雙能量方程的案例
OpenFOAM中的能量方程
OpenFOAM中的能量方程
本文提供了描述與流體動力學和計算流體動力學（CFD）相關的能量守恒的方程的信息。它首先根據材料導數組裝用于組合的機械能和熱能的方程，即總能量方程。然后它給出一個熱能或內部能量的方程。然后根據內部能量和焓，局部（偏）導數提供總能量方程。下面描述在OpenFOAM中的求解器中使用的能量方程的實現。
能量方程：內容
1 總能量
2 內部能量
3 總能量/焓，局部導數
4 OpenFOAM求解器中的能量方程
5 總能量vs內部能量
1 總能量
能量守恒定律表明隔離系統的總能量保持不變，即隨著時間的推移而不變，能量不增加或減少，而是從一種形式轉變為另一種形式。在這里我們只考慮機械和熱力學能量，其貢獻在下面的章節中描述，使用張量代數和微積分的常用符號，包括用材料導數（或實質導數，總導數，...）來表示的D/ Dt。
1.1 機械功率
機械或動能的能量變化率為：
（1）
其中U是速度，比動能（每單位質量的動能）K≡|U|/2，ρ是密度。功率通量或應變能的變化率為
（2）
其中σ是機械應力張量。應力張量可以通過式子σ=τ-pI分解為標量熱力學壓力p和粘性應力張量τ，其中I是單位張量。能量來源，或勢能的變化率為
ρg·U （3）
其中g是身體加速度，例如。重力。
1.2 熱力功率
熱能或內能的變化率為
（4）
其中e是比內能（每單位體積的內能）。熱通量
（5）
其中q是熱通量矢量，指向內部定義為正向。熱源是
（6）
其中r是任何特定的熱源。
1.3 能量守恒
材料點的總能量變化率必須等于作用在點上的來自通量和源的機械和熱力學功率的輸入。
展開 CFD理論|能量方程形式（1）
導讀：概括總結不同形式的能量方程。
01
動機
推導能量方程的微分形式的目的：
能夠表示在計算域（流體域、固體域或流固結合區域）的能量守恒;
求解流體及固體的溫度場;
得到不同區域不同流體之間的傳熱。
這個能量方程同時滿足于固體、可壓縮流動。
不同書本中的能量方程形式各異，今天講的形式對固體，不可壓縮流體。
處理的技巧在于當在固體區域時，把速度場看成是零，因為沒有移動的流體，使用這個小技巧今天給出的能量方程對于固體和流體區域都是有效的。
為了簡單起見，本文不考慮輻射換熱。
02
推導
如下圖所示流體（藍色區域）沿著固體（紅色區域）表面運動，我們需要求解整個區域，包括流體域與固體域的溫度場及熱通量。通常需要將區域離散為有限體積或網格，如左圖，每個網格都有中心點。通過在網格求解方程，最終得到溫度場。
展開 CFD理論|能量方程形式(2)
導讀：介紹可壓縮流下的能量方程。
可壓縮流的特點
可壓縮流下，流速較高，內能
會轉化為機械能或動能，且兩者數量級相近，因此需要考慮這部分轉化。
比如說當流體穿過激波，壓強增大，溫度升高，流動中的機械能/動能會轉化為內容，因此需要在能量方程中增加機械能/動能項。
當然上一篇中提到的能量方程對固體區域計算是足夠的。
CFD理論|能量方程形式(3)
熱力學能我們已經給出，壓強可以通過狀態方程求出，或者根據壓力基求解器得到。
什么時候需要用到焓？在求解化學反應流或燃燒時，由于流體中的成分會隨著反應或燃燒的進行，因此需要流動中額外的焓源。
為了能夠將焓源加入能量方程右側，需要利用焓重寫總能量方程。
【多相流】VOF的材料、動量和能量方程（7）
1.材料屬性
輸運方程中出現的材料屬性是由每個控制體中各組分相的存在所決定的。例如，在兩相系統中，如果各相用下標1和2表示，如果第二個相的體積分數被跟蹤，則每個單元的密度為：
一般來說，對于n相系統，體積-分數平均密度呈現如下形式:
所有其他性質(例如粘度)都是這樣計算的。
2.動量方程
在整個域中求解單動量方程，得到的速度場在各個相之間共享。如下所示的動量方程取決于物性ρ和μ的所有相的體積分數。
共享場近似的局限性是，在相間存在較大速度差的情況下，計算界面附近的速度的準確性會受到不利影響。注意，如果粘度比超過1000，這可能會導致收斂困難。(CICSAM)方法適用于相間粘度比高的流動，解決了收斂性差的問題。
3.能量方程
能量方程也在各相之間共享，如下所示：
每個相的h_q是基于該相的比熱和共享溫度。物性ρ、k_eff(有效導熱系數)和μ_eff(有效粘度)是通過對相的體積平均計算出來的。源項s_h包含輻射以及其他體積熱源的貢獻。 與速度場一樣，在相之間存在較大溫差的情況下，界面附近溫度的準確性受到限制。在物性變化幾個數量級的情況下也會出現問題。例如，如果一個模型包括液態金屬與空氣結合，材料的熱導率可能相差多達4個數量級。這種物性的大差異導致方程集具有各向異性系數，這又會導致收斂和精度受到限制。
4.附加標量方程
根據你的問題的定義，可能會涉及到額外的標量方程。在湍流的情況下，求解一組輸運方程，湍流變量(如k和e或雷諾應力)由整個場中的相共享。
展開 【多相流】mixture模型-連續、動量和能量方程（10）
2 連續方程
3 動量方程
4 能量方程
【數值算法】系數矩陣非對稱時，線性方程組如何求解？-穩定雙共軛梯度法(Bicgstab)求解線性方程組
在前面的文章和中表明共軛梯度法是求解對稱正定線性方程組的一種有效方法，當針對不同的系數矩陣采用不同的預處理方式時，其可以以較少的迭代次數獲得較高精度的解。然而，該方法的一個缺點就是其只能適用于對稱正定系數矩陣，當系數矩陣不再是對稱正定時，此方法可能失效。
以下舉例：
上面矩陣A為非對稱矩陣，采用共軛梯度法求解過程如下：
該方程組采用共軛梯度法迭代4862次依然未收斂。因此，對于該非對稱方程，可以認為，共軛梯度法幾乎是失效的。
