時間積分的案例
COMSOL 中空間與時間積分的方法介紹附COMSOL Multiphysics工程實踐與理論仿真
在附加物理場接口求解空間積分
要最靈活地使用空間積分，可以將它增加到一個附加的 PDE 接口上。繼續使用不定積分的例子，假設我們并非只希望計算 的不定積分。這一任務可以通過 PDE 闡釋：
并在左邊界上指定狄氏邊界條件 。系數型偏微分方程接口是執行這一方程的最簡單接口，我們僅需作如下設定：
如何針對空間積分使用附加物理場接口。
因變量 代表相對于 的不定積分，在計算和后處理時可用。這種方法除了靈活性，還具有準確性的優勢，因為積分并非作為派生值獲取，而是作為計算及內部誤差估計的一部分。
利用內建算子求時間積分
我們之前提到過‘數據系列操作’可以作為時間積分使用。通過分別代表了時間積分或時均的內置算子 timeint 和 timeavg 是實現時間積分另一項重要方法。它們可用于后處理中，能夠對指定時間間隔的任何瞬態表達式執行積分操作。在示例中，我們對 90s 和 100s 的平均溫度感興趣，即：
下方的表面圖顯示了得到的積分，它是 (x,y) 中的一個空間方程。
如何使用內置時間積分算子 timeavg。
類似的算子還有用于球面對象的積分，也就是 ballint、circint、diskint 以及 sphint。
利用其它物理場接口實現的時間積分
如果模型中要用到時間積分，您需要將其定義為額外的因變量。與上方顯示的系數型偏微分方程示例類似，這可以通過增加數學分支的常微分方程接口實現。例如，假設在每個時間步長，模型均需要從開始時刻到當前的總熱通量，即需要測量累計能量。COMSOL 會自動計算總熱通量變量，名稱為 ht.tfluxMag。積分可以作為帶有分布式常微分方程的附加因變量計算，它是域常微分和微分代數方程接口的子節點。該域常微分方程的源項為被積函數，如下圖所示。
展開 車輛疲勞耐久分析
但用戶若能記住在汽車結構問題中顯式時間積分的解法是專為高速度而持續期是極短的工程問題所開發的最有效解決方法，顯式時間積分的解法就不會被濫用。最明確的例子就是車輛碰撞問題，它的全部過程是一百二十毫秒，用顯式時間積分的解法是最適合的。
隱式時間積分解法，不像顯式時間積分的解法祗適合于高速度的爆破和碰撞工程問題，隱式時間積分解法，它是可用以處理所有的工程問題。在車輛結構力學工況中，鈑金成型的沖壓題目是可以作為應用顯式時間積分和隱式時間積分解法的分界點；如果速度等于或是低于鈑金成型的沖壓速度就是應該用隱式時間積分解法；當持續期以秒計時也應用隱式時間積分解法。由于隱式時間積分解法是要解矩陣-聯立方程式，題目的計算時間是和矩陣帶寬平方成正比，當然在效益上用它來處理碰撞問題是較顯式時間積分的解法費時。理論上隱式時間積分解法是會遭遇到收斂的困難，但若收斂其結果是絕對可靠。
美國聯邦的汽車安全法規規定，像安全帶拖曳需在四十五秒內以近乎靜態速度完成，車頂壓潰規定在九十秒內完成一百二十五毫米的壓縮位移，而在二零零零年前，有限元分析是無法模擬這低速度的大變形工況。為了要達到“結構分析領導設計”，車輛的結構分析必須能在概念車的階段就應予以優化，開發低速度無條件收斂的隱式時間積分解法是必要的。鑒于此，ADINA在福特汽車公司招標的結果脫穎而出完成這功能。這功能是包括用全積分絕對收斂的MITC4殼單元，鈑金絕對不允許互相穿透的接觸面算法。這是力學界的首創。一九九九年筆者先後完成了ADINA開發低速度無條件收斂的隱式時間積分解法用于，安全帶拖曳，和車頂壓潰的驗證工作。至此，汽車設計人員才可以做到以結構分析來領導設計。有了低速度無條件收斂的隱式時間積分解法，結構分析人員現在可以用同一軟件，優化車輛安全，噪音和強度的結構設計，推行計算機輔助工程統一化。
展開 一期一會 | 什么是顯式動力學？
顯式動力學是指用于表示非線性動力學行為的數值模型，這些模型使用有限元法（FEM）和顯式時間積分法，將時間劃分為非常小的增量，來逐步計算對外加載荷作用下的響應。
顯式時間積分最適合用于非線性、在較短時間內發生隨時間變化行為的問題。顯式動力學分析的典型應用包括跌落測試、車輛碰撞、金屬成形和材料失效。
