聲學超表面的案例
薄膜型聲學超表面設計與可調節性研究
而低頻噪聲由于具有波長大、穿透性強、傳播距離遠等特點，根據質量作用定律，傳統的隔聲材料需要通過不斷增加材料的重量、體積來提升低頻隔聲效果，一方面顯著增加了隔聲成本，另一方面也占用了大量有效空間，因此，如何在不顯著增加材料重量和體積的前提下提升低頻隔聲效果(即打破質量作用定律的限制)是隔聲領域中研究難點
研究內容：
結合薄膜型聲學超材料與聲學超表面在低頻降噪領域的優越性，設計一種薄膜型聲學超表面，研究超寬帶低頻隔聲的可能性。致力于實現低頻寬帶隔聲降噪并實現隔聲帶的可調節性。
圖1. 薄膜型聲學超表面的結構示意圖
技術路線：
在COMSOL軟件中對薄膜型聲學超表面的隔聲特性進行仿真分析。首先建立有限元仿真幾何模型，然后設置變量和定義材料屬性，建立圓柱形空氣域，對入射口出射口積分，計算入射、出射聲功率。設置薄膜的預應力，模型框架設置邊界固定條件，并劃分自由四面體網格。在采用壓力聲學頻域和固體力學兩個物理場接口。
建立薄膜聲學超表面的幾何模型并完成網格的劃分：
圖2.幾何模型的構建
圖3.網格的劃分
圖4.薄膜聲學超表面的預應力對隔聲損失的影響
圖5.論文中的預應力對隔聲損失的影響
基于以上分析，可改變參數對其參數化掃描，即可得到薄膜型聲學超表面的結構化參數的影響。
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展開 基于Comsol進行薄膜型聲學超表面設計與可調節性研究
而低頻噪聲由于具有波長大、穿透性強、傳播距離遠等特點，根據質量作用定律，傳統的隔聲材料需要通過不斷增加材料的重量、體積來提升低頻隔聲效果，一方面顯著增加了隔聲成本，另一方面也占用了大量有效空間，因此，如何在不顯著增加材料重量和體積的前提下提升低頻隔聲效果(即打破質量作用定律的限制)是隔聲領域中研究難點
研究內容：
結合薄膜型聲學超材料與聲學超表面在低頻降噪領域的優越性，設計一種薄膜型聲學超表面，研究超寬帶低頻隔聲的可能性。致力于實現低頻寬帶隔聲降噪并實現隔聲帶的可調節性。
圖1. 薄膜型聲學超表面的結構示意圖
技術路線：
在COMSOL軟件中對薄膜型聲學超表面的隔聲特性進行仿真分析。首先建立有限元仿真幾何模型，然后設置變量和定義材料屬性，建立圓柱形空氣域，對入射口出射口積分，計算入射、出射聲功率。設置薄膜的預應力，模型框架設置邊界固定條件，并劃分自由四面體網格。在采用壓力聲學頻域和固體力學兩個物理場接口。
建立薄膜聲學超表面的幾何模型并完成網格的劃分：
圖2.幾何模型的構建
圖3.網格的劃分
圖4.薄膜聲學超表面的預應力對隔聲損失的影響
圖5.論文中的預應力對隔聲損失的影響
基于以上分析，可改變參數對其參數化掃描，即可得到薄膜型聲學超表面的結構化參數的影響。
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展開 聲學超表面- 2015-PRA 基于聲學metasurface的異常折射
2，模型的邊界條件需要注意，超材料部分避免使用聲硬邊界（Sound Hard Boundary, Wall)造成誤差。
3，高透射，表明超表面的FP腔效果非常好。
在設計器件之前，我們還要對該超表面的色散進行研究，即頻率選擇性。首先是不同超表面單元的透射系數（原圖Fig.3a）：
上圖所示，在0.9~1.05f0范圍內，所有超表面單元（八條曲線）的透射系數變化較小。然后就是透射相位的色散情況（原圖Fig.3b）：
上圖所示，透射相位歲頻率的變化，在諧振頻率f0附近還是很平坦的。在模數哥看來，這個Fig.3b對于相位色散的仿真計算，是本文的最難點。一不留神，就會得到這樣的錯誤結果：
