哈密頓力學的案例
力學科普：作用量與哈密頓原理
來源：CubicL的基礎力學教學科普公眾號（ID：CubicLME）
作用量在現代物理的力學部分中處于基石的地位，不少人甚至物理系的本科生一看作用量和拉格朗日函數就打怵，但筆者要說，你自己嚇唬自己而已。前者是嫌太抽象，后者是把從小學學到高中的數學當做噩夢，一見量、函數這些詞就發懵。
實際上，這東西根本不是什么洪水猛獸那樣的嚇人玩意，就以一個很簡單的例子入手。
小時候，媽媽在廚房里做飯，有時會叫你拿個碗啊勺啊的過來。碗和勺放在一定距離之外，從你所在的位置到碗勺所在的位置，有無數條路可以走，可以直著過去，也可以繞山路十八彎，還可以轉兩圈再走。我問你：你走哪條路？
你一定會大笑：直著過去唄，繞彎子就多走，那不是腦子有病么。
既然如此，你還說你不懂作用量和哈密頓原理？你這不瞎說么？
跑最少的路——這就是哈密頓原理的內容，你跑了多少腳程，那就是作用量。所以說這兩個概念其實是很靈活的概念，不同的問題里有不同的界定。跑路問題是路，投資做生意的問題那就是收益/投資比，一言以蔽之，最小代價就是這個規律的精髓。
現在你直著跑過去拿到碗勺了，假如，我是說假如，你當初選擇的運動路徑比真實路徑稍有偏差，這條虛擬的路徑肯定比真實的直線路徑要長一點，而且你很容易發現，無論作什么偏差，得到的虛擬路徑都比真實路徑長，這個差值記為δL（"δ"表示微小偏差）。
如果你的真實路徑的確是最短的，那么這個差值會有什么表現呢？我再舉一個形象的比喻。
如果你站在山腰斜坡上，那么你腳下的感覺和在平地上肯定不一樣，你要想站穩就得花點功夫注意腳下，而如果你站在山頂，你腳底下那一小塊地面你會感覺到是“平”的，你可以不用使著個勁撐住腳面，盡情一覽眾山小。是吧？
展開 《經典力學》札記
數學中的分析法引入物理中，取得了偉大的成就；拉格朗日的《分析力學》，據說沒有一張圖。
科學史在科學教育中扮演了重要角色?，F在有人意識到科學史在思政教育中的意義，但是實踐的人還太少；其實，科學史在厘清科學思想的起源和發展方面有重要價值，它在科學教育中的意義會更大。
08
力學發展的幾個重要/跳躍性階段
力學理論的建立，經歷了幾個重要的跳躍。首先，牛頓建立了牛頓方程F=ma；后來，拉格朗日根據達朗貝爾原理給出了一個微分方程的描述，它等價于牛頓方程；接著，哈密頓給出了哈密頓最小作用量原理以及哈密頓方程，這個方程給出了哈密頓力學的數學結構，即所謂的辛結構；接著，諾特 (Noether) 建立了對稱和守恒之間的關系；最后，在20世紀初建立了經典場論，并最終完成量子場論的建立。這是主線，如果仔細研究這些歷史，比如參考梅鳳翔老先生的《力學史》，會看到每個重要的進步，其實都有許多人的貢獻。一個小的進步，匯聚為最終的重要的進步。這個進步的規律和所有其它科學的進步規律是一樣的。那種跳躍式的進步，在科學史上也許是罕見的，或者沒有的。
科學史關于科學是如何進步的，一直有爭論：科學革命和科學漸進。我傾向于后者，并且認為科學革命的觀點是因為這些人忽略了同時代很多人的貢獻，導致了科學思想忽然產生的“假象”。這是仁者見仁的事情。
09
為什么耗散不能寫成拉格朗日的形式？
耗散系統的拉格朗日方程一般寫成
其中Qi 是耗散項。它一般不能寫入L 中（假設這個拉格朗日是局域的），否則就有最小作用量原理了。其原因如下：假設存在L→L+f，其中f 吸收Q。此外，假設Qi 和速度無關。那么。這是一個非局域相互作用，它的值和路徑有關?？梢?，耗散項Q 不能被吸收到L 中。
展開 今天給大家演示哈密頓環自動玩貪吃蛇小游戲呀~
先來簡單介紹一下哈密頓環的定義(引自維基百科)：
哈密頓圖是一個無向圖，由哈密頓爵士提出，
由指定的起點前往指定的終點，途中經過所有其他節點且只經過一次。
在圖論中是指含有哈密頓回路的圖，
閉合的哈密頓路徑稱作哈密頓回路（Hamiltonian cycle），
含有圖中所有頂點的路徑稱作哈密頓路徑
（英語：Hamiltonian path，或Traceable path）。
哈密爾頓圖的定義：G=(V,E)是一個圖，
若G中一條通路通過且僅通過每一個頂點一次，
稱這條通路為哈密爾頓通路。
若G中一個圈通過且僅通過每一個頂點一次，稱這個圈為哈密爾頓圈。
若一個圖存在哈密爾頓圈，就稱為哈密爾頓圖。
舉個例子，有一個4*4的地圖：
那么哈密頓環就可以是(不唯一)：
通過構造哈密頓環，我們就可以很輕松地保證蛇在運動的過程中不會因為撞到自己而死掉。舉個例子，假設格子0，1，2是我們的貪吃蛇，其中2為蛇頭，0為蛇尾，其余為蛇身，則我們可以通過以下算法來構造哈密頓環(圖源參考文獻[1])：
