用。
3.有限元法的基本思想
有限元法（finite element method）是一種高效能、常用的計算方法。有限元法在早期是以變分原理為基礎發展起來的，所以它廣泛地應用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯系）。
展開 有限元法（FEM） 附有限元仿真實踐原理下載
在下圖給出的例子中，相場被用來計算噴墨打印機中的墨水液滴與空氣之間的界面。該界面是由相場函數的等值面所給出的，其值等于 0.5。在這個界面上，相場函數的值迅速地從 1 變為 0。在此相場函數的這些陡峭梯度的周圍，我們可以使用誤差估計來自動完成網格細化的工作，而流場則可以用來對流網格細化，以便僅在相場等值面的面前才使用更細的網格。
在一個瞬態兩相流問題中，對噴墨打印機中的一串墨滴進行網格細化。
其他有限元公式
在上述例子中，我們為基函數和試函數使用了相同的函數集來實現模型方程的離散化。如果一個有限元公式可以使試函數不同于基函數，則該公式稱為 Petrov-Galerkin 法。這是一種常用的方法；例如，在解決對流-擴散問題的過程中，只會對流線方向進行穩定化處理。其也被稱為流線迎風 /Petrov-Galerkin（SUPG）法。
在耦合方程組的求解過程中，不同的因變量可能會用到不同的基函數。一個典型的例子是納維-斯托克斯方程的求解，其中的壓力往往比速度更平滑、更易進行近似。在某類方法中，如果一個耦合方程組中不同的因變量的基函數（以及試函數）屬于不同的函數空間，那么這類方法便稱為混合有限元法。
COMSOL Multiphysics 軟件中用于流體流動分析的混合單元法的設置，其中二次形函數（基函數）用于計算速度，線性形函數用于計算壓力。
下載地址：有限元仿真實踐原理
展開 [有限元原理]有限差分法與有限單元法的區別
對于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為 (1)建立積分方程，根據變分原理或方程余量與權函數正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發點。 (2)區域單元剖分，根據求解區域的形狀及實際問題的物理特點，將區域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節點進行編號和確定相互之間的關系之外，還要表示節點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節點序號和相應的邊界值。 (3)確定單元基函數，根據單元中節點數目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數作為單元基函數。有限元方法中的基函數是在單元中選取的，由于各單元具有規則的幾何形狀，在選取基函數時可遵循一定的法則。 (4)單元分析：將各個單元中的求解函數用單元基函數的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數代入積分方程，并對單元區域進行積分，可獲得含有待定系數(即單元中各節點的參數值)的代數方程組，稱為單元有限元方程。 (5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。 (6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。 (7)解有限元方程：根據邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當的數值計算方法求解，可求得各節點的函數值
3 有限體積法（Finite Volume Method）又稱為控制體積法。
展開 OptiMode應用矢量有限元法模擬表面等離子體激元
這些表面等離子體激元(SPPs)在金屬電介質界面具有電場強度極值，由于其對任意接近該表面的改變極其敏感通常可用于傳感應用。利用合適的模式解算器可以得到具有2D結構的導模。
等離子體平均功率流圖
1. 應用
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亞波長光學
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傳感
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信號傳輸
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光學偏振器
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彎曲波導
2. 優勢
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VFEM模式求解器可輕松處理高橫縱比的波導
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搜索具有復值模式指數的模態
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高階插值混合向量/節點元素,可以準確地捕捉到金屬與電介質交界面附近的高電場強度
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三角網格尺寸能夠適應高精度材料屬性
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利用波導的對稱性，可以降低仿真域并把具有特定對稱性的模態作為目標
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VFEM快速而且精確
3. 仿真描述
矢量有限元法（VFEM）模式求解器接收復介電常數材料，并使用特別適合對高對比度介電界面進行建模的矢量基函數來表示。其中一個很好的例子就是使用VFEM模式求解器來計算表面等離子傳導結構。
該結構在研究中背面顯示為黑色輪廓線，中心范圍的銀由介電常數為4的材料圍繞。材料銀在633nm波長的介電常數是-19-j0.53[1]。該傳導結構不僅僅有高介電常數對比度組成，同時具有較高的橫縱比，即寬度遠大于厚度。
利用對稱邊界和如[1]中分類的模式組合，相應波導厚度模式的色散曲線如圖1所示。所有模式具有一個主Ey分量，該分量有TM模組成并具有無限寬度結構。
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