而這里面的數學，以及如何在Comsol和Matlab中進行處理，模數哥在之前的帖子里面早已詳細闡述過，詳見Nano photonics- Comsol仿真石墨烯Graphene超材料metamaterial，此處不再展開。
對該超表面的性質進行了細致研究之后，我們就可以進行各種聲場的波前調控了，首先設計一個異常折射（原圖Fig.4a）：
通過合理地設計這些超表面結構，我們可以實現對正入射聲波的38°異常折射。至于為什么要設計成38°呢，其實數學上很好介紹。感興趣的朋友可以讀讀原文。
至此，關于這篇聲學超表面的文章就介紹完了。下面是幾點點評：
1，模數哥早就說過了，聲、光不分家。光學里的很多概念都可以在聲學里找到對應物。但是想把聲和光耦合起來，就非常困難了，畢竟兩個波的頻率相差太大，波矢（動量）失配太多了，模數哥以后會介紹這方面的大作。
2，正是因為光和聲在波動方面的一致性，所以其中的物理規律都非常一致。以至于仿真建模也是非常得像，邊界條件的選取，網格的劃分，都遵從一樣的道理。
展開 基于comsol熱黏性聲學模塊仿真聲學超材料的聲學特性
研究內容：
傳統的聲學吸收器被用于具有與工作波長相當的厚度的結構，這在低頻范圍的實際應用中造成了主要障礙。我們提出了一種基于超表面的完美吸收體，能夠在極低頻區域實現聲波的完全吸收。具有深亞波長厚度至特征尺寸k＝223的超表面由多孔板和螺旋共面氣室組成。基于完全耦合的聲學熱力學方程和理論阻抗分析的模擬被用于揭示基礎物理和聲學性能，顯示出極好的一致性。
圖1.傳統微穿孔板與聲學超表面的結構示意圖
圖2.論文中阻抗分析和數值模擬的吸聲系數曲線
數值模擬：
在comsol中利用熱黏性聲學接口對聲學超材料的聲學特性進行仿真分析。建立的幾何模型如下所示。
圖3.幾何模型的構建
吸聲系數曲線的數值模擬值如下所示：
圖4.數值模擬中的吸聲系數
理論計算：
通過聲電類比法計算得到聲學超表面的吸聲系數，其理論計算如下：
首先由經典的微穿孔理論得到吸聲結構的聲阻抗和吸聲系數：
yc為環繞型腔體的等效聲阻抗：
在計算軟件中導入吸聲系數理論計算的公式，從而計算出吸聲系數曲線
吸聲系數曲線的理論計算值如下所示
圖5.理論計算得到的吸聲系數
綜上，理論計算和數值分析的吸聲系數曲線具有很好的一致性，同時與論文中的結果完全相同。
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展開 
中科院聲學所張晗《EML》：可重構手性雙螺旋復合水下吸聲超表面
近年來，聲學超表面結構的發展使得將螺旋型吸聲結構應用到實際中實現低頻吸聲成為可能。
圖1 生物螺旋與螺旋樓梯
近日，張晗副研究員項目組在生物螺旋結構的啟發下，圍繞水下低頻吸聲難以實現的科學問題，攻克傳統水下吸聲材料在低頻區域吸聲性能差且笨重的應用難題。項目組在此前提出手性螺旋功能基元的基礎上完成了雙螺旋高階鏡像拼接的復合功能基元設計，徹底打破基元結構對稱性，進一步獲得了更高性能的水下低頻吸聲超表面，工作發表在國際期刊Extreme Mechanics Letters。文章題為 “Reconfigurable spiral underwater sound-absorbing metasurfaces”,以手性螺旋的構型參數和雙螺旋序列的拼接方式為切入點，基于廣義Snell定律的聲超表面波控設計方法，通過增長螺旋、高階螺旋、順向拼接雙螺旋、鏡像拼接雙螺旋逐步破壞序元空間對稱性，達到了原有手性螺旋基元不能實現的更加低頻寬帶的完美吸聲效果，為高性能水下聲隱身提供了新機理、新途徑。該研究工作得到了國家自然科學基金、廣東省“珠江人才計劃”引進創新創業團隊項目的支持。
