應變能密度的案例
復合材料的比應變能密度破壞準則
https://zhuanlan.zhihu.com/p/612344564
聲明：本文僅介紹他人成果
今天找文獻的時候看到中國科學院力學研究所在88年發的一文章，文章很短，講了了一個復材準則:比應變能密度破壞準則.可以用于預測復合材料破壞強度（在什么應力狀態下發生失效）。
ANSYS如何提取能量結果（應變能，應變能密度，應變能時程）？ ￥100
</p>
<ul class=" list-paddingleft-2" style="list-style-type: disc;">
<li><p> /POST1提取應變能</p></li>
</ul>
<p>在<a href="https://www.yqgqt.org.cn/qa/2877" class="jsk-anchor">ANSYS APDL</a>主界面，Main Menu-General Postproc-Element Table-Define Table中依次定義應變能和體積，可以顯示包括每個單元的應變能和體積數據，應變能密度=應變能/體積。</p>
<p><img src="https://img.jishulink.com/msimage/5c/48ea6607e1b221bd945781736706aa.png" style="width:280.46497pt;height:340.4574pt;" data-mobile-src="https://img.jishulink.com/msimage/5c/48ea6607e1b221bd945781736706aa.png?image_process=/format,webp" data-pc-src="https://img.jishulink.com/msimage/5c/48ea6607e1b221bd945781736706aa.png?image_process=/format,webp" data-initial-src="https://img.jishulink.com/msimage/5c/48ea6607e1b221bd945781736706aa.png"></p>
<p>整體模型的應變能和體積數據。
展開 基于ABAQUS的連接器端子件優化設計
摘要：針對金屬零件的結構設計，提出一種基于應變能密度的分析和優化方法，使其滿足強度需求的同時降低塑性變形。此方法結合Abaqus有限元模型的自動修改技術，以零件體積為約束，最小化節點的應變能密度為優化目標，在優化迭代循環中對指定零件區域的節點進行移動，使此區域的應力應變均勻分布，達到減小局部集中應力的目的。以電子連接器的金屬端子件為例，應用上述方法對其進行優化設計，獲得了具備更小塑性變形值，且結構性能增強的端子件結構。
關鍵詞: 應變能密度；連接器端子件；優化設計；結構分析
中圖分類號：TG386 文獻標識碼：A
基于ABAQUS的連接器端子件優化設計_20151129.pdf
展開 Abaqus-橡膠材料的Mullins效應
例如，多項式模型使用以下形式的應變能勢：
右側的第一項表示彈性應變能密度函數的偏量部分，第二項表示體積部分。
改進的應變能密度函數
Mullins效應是通過使用改進型能量函數來解釋的：
其中，Udev(λ?i)是主超彈性行為的應變能密度函數的偏量部分，例如，由上面給出的多項式應變能勢函數右邊的第一項定義；Uvol(Jel)是應變能密度的體積部分, 例如，由上面給出的多項式應變能勢函數右邊的第二項定義；λ?i(i=1,2)表示偏離主應變的主拉伸；Je?表示彈性體積比。函數?(η)是損傷變量η的連續函數，被稱為“損傷函數”。當材料的變形狀態處于主超彈性行為的曲線上的一點時，η=1，?(η)=0，U(λ?i,1)=?Udev(λ?i)+?Uvol(Jel), 改進型的能量函數就會歸結為主超彈性行為的應變能密度函數。損傷變量在變形過程中連續變化，始終滿足0 < η ≤ 1。上述能量函數形式是Ogden和Roxburgh提出的擴展形式，以解釋材料的可壓縮性。
