剪切應變的案例
基于黃umat模擬不同取向FCC單晶微柱壓縮響應情況
案例說明
根據acta文獻《Multiscale modeling
of the mechanical behavior of IN718 superalloy based on micropillar compression
and computational homogenization》，建立不同取向單晶微柱模型（微柱直徑為10um，高度為12um）模擬初始不同取向的單晶在壓縮過程中的應力應變響應以及滑移系開動情況（材料參數為黃原始的參數）
1，建立微柱初始模型如下：
2，賦予微柱響應的單晶材料材料參數，（本案例主要考慮在立方金屬軋板中常見的典型取向）見下表（研究選取了前七種情況）
3，進行網格劃分，采用C3D8R單元，共包含網格為13536個單元，其中微柱部分網格進行對應的細化，底部采用相對粗糙的網格。
4，根據文獻的研究，采用類似的邊界條件，下端支撐板完全固定，對微柱頂端Z的負方向施加20%的工程應變進行壓縮模擬。
5，后處理與結果展示（默認圖片中單晶取向與表順序相同）
不同取向微柱壓縮的應力分布云圖
?
不同取向微柱壓縮的累計剪切應變分布云圖
FCC滑移系標號
滑移系a1分剪切應力分布云圖
滑移系a2累計剪切應變分布云圖
滑移系a3累計剪切應變分布云圖
滑移系b1累計剪切應變分布云圖
滑移系b2累計剪切應變分布云圖
滑移系b3累計剪切應變分布云圖
滑移系c1累計剪切應變分布云圖
滑移系c2累計剪切應變分布云圖
滑移系c3累計剪切應變分布云圖
滑移系d1累計剪切應變分布云圖
滑移系d2累計剪切應變分布云圖
滑移系d3累計剪切應變分布云圖
展開 關于HuangUMAT代碼中變量的中文翻譯
FSLIP——滑移系的剪切應變率。
DFDXSP——FSLIP對x=TAUSLP/GSLIP的導數，其中TAUSLP是分剪切應力，GSLIP是當前強度。
DDEMSD——彈性模量張量與滑移變形張量的雙點積，僅對于有限旋轉，滑移自旋張量與應力的點積。
H——自硬化和潛在硬化矩陣。
DDGDDE——滑移系中剪切應變增量對應變增量的導數。
DSTRES——應力的Jaumann增量，即在與材料一起旋轉的軸上形成的共旋應力增量。
DELTAS——與晶格拉伸相關的應變增量。
DSPIN——與材料元素相關的自旋增量。
DVGRAD——當前狀態下變形梯度的增量，即速度梯度乘以時間增量。
DGAMMA——滑移系中剪切應變的增量。
DTAUSP——滑移系中分剪切應力的增量。
DGSLIP——滑移系中當前強度的增量。
迭代數組：
相關解狀態變量STATEV：用NSLPTL表示總滑移系統的數量，這將在此代碼中計算。
STATEV數組：
1 - NSLPTL :滑移系中當前的強度。
NSLPTL+1 - 2*NSLPTL :滑移系中的剪切應變。
2*NSLPTL+1 - 3*NSLPTL :滑移系中的分剪切應力。
3*NSLPTL+1 - 6*NSLPTL :滑移面法線的當前分量。
6*NSLPTL+1 - 9*NSLPTL :滑移方向的當前分量。
展開 【JY】Abaqus“殼”單元概述與應用（三）——非線性擬協調固體連續殼單元CSS8
1.1 面內彎曲改善：膜應變的增強策略
面內彎曲時，殼體中面的膜應變（如）需呈現線性或高階分布，否則會因應變近似不足導致剛度偏高。EAS 通過以下增強模式優化膜應變場：
修改部分參數用于增強面內膜應變：
為面內自然坐標（），為增強參數。
該模式可描述面內應變的線性與交叉項分布，確保在非均勻彎曲（如懸臂梁受彎）時，膜應變隨坐標平滑變化，避免 “過剛” 現象。
1.2 出平面彎曲改善：厚度應變的增強與體積鎖定消除
出平面彎曲（如圓柱殼受徑向載荷）中，厚度方向應變（）的分布是關鍵。傳統單元常因假設導致體積鎖定，而 EAS 通過以下模式增強厚度應變：
采用部分參數厚度應變增強：
為厚度方向自然坐標（），為增強參數。
該模式使沿厚度方向呈線性分布，符合出平面彎曲時 “上表面壓縮、下表面拉伸” 的物理規律，同時滿足近不可壓縮材料的體積守恒（）。
