水平集的案例
三相流、水平集模擬激光燒蝕 ￥3000
本模型，主要考慮了金屬固，液，氣三種相態(tài)的變化，固液相變采用相變傳熱理論、液氣相變采用水平集來跟蹤，其中包含了表面張力和馬蘭戈尼力的弱形式的公式，可以加深對弱形式的理解。
模型主要采用了流體傳熱、層流、水平集模塊，多物理場為：水平集和非等溫流動
圖 1 加載激光后的燒蝕效果以及溫度分布
圖2 加載激光過程中的反沖氣體的流速以及流向分布
圖3 相變過程中的壓力分布
圖4 燒蝕最后，利用水平集值表示的形貌變化
展開 最簡單的水平集法源程序及其程序說明
此水平集法源程序并非王煜老師的199行經(jīng)典水平集程序，而是challis于2009年發(fā)表在SCI雜志上的程序，除去添加了“%”的解釋說明程序，整個程序大約90行。對水平集初學者，或是想了解水平集法的人來說，不失為較好的教學工具。該程序最大的缺點是邊界不好，單元密度不是0就是1，沒有中間密度。優(yōu)點是能開孔
程序運行結(jié)果：
該程序的詳細解釋請看源文檔（附件）
A discrete level-set topology optimization code written in Matlab.pdf
參數(shù)化水平集法三維結(jié)構(gòu)優(yōu)化
近研究了一下水平集法的三維結(jié)構(gòu)編程問題，略有小成，發(fā)個案例與大家討論討論。
三維懸臂梁的優(yōu)化：
結(jié)構(gòu)尺寸1：1：2 初始設計域（網(wǎng)格10x10x20） 優(yōu)化結(jié)果 目標函數(shù)與約束函數(shù)
然后優(yōu)化了一個椅子，
受力情況 初始設計域 優(yōu)化結(jié)果
總的來講，三維結(jié)構(gòu)的編程比二維稍難，主要體現(xiàn)在：
1. 水平集是將設計域提升為高一維的函數(shù)，即三維結(jié)構(gòu)需要四維的函數(shù)來表示，因此矩陣比較復雜
2. 有限元多計算一根Z軸，在計算節(jié)點，單元編號的時候，空間思維較多
展開 基于comsol水平集的316L激光預鋪粉熔覆仿真 ￥3800
image_process=/format,webp/quality,q_40/resize,w_549" data-initial-src="https://img.jishulink.com/upload/202111/4ebaefe0a4cc4315bd7f885aeedcdf2c.png">
</div><p>本次分享案例主要采用流體相變傳熱、層流和水平集來描述激光預鋪粉熔覆的過程。</p><p>模型中做了一定假設：</p><p>固相和液相均考慮為連續(xù)介質(zhì)，不考慮固相中的<a href="https://www.yqgqt.org.cn/qa/4700" rel="noopener noreferrer" target="_blank">應力</a>和變形。</p><p>熔池內(nèi)金屬液體為不可壓縮流體，流動狀態(tài)為層流。</p><p>激光束的分布假設為高斯分布，不考慮激光束在Z 方向上的強度變化。</p><p><br></p><p>其中，借助水平集的phi梯度來追蹤粉末界面。</p><p><img src="https://img.jishulink.com/upload/202101/7ad54d8ac57b4d2983ba641386db7ea6.png"></p><p><img src="https://img.jishulink.com/upload/202101/34724c8b49e74c658424492a67c701c4.png"></p><p>以下是熔覆過程的動圖以及溫度趨勢。
