硬化模量的案例
塑性工程學報：Custom450鋼拉伸的晶體塑性有限元分析
而沉淀硬化不銹鋼具備較強的綜合性能，如高強度、高韌性、高耐蝕性、高抗氧化性和優異的成形性、焊接性等，是理想的末級葉片的材料。Custom450鋼是17－4PH不銹鋼的第2代改型，屬于馬氏體沉淀硬化不銹鋼，具有良好的耐蝕性、高強度以及良好的加工特性，這類材料在服役過程中往往承受著高速動態載荷。而研究微細觀尺度的變形不均勻性是新材料開發及優選的重要準則，晶體塑性有限元方法將晶體塑性理論和有限元軟件進行了恰當的融合，成為研究細觀層次塑性變形行為的強有力工具。來自華東理工大學機械與動力工程學院的艾鑫團隊，基于Voronoi方法建立了Custom450 鋼拉伸的二維晶體塑性模型，分析了初始硬化模量、參考剪切應變率、應變率敏感系數、初始屈服應力以及飽和流動應力對材料應力——應變曲線的影響，并對晶體塑性參數進行了標定。
在文獻中，作者所建立的單晶本構模型參考了HUANGY的單晶體模型的子程序UMAT，此率相關硬化晶體塑性模型需要確定的參數包括初始硬化模量h0、初始屈服應力τ0、參考剪切應變率γ，應變率敏感系數n和飽和流動應力τs，其他參數通過計算和查找文獻獲得。基于Voronoi方法，作者在有限元軟件Abaqus中建立了Custom450材料的多晶體二維幾何模型并將本構關系嵌入軟件中，進行拉伸過程的模擬。
圖1所示是微結構模型及其網格劃分，幾何模型尺寸長度為0. 2 mm，寬度為0. 5mm，共包含100個晶粒，大小和形狀隨機，且晶粒取向隨機分布。
圖1包含100個晶粒的微結構模型及其網格劃分
圖2是邊界條件的約束情況，模型的上端面和下端面的所有節點在y方向上具有均勻的位移，左側所有節點在x方向上設置約束，使其不能橫向移動，y方向自由，在右邊界施加載荷，右側的所有節點x方向上經受同等應變載荷，而在y方向上是自由的。
展開 Apdl學習筆記5.19
0：硬化模量（Hardening Modulus, H'），這里設為0，表示理想彈塑性（塑性階段無硬化）。
BKIN 模型的特點：
雙線性應力-應變關系（彈性階段 + 塑性階段）。
隨動強化（Kinematic Hardening）：考慮包辛格效應（Bauschinger Effect），適用于循環加載分析。
注釋：
在金屬塑性加工過程中正向加載引起的塑性應變強化導致金屬材料在隨后的反向加載過程中呈現塑性應變軟化（屈服極限降低）的現象。這一現象是包辛格(J．Bauschinger)于1886年在金屬材料的力學性能實驗中發現的。當將金屬材料先拉伸到 塑性變形 階段后卸載至零，再反向加載，即進行 壓縮變形 時，材料的壓縮 屈服極限 (σs)比原始態（即未經預先拉伸塑性變形而直接進行壓縮）的屈服極限(σs)明顯要低（指絕對值）。若先進行壓縮使材料發生塑性變形，卸載至零后再拉伸時，材料的拉伸 屈服極限 同樣是降低的。
如果硬化模量 H' = 0，材料在屈服后表現為理想塑性（應力不隨應變增加）。
如果 H' > 0，則屈服后應力會繼續線性增長（如加工硬化）。
示例應用：
模擬低碳鋼（如Q235鋼），屈服強度 σ_y = 360 MPa，無硬化：
TB,BKIN,2 ! 定義材料2為BKIN模型
TBDATA,,360,0 ! 屈服強度360 MPa，硬化模量0（理想塑性）
如果材料有硬化（如 H' = 1000 MPa）：
TBDATA,,360,1000 ! 屈服后模量1000 MPa
（此時，塑性階段的切線模量 = E_t = H'）
總結：
TB,BKIN,2 → 定義材料2為雙線性隨動強化模型。
TBDATA,,360,0 → 設置屈服強度360 MPa，無硬化（理想塑性）。
展開 LS-DYNA中的*MAT_PLASTIC_KINEMATIC模型
*MAT_PLASTIC_KINEMATIC模型可描述各向同性硬化和隨動硬化塑性模型，還可以考慮應變率的影響，適用于梁，殼和實體單元，計算效率很高。
一、不考慮應變率
在不考慮應變率影響時，該模型下的屈服面半徑為初始屈服強度加上硬化的部分，即：
其中，σy為屈服強度，σ0為初始屈服強度，Ep為塑性硬化模量，ε （eff，p）為有效塑性應變。
塑性硬化模量由下式給定：
其中，E為彈性模量，Et為切線模量。
根據β值的不同，可以用來描述不同的硬化模型，如下圖所示：
β = 0 時，為隨動硬化，屈服面大小不變，沿塑性應變方向移動；