2.假設自然應變法（ANS）：優化應變插值，消除剪切與曲率鎖定
2.1 ANS 的核心原理：自然坐標下的應變 “重插值”
ANS 方法通過在自然坐標下直接構造應變場（而非從位移場導出），確保應變分布符合物理直覺。其核心是：在單元關鍵采樣點（如邊中點、角點）計算應變，再通過自然坐標插值得到全場應變，避免因位移插值多項式階次不足導致的應變失真。
2.2 橫向剪切鎖定的消除：ANS 對的修正
橫向剪切應變（）是出平面彎曲中的主要誤差來源。傳統單元因假設剪切應變在單元內均勻分布，導致彎曲時剪切能虛假增大（剪切鎖定）。ANS 采用邊中點采樣 + 線性插值修正：
橫向剪切應變被插值為：
為單元邊中點（）的剪切應變采樣值，為（）的采樣值。
展開 PFC模擬純剪試驗 ￥14.9
純剪切（pure shear）是沒有發生轉動的剪切應變模式，即剪一切前后有線元長度發生了變化（即真實形變），而沒有發生主軸的旋轉。純剪切應力與純剪切應變有關，通過以下公式：
在純剪切條件下，剪切應變可計算為：
純剪切微元的受力模式如下所示：
在PFC2D中，采用球顆粒模擬砂粒，視砂粒之間的不存在內聚力作用，砂粒之間的接觸采用線性接觸模擬。建立一個正方形的試樣，四周邊界采用墻體模擬，試樣如下圖所示：
純剪切試驗分兩個階段進行：固結階段和純剪切階段。各向同性固結階段，基于伺服原理對邊界墻體施加壓力，試樣在規定的圍壓下達到平衡；然后禁用邊界墻體的伺服功能，為頂部墻體和右側墻體設置速度，模擬純剪切試驗。通過FISH函數等對試樣的橫向應力、豎向應力、純剪切應變、純剪切應力等參量進行了監測。通過變化荷載方向實現循環剪切，可得到滯回曲線。
純剪切過程中當試樣豎向受拉力，橫向受壓力作用時，邊界墻體及球單元的位移矢量如下圖所示：
仿真得到的試樣的純剪切應力應變關系如下圖所示：
建模過程講解及代碼展示如下：
展開 
塑性工程學報：Custom450鋼拉伸的晶體塑性有限元分析
圖3 不同滑移系數目下的模擬應力——應變曲線與試驗曲線對比
圖4反映的是初始硬化模量h0對宏觀應力——應變曲線的影響，由圖可知，初始硬化模量h0的變化對屈服點處的數值大小幾乎沒有影響，但對塑性區的斜率有影響。
圖4模擬與試驗所得應力－應變曲線對比
(a)初始硬化模量h0對宏觀應力－應變曲線的影響
(b)圖4a的局部放大圖
圖5所反映的是初始屈服應力τ0對宏觀應力——應變曲線的影響，可以看出τ0的改變對屈服應力有影響，多晶體的屈服應力隨著τ0的增大而逐漸增大。
圖5初始屈服應力τ0對宏觀應力——應變曲線的影響
圖6是參考剪切應變率對宏觀應力－應變曲線，可以看出，參考剪切應變率的值從0. 0005s－1 變化到0. 0020s－1時，材料進入到塑性段的應力逐步減小，但進入塑性段時的應變沒有改變。
圖6參考剪切應變率對宏觀應力－應變曲線的影響
圖7所描述的是應變率敏感系數n對宏觀應力－應變曲線的影響，可以看出，在塑性階段隨著n的增加，相同應變下的應力降低，但對應的屈服應力不改變。
圖7應變率敏感系數n對宏觀應力——應變曲線的影響
圖8所展示的是不同飽和流動應力τs對宏觀應力——應變曲線影響的模擬結果。可以看出，τs從160MPa增加到240MPa，應力——應變曲線重合，固飽和流動應力對屈服點的影響可忽略不計。
圖8飽和流動應力τs對宏觀應力——應變曲線的影響
圖9和圖10分別對應于Custom450鋼晶粒模型的拉伸應力應變分布情況示意圖。
展開 有限元中各種鎖死的現象及其原因
然而，由于面外位移的采用線性插值，當單元受純彎曲變形時，橫向剪切應變不能在單元的所有節點處都消失，導致單元過剛。
考慮受純彎曲的細長梁：
其位移的解析解為：
對應的應變分量為：
從上述式子可以看出，此時的剪切應變為零，與梁受純彎曲變形相互協調。
從有限元角度，位移場的經典插值函數為：
其中的8個參數ai和bi代表了8種不同的變形模式，如下表所示：
考慮純彎曲變形的條件，只有第4種變形模式是激活的，因此其位移場退化為：
對應的應變場分布為：