展開 
基于相場方法（/水平集方法）的多孔介質(zhì)中的驅(qū)替模擬 ￥400
提供基于comsol中相場方法模擬多孔介質(zhì)兩相驅(qū)替（水氣、油水等等）的算例（也可以定做水平集驅(qū)替的算例），可在此基礎上學會利用comsol軟件進行兩相流驅(qū)替的模擬，拓展研究，具體參考算例附后。
附贈基于相場方法模擬驅(qū)替時的毛管數(shù)計算方法和飽和度計算方法
水沸騰蒸發(fā)模擬（相場法和水平集法） ￥19
包含相場法和水平集法，可以很好地對比兩者之間的區(qū)別
小孔和熔池動態(tài)變化模擬-Comsol水平集
焊接小孔和熔池
COMSOL 軟件建模教程：如何模擬自由液面 (一)
COMSOL Multiphysics? 軟件提供了四種可用于模擬自由液面的方法：水平集、相場、動網(wǎng)格和穩(wěn)態(tài)自由表面。作為系列博客的第一節(jié)，我們將討論水平集和相場法，這兩種基于場的方法幾乎可以描述任何類型的自由液面。在第二節(jié)中，我們計劃將本文的求解結(jié)果與通過動網(wǎng)格接口獲得的結(jié)果進行比較。
何為水平集和相場法？
水平集和相場法都是基于場的方法，這類方法將自由液面表征為水平集或相場函數(shù)的等值面。自由液面對應固定網(wǎng)格框架下的液體和氣體之間的相分界面。
下圖為管道內(nèi)兩顆液滴的表面，摘自附加產(chǎn)品“微流體模塊”的“案例庫”所提供的液滴破碎模型。從這張圖中可以看出，盡管液滴的表面非常明顯，但液滴周圍的單元并沒有貼合到液滴表面上。
不管采用水平集方法還是相場法，液滴表面與單元表面都不貼合。
水平集和相場函數(shù)都是由納維-斯托克斯方程計算的速度矢量進行對流傳輸?shù)摹Ｔ?em>水平集和相場法中，對應公式為：
(1)
需要注意的是，水平集和相場函數(shù)都使用了 Φ。二者的不同在于方程右側(cè)的 F。在初始水平集方法中 F = 0，因此得到純對流傳輸方程。然而當 F = 0 時，數(shù)值解不僅不穩(wěn)定，而且大部分情況下實用性很小。所以為了保持相界面清晰，我們在水平集方法的 F 中添加了高階導數(shù)項 Φ 。
在相場法中，F(xiàn) 代表設法將系統(tǒng)的自由能最小化的項。此項也引入了高階導數(shù) Φ。實際上，相場方程中的源項中包含了四階項。這意味著，出于實用性考慮，方程經(jīng)常被分解為兩個方程，與此同時，輔助因變量被定義為 Φ 的二階導數(shù)函數(shù)形式。COMSOL Multiphysics 中也采取了這種做法。
兩種方法均將自由液面的表面張力引入到納維-斯托克斯方程的源項中。水平集方法利用表征自由邊界的水平集等值面的曲率來描述表面張力。
展開 拓撲優(yōu)化在注塑件設計中的應用
基于水平集的優(yōu)化
基于水平集的方法直接沿優(yōu)化過程實現(xiàn)形狀邊界。該方法首先由 Sethian 和Wiegmann 引入到結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中，用于基于密度的模糊邊界方法。水平集方法是一種物理驅(qū)動的優(yōu)化方法，由于載荷和邊界條件是基于單個或多個先前的分析而使形狀邊界成為一個動態(tài)過程。創(chuàng)造性是沿著法線方向控制形狀邊界(關卡集函數(shù))的移動。
通常用Lipschitz連續(xù)水平集函數(shù)來定義邊界。等高線定義是幾何曲面方程和笛卡爾網(wǎng)格的交點，它構(gòu)成了水平集函數(shù)。在二維域中，優(yōu)化策略定義如下：
其中：
Φ是自由描述隨機形狀的水平集函數(shù)；
