有限元理論及編程的案例
四節(jié)點/八節(jié)點四邊形單元懸臂梁的Matlab有限元編程——《Matlab有限元編程從入門到精通》系列
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本課程為matlab有限元編程專題課，課程主要以案例的形式進行講解，中間會穿插案例中所涉及到的有限元基本理論，案例不局限于力學問題的有限元求解，還會涉及傳熱學、電學等問題的有限元求解。
因為固體力學領域我最熟悉，所以我們從固體力學開始，所涉及的單元有桿單元，梁單元，平面三角形單元，薄板單元，厚板單元，四面體實體單元等等，力學問題有靜力學問題，也有動力學問題，后期還會涉及材料非線性、幾何非線性、接觸非線性等非線性問題，內容豐富，不斷更新完善。
此外，筆者為所有訂閱用戶提供知識圈答疑服務和VIP用戶交流群。并附贈課程相關資料等（平臺支持自行開具電子發(fā)票）。
1、你將學到
快速獲得各典型有限元案例的Matlab代碼；
學習并掌握有限元基礎理論；
掌握Matlab編程實現(xiàn)有限元算法的流程；
掌握多種有限元單元的基本理論Matlab編程實現(xiàn)過程；
掌握靜力學、動力學、材料非線性、幾何非線性、接觸非線性問題的Matlab編程實現(xiàn)；
為訂閱用戶提供知識圈答疑服務，并建立VIP用戶交流群，后續(xù)可根據(jù)訂閱用戶需求進行加餐直播。此外還提供課程對應的學習資料模型一份。
2、適合哪些人學習
理工科院校學生和教師；
學習型仿真設計工程師；
Matlab有限元編程興趣愛好者和應用者。
作者：SimPC博士
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現(xiàn)方式研究系列11： 自主CAE開發(fā)實戰(zhàn)經(jīng)驗第一階段總結
按我們的經(jīng)驗，認為開發(fā)有限元求解器的基礎知識主要分為三類：數(shù)學、計算機、力學，如下圖所示：
在開發(fā)自主CAE軟件的同時，我們經(jīng)歷了許多實際仿真工程項目，這為我們積累了很多寶貴的實際工程經(jīng)驗。這些項目主要分為兩類：
一類是商業(yè)CAE軟件的二次開發(fā)，這也是最常見的工程項目，通常是根據(jù)客戶需求定制仿真流程，目前二次開發(fā)過的商業(yè)CAE軟件主要由Abaqus、Patran\Nastran和Ansys。從這類項目中一方面可以積累豐富的開發(fā)經(jīng)驗，另一方面可以從客戶需求中了解背后的物理問題和相應理論，無論是對知識的深度還是廣度都有極大的提高。
第二類是專用有限元求解器，通常是針對某一類特定問題進行求解。這一類項目做多了就會深刻體會馬克思主義的偉大，從特定問題找出一般規(guī)律。我們軟件的框架也正是基于有限元的基本問題，綜合這些特殊問題來抽象建立的。
1.3 成長是曲折艱難的
1.3.1 編程語言選擇
單純編程語言之間的優(yōu)劣比較是沒有任何意義的，每種編程語言都有長處和短板。一開始，我們選擇編程語言的考慮主要包括以下因素：
1、運行速度
盡管如今的計算機硬件性能已經(jīng)如此之強悍，有限元求解器需要解決問題的規(guī)模仍然是如此之大以至于我們不得不花費如此多的精力去考慮如何讓計算變得更快。而編程語言運行速度就像人類身高這樣的天賦，它決定了計算速度的上限。在科學計算領域，F(xiàn)ortran有巨大的優(yōu)勢，它的編譯器優(yōu)化是其它任何主流編程語言也無法媲美的。如果有人認為是C或C++，請放棄這個錯誤觀念，這兩種語言的運行速度最終取決于編程能力而不是語言本身，而能夠讓他們與Fortran運行速度相差無幾的編程大師應該也沒什么精力來搞有限元。
2、易維護性和易復用性
不得不說，一提到這兩個詞，大部分時間里我們腦袋里首先蹦出的是C++或者是一些別的面向對象的語言，這與我國的編程教學有關。
展開 案例實操：四面體單元懸臂梁的Matlab有限元編程過程講解
Strain3_3(2,3)+Strain3_3(3,2) Strain3_3(1,3)+Strain3_3(3,1)]';
Stress(1:6,1) = D*Strain;%高斯積分點處應變
圖3 變形前后的網(wǎng)格對比
圖4 位移云圖
此外，為幫助大家更好的入門學習Matlab有限元編程分析能力，歡迎大家私信我索要如下 Matlab有限元 資料包。
另外也歡迎大家私信我加入Matlab有限元編程用戶交流群，與我們抱團一起學習理論、軟件和行業(yè)應用我的Matlab有限元編程精品課。點擊此處試看
本課程為matlab有限元編程專題課，課程主要以案例的形式進行講解，中間會穿插案例中所涉及到的有限元基本理論，案例不局限于力學問題的有限元求解，還會涉及傳熱學、電學等問題的有限元求解。因為固體力學領域我最熟悉，所以我們從固體力學開始，所涉及的單元有桿單元，梁單元，平面三角形單元，薄板單元，厚板單元，四面體實體單元等等，力學問題有靜力學問題，也有動力學問題，后期還會涉及材料非線性、幾何非線性、接觸非線性等非線性問題，內容豐富，不斷更新完善。此外，筆者為所有訂閱用戶提供知識圈答疑服務和VIP用戶交流群。并附贈課程相關資料等（平臺支持自行開具電子發(fā)票）。1、你將學到