很顯然，此時剪切應變不滿足純彎曲變形時為零的條件，使得單元變得過剛。
其深層原因是，撓度和轉動采用同階的插值表達式，所以剪切應變中的和兩項是不同階的。以2節點單元為例，由和的插值表達式，將得到：
當梁的高度越來越小時，通過罰函數迫使約束條件得以實現，隱含著上式右端的常數項和一次項系數分別等于零，即：
第一個式子表示單元內梁的平均轉動應等于梁法向位移的變化率，也即表示梁中點的直線法假設，在計算中是可以實現的。
第二個式子將導致theta1=theta2，即在單元內theta=常數，這將意味著梁不能發生彎曲，因此問題只能是零解。
這是由于約束條件未能精確滿足，在梁很薄時導致不恰當地夸張了剪切應變能項的量級而造成的。
避免剪切鎖死的基本點是在計算剪切應變時，使dw/dx和theta項預先就保持同階。
具體分為以下兩種方案：
1. 減縮積分
所謂減縮積分就是數值積分采用比精確積分要求少的積分點數。以Timoshenko梁單元為例，為精確積分剪切應變能項需要采用2點積分。
展開 晶體塑性耦合連續損傷本構框架
定義有效應力為
文獻模擬的結果展示
為了驗證幾種理論的優勢作者與DIC實驗進行了比較
作者最終分析指出：基于應變的損傷模型，即主應變損傷模型、等效塑性應變損傷模型和最大剪切應變損傷模型，準確地預測了實驗獲得的應力-應變關系和頸縮后承載能力的突然下降。然而，基于應力的損傷模型，即應變能損傷模型，不能準確預測頸縮行為。預測的頸縮應變、變形形狀和頸縮方向也與實驗結果進行了比較。預測的頸縮形狀（即頸縮區域的長度和最小片材厚度）的最大誤差約為24%。在三種基于應變的損傷模型中，最大剪切應變損傷模型預測頸縮角最準確，誤差為12%。結果表明，具有損傷模型的CPFEM可以合理地預測頸縮行為和頸縮方向，而沒有任何初始缺陷。
展開 基于接口的huang顯式晶體塑性計算與隱式計算結果對比
昨日展示了三維的對比情況，因此這里對比針對二維情況，考慮拉伸和剪切變形（即考慮不同的應力狀態和單元類型）
模型包含500個晶粒，60000個單元，使用平面應變三節點單元（CPE3）
對比指標：等效應力分布，累計剪切應變分布，滑移系統當前強度分布
結果如下（默認左側為顯式結果，右側為對應的隱式結果）：
拉伸情況：
等效應力分布;
累計剪切應變分布:
滑移系統當前強度分布:
剪切情況：
等效應力分布;
累計剪切應變分布:
滑移系統當前強度分布:
可以看到使用隱式計算結果與顯式計算結果幾乎一致，然而顯式的優勢是顯而易見的，尤其是在模擬高速沖擊以及其他類似的接觸問題
模擬多晶沖擊的視頻效果如下（隱式計算無法收斂，而顯式可以輕松完成）
模擬效果可以在公眾號查看
展開 ABAQUS熱-應力分析的單元選擇
連續體單元也可以用于模擬彎曲變形,并且在某些情況下是必須的:
（1）厚度方向上的應變需要精確分析。
（2）梁或殼理論不適用，如厚重的結構。
（3）使用連續體單元分析彎曲為主的問題，對于單元類型和網格劃分必須有特殊的考慮。
有限元法模擬彎曲時有以下假定：
（1）橫截面在變形過程中始終保持為平面。
（2）軸向應變沿著厚度線性變化。
（3）如果泊松比為 0,則厚度方向的應變等于0。
（4）沒有薄膜剪切應變。
因此，采用二階實體單元模擬彎曲變形時，軸向應變等于初始水平線長度的改變，厚度方向的應變為零，剪切應變為零。
使用二階實體單元模擬彎曲
使用使用一階完全積分實體單元模擬彎曲變形，該單元在積分點處探測到剪切應變。由于部分能量用于剪切變形而非彎曲變形，因此造成過于剛硬的材料行為，即通常稱為剪切自鎖。
使用一階完全積分實體單元模擬彎曲
ABAQUS提供的一階減縮積分單元模擬彎曲時，可以消除剪切自鎖。由于這種單元只在形心處有一個積分點，因此厚度方向不能探測到彎曲引起的應變，即產生沙漏問題。這種單元中的每個單元都可以捕捉到軸向的拉伸或壓縮應變,但不會在一個單元同時捕捉到這兩種應變，軸向應變可以被準確度量，厚度方向和剪切應變都是零，是廉價高效的單元類型。
非協調模式單元是模擬彎曲為主的問題中性價比最高的實體單元。厚度方向上只需一個單元即可模擬彎曲變形。