有限元分析（FEA）仿真還可以使用隱式時間積分法。顯式方法把時間切分成非常多的小時間步，每一步的計算效率高；而隱式方法則是使用較少但更大的時間步，其計算成本也明顯更高。要確定哪種方法是最佳的，取決于系統的整體非線性和事件的持續時間。
有限元法
FEM是一種用于求解常微分方程或偏微分方程（PDE）的數學方法。對物理系統進行仿真時，用戶會將整體區域劃分成離散的小單元（稱為有限元），然后仿真軟件對每個單元分別應用PDE進行求解。然后，軟件工具會組合這些單元方程，并使用數值求解器來求解未知量。這種使用FEM對物理系統進行建模的過程，被稱為有限元分析（FEA）。
非線性
在FEA中，“非線性”是指其代表性方程不是線性方程的行為。典型的非線性行為包括非線性材料模型、大變形、邊界條件、動態載荷、復雜接觸和材料失效。
動力學仿真
表示物體運動的完整方程為：
力=（質量x加速度）+（阻尼x速度）+（剛度x位移）
當最小加速度或速度恒定時，則稱為靜態問題。在這種場景中，FEA求解器只需確定力和位移的未知值；該情況下不涉及時間因素。如果速度有變化，該問題則稱為動態問題，因為其隨時間變化而變化。
顯式時間積分法
在有限元模型中，表示動態事件的PDE會在給定的時間步下進行求解。因此，軟件必須對PDE進行時間積分運算。
展開 案例17-金屬桿沖擊剛性墻
分析和求解控制
在分析中考慮大應變效應、大變形和大轉動（NLGEOM,ON），使用自動時間步長調整（使用單元層面的時間增量），然而它會被定義一個固定子步、固定時間步或關閉自動時間步所覆蓋。
無阻尼的Newmark時間積分法：
有阻尼的Newmark時間積分法：
有阻尼的HHT時間積分法：
獲取模擬結果的求解選項
剛性沖擊
瞬態分析時間0.1e-4s，初始最小子步數100，最大子步數10000：
總時間（求解時間）代表比金屬棒沖擊剛性墻所需時間稍微大點的時間，金屬棒在撞到剛性墻前需要0.4405e-5s來填補1mm的間隔。
最小子步數100保證光滑響應，最大子步數10000能夠讓自動時間步長方法減小時間增量來滿足沖擊約束。因為本情況的目的是研究金屬棒在整體時間內某一時刻的位移和速度響應，節點位移和結果數據在每一子步都寫入結果文件。
彈性沖擊
求解設置和剛性沖擊中一樣，唯一區別在于總時間。這種情況下的總時間必須考慮沖擊產生的應力波在金屬棒中來回傳遞所需的時間。沖擊時間計算為0.4405e-5s，釋放時間通過解析計算為0.223e-4s，總時間0.28e-4s。
彈塑性沖擊
求解設置與剛性沖擊和彈性沖擊中一樣，唯一區別在于總時間。因為金屬棒產生大塑性變形，并保持與剛性墻接觸很長時間，總時間增加到0.8e-4s。
每個子步的節點位移求解數據寫入到結果文件中，應力和塑性應變只寫到最后一個子步中。
結果和討論
剛性沖擊結果
對于剛性沖擊，金屬棒應該在打擊剛性墻后馬上以相同的速度反彈，沖擊后的總能量（SE+KE）應該與沖擊前的總能量相同（239.61J）。
展開 
ANSYS地震時程分析如何考慮結構自重的影響
二、直接將重力加速度加在地震波上，例如，acel,9.8+aceq(i)
結果：該做法相當于將重力加速度帶入了積分，相當于放大了地震波。
正確做法：在地震時程計算前，通過關閉與打開時間積分效應，來模擬結構恒載對地震時程分析的影響，一個典型的考慮結構恒載的地震時程分析步驟如下：
/solu
antype,trans
trnopt,full
timint,off !關閉時間積分效應
time,1e-6 !設置極小的時間荷載步
acel,,9.8 !施加重力加速度
solve !恒載求解
kbc,1 !階躍荷載
timint,on !打開時間積分效應
!==========
!讀取地震波
!==========
alphad,a
betad,b !阻尼定義
nsubst,1 !子步數定義
*do,i,1,N
time,0.02*i !時間點
acel,,aceq(i)
solve
*enddo
!========
save
展開 基于ANSYS的相變分析
打開時間積分。使用反向歐拉時間積分。