應力計算
通過上述能量函數的修改，應力可以表示為：
其中，?S是在當前偏形變水平λ?i下對應于主超彈性行為的偏應力，而?p是在當前體積形變水平Je?下對應于主超彈性行為的靜壓力。因此，由Mullins效應導致的偏應力可以通過簡單地將主超彈性行為的偏應力與損傷變量η相乘而獲得。壓力應力與主行為相同。該模型預測了沿著單個曲線（通常與主超彈性行為不同）的載荷/卸載從任何通過應力 - 應變圖起點的給定應變水平開始。它無法捕捉卸載后的永久應變。該模型還預測，純體積形變與損傷或Mullins效應毫無關聯。
展開 
為什么經典斷裂力學算不準？——從"無限尖裂紋"到"真實物理過程"的范式轉變
二、均勻化能量密度理論：從"點"到"體"的范式革命
2.1 核心洞察：RVE不是數學點
均勻化能量密度模型（Homogenized Energy Density Model）從根本上改變了這一局面。
關鍵認識：經典理論將"代表性體積單元"（RVE）視為無限小的數學點，但實際上，真實的RVE具有有限的物理尺寸 h （如金屬晶粒尺寸、混凝土骨料粒徑、聚合物回轉半徑）。
當變形場在RVE內呈非線性分布時，體積平均值 ≠ 幾何中心值：
其中 Δp 是拉普拉斯算子，描述場的"彎曲程度"。經典理論只保留了第一項，忽略了 和 項——這就是"均勻化誤差"的來源。
2.2 退化應變能密度：損傷與變形的統一描述
對于準脆性斷裂問題，理論引入了退化均勻化應變能密度（Degraded Homogenized SED）：
其中 是局部退化應變能密度，d 為損傷變量。
展開 Abaqus-橡膠材料的Mullins效應
例如，多項式模型使用以下形式的應變能勢：
右側的第一項表示彈性應變能密度函數的偏量部分，第二項表示體積部分。
改進的應變能密度函數
Mullins效應是通過使用改進型能量函數來解釋的：
其中，Udev(λ?i)是主超彈性行為的應變能密度函數的偏量部分，例如，由上面給出的多項式應變能勢函數右邊的第一項定義；Uvol(Jel)是應變能密度的體積部分, 例如，由上面給出的多項式應變能勢函數右邊的第二項定義；λ?i(i=1,2)表示偏離主應變的主拉伸；Je?表示彈性體積比。函數?(η)是損傷變量η的連續函數，被稱為“損傷函數”。當材料的變形狀態處于主超彈性行為的曲線上的一點時，η=1，?(η)=0，U(λ?i,1)=?Udev(λ?i)+?Uvol(Jel), 改進型的能量函數就會歸結為主超彈性行為的應變能密度函數。損傷變量在變形過程中連續變化，始終滿足0 < η ≤ 1。上述能量函數形式是Ogden和Roxburgh提出的擴展形式，以解釋材料的可壓縮性。
應力計算
通過上述能量函數的修改，應力可以表示為：
其中，?S是在當前偏形變水平λ?i下對應于主超彈性行為的偏應力，而?p是在當前體積形變水平Je?下對應于主超彈性行為的靜壓力。因此，由Mullins效應導致的偏應力可以通過簡單地將主超彈性行為的偏應力與損傷變量η相乘而獲得。壓力應力與主行為相同。該模型預測了沿著單個曲線（通常與主超彈性行為不同）的載荷/卸載從任何通過應力 - 應變圖起點的給定應變水平開始。它無法捕捉卸載后的永久應變。該模型還預測，純體積形變與損傷或Mullins效應毫無關聯。
展開 Abaqus應用之能量篇
單元的蠕變應變能密度耗散
EVDDEN
單元的粘性能密度耗散
三、分析方法特點小結
1．積分方法：ABAQUS/Explicit應用中心差分方法進行動力學顯式積分。
二維J積分求解實例命令流
計算應變能密度
PATH,JINT,4,50,48 ！定義路徑
PPATH,1,ARG1 ！定義路徑點
PPATH,2,ARG2
PPATH,3,ARG3
PPATH,4,ARG4
PDEF,W,ETAB,W ！將應變能密度映射到路徑上
PCALC,INTG,J,W,YG ！應變能密度計算