螺旋吸聲器的模型
首先介紹了吸聲器螺旋單元結構。螺旋吸聲單元由空心圓柱和纏繞在其四周的螺旋路徑組成。將設計好的螺旋吸聲器放入波導進行吸聲特性研究，波導的兩端是開放的且均為平面波輻射邊界條件，所有邊界在聲學上設置為剛性，聲波從左側入射。聲波在螺旋單元的入口基于廣義Snell定律相位調控被完成吸收，在出口又由于聲阻抗失配被完全阻擋，實現近乎完美的寬頻吸聲。
圖2所示為螺旋吸聲器的模型。
展開 基于comsol的壓力聲學-熱黏性聲學模塊模擬一種具有多階吸聲的低頻寬帶薄超表面
近年來，聲學超材料發展迅速，具有前所未有的優異低頻性能。已經設計了一系列亞波長厚度的超材料，以實現對低頻聲音的100%吸收。例如，由彈性膜和剛性盤組成的膜型超材料可以吸收某些頻率下幾乎所有的入射聲能，其厚度甚至比峰值吸收波長小兩個數量級。然而，由于薄膜柔軟，它很容易受到機械損傷。卷曲空間超材料是另一種重要的聲學超材料，它可以通過增加聲路來實現極端的吸聲性能。然而，由于諧振特性，大多數超材料只能在窄頻帶內獲得良好的吸收性能，這限制了實際應用。
研究內容：
我們提出了一種具有多級吸聲的薄多單元超表面的理論和實驗實現，該超表面在450 Hz–1360 Hz的寬帶范圍內表現出連續的近乎完美的吸收光譜。超表面單元是穿孔復合亥姆霍茲諧振器（PCHR），其通過將一個或多個帶有小孔的分離板插入亥姆霍茨諧振器（HR）的內部來構造。可以實現多階吸聲機制，使得在原始吸收峰值和結構尺寸不變的情況下，通過PCHR單元在更高的頻率下獲得多個接近完美的峰值。
圖1.PCHR裝置的三維視圖及xy平面截面圖
圖2.二階PCHR單元（藍色）和原始HR（紅色）的吸聲系數
數值模擬：
為了驗證這一理論模型，使用商業軟件COMSOL Multiphysics開發了一個數值模擬模型。由于粘性摩擦和熱傳導對聲能量耗散有很大影響，本模型采用壓力聲學-熱黏性聲學相互作用模塊。
（1）建立幾何模型
圖3.幾何模型的構建
（2）設置物理場
圖4.物理場的設置
（3）吸聲系數計算
圖5顯示了PCHR仿真復現的吸聲系數，數值模型計算的吸聲系數與原文中結果相比顯示出了良好的一致性。
展開 超透鏡與超表面全息
超透鏡和超表面因其操縱電磁場的獨特特性而在科學上聲名鵲起，如今它們的制造已經變得可行。但它們的設計難度遠遠超過了傳統鏡片，因為必須考慮到納米級構件的特性。
VirtualLab Fusion的優勢
? 統一的平臺：具有將納米級構建模塊和大尺寸復合透鏡/表面作為整體的求解器
? 從Zemax中導入功能型設計，或通過公式直接定義
? 內置了嚴格的傅里葉模態法（FMM），也稱為嚴格耦合波法（RCWA），包含完全矢量信息
? 應用便捷的圖形用戶界面來設置納米構建模塊，比如典型的納米片（Nanofin）和納米柱（Nanopillar）
? 查找表的概念將嚴格的構建模塊分析結果與大尺寸超透鏡/表面建模相聯系
超透鏡
? 超透鏡的功能特性可以通過多項式系數來具體表示，比如從Zemax中導入。
? 仿真可以在不同的層面上進行：可以基于理想模型進行仿真，也可以直接結合納米構建模塊特性進行仿真。
? 靈活地將超透鏡與其他元件一起包含在一個光學系統中。
超全息圖
? 傳統的相位全息圖通過在透明基底上刻蝕不同的深度來實現相位輪廓，這通常只適用于近軸情況。
? 這種相位輪廓也可以通過具有空間變化的納米尺度構建模塊的超表面來實現。
? 使用超表面構建模塊，可以以一種直接的方式設計高數值孔徑全息圖。
納米片（Nanofin）構建模塊
? Nanofin結構的工作原理是基于雙折射原理。它的相位操縱是通過單個Nanofin的旋轉來實現的。