在做熱-應力分析時，由于單元的選擇不合適，或網格布置不合適，常會產生不真實的結果。因此，需要結合實際謹慎選擇。同時，對熱-應力分析的模型網格劃分，還有如下建議：
（1）溫度梯度很大的區域應適當加密網格，以精確捕捉產生的熱應變梯度。
（2）為了避免結構的過約束,在單元選擇和邊界條件施加時應特別小心。
展開 淺析：楊氏模量、彈性模量、剪切模量、體積模量、強度、剛度，泊松比
“彈性模量”是描述物質彈性的一個物理量，是一個總稱，包括“楊氏模量”、“剪切模量”、“體積模量”等。所以，“彈性模量”和“體積模量”是包含關系。
一般地講，對彈性體施加一個外界作用（稱為“應力”）后，彈性體會發生形狀的改變（稱為“應變”），“彈性模量”的一般定義是：應力除以應變。例如：
線應變——
對一根細桿施加一個拉力F，這個拉力除以桿的截面積S，稱為“線應力”，桿的伸長量dL除以原長L，稱為“線應變”。線應力除以線應變就等于楊氏模量E: F/S=E(dL/L)
剪切應變——
對一塊彈性體施加一個側向的力f（通常是摩擦力），彈性體會由方形變成菱形，這個形變的角度a稱為“剪切應變”，相應的力f除以受力面積S稱為“剪切應力”。剪切應力除以剪切應變就等于剪切模量G: f/S=G*a
體積應變——
對彈性體施加一個整體的壓強p，這個壓強稱為“體積應力”，彈性體的體積減少量(-dV)除以原來的體積V稱為“體積應變”，體積應力除以體積應變就等于體積模量: p=K(-dV/V)
注：液體只有體積模量，其他彈性模量都為零，所以就用彈性模量代指體積模量。
一般彈性體的應變都是非常小的，即，體積的改變量和原來的體積相比，是一個很小的數。在這種情況下，體積相對改變量和密度相對改變量僅僅正負相反，大小是相同的，例如：體積減少百分之0.01，密度就增加百分之0.01。
體積模量并不是負值（從前面定義式中可以看出），也并不是氣體才有體積模量，一切固體、液體、氣體都有體積模量，倒是液體和氣體沒有楊氏模量和剪切模量。
泊松比 法國數學家 Simeom Denis Poisson 為名。
在材料的比例極限內，由均勻分布的縱向應力所引起的橫向應變與相應的縱向應變之比的絕對值。比如，一桿受拉伸時，其軸向伸長伴隨著橫向收縮(反之亦然)，而橫向應變 e' 與軸向應變 e 之比稱為泊松比 V。
展開 基于ASTM D5656的航空級膠粘劑剪切強度測試優化方案
不同膠粘劑剪切試驗方法示意圖：a – butt torsion，b – napkin ring，c – 1?2"搭接剪切，d – 厚被粘物剪切試驗，作者繪制
D5656試驗方法相對復雜，且受多種因素影響。試樣制備過程需要高精度的切割與鉆孔——安裝孔位置偏差將導致試樣加載不均，進而引起接頭中應力分布不均勻。D5656試驗中最具挑戰性的問題，也是膠粘劑剪切測試中的普遍問題，是準確測量接頭中的剪切應變。D5656原始方法引入了KGR-1型引伸計，用于測量接頭剪切應變（圖2）。在此，引伸計測量膠接被粘物之間的相對位移。這種測量方法存在兩個主要問題：試驗后期引伸計銷釘打滑，以及引伸計測量的并非膠粘劑本身的應變，而是膠粘劑與引伸計接觸點之間金屬層的應變。因此需要進行應變修正。修正方法為：在某一載荷下，測量具有模擬膠層厚度的純鋁試樣的應變（假設材料中應力均勻分布）。然后將獲得的金屬應變從試驗中測得的應變中減去。
圖2 KGR-1型引伸計
KGR-1引伸計價格昂貴，因此一些研究人員嘗試通過將標準線性引伸計改裝為接頭應變測量裝置。然而，這種測量仍需要對金屬位移進行修正，以及計算修正以考慮接頭內部應力分布的非均勻性。數字圖像相關（DIC）方法是標準應變測量的有前景替代方案，但尚未標準化，因此其使用僅限于科研目的。
1. 方法
研究了2017A鋁合金表面處理對3M AF163-2K薄膜膠粘劑（面密度293g/m2，厚度0.24mm）剪切強度與模量的影響。表面處理方法為：1）僅使用粒徑60μm的氧化鋁噴砂；2）噴砂后再進行鉻酸蝕刻，即FPL蝕刻。FPL工藝按膠粘劑制造商指南進行，蝕刻溶液成分見表1。
表1.
