有限元理論的案例
有限元基礎理論——有限元法 ￥1
筆者前述
有限元法作為當今科學研究與工程應用中被廣泛應用的一種數值方法，受到越來越多人關注，越來越多學者與高校學生也開始從事有限元分析。筆者作為一個CAE菜鳥，在剛接觸有限元分析時，有種被有限元虐的體無完膚的凄慘，一個人摸索，真是處處碰壁，原本打雞血似的學習熱情也慢慢冷卻，就這樣持續一段時間后，在不斷查看相關論壇與帖子之后，終于迎來了轉機。
在技術鄰的帖子里，看到了一些前輩分享的學習經驗，了解到學習有限元分析，萬萬不能停留在只學習軟件操作的層面上，過去的我，因為沒有這個思想指導，忽略了理論的學習，導致一直在學習案例，雖然跟著視頻可以完整的做出一個案例，但是在做的過程中，完全不知道為何這么做，為什么這么設置？原理是什么？久而久之，由于無法自己創造出東西來，就會被一直的模仿操作消磨掉學習興趣與耐心。所以，我開始接觸一些有限元理論和力學理論，發現當你有意識地去完成一個項目和案例，會大大提高你的學習動力和毅力，就這樣，我開始進行理論學習與操作學習相結合的學習生活。此帖，主要是我學習有限元法的相關筆記，供大家參考。
如何學習有限元
首先，我們要明白，CAE是一種解決復雜問題的思路，其理論基礎是有限單元法（有限差分法、有限體積法以及邊界元法）等數值方法，基于這些數值計算的理論基礎，我們開發出來ANSYS、ABAQUS等各種有限元軟件，用于降低我們利用有限元法等數值計算方法進行分析問題的難度，這意味著他們只是一種工具。所以，如果不懂有限元，學習CAE沒有多大意義。會用軟件只是軟件操作層面，對學習者并沒有太大要求，稍微有點文化或者懂點英文，就能對著教材或者視頻做完一個案例，問題是做完之后，絕大部分人甚至都不知道自己在做什么，結果是什么含義，他們一片茫然，這種學習方式，基本上沒有什么用處。
展開 中文版的《塑性力學有限元－理論與應用》
<<塑性力學有限元－理論與應用>>很不錯的一本書，中文的
第一部分
塑性力學有限元－理論與應用[1].part01.rar
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展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列42： 聲學分析(1)-有限元
（原創，歡迎轉載，轉載請說明出處）
1 概述
本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式，通過
（1） 基礎理論
（2） 商軟操作
（3） 自編程序
三者結合的方式將復雜繁瑣的結構有限元理論通過簡單直觀的方式展現出來，同時深層次的學習有限元理論和商業軟件的內部實現原理。
有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現方式。
一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現結構有限元求解器，通過自研求解器和商軟的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。
展開 Ansys及有限元理論相關國外書籍推薦
ANSYS作為通用有限元軟件，國內外熱度非常高，相信很多同學為了學習ANSYS都看了不少國內書籍，今日水哥就分享下個人覺得還不錯的國外相關書籍，書不在多，這里每一個類型只推薦兩本，供大家參考學習。順便提一句，國外的教材真的非常貴啊，一般電子書都要幾十刀，更別提紙質版了。
一、有限元理論書籍推薦
這部分針對于有限元小白，除了想學習軟件操作外，更想補充下有限元理論知識，國內關于有限元理論書籍頗多，這里不在推薦，水哥個人覺得國外的理論書籍同學們可學習下面四本：
1、A First Course in the Finite Element Method
這本書面向對象主要為 土木和機械的學生，全書共分為16章，從最簡單的有限元概念講起，逐漸深入，循序漸進，易于理解，總計1000多頁，非常適合系統性的學習有限元理論，這里水哥強烈推薦！
2、The Finite Element Method Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis
這本書出版較早，于2000年出版，是斯斯丹福大學Thomas教授的經典之作，其中提出的許多概念到今日都還在使用，全書共計800多頁，值得仔細研讀。
3、Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis
前面提到的兩本書多以介紹基本彈性理論為主，這本書則主要側重于對非線性方面的有限元理論介紹，比如在ANSYS中經常遇到的弧長法、牛頓-拉普拉斯求解方法原理都可以在這里面找到，非常適合論文里面需要寫理論公式的同學，懂的都懂，其中還有Matlab代碼案例演示，幫助理解部分概念，適合與上面兩本書配合一起研讀。全書共計443頁。
展開 
ANSYS10有限元分析理論與工程應用_pdf版
剛沒有發完，接著來
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展開 『分享』鋼筋混凝土結構非線性有限元理論與應用