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掌握Matlab編程實現(xiàn)有限元算法的流程；
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展開 有限元基礎理論——有限元法 ￥1
筆者前述
有限元法作為當今科學研究與工程應用中被廣泛應用的一種數(shù)值方法，受到越來越多人關注，越來越多學者與高校學生也開始從事有限元分析。筆者作為一個CAE菜鳥，在剛接觸有限元分析時，有種被有限元虐的體無完膚的凄慘，一個人摸索，真是處處碰壁，原本打雞血似的學習熱情也慢慢冷卻，就這樣持續(xù)一段時間后，在不斷查看相關論壇與帖子之后，終于迎來了轉機。
在技術鄰的帖子里，看到了一些前輩分享的學習經(jīng)驗，了解到學習有限元分析，萬萬不能停留在只學習軟件操作的層面上，過去的我，因為沒有這個思想指導，忽略了理論的學習，導致一直在學習案例，雖然跟著視頻可以完整的做出一個案例，但是在做的過程中，完全不知道為何這么做，為什么這么設置？原理是什么？久而久之，由于無法自己創(chuàng)造出東西來，就會被一直的模仿操作消磨掉學習興趣與耐心。所以，我開始接觸一些有限元理論和力學理論，發(fā)現(xiàn)當你有意識地去完成一個項目和案例，會大大提高你的學習動力和毅力，就這樣，我開始進行理論學習與操作學習相結合的學習生活。此帖，主要是我學習有限元法的相關筆記，供大家參考。
如何學習有限元
首先，我們要明白，CAE是一種解決復雜問題的思路，其理論基礎是有限單元法（有限差分法、有限體積法以及邊界元法）等數(shù)值方法，基于這些數(shù)值計算的理論基礎，我們開發(fā)出來ANSYS、ABAQUS等各種有限元軟件，用于降低我們利用有限元法等數(shù)值計算方法進行分析問題的難度，這意味著他們只是一種工具。所以，如果不懂有限元，學習CAE沒有多大意義。會用軟件只是軟件操作層面，對學習者并沒有太大要求，稍微有點文化或者懂點英文，就能對著教材或者視頻做完一個案例，問題是做完之后，絕大部分人甚至都不知道自己在做什么，結果是什么含義，他們一片茫然，這種學習方式，基本上沒有什么用處。
展開 
有限元編程-附源代碼《有限元方法基礎教程（第五版）》學習記錄2——桁架桿單元
對于力學專業(yè)的我來說，有限元理論是必須了解的知識。這本書已經(jīng)看了一遍了，但是理解不太深刻。打算認真看第二遍，通過編程來牢固知識。我自己愛好編程，在編程過程中，通過程序設計，發(fā)現(xiàn)我的理解又提升了很多。
對應章節(jié)：第3章 建立桁架方程。
有限元求解思路：
實現(xiàn)內容：
（1）：三維桁架任意方向桿的受力、位移、應力求解；
（2）：考慮了桿和彈簧組合系統(tǒng)；
（3）：考慮了平面桿斜支撐；
（4）：考慮了齊次、非齊次邊界條件。
輸入：
（必要）：單元編號、桿截面積、彈性模量、節(jié)點編號、對應節(jié)點坐標；
（可選）：斜支撐節(jié)點編號及與x軸正向夾角。
輸出：桿的軸向力、應力、節(jié)點力、節(jié)點位移、剛度矩陣。
例題：
BarUnit.rar
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現(xiàn)方式研究系列42： 聲學分析(1)-有限元
（原創(chuàng)，歡迎轉載，轉載請說明出處）
1 概述
本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現(xiàn)方式，通過
（1） 基礎理論
（2） 商軟操作
（3） 自編程序
三者結合的方式將復雜繁瑣的結構有限元理論通過簡單直觀的方式展現(xiàn)出來，同時深層次的學習有限元理論和商業(yè)軟件的內部實現(xiàn)原理。
有限元的理論發(fā)展了幾十年已經(jīng)相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統(tǒng)的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現(xiàn)公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發(fā)人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現(xiàn)方式。
一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現(xiàn)結構有限元求解器，通過自研求解器和商軟的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現(xiàn)方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數(shù)學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。