展開 
晶體塑性每日文章推薦（六）
這里簡要介紹一下作者理論框架和數值模擬結果：
理論框架基于經典的亞彈性本構框架，不做贅述
流動方程使用經典的冪律流動方程
硬化方程：
其中作者考慮四組滑移＋一組孿晶
對應的材料參數為
另外所有滑移和孿晶系統使用統一的：參考剪切應變率0.001，率相關系數20
孿晶處理方案基于PTR方法
即孿晶體積分數達到臨界體積分數，晶粒整體發生旋轉，孿晶體積分數定義為：
即孿晶的剪切應變/孿晶特征剪切應變（例：AZ31B：拉伸孿晶特征剪切0.129），PTR模型假設允許每個方向相對于最活躍的孿晶系統中的鏡面的法線方向重新定向，如由CPFEM確定的。矩陣中晶格取向和孿晶區中晶格取向之間的變換矩陣T可以定義為
數值案例及實驗對比：
樣品初始取向：
沿著RD方向壓縮實驗結果：
作者的有限元邊界條件設置以及模擬結果
模擬的變形后取向
變形過程中各個系統的相對活躍情況
孿晶演化情況
模擬結果表明，單軸加載下的織構演變、孿晶體積分數和宏觀性能與加載f方向密切相關。變形模式的相對活動性可以從理論上解釋AZ31鎂合金板的拉壓屈服的不對稱行為和明顯的R值。
基于作者提供的完整數值方案在黃教授的子程序上修改，進行類似的模擬，模擬結果與作者具有較好的一致性
第一步：使用mtex成成離散的基面織構
第二步：生成與作者類似的幾何模型和邊界條件
第三步：模擬結果
變形后的極圖
變形后累計剪切分布
變形后應力分布
壓縮變形過程中相對活性
拉伸變形過程中相對活性
展開 晶體塑性每日文章推薦（五）
作者比較了二維和三維典型的變形情況以及接觸問題，如下圖所示
二維拉伸：(比較了流動應力局部累計剪切和計算時間)
三維：
以及顯式和隱式處理器并行問題：
其研究結論為：
由于接觸和材料響應引起的非線性的嚴重性使得所需的時間步長遠小于實際可用于用隱式方法生成解的時間步長。顯式求解器更適合處理復雜的接觸和滑動條件，特別是在大單元變形的情況下。在包括剛體的接觸分析中，使用隱式代碼的運行時間短于顯式代碼，同時顯式可以處理近似率無關情況，隱式則難以計算，顯式對于多核的處理效率的提升顯著高于隱式
通過文獻的思路可以實現將黃隱式程序通過接口文件轉化為顯式的vumat子程序，單晶與多晶對應的案例如下（參數均為原始的Cu參數）：
案例一：顯式與隱式單晶含圓孔薄板的簡單拉伸對比（顯式開啟了質量縮放）
使用位移邊界條件，沿著X方向施加10%工程應變的拉伸變形，其中等效應力，累計剪切應變為對比指標，結果如下：
等效應力分布：
累計剪切應變分布：
案例二：顯式與隱式多晶的簡單壓縮對比（包含30個晶粒）（顯式開啟了質量縮放）
使用位移邊界條件，沿著X方向施加10%工程應變的拉伸變形，其中等效應力，累計剪切應變以及滑移系統的當前強度為對比指標，結果如下：
等效應力分布：
累計剪切應變分布：
滑移系統的當前強度：
可以看到這種基于接口的子程序可以顯式與隱式的一致性良好（部分差異在于顯式使用了過大的質量縮放）
展開 分子動力學模擬微觀結構對金屬納米玻璃塑性變形行為的影響
圖 2 在各種納米Cu
64Zr
3
6玻璃的晶粒內部和界面中，二十面體的分數對比圖
