有限元矩陣處理的案例
有限元剛度矩陣求解程序（fortran）
該程序用于求解《有限元基礎教程》P43的例題。
module Maxtri_K
contains
!---------------------------------------------------------
!-----------purpose:求解剛度矩陣
subroutine solve_KM(n_num,coods_all,E,nu,t,KM)
!-----------定義子程序------------------------------------
!
有限元單元矩陣計算流程
集合單元矩陣流程 (Assem.for)
◎ 確定各計算參數，如質量密度為sp, 調用子程序element_vD_plane, 根據問題類型mprob, 確定單元彈性矩陣vD
◎ 單元質量矩陣和單元剛度矩陣清零。
◎ 在單元內部，按積分點循環，計算各積分點上的矩陣。
◎ 將各積分點上的矩陣，按積分點的權重進行加權平均，即可得到各單元矩陣。
從單元連接關系到節點鄰接點-有限元采用稀疏矩陣求解的前置工作
【完】
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<手搓有限元 干翻Ansys> 【1】C++實現矩陣Matrix類 實現基本運算
本系列文章致力于實現“手搓有限元，干翻Ansys的目標”，基本框架為前端顯示使用QT實現交互，后端計算采用Visual Studio C++。
Matrix類
矩陣基本類，用于有限元矩陣計算。
1、public function
1.1、構造函數與析構函數
構造函數用來初始化矩陣，析構函數用來釋放內存。
從單元連接關系到節點鄰接點-有限元中形成稀疏矩陣求解的前置工作
在有限元求解中，最終通常要求解的是一個關于場變量的線性方程組，在常見的位移場有限元中，要求解的是各個節點的位移，該線性方程組的系數矩陣通常稱為剛度矩陣，方程組右邊通常稱為右端項或者荷載向量。一般情況下，由于網格劃分后并不是所有節點都兩兩連接，因此實際上最終形成的整體剛度矩陣中大部分元素為0，這種矩陣稱為稀疏矩陣。在有限元求解中，對于這種系數矩陣為稀疏矩陣的方程組，一種常見的方法是僅保存剛度矩陣的非0元素到內存中，0元素不保存，這樣就可以以更小的內存保存大型結構的剛度矩陣。
那具體矩陣中有多少元素為0，就可以認為其是稀疏矩陣呢？這個界限實際上比較模糊，有文獻給出如下定義：如果矩陣的A的非0元素數量為O(n)，其中n是A的階數，則矩陣為稀疏矩陣。
稀疏矩陣經常通過非0元素分布圖表示其稀疏性質，以下是兩個常見的稀疏矩陣的分布圖：
在有限元分析中，非0元素的分布，實際上主要取決于單元的節點連接，以下圖中的單元連接為例：
假設圖中每個節點一個自由度，則整體剛度矩陣為16x16的矩陣，而具體非0元素的分布，可以通過單元連接得到鄰接點得到，所謂鄰接點，指的是相對于當前單元位于同一單元內的所有點的集合。以節點6為例，其鄰接點是1,2,3,5,7,9,10,11。
獲得上述鄰接點后，剛度矩陣中第6行的非0元素的位置實際上就確定了：k(6,1),k(6,2),k(6,3),k(6,5),k(6,6),k(6,7),k(6,9),k(6,10),k(6,11)。
在實際采用稀疏矩陣求解有限元問題時，獲得上述非0元素位置后，就可以對剛度矩陣采用稀疏矩陣存儲，常見的存儲方式有COO，CSR，CSC和DIA等。
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列1：S4殼單元剛度矩陣研究
==概述==
本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式。有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現方式。
一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現結構有限元求解器，通過自研求解器和商軟A的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。
iSolver介紹視頻：
http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884
===第一篇：S4殼單元剛度矩陣研究。
Abaqus的殼單元剛度矩陣的理論基礎都是Kirchihoff（薄殼）和Mindlin（厚殼）理論，本章重點研究S4殼單元，該單元基于Mindlin理論，在自編程序中根據Mindlin理論編寫后和Abaqus結果對比，可以發現Mindlin和Abaqus差異很大，然后結合幫助文檔猜測Abaqus的S4單元的內部修正方法。
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列6：General梁單元剛度矩陣 ￥1
我們不研究有限元的新方法、新理論，只是研究商用有限元軟件的實現方式。有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用軟件在這些傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。
一方面我們查閱Abaqus軟件手冊得到修正方法的說明，另一方面我們自己編程實現簡單的結構有限元求解器，通過自研求解器和Abaqus的結果比較結合理論手冊如同管中窺豹一般來研究Abaqus的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。在研究的同時，準備將自己的研究成果記錄下來寫成一個系列文章，希望對那些不僅僅滿足使用軟件，而想了解軟件內部實現方法甚至是做自己的軟件的朋友有些幫助。由于水平有限，里面可能有許多錯誤，歡迎交流討論。