*GET,JA,PATH,,LAST,J
PDEF,CLEAR ！刪除路徑變量
PVECT,NORM,NX,NY,NZ ！定義路徑單位向量
PDEF,INTR,SX,SX ！將X軸應力映射到路徑上
PDEF,INTR,SY,SY ！將Y軸應力映射到路徑上
PDEF,INTR,SXY,SXY ！將Z軸應力映射到路徑上
PCALC,MULT,TX,SX,NX ！路徑相乘操作
PCALC,MULT,C1,SXY,NX
PCALC,ADD,TX,TX,C1 ！
展開 關于mises應力
外載荷作用在物體上面產生變形，變形過程中作功，不考慮損耗，這些功等于應變能。單位體積的應變能為應變能密度。同應力張量一樣，我們也可以將應變能密度進行分解，一個是體積改變能密度（由球量引起），一個是畸變能密度（由偏量引起），畸變就是形狀改變。由應變能密度公式，用八面體正應力代人可得體積改變能密度，相減得到畸變能密度，它與彈性模量、泊松比以及此點的三個主應力有關。主應力可以根據應力張量計算出來，坐標變化時，應力張量各分量會改變，但是主應力在空間中的方向以及大小都不隨坐標變化。
既然屈服主要由偏量引起，因此，可以建立一個屈服準則，它只與偏量有關，無論此點處于何種應力狀態，因此可以采用畸變能密度。此屈服條件認為，某點處應力狀態對應的畸變能密度達到某數值時，此點進入屈服狀態。畸變能密度是一個與該點三個主應力相關的量，還與材料相關，消去這些材料系數，就得到mises應力的計算公式，它也是對該點應力狀態的描述。根據拉伸試驗可以確定材料對應的屈服應力，從而建立屈服條件。
稍加深入的研究一下所有屈服條件。在主應力空間研究。我們任取一個直角坐標，設其為主應力空間，坐標軸設為三個主應力。對應要研究的某點，根據其應力狀態可以計算得到它的三個主應力（不管方向），這三個主應力對應于主應力空間中的一個空間點，連接此點與原點，得到一條線。過原點取一個平面，與三個坐標軸等傾，稱為PI平面。其過原點的法線上，每點對應的應力狀態均為球形應力狀態。將某點對應的應力狀態在此直線上投影，則只有垂直pi平面法線的分量會引起屈服。那么，在此空間中，所有屈服點將是一個封閉曲面，它以pi平面的法線為軸，在pi平面上的投影是一個封閉曲線。
mises屈服條件。
展開 關于mises應力
外載荷作用在物體上面產生變形，變形過程中作功，不考慮損耗，這些功等于應變能。單位體積的應變能為應變能密度。同應力張量一樣，我們也可以將應變能密度進行分解，一個是體積改變能密度（由球量引起），一個是畸變能密度（由偏量引起），畸變就是形狀改變。由應變能密度公式，用八面體正應力代人可得體積改變能密度，相減得到畸變能密度，它與彈性模量、泊松比以及此點的三個主應力有關。主應力可以根據應力張量計算出來，坐標變化時，應力張量各分量會改變，但是主應力在空間中的方向以及大小都不隨坐標變化。
既然屈服主要由偏量引起，因此，可以建立一個屈服準則，它只與偏量有關，無論此點處于何種應力狀態，因此可以采用畸變能密度。此屈服條件認為，某點處應力狀態對應的畸變能密度達到某數值時，此點進入屈服狀態。畸變能密度是一個與該點三個主應力相關的量，還與材料相關，消去這些材料系數，就得到mises應力的計算公式，它也是對該點應力狀態的描述。根據拉伸試驗可以確定材料對應的屈服應力，從而建立屈服條件。
稍加深入的研究一下所有屈服條件。在主應力空間研究。我們任取一個直角坐標，設其為主應力空間，坐標軸設為三個主應力。對應要研究的某點，根據其應力狀態可以計算得到它的三個主應力（不管方向），這三個主應力對應于主應力空間中的一個空間點，連接此點與原點，得到一條線。過原點取一個平面，與三個坐標軸等傾，稱為PI平面。其過原點的法線上，每點對應的應力狀態均為球形應力狀態。將某點對應的應力狀態在此直線上投影，則只有垂直pi平面法線的分量會引起屈服。那么，在此空間中，所有屈服點將是一個封閉曲面，它以pi平面的法線為軸，在pi平面上的投影是一個封閉曲線。
mises屈服條件。