? 為了實現其作為半波片的功能，必須仔細優化Nanofin的結構參數。
? 由于雙折射特性，以Nanofin為構建模塊的超透鏡具有偏振敏感性。
展開 [VirtualLab] 超透鏡與超表面全息
超透鏡和超表面因其操縱電磁場的獨特特性而在科學上聲名鵲起，如今它們的制造已經變得可行。但它們的設計難度遠遠超過了傳統鏡片，因為必須考慮到納米級構件的特性。
VirtualLab Fusion的優勢
? 統一的平臺：具有將納米級構建模塊和大尺寸復合透鏡/表面作為整體的求解器
? 從Zemax中導入功能型設計，或通過公式直接定義
? 內置了嚴格的傅里葉模態法（FMM），也稱為嚴格耦合波法（RCWA），包含完全矢量信息
? 應用便捷的圖形用戶界面來設置納米構建模塊，比如典型的納米片（Nanofin）和納米柱（Nanopillar）
? 查找表的概念將嚴格的構建模塊分析結果與大尺寸超透鏡/表面建模相聯系
超透鏡
? 超透鏡的功能特性可以通過多項式系數來具體表示，比如從Zemax中導入。
? 仿真可以在不同的層面上進行：可以基于理想模型進行仿真，也可以直接結合納米構建模塊特性進行仿真。
? 靈活地將超透鏡與其他元件一起包含在一個光學系統中。
超全息圖
? 傳統的相位全息圖通過在透明基底上刻蝕不同的深度來實現相位輪廓，這通常只適用于近軸情況。
? 這種相位輪廓也可以通過具有空間變化的納米尺度構建模塊的超表面來實現。
? 使用超表面構建模塊，可以以一種直接的方式設計高數值孔徑全息圖。
納米片（Nanofin）構建模塊
? Nanofin結構的工作原理是基于雙折射原理。它的相位操縱是通過單個Nanofin的旋轉來實現的。
展開 VirtualLab：超透鏡與超表面全息
超透鏡和超表面因其操縱電磁場的獨特特性而在科學上聲名鵲起，如今它們的制造已經變得可行。但它們的設計難度遠遠超過了傳統鏡片，因為必須考慮到納米級構件的特性。
VirtualLab Fusion的優勢
□ 統一的平臺：具有將納米級構建模塊和大尺寸復合透鏡/表面作為整體的求解器
□ 從Zemax中導入功能型設計，或通過公式直接定義
□ 內置了嚴格的傅里葉模態法（FMM），也稱為嚴格耦合波法（RCWA），包含完全矢量信息
□ 應用便捷的圖形用戶界面來設置納米構建模塊，比如典型的納米片（Nanofin）和納米柱（Nanopillar）
□ 查找表的概念將嚴格的構建模塊分析結果與大尺寸超透鏡/表面建模相聯系
超透鏡
□ 超透鏡的功能特性可以通過多項式系數來具體表示，比如從Zemax中導入。
□ 仿真可以在不同的層面上進行：可以基于理想模型進行仿真，也可以直接結合納米構建模塊特性進行仿真。
□ 靈活地將超透鏡與其他元件一起包含在一個光學系統中。
超全息圖
□ 傳統的相位全息圖通過在透明基底上刻蝕不同的深度來實現相位輪廓，這通常只適用于近軸情況。
□ 這種相位輪廓也可以通過具有空間變化的納米尺度構建模塊的超表面來實現。
□ 使用超表面構建模塊，可以以一種直接的方式設計高數值孔徑全息圖。
納米片（Nanofin）構建模塊
□ Nanofin結構的工作原理是基于雙折射原理。它的相位操縱是通過單個Nanofin的旋轉來實現的。
□ 為了實現其作為半波片的功能，必須仔細優化Nanofin的結構參數。
□ 由于雙折射特性，以Nanofin為構建模塊的超透鏡具有偏振敏感性。
納米柱（Nanopillar）構建模塊
□ 由高折射率材料制成的旋轉對稱Nanopillar是另一種常見的超表面構建模塊。
展開 一種具有自修復功能的兩棲超親水、超親油表面材料