鋼筋混凝土結構非線性有限元理論與應用
鋼筋混凝土結構非線性有限元理論與應用
作者：呂西林/等 解明芳
定價：30.00
ISBN：7560817882
出版社：同濟大學出版社
出版時間：1997-05
裝幀：平裝
開本：16
頁數：258
內 容 提 要
本書對鋼筋混凝土非線性有限元分析的理論和應用作了系統、深入的論述。
非線性分析范圍涉及結構的靜力和動力問題。書中除了介紹混凝土強度理論及其
本構關系、鋼筋混凝土構件有限元離散技術、非線性數值解法外，還結合作者及國
內外近年來的最新成果，對鋼筋混凝土本構關系的建立、有限元程序設計過程、分
析結果的后處理方法等作了較詳細的說明。書中所附的有限元程序可用于結構分
析研究及工程實際應用。
本書可作為高等院校土建類專業的本科生和研究生教材，也可供上述專業的
工程技術人員參考。
展開 有限元理論簡介及常見問題課程
筆者整理了若干關于有限元分析理論學習中遇到的問題，并錄制了一套課程，希望可以幫助到有需要的人或者給一些啟發。學習的時間有限，如有問題非常歡迎大家給我指出。
有限元理論簡介及常見問題課程合集
有限元理論基礎
什么是里茲法？
里茲法與有限元法有啥關系？
有限元的分析過程是怎么樣的？
有限元建模有哪些講究？
單元剛度矩陣為啥是半正定的？
總體剛度矩陣為什么會有奇異性？如何消除？
有限元插值函數與單元
啥是廣義坐標系下的插值函數？自然坐標下的插值函數？有啥特點？
啥是拉格朗日插值函數？
有限元中單元如何分類？
什么是拉格朗日單元？
二維拉格朗日單元如何構造？
啥是面極坐標？體積坐標？
有限元誤差分析與收斂準則
有限元分析的誤差來源到底有哪些？
從數學角度如何理解有限元解的收斂準則？
有限元收斂準則的物理意義是啥？
為什么有限元位移解總是偏?。?為啥有限元計算的應力解不可靠？
有限元等參單元
為什么要引入等參單元？
什么是等參單元？
什么是雅克比矩陣？她對于等參單元有啥影響？
下面是受到的一些反饋
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列37： 梁單元差異（1）-理論基礎
（原創，歡迎轉載，轉載請說明出處）
1 概述
本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式，通過
（1） 基礎理論
（2） 商軟操作
（3） 自編程序
三者結合的方式將復雜繁瑣的結構有限元理論通過簡單直觀的方式展現出來，同時深層次的學習有限元理論和商業軟件的內部實現原理。
有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現方式。
一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現結構有限元求解器，通過自研求解器和商軟的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列23： 編寫簡單面內拉伸問題UEL Step By
（原創，轉載請注明出處）
==概述==
本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式，通過
（1） 基礎理論
（2） 商軟操作
（3） 自編程序
三者結合的方式將復雜繁瑣的結構有限元理論通過簡單直觀的方式展現出來，同時深層次的學習有限元理論和商業軟件的內部實現原理。
有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現方式。
一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現結構有限元求解器，通過自研求解器和商軟的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列48：屈曲分析（1）-理論
（原創，轉載請注明出處）
1 概述
本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式，通過
（1） 基礎理論
（2） 商軟操作
（3） 自編程序
三者結合的方式將復雜繁瑣的結構有限元理論通過簡單直觀的方式展現出來，同時深層次的學習有限元理論和商業軟件的內部實現原理。
有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現方式。
一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現結構有限元軟件iSolver，通過自研CAE軟件和商軟的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。iSolver包括完整的前后處理和有限元求解器，功能如下，有興趣可直接在下面網址下載：
百度網盤鏈接: https://pan.baidu.com/s/10d6jHdZ01SBY2JxiS6bffw 提取碼: 6fdf
2 屈曲分析
結構失效的方式有兩種：1.