圖 3 在拉伸變形過程中，均勻和非均勻顆粒衍生納米Cu
64Zr
3
6玻璃的應力-應變曲線
圖 4 各種納米Cu
64Zr
3
6玻璃的應力-應變曲線分析
（a）各種納米Cu64Zr36玻璃的應力-應變曲線；
（b）各種納米Cu64Zr36玻璃拉伸變形期間，應變局部化參數Ψ的程度；
（c）樣本中最大應力和二十面體分數之間的相關性。
圖 5 在12％總應變下，在單軸拉伸下，塊狀Cu
64Zr
3
6玻璃樣品變形形成的剪切帶
圖 6 Cu
64Zr
3
6顆粒衍生的和塊狀衍生的納米玻璃的局部原子von Mises剪切應變圖
圖 7 在10％von Mises剪切應變應變下，軟質顆粒內部的局部原子剪切應變的分布圖
【小結】
本文發現金屬納米玻璃的微觀結構取決于加工工藝。雖然塊狀衍生和顆粒衍生的納米玻璃都具有由玻璃-玻璃界面連接的微觀結構，與體相的納米玻璃相比，顆粒衍生的納米玻璃中的界面的體積分數明顯更高。因為在加工過程中，塑性剪切的原子比例較大，填充玻璃狀顆粒之間的孔隙。此外，與體相衍生的納米玻璃相比，顆粒衍生的納米玻璃的顆粒內部也伴隨著結構變化。本文研究發現顆粒衍生的納米玻璃的異質性對變形行為沒有影響。
玻璃-玻璃界面帶有缺陷的短程有序結構。納米Cu64Zr36玻璃中的二十面體具有高堆積密度的網絡和高抗剪切性。
展開 有限元筆記#1：什么是剪切自鎖？為什么完全積分線性單元在彎曲載荷下會剪切自鎖？
二、剪切自鎖
在小變形線彈性分析中，在求出節點位移向量的解后，需要進一步算出應變場；非線性分析中，在一個增量步迭代得到位移向量解后，也需要算出相關應變值，再代入本構數據中查詢本構點，進而構造下一個增量步迭代所需要的初始切線剛度矩陣。然而，與我們通常的印象不同，這里計算應力應變值，是在積分點上計算的，也就是是將積分點的坐標值代入應力應變的公式，而不是直接求節點的應力應變。
針對上面的線性矩形單元，其應變矩陣如下圖所示：
在完全積分模式下，例如針對第四個積分點(a/√3,b/√3)，并將得到的節點位移代入，可以得到該積分點下的應變值為：
如圖中所見，該點的剪切應變不為0，這顯然不是純彎曲加載模式所要求的結果。然而需要注意，該現象是在純彎曲加載得到的節點位移和完全積分所對應的B矩陣的共同作用下得到的，如果不是純彎曲加載，那么節點位移不會有相關特征，完全積分線性單元得到的結果和相關加載模式也是符合的（莊茁P64倒數第二段）；如果純彎曲加載下的線性單元實行減縮積分，也不會出現剪切自鎖問題，但是會帶來沙漏現象，我們將在下一篇筆記中對該現象一探究竟。
結語：本文算不得什么，只是從公式上加深了商業軟件使用者對剪切自鎖這一現象的了解，稍微知其所以然罷了。如果要進一步探究如何防止剪切自鎖，要構造怎樣的位移模式，需要更多功夫，可見如下博文：
易木木響叮當，公眾號：易木木響叮當
有限元編程中如何避免剪切自鎖？（非協調單元詳解）
參考資料：
《有限元分析基礎教程》曾攀，清華大學出版社，2008.
《有限元分析及應用》曾攀，清華大學出版社，2004.
《基于ABAQUS的有限元分析和應用》莊茁等，清華大學出版社2008.
《數值分析》歐陽潔等，高教社2009.
展開 