t是引入的偽時間，表示形狀變形的動態(tài)過程；
D是參考域；
Ω是所有可接受的形狀，Ω?D。
初始水平集函數(shù)可以是任何函數(shù)，只要它與初始幾何形狀的輪廓相匹配并等于0即可。在優(yōu)化過程中，幾何形狀會發(fā)生演變，引入表面沿法線方向移動的速度（V）來表示演變。通過方程Φ(x,t)＝0，在兩邊擴散偽時間t，得到水平集函數(shù)Φ的移動方程如下：
沿法線方向移動邊界，相當于通過解決偏微分方程（2）來傳輸Φ。
拓撲優(yōu)化在注塑成型機殼零件中的應用
本次優(yōu)化的對象是前照燈的殼體部分，該部分為注塑件，材料為 PP TD40。材料的楊氏模量為 3.949GPa ，泊松比為0.35，密度為1.22e-6 kg/mm3。
展開 COMSOL 軟件建模教程：如何模擬自由液面 (二)
在之前的文章中，我們討論了使用基于場的方法（水平集和相場）為自由液面建模。動網(wǎng)格是另一種可選方法，它能夠處理沒有發(fā)生拓撲變化的自由液面。本文中我們將展示如何使用動網(wǎng)格方法為自由液面建模，并將結(jié)果與基于場的方法進行對比。
自由液面問題
為了演示動網(wǎng)格功能，我們繼續(xù)以介紹相場和水平集方法的博客中的問題為例。實心桿模型一半浸沒到小型管道內(nèi)的水中。值得注意的是，實際上在水平集與相場方法中，動網(wǎng)格功能還可用于指定小矩形桿在液面上來回移動，在動網(wǎng)格方法中亦是如此。
示例問題的幾何結(jié)構(gòu)和定義。
自由液面的動網(wǎng)格方法限定了矩形桿的位移并追蹤液面的位移。我們通過在動量方程中添加一個源來考慮模型內(nèi)的重力。為了將動網(wǎng)格方法得到的結(jié)果與相場和水平集方法得到的進行對比，我們對壁使用了 Navier 滑移邊界條件。滑移長度等于單元長度。
使用動網(wǎng)格為自由液面建模
在 COMSOL Multiphysics? 軟件中，對于相同的問題，動網(wǎng)格自由液面建模功能與上一節(jié)討論的水平集與相場法屬于完全不同的方法。利用動網(wǎng)格方法，自由液面被建模為分隔兩個域的幾何面。表面張力及其他表面力被直接施加在自由表面，作為邊界條件。
利用自由表面 特征，我們可以計算出任意時間點上的液面流體速度，將之作為自由液面的位移速度。動網(wǎng)格方程的解可以平滑地取代流體域中的網(wǎng)格節(jié)點。我們隨即計算了移動坐標系中的納維-斯托克斯方程，并同時求解動網(wǎng)格方程，從而獲得移動量。
通過該方法，我們完成了液體的建模，與此同時，我們以表面張力和壓力效應的形式對自由液面上方的氣體域內(nèi)的流場進行了處理。因此，我們不能使用當前方程獲得氣相流場（當然，你可以通過手動添加第二個流體流動接口，或者通過使用“微流體模塊”的兩相流，動網(wǎng)格 接口中的流體-流體界面 特征改變這種情況）。
展開 面向金屬增材制造的拓撲優(yōu)化設計研究進展
圖2 基于單元網(wǎng)格的拓撲優(yōu)化方法數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象與改善措施
2.2 基于邊界演化的拓撲優(yōu)化方法
水平集法
使用零值水平集函數(shù)描繪結(jié)構(gòu)邊界，使用
Hamilton-Jacobi
方程更新水平集函數(shù)，結(jié)合形狀導數(shù)與靈敏度分析技術(shù)，尋求最佳拓撲結(jié)構(gòu)。移動可變形組件法
與移動可變形孔洞法
通過優(yōu)化設計域中一系列組件輪廓/孔洞邊界的尺寸、位置等顯式幾何信息，得到不同工況下的最優(yōu)承力路徑。相對于傳統(tǒng)水平集方法，