打開線性搜索工具。
終止時間為 2400 秒(40分)。
初始時間步為0.01秒。最小和最大時間步分別設為0.0001和100秒。
打開自動時間步長。
使用時間歷程后處理器繪制鋁在幾個點的溫度 (T1, T2, T3 and T4) :
通用后處理器可以用來觀察材料凝固前的情況。操作如下:
設置兩個范圍值，一個時固體溫度(695 °C) , 一個超過最高溫度 (900 °C)。
在節點溫度圖上，凝固的材料接近藍色。紅色代表液體或正在相變的材料。
?在時間 = 656秒時，顯示只有最細部分的材料凝固了:
在時間 = 956 秒時，顯示幾乎所有材料已經凝固。象推測的一樣，中心材料凝固最慢:
附件為ppt全文以及詳細的apdl命令流
tomorrow.txt
相變分析.rar
展開 時程分析初位移的施加,振動衰減和固有頻率
時間積分影響關閉
TIME,1e-6 !小的時間增量
NSUBST,2 !兩個載荷步
KBC,1 !階躍
FKDELE,2,FY !刪除載荷
*do,i,1,21
D,uyy(i,1),UY,uyy(i,2) !施加初位移
D,uyy(i,1),ROTZ,uyy(i,3)
*enddo
SOLVE !求解
TIMINT,1 !打開時間積分影響
DELTIM,1/fre1/60,0,0 !時間增量，一個周期計算60次
OUTRES,ALL,1 !輸出每步的結果
DDELE,ALL,all !刪除初位移約束
D,1,all !施加固定端約束
KBC,0 !斜坡
TIME,20*1/fre1 !計算時間20個周期
TIME,4 !計算時間4s
!ALPHAD,afa1
SOLVE !求解
FINISH
/POST26 !時間歷程后處理
FILE,'file','rst','.'
NSOL,2,2,U,Y,
XVAR,1
/YRANGE,-uy1,uy1,1
PLVAR,2, !撓度曲線
轉載自好學ANSYSA。詳細模型及文件請移步公眾號~鏈接：https://mp.weixin.qq.com/s/EO_StXY70wSSMDNraOc3Gg
展開 COMSOL忽略了這幾點，等于白干
（基本模塊模型庫 > Chemical engineering > absorption）
? +
+
時間積分
現在我們已經可以在 COMSOL 中方便的定義任意一個變量 u 及其表達式的時間微分（ut）、空間微分（ux，uy，uz）、空間積分（積分耦合變量）。那么對于時間的積分如何處理呢？COMSOL 當然也提供了這項功能。
對于時間的積分項的處理，COMSOL 也是通過 ODE 的設定來實現的。例如前例中，我們已經可以利用一個邊界積分耦合變量來描述某個時刻流出的物質量?，F在我們進一步，需要知道一段時間內總的物質流出量 Totmass：
將方程兩邊同對時間 t 求導后就變成了一個 ODE 方程，類似于定義一個全局約束那樣，我們使用COMSOL 的“ODE 設定”功能便可以定義這個新的變量 Tot_mass。
采用 ODE 進行時間積分，僅僅只能對標量進行積分，如果是想對求解域內的某個值進行積分（通常具有維度），則需要采用耦合一個 PDE 應用模式的方法，通過修改 PDE 方程，使其滿足對時間的常微分方程形式，然后在求解中可以得到對時間的積分結果。
文章來源：COMSOL仿真交流
展開 Abaqus熱流固耦合——一維熱固結問題
固結分析使用具有自動時間步長的瞬態土固結步驟進行。此問題的時間步進由兩個參數控制：一個參數控制溫度場時間積分的準確性，另一個參數控制孔隙流體流時間積分的準確性。孔隙流體溶液的穩定性極限為
它規定了最小時間增量。該方程式中使用的變量在《 Abaqus Analysis用戶指南》第6.8.1節“耦合的孔隙流體擴散和應力分析”中定義。所使用的網格與Aboustit等人使用的網格相同。 （1985），導致最小時間增量為0.1。由于施加了表面載荷，靠近表面的元件立即獲得與施加的載荷相等的孔隙壓力。因此，使用每增加1.1的最大孔隙壓力變化以及初始時間增加0.1的情況。這樣可確保在分析中不使用小于0.1的時間步長來滿足孔隙流體流動的時間積分精度。選擇最大允許溫度變化增量為3，以避免必須使用小于所需孔隙流體穩定性極限的時間增量。通過首先僅使用最大孔隙壓力變化的值運行問題并確定增量溫度變化來獲得最大允許溫度變化的值。上面列出的參數值導致中等精度的解決方案。如果需要更精確的解決方案，則應使用更精細的網格。