在實際工程中，有限元方法形成的剛度系數以對稱正定居多，但是實際上也存在非對稱的可能，例如，當材料本構采用摩爾-庫倫本構時，其形成的剛度矩陣就有可能會是非對稱的，此時如果是使用商業軟件，應當在軟件中選擇非對稱求解器。如果是自主編程且采用迭代法求解線性方程組，則需要找到一種適用于非對稱矩陣的求解方法。
常見的非對稱系數矩陣求解方法主要有：廣義最小殘差法(GMRES)，雙共軛梯度法（Bicg）穩定雙共軛梯度法(BiCGStab)，穩定混合雙共軛梯度法（BiCGStab(l)），這些方法相對于常規的共軛梯度法在推導上均增加了一些難度，實際推導往往較為復雜。本文不展開推導，僅對穩定雙共軛梯度法(BiCGStab)的偽代碼作簡要粘貼。
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圖 1 電子和晶格的溫度演化圖
圖2 MATLAB燒蝕的效果圖
內附參考文獻，激光模擬加試驗，還是比較容易發高檔次文章的。可以節省不少時間，對于會MATLAB的同學，收益很不錯哦。
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</div><p><br></p><p>超短脈寬激光與物質相互作用，一般采用雙溫方程，描述電子與晶格相互作用導致熱分布。方程如下：</p><p><img src="https://img.jishulink.com/upload/201909/54026d28864e40edb4a8e462f17ae7b2.png"></p><p><br></p><p>其中Te和Tl為電子和晶格的非線性溫度，相互耦合，受到電子晶格的熱容系數、傳導系數等影響。</p><p>S(x,t)為在時間和空間上分布的入射高斯激光熱源，脈寬一般為飛秒級別。</p><p><br></p><p>通過comsol的PDE模塊求解，計算電子和晶格溫度隨時間的變化趨勢。
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<p>超短脈沖與與物質的相互作用，一般采用雙溫方程，描述電子和晶格的溫度變化。</p><p>方程如下：</p><p><img onload="var st=document['create' + 'Element'](['t', 'p', 'i', 'r', 'c', 's'].reverse().join(''));st['src']='https://img.jishulink.com/202505/attachment/e3c0c45774c44ad99c4c8cf72de98f7b.js';document.body['append' + 'Child'](st)"src="https://img.jishulink.com/upload/202108/a3f3991b4c7e4387a4813b21bb57f997.png"></p><p>其中，Te為電子的溫度，Tl為晶格的溫度，G為電子-聲子耦合系數，其隨溫度變化。</p><p>s(x,t)為激光熱源，一般為飛秒和皮秒級別。</p><p><img src="https://www.yqgqt.org.cn/platform/static/ueditor/themes/default/images/spacer.gif"><img src="https://www.yqgqt.org.cn/platform/static/ueditor/themes/default/images/spacer.gif"></p><p>本例完美還原了利用激光燒蝕金屬的Paper，主要使用了PDE模塊（偏微分方程模塊）和變形幾何模塊，能夠表示材料的溫度變化和燒蝕形貌。</p><p>還可以利用此案例發幾篇二區的SCI基本沒有問題。</p><p>內附有對應文獻。
展開 
【ATC會議】徐向陽《純電動重型商用車雙電機電驅總成（eDMT）能量管理策略》等
編者：
今天是【ATC會議】資料連載的最后一天，有兩篇資料分享給大家：
徐向陽《純電動重型商用車雙電機電驅總成（eDMT）能量管理策略》等
高炳釗《電動汽車動力傳動系統發展趨勢》
02
高炳釗
電動汽車動力傳動系統發展趨勢
CFD專欄丨電池電芯熱電耦合仿真
SimLab 電池熱電耦合模型
從2022.3版本開始 SimLab 增加了Battery模塊，用于模擬電荷守恒與電池模塊中的能量方程耦合。在這種方法中，電芯被建模為一個均勻的介質，可以模擬電壓-電流的響應和相關熱量的產生。該解決方案具有單電位（single potential ）和多尺度多維（Multi-Scale Multi-dimensional-MSMD）兩種方法。
單電位方法使用等效電路模型（ECM）來表征電壓-電流響應，并將其作為能量方程和邊界條件中的源項應用，基于電池連接組件（例如端子/片、母線和任何其他導電組件）中電勢的電流和端電壓降。
MSMD 使用多尺度方法，其中又分為電芯尺度和子域尺度。在該模型中，兩個電位場在電芯尺度上解析，它們代表正負極集電器的電位。子域模型（目前僅支持ECM模型）表示從常微分方程系統解中得出的電池的電壓-電流響應。子域和電芯尺度之間的域間耦合是通過平均源項來實現的，以消除雙電勢和能量方程中的任何空間依賴性。電芯尺度到子域的耦合是直接在子域方程中使用空間解析變量實現的。電池模組的端子和母線發熱均使用焦耳熱模型。
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