ansys 理論 方程的案例
CFD理論|基本方程（2）
可以構成一個二階對稱張量:
動量方程
（1）微元體受力
動量方程是動量守恒原理在流體運動中的表達方式，其中運動的流體微團的動量表達式為：
動量守恒的原理是要求流體系統的動量變化率等于該系統上的全部作用力之和，也就是牛頓第二定律,，即：
（2）動量方程
動量方程方程的表達式為：
此為拉格朗日積分形式的動量方程，右側第一項為體積力，第二項為表面力。可以進一步改寫為歐拉形式的動量方程：
同樣根據高斯公式將面積分改為體積分，并且在歐拉方法中V是任取的控制體體積，因此可以得到微分形式的歐拉型動量方程：
將方程左側的隨體導數展開：
結合連續方程整理可以得到：
其中 稱為動量通量的張量，為對稱張量，所以方程又可以寫為：
由于技術鄰對公式的排版比較有難度，想看比較友好的排版，文末有排版較好的文章截圖，并且文章同時也同步更新在微信公眾號及知乎號上。
微信公眾號：CFD控
知乎號：CFD控制
文章截圖：
展開 CFD理論|能量方程形式(2)
方程的變化形式
為了將總能量方程（方程(10)）轉化為更常見的形式，需要對其進行處理。這里需要將總應力
分解為壓應力和切應力：
（
）
因此方程（10）變為：
這是在Ansys的操作手冊中總能量方程的表現形式。
這里需要注意的是這里的推導的總能量方程適用于密度基求解器，而對于壓力基求解器，求解的是上一篇提到的熱力學能/內能方程。這是求解器的假設所限定，當使用密度基求解器時，就假定流動是可壓縮流；采用壓力基求解器時，則是假定流動為不可壓流。
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展開 CFD理論|基本方程（3）
N-S方程的變形
（4）蘭姆一葛羅米柯方程當討論有旋性，常將速度的隨體導數分解，將其中旋量分離：
N-S方程就可以改寫為：
（5）非慣性系中相對運動方程
絕對速度=相對速度+牽連速度
絕對加速度=相對加速度+牽連加速度+科式加速度
其中：
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文章截圖：
CFD理論|能量方程形式(3)
熱力學能我們已經給出，壓強可以通過狀態方程求出，或者根據壓力基求解器得到。
什么時候需要用到焓？在求解化學反應流或燃燒時，由于流體中的成分會隨著反應或燃燒的進行，因此需要流動中額外的焓源。
為了能夠將焓源加入能量方程右側，需要利用焓重寫總能量方程。
【理論】偏微分方程簡介
在之前的文章中有提到，客觀物理世界中的各種現象，都可以使用偏微分方程來描述。
使用比較普遍的是二階偏微分方程。高階偏微分方程能通過引入中間變量的方式來退化為二階偏微分(組)形式。而大部分可以演化為以下最基本的形式：
其中
ea是質量系數(簡單理解可以認為是質量)，da是阻尼系數(簡單理解可以認為是阻尼)，β是對流系數(代表外場對因變量影響)，a是吸收系數，f是源項(可以簡單理解為激勵)。
上述表達式代表著局部微元中的守恒關系式。
有了最基本的二階偏微分方程形式，清楚各項的物理意義。通過設定不同的系數，可以得到不同的常用物理場方程。
比如，因變量u代表溫度T，c=k代表熱傳導系數，f=0表示無熱源，其他各項為0表示無對流等外場作用。這樣就得到了最基本的熱傳導方程——經典的拋物線偏微分方程。
(估計這種理論的文章仔細看的人又會很少。當成是個人筆記吧。）
展開 CFD理論|湍流運動方程
導讀：本文討論用以解決湍流問題的基本方程。首先應用時均法建立湍流的時均的和脈動的連續方程及運動方程；隨后討論湍流的能量方程與渦量方程
連續方程
粘性流體的運動方程（N-S）方程及連續方程同樣也適用于湍流運動。湍動運動中，物理量可以分為兩部分：時均物理量和脈動物理量。時均流動的連續方程為：
應用平均運算法則：
由此可見，連續方程中多了一項 : 這是湍流運動的附加項。當流體不可壓時，平均速度及脈動速度的散度為0：
動量方程
N-S方程可以表示為：
將瞬時值帶入，并對其做時間平均后，可以得到：
簡化后，該方程可以寫為：
方程的封閉性
從前面推導的連續性方程（一個標量方程）和動量方程（三個標量方程）所構成的方程組中，共有4個偏微分方程10個自變量，包括4個平均量 ,6個湍流應力，因此無法直接從中得到確定解，因此需要找到足夠的方程，使方程組封閉，這部分內容，我們下一次討論。
能量方程
（1）時均能量方程
采用質量加權平均：
但密度和壓力不能采用質量平均：
根據組分輸運方程可以導出：
其中 ，對于溫度、總焓推導類似。
（2）平均動能方程
動量方程兩側同乘速度，并利用連續方程可得：
方程右側第二項表示控制體內平均動能的變化率；第三項表示控制面上平均壓力所做流動功(含勢能變化)。
對于不可壓流動，方程可以改寫為：
方程右邊第一項為平均動能局部變化率，第二項為對流輸運項，第三項為湍流應力功，第四項為變形功耗散項，第五項為粘性應功，第六項為粘性耗散項。