由于負載量較小，因此非線性幾何效應在此問題中并不重要。類似地，由于非常小的流體速度，由于孔隙流體流動而引起的熱對流效果不足以支配不對稱剛度。但是，出于完整性考慮，我們選擇激活幾何非線性分析以及不對稱剛度。具有對稱剛度的小應變分析的結果與給出的結果沒有區別。該步驟的時間段為21.1，對應于將Abaqus / Standard結果與參考溶液進行比較的時間。
結果和討論
在分析開始時，除頂表面外，整個區域的溫度均為零，并且孔隙壓力等于施加的表面載荷，因為所有載荷均由孔隙流體承擔。隨著時間的流逝，溫度前沿從頂部到底部逐漸升高，并且隨著孔隙流體從頂部流出，施加的表面載荷從孔隙流體轉移到土壤骨架，從而降低了區域內的孔隙壓力。
展開 DEFORM模擬控制(七)：工藝條件
4.3 時間積分因子(Time integrate factor)(TINTGF)
時間積分因子 (TINTGF) 是溫度隨時間積分的正向積分系數。它的值應該在 0.0 和 1.0 之間。對于大多數模擬，0.75 的值足夠了。
4.4 波爾茨曼輻射系數(Boltzmann constant)(BLZMN)
輻射傳熱計算需要玻爾茲曼常數 。英制單位和 SI 下的默認值是自動設置的。在輻射熱計算中，節點溫度將根據選定的英制或 SI 單位自動轉換為絕對溫度。
看完老電氣師傅的故事，你就明白PID控制原理了！
書上的常用口訣：
參數整定找最佳，從小到大順序查；
先是比例后積分，最后再把微分加；
曲線振蕩很頻繁，比例度盤要放大；
曲線漂浮繞大灣，比例度盤往小扳；
曲線偏離回復慢，積分時間往下降；
曲線波動周期長，積分時間再加長；
曲線振蕩頻率快，先把微分降下來；
動差大來波動慢。微分時間應加長；
理想曲線兩個波，前高后低4比1；
一看二調多分析，調節質量不會低。
個人認為PID參數的設置的大小，一方面是要根據控制對象的具體情況而定；另一方面是經驗。P是解決幅值震蕩，P大了會出現幅值震蕩的幅度大，但震蕩頻率小，系統達到穩定時間長；I是解決動作響應的速度快慢的，I大了響應速度慢，反之則快；D是消除靜態誤差的，一般D設置都比較小，而且對系統影響比較小。
PID參數怎樣調整最佳
（1）整定比例控制
將比例控制作用由小變到大，觀察各次響應，直至得到反應快、超調小的響應曲線。
（2）整定積分環節
若在比例控制下穩態誤差不能滿足要求，需加入積分控制。
先將步驟（1）中選擇的比例系數減小為原來的50～80％，再將積分時間置一個較大值，觀測響應曲線。然后減小積分時間，加大積分作用，并相應調整比例系數，反復試湊至得到較滿意的響應，確定比例和積分的參數。
（3）整定微分環節
若經過步驟（2），PI控制只能消除穩態誤差，而動態過程不能令人滿意，則應加入微分控制，構成PID控制。先置微分時間TD=0，逐漸加大TD，同時相應地改變比例系數和積分時間，反復試湊至獲得滿意的控制效果和PID控制參數。
展開 
手把手教會你如何完成S7-200SMART與PID的應用
積分時間的長度相當于在階躍給定下，增益為“1”的時候，輸出的變化量與偏差值相等所需要的時間，也就是輸出變化到二倍于初始階躍偏差的時間。如果將積分時間設為最大值，則相當于沒有積分作用。
微分時間：
偏差值發生改變時，微分作用將增加一個尖峰到輸出中，隨著時間流逝減小。微分時間越長，輸出的變化越大。微分使控制對擾動的敏感度增加，也就是偏差的變化率越大，微分控制作用越強。微分相當于對反饋變化趨勢的預測性調整。如果將微分時間設置為0就不起作用，控制器將作為PI調節器工作。
比例調節：
提高響應速度，減少誤差，但不能消除穩態誤差，當比例作用過大時，系統的穩定性下降。(由小到大單獨調節）
積分調節：