MMC/MMV
所采用的設計變量顯著減少，計算效率較高，可與
CAD/CAE
軟件無縫連接。特征驅(qū)動結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法
結(jié)合隱式水平集函數(shù)描述結(jié)構(gòu)輪廓工程特征，通過基于梯度的優(yōu)化方式控制特征結(jié)構(gòu)的移動、縮放等，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)特征與拓撲優(yōu)化的有效融合。
水平集法具有清晰的結(jié)構(gòu)邊界，無數(shù)值無穩(wěn)定現(xiàn)象，但該類方法高度依賴于初始參數(shù)值，存在不能自主開孔
（圖
3
）與弱收斂等問題。針對僅能實現(xiàn)孔洞融合而不能自主開孔的問題，應用拓撲導數(shù)（圖
4a）
、基于反應擴散方程
，可有效解決自主開孔問題。針對初始依賴性，可利用共軛法計算二維與三維線彈性模型的形狀導數(shù)
，或采用最速下降法更新設計變量
，或結(jié)合基于全局與局部元胞分割框架的遺傳算法
，改善優(yōu)化結(jié)果初始依賴性。
圖3 水平集法初始依賴性與不能自主開孔問題 (a) 2個初始孔洞；（b）9個初始孔洞；(c)40個初始孔洞
針對弱收斂問題，
Luo
等
提出基于緊支撐徑向基函數(shù)，采用更穩(wěn)定、更高效的積分形式，實現(xiàn)
Hamilton-Jacobi
方程在時間與空間解耦，改善傳統(tǒng)水平集法求解困難等弱收斂問題。
展開 
COMSOL多相流仿真方法
對于不希望發(fā)生拓撲變化的微流體系統(tǒng)，通常首選動網(wǎng)格法；
如果需要拓撲變化，則必須使用相場法：
當表面張力的影響較大時，首選相場法
如果可以忽略表面張力，首選水平集法
分離多相流模型和湍流模型
在湍流模型中，由于僅求解平均速度和壓力，流體的細節(jié)會丟失。從這一點來看，表面張力效應在流體的宏觀描述中也變得不那么重要。又由于湍流表面的流動比較劇烈，因此幾乎不可能避免拓撲變化。所以，對于湍流模型和分離多相流模型的組合，最好使用水平集法。水平集法和相場法都可以與 COMSOL Multiphysics 中的所有湍流模型結(jié)合使用，如下圖和動畫所示。
在 COMSOL Multiphysics 中，所有湍流模型都可以與相場法和水平集法相結(jié)合來模擬兩相流。
將水平集法與 k-e 湍流模型相結(jié)合模擬反應堆中水和空氣的兩相流。
分散多相流模型
萬一相邊界過于復雜而無法求解，我們必須使用分散多相流模型。
展開 利用層流兩相流、動網(wǎng)格模擬納秒激光的燒蝕作用 ￥4799
現(xiàn)在市面上有很多層流兩相流、水平集的激光燒蝕案例，但是幾乎沒有動網(wǎng)格的燒蝕案例，主要在于動網(wǎng)格的設置困難。
在COMSOL中，動網(wǎng)格由于不需要對空氣（氣體項）進行建模，所以相對應來說，相同的模型需要的計算資源較少，所以很多課題組，在模擬激光燒蝕時（需要很多計算資源）采用動網(wǎng)格而不采用水平集。
市面上賣的動網(wǎng)格設置幾乎不正確（就像水平集的二道販子一樣，我這里也有幾個）。
這里我有償提供一個動網(wǎng)格案例來幫助大家學習動網(wǎng)格。
模型主要采用 流體傳熱、層流和動網(wǎng)格模塊，很好的重復了 納秒 激光燒蝕材料的效果。
內(nèi)置參考文獻和模型，加些實驗，發(fā)個二區(qū)SCI應該沒有問題。
展開 跨界王者：CFD工程師榮獲奧斯卡大獎
下圖為《史努比》動畫中的焦油怪表面被建模為水平集函數(shù)，并使用CFD進行動態(tài)演化