超親水、超親油（即“超雙親”）表面具有自清潔、防污、抗霧、使液體迅速鋪展等功能，在日常生活、醫療、工業生產等方面有著廣泛的應用。然而，目前報道的超雙親表面只能在單一介質環境下工作。例如，在干態空氣環境中具有超雙親性質的表面材料在水中往往會表現出超疏油性質，而不是親油性。因為這些材料一旦被水潤濕，其性能主要取決于附著在表面的液態水層。相反，在水中具有親油性質的表面在干燥狀態和空氣介質中通常表現為超疏水和超親油。在空氣和水介質中均具有超雙親（即“兩棲” 超雙親）性質的表面材料報道很少，其制備一直是個挑戰性難題。
最近，澳大利亞迪肯大學（Deakin University）林童教授團隊報道了一種簡單有效的表面處理方法，可使紡織品材料表面具有穩定的“兩棲” 超雙親性質。該團隊采用一種表面涂層技術，將兩種分別帶有親水和親油官能團的化合物涂布于紡織品材料的表面，并進行交聯處理。經過處理的紡織品面料在空氣中表現為優秀的超雙親性質，對水、油和多種有機溶劑的觸角為0°。在水中或完全被水潤濕的條件下，該面料仍然可以使油和不溶性有機溶劑在表面迅速鋪展。該涂層不僅具有良好的牢度，而且可抵御酸堿侵蝕和長時間紫外照射。不僅如此，該涂層還表現出了自修復功能，在被化學侵蝕破壞后，其水下超親油性能可以通過加熱恢復到原的有功能狀態。該團隊進一步證明，這種兩棲超雙親材料在油水分離方面有很大的應用潛力。無論織物在干燥還是潤濕狀態，都表現出了穩定的吸油能力。
圖1：“兩棲”超雙親表面的處理過程及效果。
詳細結果已發表在近期的《Materials Horizons》（DOI: 10.1039/C8MH00898A）。文章共同第一作者為博士生符思達和周華博士，通訊作者為王紅霞博士和林童教授。
來源：高分子科學前沿
展開 超表面空間板的建模
最近在這一領域提出的一種巧妙的策略是“空間板”：超表面允許在自由空間中模擬比空間板的實際厚度長得多的傳播。例如，這樣的元件可以縮短聚焦透鏡后的距離同時實現聚焦(不改變NA)。在這個例子中，我們展示了由Orad Reshef等人提出的多層超材料的空間板的特性，并研究了其在光學建模和設計軟件VirtualLab Fusion中的行為。
基于comsol進行共振薄膜聲學超材料的模態分析
研究背景：
從聲學超材料出現到薄膜型和薄板型聲學超材料局域共振隔聲機理的廣泛研究，其負等效質量和負等效密度特性打破了傳統吸隔聲材料質量定律的限制，為低頻吸隔聲提供了新途徑。由吸聲系數理論模型可知，薄膜型結構的吸聲性能與振型模態、相對聲阻抗率有關。對有無附加質量塊的薄膜型結構進行預應力模態分析，探討振型模態與吸聲系數曲線的對應關系。
研究內容：
由吸聲系數理論模型可知，薄膜型結構的吸聲性能與振型模態、相對聲阻抗率有關，對有無附加質量塊的薄膜型結構進行預應力模態分析，探討振型模態與吸聲系數曲線的對應關系。
圖1.薄膜型結構
圖2.無中心質量塊薄膜型結構的固有模態分析
圖3. 含中心質量塊薄膜型結構的固有模態分析
數值模擬：
分別對有無附加質量塊的薄膜型結構進行預應力模態分析，預應力模態仿真選取的聚酰亞胺薄膜彈性模量為 2.35GPa，泊松比為 0.38，選取的結構鋼質量塊彈性模量為 200GPa，泊松比為 0.30。進行COMSOL 預應力模態仿真時，圓形薄膜結構采用膜單元(Membrane)，薄膜中心質量塊結構進行添加質量處理，除邊界條件的設置外，還需在薄膜表面施加初始面應力 200N/m。仿真分析的步驟如下所示。
（1）建立幾何模型
圖4.幾何模型的構建
（2）設置物理場
圖5.物理場的設置
（3）模態分析
無附加質量塊張緊圓膜結構和附加圓形質量塊薄膜型結構的前6階固有頻率和模態振型仿真結果如圖。可以看出在comsol中利用膜單元對薄膜型結構的固有模態分析結果與原文中對應的十分準確。
圖6. 復現無中心質量塊薄膜型結構的固有模態
圖7.