注意，該算法并不是用來找哈密頓環的通用算法，因此存在找不到哈密頓環的情況(為了提高算法找到哈密頓環的概率，我們把原版游戲地圖里的4025個方格改成了2020個方格)。
展開 慣性力算力嗎（理解旋轉運動）
附錄：
結構運動學方程的推導通常有以下幾種方法：
牛頓力學
達朗貝爾原理
拉格朗日力學
哈密頓力學
以上四種方法都屬于經典力學的范疇，其中達朗貝爾原理引入慣性力，將牛頓力學作了一次升華，拉格朗日和哈密頓引入廣義坐標，牛頓力學得到了進一步的升華。
對于結構振動方程（無自轉或自轉），本文都從達朗貝爾原理（引入慣性力）的角度來闡述和理解的。如果能熟練的從達朗貝爾原理視角看運動問題，這將是對牛頓視角（常規視角）的飛躍，是個人思維方式的一大進步。如果能從拉格朗日，哈密頓視角看運動，讀者可以試一試（當前的運動仿真軟件通常采用這個視角）。另外，拉格朗日和哈密頓視角是從動能和勢能來看運動（能量的角度），而牛頓和達朗貝爾視角是從力和力矩來看運動（力的角度）。
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哈工大《JMST》：含稀土鉺的Al-Sc-Zr合金析出演化與力學性能！
本文系統地研究了無Er和含Er Al-Sc-Zr合金在相對較高的溫度(300℃和400℃)下等溫時效后的力學硬度和微觀組織演變，DFT計算有助于理順Al-Sc-Zr(-Er)合金中觀察到的析出相結構和形成機制。2NN溶質-溶質相互作用有利于所有溶質原子，這是促進L12結構析出相的關鍵特征。無Er合金和含Er合金中核/殼析出相和核/雙殼析出相的形成順序與溶質-溶質相互作用和擴散有關：在2NN位點上，Er與空位的吸引作用最強，溶質-溶質相互作用最強，而Zr的溶質-空位相互作用最弱。本文揭示了Er對Al-Sc-Zr合金時效硬化行為的有益影響，并為Al-Sc-Zr(-Er)合金時效處理的設計提供了指導。
展開 分概念
2.4 變分原理
在物理與力學中有很多問題需要采用變分原理，如彈性靜力學中的最小勢能原理，動力學中的哈密頓原理，塑性力學中的變分原理。變分原理在計算力學中特別重要，一方面，按照變分原理可以用李茲法或者伽遼金法獲得結構近似解；另一方面，變分原理也是有限元法的基礎。變分原理的幾個經典理論是虛功原理、最小勢能原理和最小余能原理，具體原理的推導，可以參考一般的有限元理論專著。
在彈性力學中一般可以找出一個變分泛函，使泛函取極值，得出全部控制方程和邊界條件，這是變分原理的優點。用變分原理求取近似解和虛功原理是等效的，但是具有更統一的形式。不過需要注意，在一些情況下，不能找到一個變分泛函，但是仍然可以采用類似虛功原理設法求解。最小勢能原理和最小余能原理以及余虛功原理，實質上是相通的，不再贅述。
展開 結構設計CAE分析的幾個概念
2.4 變分原理
在物理與力學中有很多問題需要采用變分原理，如彈性靜力學中的最小勢能原理，動力學中的哈密頓原理，塑性力學中的變分原理。變分原理在計算力學中特別重要，一方面，按照變分原理可以用李茲法或者伽遼金法獲得結構近似解;另一方面，變分原理也是有限元法的基礎。變分原理的幾個經典理論是虛功原理、最小勢能原理和最小余能原理，具體原理的推導，可以參考一般的有限元理論專著。
在彈性力學中一般可以找出一個變分泛函，使泛函取極值，得出全部控制方程和邊界條件，這是變分原理的優點。用變分原理求取近似解和虛功原理是等效的，但是具有更統一的形式。不過需要注意，在一些情況下，不能找到一個變分泛函，但是仍然可以采用類似虛功原理設法求解。最小勢能原理和最小余能原理以及余虛功原理，實質上是相通的，不再贅述。
3 CAE程序結構設計的幾個概念
CAE程序實際上是數學原理和力學理論結合的產物，其大多數關鍵設置、參數輸入、求解方法，均可以在數學和力學理論上找到其影射點。因此，一套計算方法可以應用于不同的行業，結合專業，靈活使用這些基本的概念，對提高分析適量、結果判定，具有舉足輕重的意義。下面，就CAE在結構分析中的幾個概念進行論述。
3.1 單位系統選擇
建立物理模型的一個基礎，便是模型單位系統的選擇，大多數CAE程序都沒有規定專門的單位系統，僅要求參數所設定時對應的力學單位和幾何單位必須封閉，即單位必須統一。
(1)對靜力問題，只涉及到3個單位系統：長度、力、彈性模量，因此，只要作到這3個單位統一就行了，如長度的單位用m，力的單位用N，則彈性模量的單位為N/m2，而應力的結果自然也就是N/m2。
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