展開 ANSYS APDL參數(shù)化有限元分析技術 附有限元分析ANSYS理論與應用下載
同時，以APDL為基礎，用戶還可以開發(fā)專用有限元分析程序，或者編寫經(jīng)常重復使用的功能小程序，保存成宏文件以供用戶隨時調用或創(chuàng)建成按鈕放在工具條上。另外，APDL也是ANSYS設計優(yōu)化的基礎，只有創(chuàng)建參數(shù)化的分析流程才能對其中的設計參數(shù)執(zhí)行優(yōu)化改進，達到最優(yōu)化設計。
APDL程序設計語言與其它編程語言一樣，具有參數(shù)、數(shù)組表達式、函數(shù)、流程控制（循環(huán)與分支）、縮寫、宏以及用戶程序等。其中命令執(zhí)行中所使用到的參數(shù)可以被賦值為確定值，也可以通過表達式或參數(shù)的方式進行賦值。
圖3 ANSYS APDL 分支結構
下載地址：有限元分析ANSYS理論與應用下載
展開 Newton–Raphson有限元編程 | 一維非線性彈簧元
知乎、B站：[易木木響叮當]
關注可了解更多的有限元數(shù)值仿真技巧。問題或建議，請公眾號留言;
如果你覺得木木同學對你有幫助，歡迎贊賞。
今天給大家分享的是：基于Newton–Raphson的一維非線性彈簧有限元分析。
寫在前面的話
非線性有限元編程終于有了個開端了，有關這一塊要求的功底相對于線彈性編程，著實有點高，不僅要掌握有限元分析的流程，還要熟悉各種數(shù)值算法（研一時的數(shù)值分析）。不過也不要慌，遇到什么算法就去了解什么算法，千萬不要為了掌握有限元中的非線性，而去系統(tǒng)學習數(shù)值分析，時間成本太高，除非你有很多的時間(個人理解)。
Kim教授的《Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis》是本非常不錯的非線性有限元分析教材，難度循序漸進，講述了有限元分析過程中遇到的各種非線性問題，并提供了相應的Matlab代碼，能夠讓新手小白快速的上手。
展開 有限元編程-附源代碼《有限元方法基礎教程（第五版）》學習記錄1——直接剛度法（一維彈簧單元）
對于力學專業(yè)的我來說，有限元理論是必須了解的知識。這本書已經(jīng)看了一遍了，但是理解不太深刻。打算認真看第二遍，通過編程來牢固知識。我自己愛好編程，在編程過程中，通過程序設計，發(fā)現(xiàn)我的理解又提升了很多。
計算機語言：Python（個人愛好）
對應章節(jié)：第2章 剛度法（位移法）
實現(xiàn)內容：
（1）采用直接剛度法；
（2）定義了彈簧單元；
（3）實現(xiàn)剛度的組裝；
（4）考慮了齊次、非齊次邊界條件；
（5）可以輸出整體剛度矩陣、節(jié)點位移、節(jié)點外力、單元內力、單元剛度矩陣。
下一步目標：
（1）補償法的實現(xiàn)；
（2）勢能法的研究。
非齊次例子展示：
SpringUnit.rar
展開 python 有限元編程練習 二 ￥1
發(fā)現(xiàn)EDA行業(yè)的跟數(shù)值計算有關的節(jié)點軟件也采用有限元，有限差分或者邊界元這些個數(shù)值計算方法。于是現(xiàn)在只能再回憶回憶了，有些內容都忘記了。
另外特別說明一點，如果不更新的話，我一般不登陸這個賬號。所以留言的朋友我通常沒辦法及時回復。
還有 python 有限元編程知識你熟悉有限元編程的起點而不是終點。我擱社會上混了得有4年多了，從沒聽說招聘CAE工程師的人只需要會python就行了的。就算你通過python進到了公司，大概率后期還得要求你轉C/C++ 的。
參考書籍：有限元基礎教程（國際單位制版）第五版
測試案例 （書上例2.2）：
這些都是比較簡單的 一維單元，所以我省略了很多詳細有限元編程流程的步驟，僅適用于初學者。
1. 我這里創(chuàng)建了一個單元類。node_i 是 單元的第一個節(jié)點編號；node_j 是單元的第二個節(jié)點編號；k 是單元的彈簧常數(shù)。
這里的 form_element_k_matrix() 是產(chǎn)生單元系數(shù)矩陣。
2. 根據(jù)題目描述可以看到，這里只有四個單元。
所以我這里：
然后創(chuàng)建了一個單元列表，方便后面管理：
定義邊界條件數(shù)組：
請注意這里的未知量，我全部使用了 -1.0 來代替。
請繼續(xù)往后看，區(qū)分已知節(jié)點和未知節(jié)點的方式將在下面介紹。
根據(jù)我見過的開源軟件內部，其區(qū)分是已知節(jié)點還是未知節(jié)點，都是使用的一個數(shù)組進行標記。