β = 1 時，為各向同性硬化，屈服面位置不變，大小隨應變而變化；
0 < β < 1 時， 為混合硬化。
不同的硬化模型，其中E為彈性模量，Et為切線模量，l0和l分別為單周拉伸試驗前后試件的長度
隨動硬化
各向同性硬化
二、考慮應變率
*MAT_PLASTIC_KINEMATIC模型中利用Cowper-Symonds模型來考慮應變率的影響，如下：
其中，p，C為與應變率有關的參數。
展開 【JC本構插件】abaqus中如何確定Johson-Cook本構A、B和n等參數 ￥19.89
Johnson-Cook塑性模型是一種具有硬化規律和速率依賴的解析形式的米塞斯塑性模型，主要適用于許多材料的高應變率變形模擬，包括大多數金屬。
通常用于絕熱瞬態動態模擬;與Abaqus/Explicit中的Johnson-Cook動態失效模型結合使用;Abaqus/Explicit中，可以結合拉伸破壞模型來模擬拉伸剝落或壓力斷口;可與漸進損傷和失效模型(漸進損傷和失效)結合使用，以指定不同的損傷起始準則和損傷演化規律，同時允許材料剛度的漸進退化和網格單元的移除;必須與線彈性材料模型(線性彈性行為)或狀態方程材料模型(狀態方程)結合使用。
下面是JC本構的一般表達式，該模型中主要確定A、B、n、C和m等參數。可以看到J-C本構的主體由三部分構成，分別表征了材料的應變硬化、應變速率硬化（強化）以及溫度軟化，可以概括為“兩硬一軟”。
A-參考應變率和參考溫度下的初始屈服應力，B和n-材料應變硬化模量和硬化指數，C-材料應變率強化參數，m-材料熱軟化指數。
查幫助文檔可以知道各參數含義如下：
當我們不考慮應變速率和溫度影響時，該表達式就簡化為下面的表達式：
如果我們確定了參數A、B和n，那么我們在abaqus中就能輸入相應的JC參數，重點來了！已知一種材料的彈性模量，泊松比，屈服應力，強度極限等參數，我們可以利用JC插件自動計算出參數A、B和n，下面是利用JC插件得到的鋁合金AL2024應力應變曲線；
附件為JC本構插件
插件使用方法：
將壓縮包解壓，復制到*D:\SIMULIA\CAE\2019\win_b64\code\python2.7\lib\abaqus_plugins
下即可使用
展開 
為什么加壓邊圈在拉深加工時就能起防皺作用
在拉深工序中起皺的原因有兩個方面：一方面是切向壓應力的大小，越大越容易失穩起皺；另一方面是凸緣區板料本身的抵抗失穩的能力，凸緣寬度越大，厚度越薄，材料彈性模量和硬化模量越小，抵抗失穩能力越小。
五金沖壓件加工廠常用的防起皺方法是在模具結構上采用壓料裝置，加壓邊圈，使坯料可能起皺的部分被夾在凹模平面與壓邊圈之間，讓坯料在兩平面之間順利地通過，這樣能起到很好的防皺作用。采用壓料筋或拉深檻，同樣能有效地增加徑向拉應力和減少切向壓應力的作用，也是防皺的有效措施。
拉深沖壓件加工中發生的起皺與拉裂
下面來看一下；
拉深沖壓件加工中凸緣變形區的起皺
主要原因是 一方面切向壓應力σ3 的大小，越大越容易失穩起皺，另一方面就是凸緣區板料本身的抵抗失穩的能力，凸緣寬度越大，厚度越薄，材料彈性模量和硬化模量越小，抵抗失穩能力越小；
拉深沖壓件加工中筒壁的拉裂
主要取決于 ，一方面是筒壁傳力區中的拉應力；另一方面是筒壁傳力區的抗拉強度；
當筒壁拉應力超過筒壁材料的抗拉強度時，拉深件就會在底部圓角與筒壁相切處------“危險斷面”產生破裂；
如何防止拉裂呢？
主要通過改善材料的力學性能，提高筒壁抗拉強度；
通過正確制定拉深工藝和設計模具，降低筒壁所受拉應力；
梯度晶體塑性模型對應的umat子程序 ￥1200
文獻一：《Gradient plasticity in gradient nano-grained metals》
文獻二：《Grain rotations during uniaxial deformation of gradient nano-grained metals using crystal plasticity finite element simulations》
推薦理由：兩篇文章使用了類似的研究方法，通過構建具有梯度分布的晶粒模型，基于原始的唯象晶體塑性模型進行修改，將初始屈服，硬化模量，飽和強度，以及率相關系數構造為晶粒尺寸的函數，實現建立具有尺寸效應的多晶本構模型，這對目前金屬梯度結構介觀尺度下力學性能的表征具有一定的啟發性