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列43：聲學分析(2)-邊界元
（原創，歡迎轉載，轉載請說明出處）
1 概述
本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式，通過
（1） 基礎理論
（2） 商軟操作
（3） 自編程序
三者結合的方式將復雜繁瑣的結構有限元理論通過簡單直觀的方式展現出來，同時深層次的學習有限元理論和商業軟件的內部實現原理。
有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現方式。
一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現結構有限元求解器，通過自研求解器和商軟的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。
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有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列1：S4殼單元剛度矩陣研究
==概述==
本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式。有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現方式。
一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現結構有限元求解器，通過自研求解器和商軟A的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。
iSolver介紹視頻：
http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884
===第一篇：S4殼單元剛度矩陣研究。
Abaqus的殼單元剛度矩陣的理論基礎都是Kirchihoff（薄殼）和Mindlin（厚殼）理論，本章重點研究S4殼單元，該單元基于Mindlin理論，在自編程序中根據Mindlin理論編寫后和Abaqus結果對比，可以發現Mindlin和Abaqus差異很大，然后結合幫助文檔猜測Abaqus的S4單元的內部修正方法。
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列10： 耦合約束的研究 ￥1
（原創，轉載請注明出處）
==概述==
本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式。有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現方式。
一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現結構有限元求解器，通過自研求解器和商軟的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。
iSolver介紹：
http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884
==第10篇：耦合約束（Coupling constraints）的研究==
耦合約束對應Nastran的MPC，是最常用的約束方式之一，用于定義一個表面集（Surface Set）內節點與控制節點位移自由度之間的相互關系，可以模擬節點的剛性連接或指定節點位移間的組合約束。
展開 『下載』有限元超收斂理論
Part1
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有限元基礎理論的圖書目錄
給大家推薦一些我認為不錯的書：
一、經典
1、《有限元法》作者： O.C.監凱維奇（英） 出版日期：1985年10月第1版
2、《有限元分析中的數值方法》 作者： K·J·巴特 E·L·威爾遜 索書號：O242.21/10 SS號：10070612 出版日期：1985年05月第1版 頁數：554
3、《塑性力學有限元——理論與應用》作者： [英]D.R.J.歐文 E.辛頓著 曾國平 劉忠等譯 索書號：52.551/C1 SS號：10833227 出版日期：1989年12月第1版 頁數：480
4、《有限元程序設計》作者： （英） E.欣順 D.R.J.歐文 索書號：51.81/8 SS號：10236776 出版日期：1982年05月第1版 頁數：312
二、基礎理論
1、《有限元法基礎》作者： 蔣友諒 索書號：51.8/837 SS號：10184184 出版日期：1980年12月第1版 頁數：291
2、《有限元法基礎》作者： 蔣孝煜 索書號：51.8/837 SS號：10184123 出版日期：1984年07月第1版 頁數：174
3、《固體力學有限元理論、方法及程序》作者： 徐次達 華伯浩 出版日期：1983年12月第1版
歡迎大家接著推薦一些自認為不錯的有限元書籍。
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