展開 微孔和柔性的MOF聲學超材料
導讀：
金屬-有機骨架材料 (MOF) 的低頻聲學特性可以通過阻抗管實驗測得。MOF超材料的低頻聲學衰減作用，可能是由于微孔框架結構內部對聲音進行多次反射，促進了聲音的消散和吸收。這可是MOF第一次被證明是聲學超材料。
阻抗管：用于測量吸聲材料的垂直入射吸聲系數的裝置
低頻：100-1250Hz
低頻噪聲的減弱是環境和建筑工程的目標。但是低頻的衰減在噪聲衰減里是最具挑戰性的，通常需要高質量和高厚度的屏障。在建筑物、汽車、飛機和航天器等的建造中，重量和/或燃料效率是需要考慮的問題，因此，使用輕質材料有效衰減低頻聲音是一直以來的需求。此外，具有獨特聲學特性的材料也是造影劑監測領域的關注點。
具有異常聲學特性的材料稱為聲學超材料。吸收性的聲學超材料由周期性結構組成，具有可調的聲學特性，在傳感、隱形、隔音和地震防護等方面都具有廣泛的應用。
將多孔顆粒用于墻板和其他建筑材料的噪聲衰減已受到密切關注，納米顆粒也成功應用于地下能量提取。受這兩者的啟發，我們可以想到，金屬-有機骨架 (MOF) 可能同樣具有潛在的聲學超材料特性，包括它的微孔結構、產生MOF納米顆粒的能力、可設計和調整的幾何框架和柔性。MOF的另一個優勢是它可以以不同的形式加入到消聲/監測體系中，例如噴霧劑、添加劑、離散納米粒子、納米流體注射劑等。
雖然MOF的機械性能和可變形行為已經開始被研究，并且已經在減震和機械能儲存方面應用。但在接下來這篇報道發表之前，這類材料還沒有被確定為聲學超材料，也沒有關于他們低頻聲學特性方面的評估。
ACS Appl. Mater.
展開 10，comsol超表面-仿真石墨烯 ￥2395
此時可以選擇舍棄求相對介電常數，直接在comsol中設置石墨烯為表面電流密度，在這個設置中就只需要用到石墨烯的電導率，不需要石墨烯的厚度參數。
比如下面這篇文章《All-Optical AND, OR, and XOR Logic Gates Based on Coherent Perfect Absorption in Graphene-Based Metasurface at Terahertz Region》
基于石墨烯超表面相干完全吸收的全光與或或異或邏輯門.pdf
下面是我重復的結果展示（盡管文章給了石墨烯厚度，但沒給出從電導率到相對介電常數的公式，所以我把石墨烯處理成表面電流邊界條件）
粗看仿真結果一樣，細看就會發現有點不同。原因源自兩方面，1，作者用的FDTD，我用的comsol。2，為了節省時間，網格并沒有畫的很密。
本文的仿真難點
復現該文的難點在于，如下圖，有兩束光照射到超材料上，求SiO2表面上的石墨烯的吸收率。如何在comsol中設置兩束光，同時設置兩束光后，是用S參數去求吸收率嗎？可以去試試S參數求吸收率，看看會得到什么。如果不能用S參數求，那該怎么求吸收率？答案在下面的模型中
下面是付費內容，包含模型如下
展開 用于寬帶低頻聲衰減的復合聲學超材料
摘要：
我們提出了一種由Mie諧振器和亥姆霍茲諧振器陣列組成的復合聲學超材料。這樣的設計實現了低頻區域的寬帶聲衰減。這種寬帶隔音效果可以用傳遞矩陣法和集總元模型來解釋。傳輸損耗和透射率具有較強的魯棒性，并進行了數值和實驗測試。通過復合設計，利用深亞波長結構，我們成功地實現了寬帶低頻聲衰減，在1250hz頻率范圍內阻擋了90%以上的入射聲能。我們的工作提供了一個設計范例，通過它來實現超常的低頻機載聲消聲。
復合聲學超材料理論
通常，傳遞矩陣T0用于將給定結構的前(x=0)和后(x=d)表面的聲壓和質點速度聯系起來，如下所示：
其中P是聲壓，V是歸一化的聲質點速度。 在SMR單胞的情況下，聲學性能歸因于變面積管道和六個空間線圈元件的有效介質。 因此，將管道中SMR單胞的傳遞矩陣T0改寫為T0=Tf TsTr，其中Ts是SMR單胞的傳遞矩陣，Tf(Tr)是前（后）變面積管道的貢獻，由：
其中K0為空氣中聲波的波數，Lc=0.5H+0.95R(1-1.25√φ0)為前（后）變面積管道的有效長度，H為SMR晶胞的厚度，φ0為風管變面積比，φ0 = r2/ R2。
（a）復合聲學超材料及其組分示意圖。 內壁厚度hwall=1 mm，SMR晶胞厚度hSMR=10 mm,HR陣列厚度hHR=20 mm。 (b)外徑R=50毫米的SMR單胞的橫截面圖。 將圓周區劃分為6個側支空間卷取元結構單元，幾何參數為：空間卷曲通道寬度W=0.05R，結構框架厚度T=0.035R，卷曲數N=8。 內開區半徑r=R-(N+1)×t-N×w。 波路徑L被描繪為橙色線。一個SMR單胞的等效模型如右圖所示。
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