文獻一的研究使用Voronoi鑲嵌方法構建梯度納米晶結構，使用的本構模型如下：
流動方程：
硬化方程為：
通過假設：單晶水平上的所有抗滑移參數與局部晶粒尺寸D的平方根成反比
修正對應的參數為：
其中彈性參數對應Cu的參數
有限元模型為：
研究了平面應變條件下簡單拉伸不同區域的應力應變分布特征
CPFE結果揭示了GNG-Cu橫截面中的梯度應力和梯度塑性應變。這些空間梯度是由于在具有梯度尺寸的晶粒中逐漸達到屈服點以及相應的梯度滑動阻力而產生的。
CPFE結果還揭示了梯度應力和梯度塑性應變的非均勻空間分布，這是隨機晶粒取向和梯度晶粒尺寸共同作用的結果。
展開 晶體塑性每日文章推薦（二十一）
并應用于識別織構化AZ31鎂合金中主動滑移系統和拉伸孿晶的初始和飽和臨界分解剪切應力以及硬化模量。結果與文獻中的數據基本一致，分析表明，用作輸入的獨立實驗應力-應變曲線的數量對于獲得逆優化問題的精確解至關重要。作者研究表明在高織構鎂合金的情況下，至少需要三條獨立的應力-應變曲線來確定多晶測試中的單晶行為。
作者研究使用的滑移+孿晶的本構模型遵循Surya R. Kalidindi 提出的孿生方案。示意圖如下：
即積分點處包含兩相，分別為母項和孿生項，其體積分數之和為1.0，孿晶體積分數和母項體積分數分別為
中間構型的塑性剪切應變分為三項，分別為基體區域的滑移，孿晶區域產生的孿晶剪切，孿晶區域產生的滑移，三部分對應的速度梯度表示為：
其中孿晶體積分數的變化表示為：
中間構型的PK2應力計算為
其中基體區域，孿晶區域，以及孿晶區域的滑移對應的施密特因子不同對應的分切應力也不同，分別為：
不用系統對應的硬化表示為：
作者考慮了3組滑移+1組孿晶共24個系統，這里說明一點的是，在孿生區域對應的滑移包含的個數為6*18，即每一組滑移都會因為特定的孿晶方向而旋轉。
這種處理孿晶的方案可以很好的和試驗對照，并被大量采用，在damask中也被使用。基于該本構作者利用Levenberg–Marquardt方法確定參數為
作者的模擬效果
相比于該本構，部分模擬為了數值的積分效率也在模擬時忽略了孿晶區域的滑移。
展開 每日文章推薦（十二）
英文：micro-mechanical damage models（GTN模型））
作者文章基于連續損傷進行分析
lemaitre損傷模型公式如下（引用更加詳細的文獻《Finite element simulation of the punchless piercingprocess with Lemaitre damage model》）：
使用mises各項同性屈服+swift硬化模型+lemaitre損傷模型
考慮損傷的mises屈服函數：
總應變可以加法的分解為彈性部分和塑性部分：
等效塑性應變計算公式為：
根據廣義hooke定義計算應力增量：
塑性流動法則：
S為偏應力張量，可以由柯西應力σ張量計算得到：
σH是體積應力：
根據偏應力張量計算得到mises等效應力：
swift硬化模型：
硬化模量為：
損傷部分基于應變等效性原理（該原理認為：應力σ作用于受損材料引起的應變和實際應力(有效應力)作用于無損材料引起的應變等價），有效應力為：
其中D通常為標量函數（也可以作為張量形式使用）
考慮各向同性硬化和各項同性屈服，耗散勢函數可以分解為塑性耗散勢和損傷耗散勢：
Φ是塑性勢能:
塑性應變率張量定義為：
γ是塑性一致性乘子，并滿足KKT條件：
s和r是lemaitre損傷函數的參數，并且依賴于使用的材料。通常s取為1。Y是損傷能量釋放率，并定義為：
損傷演化表示為：
由于lemaitre損傷模型是局部損傷模型，存在網格依賴性。
展開 Johnson-Cook塑性模型與動態失效
一、Joh
nson-Cook
塑性模型
J
ohn
son-Cook模型適用于較寬的應變率范圍和由塑性生熱引起絕熱溫升導致材料軟化的場合，該模型可以同時考慮材料的應變硬化、應變率硬化和熱軟化，應用廣泛。
J
ohn
son-Cook
模型實質上是將應變、應變率和溫度這三個變量進行了分離，用乘積的關系來處理三者對動態屈服應力的影響。屈服應力表達式為：
*式中，
是非零應變率時的屈服應力；A為參考應變率
和轉變溫度
下材料的初始屈服應力；B和n為參考應變率
（一般認為是準靜態）和轉變溫度
下材料應變硬化模量和硬化指數；C為材料應變率強化參數（在
及以下溫度測得）；
為等效塑性應變，
為等效塑性應變率；m為材料熱軟化參數。
1.