展開 華為芯片堆疊封裝設計專利刷屏，請和我一起仿真計算和驗證
求解獲得warpage如下，
bump的塑性應變能密度的值如下所示，在樓上和樓下之間的bump應變能密度和基板之間的C4 bump比大很多，是易失效的位置，還可以看出在最角落的bump是最容易失效的。另外通過一些公式換算可以通過應變能密度獲得其在高低溫循環下的壽命。當然，如果只是判斷選型，簡單對比應變能密度大小即可。
然后就是性能指標。之前說這個結構樓下由于要用wirebond供電以及走信號，肯定不如樓上芯片性能，此處可以用ANSYS HFSS做個驗證。如下圖所示是樓下和substrate之間電連接，因為wire之間的間距只有100um，阻抗不是很低，實際很難控制到如此說。不過這樣走線阻抗也有110ohm以上。
如果是在molding中打孔，因為pitch和孔直徑可以更靈活可控，阻抗也可以做的很好，模型以及TDR見下圖。因此樓上芯片適合做高速的信號。
除了SI的問題，PI的問題也很重要。PI最基礎的評估是IR drop，也就是靜態電流產生的壓降。如果壓降太大，芯片可能供電不夠。如下圖所示是用Q3D計算的IR drop，不夠此處施加是1A電流產生的0.1907V壓降，意味著這一根wire是0.1907ohm電阻。
下圖是在molding中的通孔帶來的壓降，是0.1468V。因為長度小以及直徑粗，是比wire小一些的。不過實際molding中的孔是可以繼續加粗的，而且wirebond只能圍芯片一圈，而這種通孔是可以在芯片整個面上增加，因此IR drop要比wire小很多。
最后就是評估熱了。
展開 
ANSYS Workbench橡膠超彈分析及應用實例
橡膠材料的應力-應變關系具有明顯的非線性，其力學性能與環境條件、應變歷程、加載速率等因素有很大關聯，且隨時間延長而不斷變化。
橡膠材料本構模型及其適用性
從20世紀40年代至今，國內外許多學者提出了許多橡膠材料的本構模型，大致可分為兩大類：基于應變能函數的唯象模型和基于分子鏈網絡的統計模型。
基于應變能函數的唯象模型又可分為兩類。一類是以應變不變量表示的應變能密度函數模型，這類模型在處理橡膠彈性時，可以把橡膠材料的變形看成是各向同性的均勻變形，從而將應變能密度函數表示成變形張量不變量的函數，比如：Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型等。另一類是以主伸長表示的應變能函數模型，比如：Valanis-Landel模型、Ogden模型等。
基于分子鏈網絡的統計模型按照分子鏈的統計特性可分為兩類：高斯鏈網絡模型和非高斯鏈網絡模型。其中最具代表性的分子統計學模型包括Treloar模型以及Arruda-Boyce模型。
下面對幾種常見的本構模型進行簡要介紹。
Mooney-Rivlin模型
Mooney-Rivlin模型是一個比較常用的模型，幾乎可以模擬所有橡膠材料的力學行為。其應變能密度函數模型為：
對于不可壓縮材料，典型的二項三階展開式為：
式中：N、Cij和dk為材料常數，由實驗確定。
Mooney-Rivlin模型適合于中小變形，一般適用于應變約為100%(拉伸)和30%(壓縮)的情況。但該模型不能模擬多軸受力數據，由某種試驗得到的數據不能用來預測其它的變形行為。對于沒有加碳黑的橡膠來說，該模型能得到比較準確的結果，但不能精確模擬加了碳黑的橡膠。
Yeoh模型
Yeoh模型比較適合模擬炭黑填充NR的大變形行為，并具有用簡單的單軸拉伸試驗數據描述其他變形的力學行為的能力。
展開 聲場中的能量關系：聲能量密度、聲能流密度、聲強
聲動能（kinetic energy）：
質點振動引起的能量變化。
聲勢能（potential energy）：
介質形變引起的能量變化。
聲能：
由于聲波傳播而引起的介質能量的增量。
一、聲能量密度E0
定義：聲能量密度：聲場中單位體積介質所具有的機械能為聲場的聲能密度。記E0。
聲能密度的量綱：
（MKS）制中，基本單位：J/m3