展開 CFD理論|離散方程的守恒性
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?《數值計算》導讀：討論離散方程的守恒性。
數值計算的目的是獲得盡可能精確的解，實質上離散方程的誤差都是由離散化引起。但是僅僅從誤差判斷離散格式是不全面的，需要進一步研究格式本特性與物理問題之間的聯系。
對于一般工程問題，能夠兼顧離散方程的守恒性、遷移性和人工粘性（假擴散）的離散格式就可以滿足工程計算的需求。本文首先討論離散方程的守恒性。
01
守恒性的定義
如果一個離散方程在定義域的任意有限空間做求和運算所得的表達式滿足該區域上物理量守恒關系時，則稱該離散格式具有守恒特性。
對流-擴散方程的離散過程中，擴散項的中心差分具有優良的物理特性及計算精度。對流項二階導數的離散方式是決定方程是否守恒的關鍵。
02
守恒性的分析
守恒性的分析步驟：
1）首先將方程離散為顯式格式；
2）然后對其中的項采取要研究的格式進行離散；
3）最后在一定范圍對離散方程求和。
展開 CFD理論|離散方程的誤差及穩定性
離散方程的截斷誤差隨時間、空間步長趨近零時也趨于零，則說明離散方程與 微分方程相容。
常微分方程與振動基本理論
常微分方程與振動基本理論
CFD理論|基本方程（1）
導讀：在進一步了解湍流方程之前，我們需要首先知道流體運動的基本方程。流體運動遵循基本的守恒定律，即遵從質量守恒、動量守恒和能量守恒定律，流體運動的基本方程就是描述這些基本定律。本文首先介紹一下隨體導數及雷諾輸運方程。因為主要是一些數學表達式，所以行文稍微有些枯燥，但這些數學方程是描述流體運動的根本。
隨體導數
求解基本方程時，需要用到流體質點的物理量隨時間的變化規律，于是定義了隨體導數。隨體導數：流體質點物理量隨時間的變化率稱為物理量的隨體導數。但在流體力學中，流體質點的運動區域大，因此跟隨一個流體質量去描述其運動，通常是比較困難的。考慮到流體是充滿整個運動區域的連續介質，一般有兩種描述運動的方法。
（1）拉格朗日法
該方法著眼于流體質點，把流體質點的物理量表示為拉格朗日坐標與時間的函數。拉格朗日法跟蹤的是流體質點，因此其坐標（a,b,c）不隨時間(T)的變化。若以 表示流體質點的某一物理量，其拉格朗日法的數學表示方式為：
(a,b,c)更像是對流體質量的標號，如果t時刻的質點的位置以r表示，則：
表示拉格朗日坐標為(a,b,c)的流體質點在t時刻處于r，即空間點(x,y,z)的位置。
（2）歐拉法
歐拉法著眼于空間點，也叫空間描述法，即流體的物理量隨空間點及時間變化。把流體物理量表示為歐拉坐標及時間的函數。當某時刻物理量在空間分布確定，我們就是物理量在此空間形成了一個場，也就是說歐拉法實際上描述了物理量的場。歐拉的數學表達式為：
(x,y,z)就是空間的坐標。例如流體速度可以表示為：
它表示空間點(x,y,z)上t時刻的流體速度。
展開 CFD理論|能量方程形式（1）
能量方程形式1
首先給出熱力學能方程：
這個一個標量輸運方程的標準形式，方程左側第一項為非穩態項,通過速度場確定了
的對流項（左側第二項），右側第一項為
的擴散項，最后一項為源項。
[問題討論]使用Python學習CFD初級理論系列一二維Burger方程（10/10）
本文利用有限差分法計算求解二維Burger方程。
二維Burger方程形式為：
離散方程可寫成：
轉換形式可以表達為：
用代碼實現實際上很簡單。
[問題討論]使用Python學習CFD初級理論系列一一維Burgers方程（6/10）
注：本系列教程來自國外一個使用Python進行CFD初級理論學習的項目，源項目網址為：http://lorenabarba.com/blog/cfd-python-12-steps-to-navier-stokes/。感興趣的同學可以去官方主頁了解更多信息。
本文轉載自微信公眾號“CFD之道”，有刪減，感謝源作者。
[問題討論]使用Python學習CFD初級理論系列一一維擴散方程 （5/10）
注：本系列教程來自國外一個使用Python進行CFD初級理論學習的項目，源項目網址為：http://lorenabarba.com/blog/cfd-python-12-steps-to-navier-stokes/。感興趣的同學可以去官方主頁了解更多信息。
本文轉載自微信公眾號“CFD之道”，有刪減，感謝源作者。
[問題討論]使用Python學習CFD初級理論系列一線性對流方程（2/10）
注：本系列教程來自國外一個使用Python進行CFD初級理論學習的項目，源項目網址為：http://lorenabarba.com/blog/cfd-python-12-steps-to-navier-stokes/。感興趣的同學可以去官方主頁了解更多信息。
本文轉載自微信公眾號“CFD之道”，有刪減，感謝源作者。