煙霧：由懸浮在熱空氣中的細顆粒組成，煙霧可以被建模為無粘性的不可壓縮流體。煙霧的密度和氣體的溫度T可通過計算機求解得出。一些文獻中描述的煙霧在低網(wǎng)格分辨率下有限差分產(chǎn)生的數(shù)值耗散問題。在模擬煙霧的情況下，數(shù)值耗散使得電影工作人員不能獲得煙霧中的褶皺和其他有趣效果。雖然較高分辨率的網(wǎng)格可能能夠捕獲這些效果中的一些，但這在計算上是昂貴的。
相反，F(xiàn)edkiw等人引入了渦度限制技術(shù)（由Steinhoff提出的應用于直升機湍流場仿真的技術(shù)），即使在低分辨率網(wǎng)格上也可以抵消這種耗散。在《終結(jié)者3》 和《星球大戰(zhàn)3》中可以看到煙霧CFD特效的例子。
閃電狗中的Rhino球（左下，右下）和道路（頂部）的幾何斷裂
火焰：在許多情況下，火災與煙霧類似，可以建模為不可壓縮流體。同樣，渦量可用于產(chǎn)生湍流火球和旋轉(zhuǎn)火焰，并且可以在模擬中添加額外的燃燒顆粒以引發(fā)新的火焰。
雖然這些燃燒顆粒可以產(chǎn)生火球的膨脹效應和太空船的爆炸特效，但是依然需要額外的工具來模擬真正的燃燒。Nguyen等介紹了將氣態(tài)燃料和火焰氣態(tài)產(chǎn)物建模為單獨的不可壓縮流體的想法。這些技術(shù)被用來制造《哈利波特和火焰杯》中龍的火焰氣息。
水：當然，CFD對特效的一個更明顯的應用是模擬水。電影中使用的最先進的水模擬技術(shù)基本上是基于Foster和Fedkiw引入的level-set方法。Fedkiw得益于在電影中使用level-set模擬水現(xiàn)象分享了奧斯卡技術(shù)成就獎。 正如火災的反應前沿由水平集函數(shù)定義，水的表面可以以相同的方式定義。然而，數(shù)值耗散可能導致水的界面失去尖銳。粒子水平集方法通過將水面定義為水平集函數(shù)和粒子的組合來實現(xiàn)對該界面的保持。
展開 COMSOL注漿及巖芯模型合輯
模型1：基于COMSOL的注漿-兩相流水平集模型
模型2：基于COMSOL的注漿-兩相達西定律-多孔介質(zhì)相傳遞-達西定律
模型3：基于comsol的注漿-賓漢姆流體流固耦合
模型4：COMSOL二維注漿模擬-層流-水平集
模型5：COMSOL二維注漿模擬-層流-水平集
模型6：單純注漿試例-PDE建模
模型7：注漿擴散模型-兩相達西定律-多孔介質(zhì)相傳遞-達西定律
模型8：達西定律-注漿
模型9：三維管道注漿
模型10：二維管道注漿
模型11：技術(shù)鄰大佬琳泓-基于comsol的注漿-賓漢姆流體流固耦合
模型12：COMSOL基于漿液黏度時空變化的水平裂隙巖體注漿擴散數(shù)值模擬
速凝類漿液的雙液混合注漿方式及其黏度時變特性導致漿液擴散區(qū)內(nèi)黏度空間分布不均勻。基于此，認為速凝類漿液流型為具有黏度時變性的賓漢流體，研究其在靜水條件下水平裂隙中的注漿擴散過程，建立恒定注漿速率條件下考慮漿液黏度時空變化的水平裂隙注漿擴散理論模型，推導漿液擴散區(qū)內(nèi)的黏度及壓力時空分布方程，進而得到注漿壓力與注漿時間及漿液擴散半徑的關系。
模型13：COMSOL裂隙動水注漿擴散數(shù)值模擬
針對動水注漿中常用的2種速凝漿液，水泥–水玻璃漿液與高聚物改性水泥漿液，考慮漿液黏度時變特性，應用有限元計算軟件COMSOL Multiphysics建立動水條件下裂隙注漿擴散的數(shù)值模型，研究動水條件下裂隙注漿擴散規(guī)律并分析不同黏度時變特性、初始動水流速與注漿速率對注漿擴散過程的影響。
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