傅立葉變換的案例
為什么要進行傅立葉變換？傅立葉變換有何意義？
每種傅立葉變換都分成實數和復數兩種方法，對于實數方法是最好理解的，但是復數方法就相對復雜許多了，需要懂得有關復數的理論知識，不過，如果理解了實數離散傅立葉變換(real DFT)，再去理解復數傅立葉就更容易了，所以我們先把復數的傅立葉放到一邊去，先來理解實數傅立葉變換，在后面我們會先講講關于復數的基本理論，然后在理解了實數傅立葉變換的基礎上再來理解復數傅立葉變換。
還有，這里我們所要說的變換(transform)雖然是數學意義上的變換，但跟函數變換是不同的，函數變換是符合一一映射準則的，對于離散數字信號處理（DSP），有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數據變成另一堆的數據的方法。
四、傅立葉變換的物理意義
傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。
和傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。
從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。
展開 為什么要進行傅立葉變換？
一、傅立葉變換的由來
關于傅立葉變換，無論是書本還是在網上可以很容易找到關于傅立葉變換的描述，但是大都是些故弄玄虛的文章，太過抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解，最近，我偶爾從網上看到一個關于數字信號處理的電子書籍，是一個叫Steven W. Smith, Ph.D.外國人寫的，寫得非常淺顯，里面有七章由淺入深地專門講述關于離散信號的傅立葉變換，雖然是英文文檔，我還是硬著頭皮看完了有關傅立葉變換的有關內容，看了有茅塞頓開的感覺，在此把我從中得到的理解拿出來跟大家分享，希望很多被傅立葉變換迷惑的朋友能夠得到一點啟發。
要理解傅立葉變換，確實需要一定的耐心，別一下子想著傅立葉變換是怎么變換的，當然，也需要一定的高等數學基礎，最基本的是級數變換，其中傅立葉級數變換是傅立葉變換的基礎公式。
二、傅立葉變換的提出
讓我們先看看為什么會有傅立葉變換？傅立葉是一位法國數學家和物理學家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)，Fourier對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學學會上發表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數學家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在近50年的時間里，拉格朗日堅持認為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現非連續變化斜率。
展開 DSP功能之快速傅立葉變換視頻（superxjw版主提供資料）
最近在論壇上有好幾個朋友提出問題，用ANSYS做振動采用的是時域分析，激勵施加了好幾個周期，但是在Virtual.Lab里面需要做頻域分析，因此想知道如何在LMS Virtual.Lab中使用DSP功能實現云圖Vector的快速傅立葉變換。對此我利用李增剛老師書里面，輪胎時域聲學計算中的輪胎時域結構分析的結果，在Virtual.Lab中向大家演示了如何在Virtual.Lab中實現這樣一個步驟！需要注意的是，對于一個工程問題，是用頻域分析還是時域分析需要依據實際情況而定，不是所有時域的東西都能轉換到頻域做分析的，具體的理論大家可以參看我之前在本論壇發表的一個關于快速傅立葉變換的講座貼。這次視頻中，不針對具體問題，僅僅是演示實現步驟，請大家予以注意！
文檔及視頻下載地址：http://pan.baidu.com/share/link?shareid=438154&uk=1560578551
展開 FFT離散快速傅立葉變換簡介
FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號分析采用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。
雖然很多人都知道FFT是什么，可以用來做什么，怎么去做，但是卻不知道FFT之后的結果是什意思、如何決定要使用多少點來做FFT。
現在就根據實際經驗來說說FFT結果的具體物理意義。一個模擬信號，經過ADC采樣之后，就變成了數字信號。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大于信號頻率的兩倍，這些我就不在此羅嗦了。