當在等效塑性應變率
等于參考塑性應變率
時，
為1，即不考慮應變率的影響，只考慮溫度的熱軟化：
為無量綱溫度，物理意義為屈服應力與溫度的相關性系數。其取值為：
式中，
為當前溫度；
為融化溫度；
為轉變溫度。當溫度：
在轉變溫度及以下，屈服應力的表達式沒有溫度的相關性，即
為0。
在熔化溫度及以上，材料將融化并表現的像流體，即
為1。
在轉變溫度和融化溫度之間時
在[
0,1]
區間內。
2.
展開 基于SPH的葉片吞鳥過程模擬
2.有限元模型
以某發動機葉片為研究對象，材料為TC11鋼，其彈性模量為115GPa,采用Mat24號材料模擬，其基本材料特性為：彈性模量E=115 000 MPa,密度4.48e-9 Ton/mm3，泊松比為μ=0.3，屈服應力σs=1003 MPa，硬化模量Etan=1150MPa，斷裂應變0.15。
根據文獻，鳥分為大鳥、中鳥、小鳥三個類別，這里取中鳥進行分析，采用直徑為120mm，質量約為1.82kg的橢球體模擬，并以250 000 mm/s的速度撞向葉片。
鳥的材料參數運用Mat9號材料結合Guneisen狀態方程來模擬，其參數見下表。
3.仿真結果
展開 
中科大王志剛教授課題組在聚乳酸基生物可再生熱塑性彈性體的合成及其結構與性能研究方面取得新進展
因此，結晶的PLA-b-PI-b-PLA三嵌段共聚物楊氏模量，斷裂強度，屈服應力和應變硬化模量增加，但是斷裂伸長率和屈服應變略有降低。通過控制PLA嵌段的結晶，可以明顯提高三嵌段共聚物的機械力學性能，從而促進具有理想機械性能的可持續綠色彈性體的開發。這種結合ROP和RAFT聚合的方法合成三嵌段共聚物與其他文獻報道的相比聚合反應溫度更加溫和，為設計制備其他生物可再生嵌段共聚物方面提供更廣闊的應用前景。
圖5. (a) 溶液澆鑄法制備的PLA-b-PI-b-PLA三嵌段共聚物的微結構示意圖。(b) 溶液澆鑄法和熔融淬冷法分別制備的PLA-PI80k-PLA三嵌段共聚物的應力-應變曲線。
以上相關成果分別發表在Polymer Chemistry 2019, 10, 3610-3620; Polymer 2020, 186, 121993和Polymer 2020, 202, 122724。本工作得到了國家自然科學基金委面上項目和中國科學院長春應用化學研究所高分子物理與化學國家重點實驗室開放基金的支持。
原文鏈接：
https://doi.org/10.1039/C9PY00654K
https://doi.org/10.1016/j.polymer.2019.121993
https://doi.org/10.1016/j.polymer.2020.122724
展開 晶體塑性每日文章推薦（五） ￥1200
<p>文獻一：《Gradient plasticity in gradient nano-grained metals》</p><p>文獻二：《Grain rotations during uniaxial deformation of gradient nano-grained metals using crystal plasticity finite element simulations》</p><p><span style="background-color: rgb(193, 230, 198);">推薦理由：兩篇文章使用了類似的研究方法，通過構建具有梯度分布的晶粒模型，基于原始的唯象晶體塑性模型進行修改，將初始屈服，硬化模量，飽和強度，以及率相關系數構造為晶粒尺寸的函數，實現建立具有尺寸效應的多晶本構模型，這對目前金屬梯度結構介觀尺度下力學性能的表征具有一定的啟發性</span></p><p><span style="background-color: rgb(193, 230, 198);">文獻一的研究使用Voronoi鑲嵌方法構建梯度納米晶結構，使用的本構模型如下：</span></p><p><span style="background-color: rgb(193, 230, 198);">流動方程：</span></p><p class="ql-align-center"><img src="https://mmbiz.qpic.cn/sz_mmbiz_png/KD5LibFzV223rhcEXhsyliaVDdWj4BpEXjia9kDziaDH4P6cJS0gQd11YR3K9ODDMwlUQa3STiaGfzs5K4s0wLibAbVQ/640?