比如我這里采用了 使用 0 標記未知節(jié)點，使用 -1 標記已知的第一類邊界條件的節(jié)點；使用 -2 標記已知的第二類邊界條件，當然本案例里頭只有第一類邊界條件，所以這里我不再添加其他標記的相應處理流程。
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現(xiàn)方式研究系列48：屈曲分析（1）-理論
（原創(chuàng)，轉載請注明出處）
1 概述
本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現(xiàn)方式，通過
（1） 基礎理論
（2） 商軟操作
（3） 自編程序
三者結合的方式將復雜繁瑣的結構有限元理論通過簡單直觀的方式展現(xiàn)出來，同時深層次的學習有限元理論和商業(yè)軟件的內部實現(xiàn)原理。
有限元的理論發(fā)展了幾十年已經(jīng)相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統(tǒng)的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現(xiàn)公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發(fā)人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現(xiàn)方式。
一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現(xiàn)結構有限元軟件iSolver，通過自研CAE軟件和商軟的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現(xiàn)方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數(shù)學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。iSolver包括完整的前后處理和有限元求解器，功能如下，有興趣可直接在下面網(wǎng)址下載：
百度網(wǎng)盤鏈接: https://pan.baidu.com/s/10d6jHdZ01SBY2JxiS6bffw 提取碼: 6fdf
2 屈曲分析
結構失效的方式有兩種：1.
展開 
懸臂梁，有限元編程。 ￥66
懸臂梁，有限元編程。基于matlab的懸臂梁四節(jié)點/八節(jié)點四邊形單元有限元編程（平面單元），程序有詳細注解，可根據(jù)需要更改參數(shù)，包括長度、截面寬度和高度、密度、泊松比、均布力、集中力、單元數(shù)量等。需要就拍下吧。拍下發(fā)4節(jié)點和8節(jié)點兩組程序。程序已調通可直接運行。標價為程序價格，不包含售后。程序保證可直接運行。
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非線性有限元編程 | 接觸（1）
木木最近也在找有限元開發(fā)性質的工作，面試的時候發(fā)現(xiàn)企業(yè)類的大多喜歡有接觸經(jīng)驗、彈塑性經(jīng)驗或者動力分析經(jīng)驗的應聘者，而且所使用的語言也多為C++，正好最近也在學習非線性相關的理論，那就順道一起更新一下接觸方面的知識~
如果你有合適的有限元開發(fā)類的工作推薦，歡迎聯(lián)系木木！！！
【聲明】：本次案例分享來自Kim教授的《Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis》，想要深入了解非線性有限元理論的小伙伴，可在后臺回復Kim，即可自動獲取相應的電子書，快和木木一起學起來。
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易木木響叮當
想陪你一起度過短暫且漫長的科研生活
展開 有限元方法編程
電子版有限元方法編程（第三版）[Smith] [2003]_by linqus_08.07.2005
有限元方法編程（第三版）[Smith] [2003]_by linqus_08.07.2005.part01.rar
有限元方法編程（第三版）[Smith] [2003]_by linqus_08.07.2005.part02.rar
有限元方法編程（第三版）[Smith] [2003]_by linqus_08.07.2005.part03.rar
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有限元方法編程（第三版）[Smith] [2003]_by linqus_08.07.2005.part07.rar
展開 有限元編程技巧
組裝總剛前需要提前算好的，直接參考開源的代碼未必馬上能看明白
下面是兩篇中文的，原理很簡單，具體實現(xiàn)方式就看個人領悟能力和編程技巧了
有限元剛度矩陣的壓縮存貯及組集.pdf
有限元分析快速解法.pdf