消除穩態誤差，使系統的動態響應變慢，積分時間越小，積分作用越大 ，偏差得到的修正越快，過短的積分時間有可能造成不穩定。（將調好的比例增益調整到50%~80%后，由大到小減小積分時間）
微分調節：
超前調節，能預測誤差變化的趨勢，提前抑制誤差的控制作用，從而避免了被控量的嚴重超調。可以改善系統的響應速度和穩定性，對噪聲干擾有放大作用，對具有滯后性質的被控對象，應加入微分環節。
展開 有限元方法的80年：誕生、演化與未來
Wilson of UC Berkeley,開發了第一個基于波音公司開發的矩形平面應力有限元的自動化有限元程序；
In 1963,
Best and Oden編寫了當時最早的通用有限元計算機代碼之一，包括三維彈性單元、二維平面彈性單元、三維梁和桿單元、復合材料層狀板和殼單元以及通用復合材料單元，能夠處理特征值模態分析，以及在三角形和四面體單元上的數值積分；
大佬聚會
FEM黃金時期(1966-1991)
In 1967,
TJR Hughes 呼吁成立有限元程序設計小組，于1969年，編制了57000行GENSAM程序;
20世紀70年代，聚焦于有限元的收斂性問題，人們的注意力轉向了基于混合變分原理的有限元方法；
20世紀70年代，FEM的發展開始專注于模擬結構的動態行為，包括汽車工業中的耐撞性，各種時間積分方法已經發展，包括Newmark-beta方法，Wilson-theta方法，Hilbert-Hughes-Taylor算法，Houbolt積分算法和顯式時間積分算法；
20世紀70年代末，
T. Belytschko、K. C. Park和后來的
TJR Hughes提出采用顯式或隱式、顯式-多重顯式時間積分以及帶阻尼控制的隱式時間積分來解決非線性結構變形和結構動力學問題。結果表明，顯式時間積分技術使有限元技術成為乘用車設計和耐撞性分析的主要工具。
到20世紀80年代末，在美國的三大汽車制造商中有數千個工作站運行顯式的基于時間集成的FEM代碼。
展開 【JY】ETABS的非線性直接積分法的設置與應用
圖3 初始重力工況
1.3 非線性時程工況定義
用戶可以通過定義>荷載工況，工況類型選擇“Time History”和“Nonlinear Direct Integration”,添加一個非線性直接積分法時程工況。
圖4 非線性直接積分法時程工況
初始條件。初始條件一欄，用戶需要接力重力荷載的計算結果。
施加荷載。荷載類型通常選擇加速度；荷載名稱U1對應X方向，U2對應Y方向，U3則對應Z方向；函數選擇所需的地震波；比例系數用于調整地震波峰值，需要注意的是，函數文件是不包含單位的，用戶可以通過點擊右側的圓點獲取當前的單位。例如函數YERMO-1的最大值為400，當前單位為mm/s2，而目標輸入地震動峰值為400cm/s2，那么比例系數應輸入10。
幾何非線性。幾何非線性可選擇無、P-Delta以及P-Delta和大位移三種形式，對于絕大多數結構僅考慮P-Delta是足夠精確的，對于一些帶有索、膜或者其他變形很大的結構，需要考慮P-Delta和大位移?？紤]大位移后，應設置更小的收斂容差以保證計算精度，但分析的收斂性會更差一些，計算時長也會顯著增加，用戶應酌情選用。再次提醒用戶注意的是，前置工況與后續工況的幾何非線性類型應保持一致。
時間步數量與時間步長。程序的計算總時長為時間步數量乘以時間步長，總時長應滿足規范要求不小于5T1。時間步長的設置需要注意，一般情況下可以設置與地震波時間間隔相同，但是為滿足精度要求，時間步長不宜大于所關心周期的1/10。另外需要注意的是，此處輸入的是結果保存步長，而非分析步長。當時間步長小于地震波間隔時，分析步長按時間步長取值；當時間步長大于地震波間隔時，分析步長按地震波間隔取值。
阻尼、時間積分方法和非線性參數設置由于涉及內容較多，在下文中詳細展開討論。
2.
展開 CMFD軟件對比：國外商軟與VirtualFlow在微通道兩相流仿真領域的預報效果
當然，使用的離散化方案和時間積分方法是不同的。表1列出了模擬中應用的方法，VOF（c）中界面的重建是用二階CISAM格式進行求解的，而LS函數（φ）是用QUICK線性迎風格式進行求解的。