下面分析聲能密度E0與基本聲學量的關系：
聲場中任意一個質量為m0體積為V0的質團；
動能：
勢能：質團由平衡狀態（V0，P0）至（V，P）狀態，聲壓所作的功
圖中陰影部分
所以，聲場中質量為m0體積為V0的質團的機械能：
據定義，聲場中單位體積介質所具有的機械能為聲場的聲能密度，有：
二、聲能流密度
定義：單位時間內通過與聲波能量傳播方向垂直的單位面積的聲能為聲能流密度，它是一個向量。
（MKS）制中，基本單位：J/m2s=W/m2
據能量守恒定律，參照連續性方程的推導方法，可得聲能量密度E0與聲能流密度的關系：
聲能量密度的時間變化率等于聲能流密度的散度的負值。
據與基本聲學量的關系式和上式，可得與基本聲學量的關系：
推導過程中用到三個基本方程（連續性方程、狀態方程、運動方程）：
結論：聲場的聲能流密度為該點聲壓與質點振速的乘積，方向為該點質點振動的方向。
聲能通過單位面積的能流瞬時值在數量上等于該點聲壓和質點振速的乘積。
聲能流的傳播方向沿著介質質點振速的方向。
，表示能流沿波傳播方向流出；
，表示能流向波傳播方向的反方向流動。
展開 馬普所&川大《Nature Commun》：金屬強度與位錯密度和應變速率的關系
對單晶Cu、Al、LiF和多晶Cu、Al應變速率跨越多個數量級的實驗研究表明，流變應力在低應變速率下，表現出弱應變速率依賴性響應，在高應變速率下，表現出應變速率硬化響應。研究認為，
與應變速率無關的狀態主要是林位錯相互作用和/或位錯與晶界或析出相的相互作用。
另一方面，應變速率硬化是由于粘滯阻力作用于位錯造成的。在這種情況下，作用在位錯上的應力通過位錯阻力系數與位錯速度相關，位錯速度通過Orowan關系與應變速率相關。因此，應力和應變率之間的直接關系取決于阻力系數和可移動位錯密度的比值。
離散位錯動力學(DDD)模擬允許對塑性流動過程中的集體位錯行為進行原位觀察，因此，可以為控制位錯介導的塑性應變率效應的機制提供基本見解，而不需要依賴特定的假設。在DDD模擬中，位錯是粗粒度的離散彈性線，大多數相關的位錯機制是基于物理的方式。在過去的20年里，DDD被廣泛地用于研究位錯介導塑性的各個方面。雖然DDD模擬已廣泛應用于位錯塑性中的問題，但上述與應變率相關性有關的基本問題尚未得到系統的研究。特別是，位錯平均速度和位錯速度分布等基本量，雖然可以通過3D-DDD模擬自然獲得，但由于實驗難以確定很少有研究。
此文研究者采用3D-DDD和MD(分子動力學)方法，共進行了194次模擬，分析了集體位錯塑性的應變速率依賴性。在模擬中，研究了位錯密度(9個數量級以上)和應變速率(10個數量級以上)，對銅鋁單晶塑性變形行為的影響。因此，研究者提出了材料強度、位錯密度、應變率和位錯遷移率之間的解析關系，該關系與目前的模擬和已發表的實驗結果一致。結果表明：隨著位錯密度的增大，材料強度呈現先減小后增大的趨勢。因此，隨著應變速率的增加，強度呈現出一種應變速率無關的狀態，隨后是應變速率硬化狀態。
展開 ANSYS與材料力學之扭轉（二）
在公眾號文章
ANSYS與材料力學之軸向拉伸和壓縮（五）
中，我們介紹了拉（壓）桿內的應變能，通過
彈性體功能原理
的使用，可以極大地簡化一些計算。與拉（壓）桿相似：
桿件發生扭轉變形時，桿內也會積蓄應變能
由于桿件各截面上的扭矩可能變化，同時，橫截面上各點處的切應力也隨該點到圓心的距離改變而改變。為此，計算桿內的應變能，需先計算桿內任一點處的應變能密度，再計算全桿內所積蓄的應變能。
如上圖所示，
單元體內所積蓄的應變能dVε，數值上外力所做的功dW。
dW = 1/2(τdydz)(γdx) = 1/2τγ(dxdydz)
得
單位體積內的應變能(應變能密度)為：
ν
ε
= dVε / dV = dW / dxdydz = 1/2 τγ
根據胡克定律：
ν
ε
= G/2 * γ
2
對應變能密度取全桿體積積分，可得：
式中，V為桿件的體積，A為桿件的橫截面積，l為桿長。
展開 