采樣得到的數字信號，就可以做FFT變換了。N個采樣點，經過FFT之后，就可以得到N個點的FFT結果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方。
假設采樣頻率為Fs，信號頻率F，采樣點數為N。那么FFT之后結果就是一個為N點的復數。每一個點就對應著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什么關系呢？假設原始信號的峰值為A，那么FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最后一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這里是假設的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率為為Fs/N，如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點數為1024點，則可以分辨到1Hz。
展開 
我們為什么要進行傅里葉變換，它的意義是什么？
所以對于離散信號的變換只有離散傅立葉變換 (DFT) 才能被適用，對于計算機來說只有離散的和有限長度的數據才能被處理，對于其它的變換類型只有在數學演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數學方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。
每種傅立葉變換都分成實數和復數兩種方法，對于實數方法是最好理解的，但是復數方法就相對復雜許多了，需要懂得有關復數的理論知識，不過，如果理解了實數離散傅立葉變換 (real DFT)，再去理解復數傅立葉就更容易了，所以我們先把復數的傅立葉放到一邊去，先來理解實數傅立葉變換，在后面我們會先講講關于復數的基本理論，然后在理解了實數傅立葉變換的基礎上再來理解復數傅立葉變換。
還有，這里我們所要說的變換 (transform) 雖然是數學意義上的變換，但跟函數變換是不同的，函數變換是符合一一映射準則的，對于離散數字信號處理 (DSP)，有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數據變成另一堆的數據的方法。
傅立葉變換的物理意義
傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。
展開 我們為什么要進行傅里葉變換？它的意義是什么
來源 | 電子產品世界
關于傅立葉變換，無論是書本還是在網上可以很容易找到關于傅立葉變換的描述，但是大都讓人很難理解太過抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列。
要理解傅立葉變換，確實需要一定的耐心，別一下子想著傅立葉變換是怎么變換的，當然，也需要一定的高等數學基礎，最基本的是級數變換，其中傅立葉級數變換是傅立葉變換的基礎公式。
傅立葉變換的提出
讓我們先看看為什么會有傅立葉變換？傅立葉是一位法國數學家和物理學家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier（1768-1830），Fourier對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學學會上發表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。
展開 我們為什么要進行傅里葉變換？它的意義是什么
所以對于離散信號的變換只有離散傅立葉變換 (DFT) 才能被適用，對于計算機來說只有離散的和有限長度的數據才能被處理，對于其它的變換類型只有在數學演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數學方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。
每種傅立葉變換都分成實數和復數兩種方法，對于實數方法是最好理解的，但是復數方法就相對復雜許多了，需要懂得有關復數的理論知識，不過，如果理解了實數離散傅立葉變換 (real DFT)，再去理解復數傅立葉就更容易了，所以我們先把復數的傅立葉放到一邊去，先來理解實數傅立葉變換，在后面我們會先講講關于復數的基本理論，然后在理解了實數傅立葉變換的基礎上再來理解復數傅立葉變換。
還有，這里我們所要說的變換 (transform) 雖然是數學意義上的變換，但跟函數變換是不同的，函數變換是符合一一映射準則的，對于離散數字信號處理 (DSP)，有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數據變成另一堆的數據的方法。