==第六篇：General梁單元的剛度矩陣==
相對殼來說，在實際應用過程中，商業軟件對梁的修正方式相對較少，如果自己編程序，采用這些修正方式可以得到和商業軟件完全一致的剛度矩陣，如果剛度矩陣完全一致，那么對任何的算例都可以得到和商業軟件完全一致的結果了。
實際的梁都是有截面形狀的，商用軟件分析時都采用兩步走的形式：
（1） 第一步：通過這些截面形狀類型和參數得到構建梁單元所需的基本截面屬性參數，譬如矩形面積=長*寬等。
（2） 第二步：利用上面得到的截面屬性參數組成梁單元的剛度矩陣。
相對應的，一般商用軟件的梁都有兩類：
（1） 一類是已知截面屬性參數的General梁，在Abaqus中創建梁時選擇General就是General梁。
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列22： 幾何非線性的剛度矩陣求解
（原創，轉載請注明出處）
==概述==
本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式，通過
（1） 基礎理論
（2） 商軟操作
（3） 自編程序
三者結合的方式將復雜繁瑣的結構有限元理論通過簡單直觀的方式展現出來，同時深層次的學習有限元理論和商業軟件的內部實現原理。
有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現方式。
一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現結構有限元求解器，通過自研求解器和商軟的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列12： 幾何梁單元的剛度矩陣 ￥1
（原創，轉載請注明出處）
==概述==
本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式。有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現方式。
一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現結構有限元求解器，通過自研求解器和商軟的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。
iSolver介紹：
http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884
==第12篇：幾何梁單元的剛度矩陣的研究==
一般商用軟件的梁都有兩類：
（1） 一類是已知截面屬性參數的梁，即General梁（也叫參數梁），在Abaqus中創建梁時選擇General就是General梁。
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列2：S4殼單元質量矩陣研究
我們不研究有限元的新方法、新理論，只是研究商用有限元軟件的實現方式。有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用軟件在這些傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。
一方面我們查閱Abaqus軟件手冊得到修正方法的說明，另一方面我們自己編程實現簡單的結構有限元求解器，通過自研求解器和Abaqus的結果比較結合理論手冊如同管中窺豹一般來研究Abaqus的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。在研究的同時，準備將自己的研究成果記錄下來寫成一個系列文章，希望對那些不僅僅滿足使用軟件，而想了解軟件內部實現方法甚至是做自己的軟件的朋友有些幫助。由于水平有限，里面可能有許多錯誤，歡迎交流討論。
iSolver介紹視頻：
http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884
==以往的系列文章==
第一篇：S4殼單元剛度矩陣研究 http://www.yqgqt.org.cn/content/post/338859 研究基于Mindlin厚殼理論的S4殼單元的剛度矩陣在Abaqus中的實現方式
==第二篇：S4殼單元質量矩陣研究==
在模態分析或者動力學分析中，都必須計算質量矩陣。
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有限元的預處理和后處理理論
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前處理及后處理對有限元結果的影響分析
接觸過有限元的朋友都知道，模型的前處理和求解計算的后處理對結果的理解影響很大。本文僅以簡單帶孔平板的拉伸分析，對比分析了網格尺寸和后處理的應力位置對結果的影響。希望對新手有所啟發和幫助。
1、首先通過力學基本理論計算了基準應力，作為有限元分析結果的標準值，計算過程如下：
2、網格尺寸對仿真結果的影響分析：
3、應力位置對結果理解的影響分析：
4、結論：
分析結構應力時，從三個層次考慮結構的受力及失效風險：
①應力分布的合理性
②最大應力的位置
③應力值的準確性
5、應用推廣：
①對于應力集中區域，應該分析單元尺寸對結果的影響；
②對于鈑金幾何邊界的應力值，建議使用單元角點應力查看；
③對于實體幾何邊界的應力值，建議使用表面單元應力查看。
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