展開 abaqus飽和粘土的三軸試驗
問題描述
本例中使用的材料參數如下：
彈性參數：
對數體積模量，：0.026
泊松比，：0.3
塑性參數：
對數硬化模量，:：0.174
臨界狀態比，M：1.0
濕帽參數，：0.5
第三應力不變參數，K：0.75
初始超固結參數，：58.3 kN/m2 (8.455 lb/in2)
該示例研究了一個簡單的三軸測試：包含在兩個光滑壓盤之間的軸對稱土壤樣品，其中一個保持固定，另一個進行規定的垂直運動，拉伸為正，壓縮為負。土樣首先通過恒壓加載。然后移動頂板，向下移動以測試三軸壓縮或向上移動以測試三軸拉伸。圖 3.2.4-1 定義了問題幾何。分析旨在模擬排水三軸試驗；因此，它們可以在 Abaqus 中使用純位移元素運行。
由于假定壓板是光滑的并且土壤是均質的，因此在整個模型中應力將是恒定的。為簡單起見，忽略大位移效應。
結果和討論
對于這兩種情況，初始壓應力都是通過初始條件給出的，并且包括初始地應力步驟（“地應力狀態”，Abaqus 分析用戶指南的第 6.8.2 節），其中將圍壓施加到試樣中。在具有初始應力的土壤分析開始時，Abaqus 會檢查指定的應力是否不違反初始屈服面。如果是，則修改硬化值（上述屈服面定義中的 a）以使屈服面與應力狀態一致。為了測試這部分代碼，在本示例中，當使用“標準”Cam-clay 塑性理論時，初始應力狀態位于初始屈服面內，但它違反了具有給定初始過固結參數 的屈服準則，當使用“封頂”塑性理論。值的調整如圖3.2.4-2所示。
圖 3.2.4-2 三軸壓縮解的屈服面輪廓。
建議在土壤分析開始時始終包括地應力平衡程序，以確保初始規定的應力狀態與初始載荷之間的兼容性。
展開 ANSYS/LS-DYNA模擬沖壓、鍛壓和鑄造
LS-DYNA的熱塑性材料通過列表給定不同溫度下的材料性質，例如常用的一種各向同性熱塑性材料可將整個溫度范圍分成7段，每個溫度段內可定義不同彈性模量、泊松比、屈服應力、硬化模量、熱膨脹系數等參數，這種材料采用線性硬化模式。材料的熱性能（比熱、導熱系數等）可為各向同性或各向異性。 在LS-DYNA中結構材料和熱材料的定義是分開的，并且在接觸傳熱分析中定義相關熱接觸界面，因此可進行結構和熱場的耦合分析。 在多數鍛壓分析中，隨著金屬件成形過程的繼續，初始網格的變形逐漸加大，將導致單元精度降低甚至發生畸變，因此必須使用網格重新劃分功能（remeshing）。網格重劃分包括以下幾個步驟：1.檢查網格的變形程度，若超過規定的變形度停止計算，保存結果；2.檢查需要改變位置的節點，調整節點位置，保證材料邊界不變，材料內部節點可自由移動。3.將保存的結果映射到新的網格上。4.重新對網格初始化并進行計算。LS-DYNA對于二維與三維網格，皆提供重劃分網格的功能。另外，LS-DYNA早已采用一種更為先進的網格ALE，即任意拉格朗日-歐拉網格。ALE網格進行Rezoning的目的和過程與Remeshing基本相同，但兩者的網格描述存在本質差異（后者是拉格朗日網格）。ALE結合拉格朗日和歐拉網格各自的優點，已廣泛用于結構材料的極度變形。有關ALE的技術在下面詳細說明。
3．澆注 前面已經提到，結構單元運動描述采用Lagrange方法，這是因為Lagrange描述中始終以初始構形為求解的參考構形，由材料點（material point，在Total Lagrange中是初始構形的X0 ，在Updated Lagrange描述中參考構形是上一個積分步的構形，即X n-1）來確定動量方程、運動-應變關系、應變-應力關系。
展開 