傅立葉變換的物理意義
傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。
展開 結構模態分析專篇之理論模態分析（一）
2 在振動理論中，傅立葉變換是求解振動微分方程的常用方法，大致分為三個步驟：對微分方程進行傅立葉變換；求解；對求解結果再進行傅立葉逆變換得出最終結果。
3 對振動微分方程進行傅立葉變換的過程是由物理參數獲得函數參數的過程，所以使用傅立葉變換是求解振動微分方程的三個步驟又可以描述為：由物理參數獲得函數參數；對函數參數進行運算；由函數參數獲得模態參數。
4 雖然理論模態分析的最終目的是獲得模態參數，但有時候經過傅立葉變換獲得函數參數后，已經能發現問題所在和滿足我們的需求。
5 在振動理論中，結構大致有三種模型：單自由度系統；多自由度系統；連續系統。一般來說，單自由度和多自由度系統更為常用。
6 單自由度系統的振動理論容易理解和把握，一般可以作為學習者把握振動規律的依據。但是，實踐中的大部分問題一般都屬于多自由度系統。其實，只要掌握一定的技巧，多自由度系統的振動理論也很容易理解和把握的。所以筆者建議單自由度和多自由度的振動理論都應該熟練掌握才好。
展開 [VirtualLab] 傅里葉變換設置——實例討論
在本文中，我們將通過不同實例的討論來示范如何對VirtualLab Fusion中有三種傅里葉變換算法進行設置。
2. 三種傅里葉變換
? 快速傅里葉變換(FFT)
- 對于不同數值計算，一種標準而高效的算法。
? 半解析傅里葉變換(SFT)
- 一種無需近似的高效重構。
- 二次相的解析處理，類似chirp-z變換。
- 了解更多Z. Wang, et al., Opt. Express 27, 15335-15350 (2019)
? 逐點傅里葉變換(PSF)
- 受靜態相位理論啟發的一種近似方法，但采用純粹的數學形式來表達。
- 對強波前相位是一種高效而精準的方法。
- 了解更多Z. Wang, et al., Opt. Express 28, 10552-10571 (2020)
3. 每個元件的設置
? 傅立葉變換設置
- 對于每個元件和探測器，都可以使用 “傅立葉變換”選項卡。
- VirtualLab Fusion自動選擇所有激活的傅立葉變換選項；不選擇未激活的選項。
- 傅立葉變換的組合影響自由空間中向前傳播過程的建模。(這意味著不僅適用于元件前面的自由空間——它也適用于具有復雜通道配置的情況)
4. 每個元件的設置
? 傅里葉變換設置
?
5. 默認的傅里葉變換設置
? 光源模式和探測器的設置
- 對于光源模式和探測器，默認情況下將激活所有三個傅里葉變換選項。
- 在特殊情況下，對于光源模式或探測器而言，衍射可能無關緊要。
展開 幾何傅里葉變換
Frank Wyrowski* and Christian Hellmann**
*Applied Computational Optics Group, Institut fur Angewandte Physik, Friedrich-Schiller-Universitat Jena
**Wyrowski Photonics UG
mailto:frank.wyrowski@uni-jena.de
在系統的不同平面上，電磁場分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的物理光學建模中的頻繁操作。我們介紹一個場所謂的幾何區域，在該區域中傅里葉變換可以在不進行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數值方式得到。在幾何場域中，場由波前相位控制，因此允許我們將穩定相位的概念應用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱為幾何傅立葉變換，這項技術被證明是快速物理光學的基礎支柱。
1.光學傅立葉變換
在物理光學中，我們處理電磁場的六個復數場分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為
其中 ，傅立葉變換到k域定義為
（2）
其中，我們使用符號
(3)
方程2中積分的數值評估需要對a和k域中的場進行取樣，我們用N表示采樣點的數量，所得的離散傅里葉變換構成了N2運算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線性的，這在原理上使快速物理光學建模成為可能，但FFT需要的采樣。在光學中，我們通常有強梯度的相位函數，從而導致很大的N值，只有在十分對稱的光學系統中，N才可以很小。因此，盡管FFT在N中是線性的，但是我們很容易在光學上遇到N太大而不能進行快速計算傅里葉變換的問題，這是快速物理光學概念的嚴重阻礙。
展開 [VirtualLab] 幾何傅里葉變換
Frank Wyrowski* and Christian Hellmann**
*Applied Computational Optics Group, Institut fur Angewandte Physik, Friedrich-Schiller-Universitat Jena
**Wyrowski Photonics UG
mailto:frank.wyrowski@uni-jena.de
在系統的不同平面上，電磁場分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的物理光學建模中的頻繁操作。我們介紹一個場所謂的幾何區域，在該區域中傅里葉變換可以在不進行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數值方式得到。在幾何場域中，場由波前相位控制，因此允許我們將穩定相位的概念應用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱為幾何傅立葉變換，這項技術被證明是快速物理光學的基礎支柱。
1.光學傅立葉變換
在物理光學中，我們處理電磁場的六個復數場分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為
其中 ，傅立葉變換到k域定義為
（2）
其中，我們使用符號
(3)
方程2中積分的數值評估需要對a和k域中的場進行取樣，我們用N表示采樣點的數量，所得的離散傅里葉變換構成了N2運算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線性的，這在原理上使快速物理光學建模成為可能，但FFT需要的采樣。在光學中，我們通常有強梯度的相位函數，從而導致很大的N值，只有在十分對稱的光學系統中，N才可以很小。因此，盡管FFT在N中是線性的，但是我們很容易在光學上遇到N太大而不能進行快速計算傅里葉變換的問題，這是快速物理光學概念的嚴重阻礙。
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傅里葉變換設置——實例討論
在本文中，我們將通過不同實例的討論來示范如何對VirtualLab Fusion中有三種傅里葉變換算法進行設置。
2. 三種傅里葉變換
? 快速傅里葉變換(FFT)
- 對于不同數值計算，一種標準而高效的算法。
? 半解析傅里葉變換(SFT)
- 一種無需近似的高效重構。
- 二次相的解析處理，類似chirp-z變換。
- 了解更多Z. Wang, et al., Opt. Express 27, 15335-15350 (2019)
? 逐點傅里葉變換(PSF)
- 受靜態相位理論啟發的一種近似方法，但采用純粹的數學形式來表達。
- 對強波前相位是一種高效而精準的方法。
- 了解更多Z. Wang, et al., Opt. Express 28, 10552-10571 (2020)
3. 每個元件的設置
? 傅立葉變換設置
- 對于每個元件和探測器，都可以使用 “傅立葉變換”選項卡。
- VirtualLab Fusion自動選擇所有激活的傅立葉變換選項；不選擇未激活的選項。
- 傅立葉變換的組合影響自由空間中向前傳播過程的建模。(這意味著不僅適用于元件前面的自由空間——它也適用于具有復雜通道配置的情況)
4. 每個元件的設置
? 傅里葉變換設置
?
5. 默認的傅里葉變換設置
? 光源模式和探測器的設置
- 對于光源模式和探測器，默認情況下將激活所有三個傅里葉變換選項。
- 在特殊情況下，對于光源模式或探測器而言，衍射可能無關緊要。
展開 幾何傅里葉變換.
Frank Wyrowski* and Christian Hellmann**
*Applied Computational Optics Group, Institut fur Angewandte Physik, Friedrich-Schiller-Universitat Jena
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在系統的不同平面上，電磁場分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的物理光學建模中的頻繁操作。我們介紹一個場所謂的幾何區域，在該區域中傅里葉變換可以在不進行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數值方式得到。在幾何場域中，場由波前相位控制，因此允許我們將穩定相位的概念應用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱為幾何傅立葉變換，這項技術被證明是快速物理光學的基礎支柱。
1.光學傅立葉變換
在物理光學中，我們處理電磁場的六個復數場分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為
其中 ，傅立葉變換到k域定義為
（2）
其中，我們使用符號
(3)
方程2中積分的數值評估需要對a和k域中的場進行取樣，我們用N表示采樣點的數量，所得的離散傅里葉變換構成了N2運算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線性的，這在原理上使快速物理光學建模成為可能，但FFT需要的采樣。在光學中，我們通常有強梯度的相位函數，從而導致很大的N值，只有在十分對稱的光學系統中，N才可以很小。
展開 AD5933阻抗測量芯片原理及其應用
這個頻率發生器可以產生特定的頻率來激勵外部電阻，電阻上得到的響應信號被ADC采樣，并通過片上的DSP進行離散的傅立葉變換。傅立葉變換后返回在這個輸出頻率下得到的實部值R和虛部值I。這樣就可以很容易的計算出在每個掃描頻率下的傅立葉變換的模和電阻的相角。其中模＝，相角＝。
AD5933主要具有以下特性：
? 可編程的頻率發生器，最高頻率可達100KHz
? 作為設備通過口和主機通訊，實現頻率掃面控制
? 頻率分辨率為27位（<0.1Hz）
? 阻抗測量范圍為100Ω到10MΩ
? 內部帶有溫度傳感器，測量誤差范圍為±2℃
? 帶有內部時鐘
? 可以實現相位測量
? 系統精度為0.5%
? 可供選擇的電源范圍為2.7V到5V
? 正常工作的溫度范圍-40℃到+125℃
? 16腳SSOP封裝
1.2 AD5933的引腳定義
圖1給出了AD5933的封裝圖，表1給出了AD5933的引腳定義。建議在使用時把所有的電源腳9、10、11都連到一起，統一連接到電源上，同樣所有的地引腳12、13、14也都連接到一起，統一連接到系統地上
圖1 AD5933引腳排列
表1 AD5933引腳定義
1.3 主要應用
AD5933可以廣泛的應用在電化學分析、生物電極阻抗測量、阻抗譜分析、復雜阻抗測量、腐蝕監視和儀器保護、生物醫學和自動控制傳感器、無創檢測、原材料性能分析以及燃料和電池狀態監測等眾多領域。為阻抗的測量提供了很大的方便，單片集成技術大大的減小了儀器的體積，使得儀器使用更加方便。簡單的I2C通訊方式，方便用戶操作，減小了用戶編程的困難。由于它給出的直接是變換后阻抗的實部和虛部數據，大大的簡化了用戶編程過程，節省了開發時間。
2 AD5933工作原理
2.1 AD5933的參數設置
AD5933片上帶有一個27位的DDS來提供輸出特定頻率激勵信號。
展開 VirtuaLab Fusion新版本：從光線光學到物理光學的無縫轉換
傅立葉變換連接了這些域。可以看出，被傅里葉變換的光場顯示出低衍射效應的情況下，積分傅里葉變換(快速傅里葉變換FFT的形式)可以被逐點傅里葉變換（PFT）代替[wang2020]。這個替換是在VirtualLab Fusion的Modeling Level 3中自動完成的。逐點傅里葉變換和快速傅里葉變換之間切換的標準是相對衍射功率，它是菲涅耳數的推廣。通過在部分系統中實施逐點傅里葉變換，衍射效應可以獨立于相對衍射功率而被忽略。這是在不離開物理光學建模的情況下完成的，并且我們仍然包括仿真例如干涉、散斑、相干和偏振效應。當一個系統中的所有傅立葉變換都被強制為逐點變換時，衍射在整個系統中被忽略了，我們經常在物理光學中獲得完整的逐點建模。當我們只考慮采樣點位置的映射并在x域中連接它們時，我們就獲得了物理光學中的光線光學[Balardron 2019]。這可以理解為物理光學背景下光線追跡的一種推導。我們認為這是一個驚人的理論，它是VirtualLab Fusion中光線光學的基礎。
這將指導我們對應逐點傅立葉變換在系統的不同部分來應用Modeling level 1和2。
Modeling Level 1
在建模級別1中通過強制所有的傅里葉變換都是逐點的，衍射完全被忽略。這種建模在焦點區域檢測不到光的應用中通常就足夠了，例如遠場光束整形[Yang2020]、干涉儀裝置和分束光柵。
如果光源是激光光束，通常建議選擇衍射光源（Diffraction of Source Included）模式下的選項。以束腰定義的高斯光束為例。它在瑞利長度上的傳播由衍射所主導。這確保包括在“Diffraction of Source Included”內的選項的初始光場的傅里葉變換是由相對衍射效率自動選擇的。
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