剪切自鎖的案例
有限元筆記#1：什么是剪切自鎖？為什么完全積分線性單元在彎曲載荷下會剪切自鎖？
二、剪切自鎖
在小變形線彈性分析中，在求出節點位移向量的解后，需要進一步算出應變場；非線性分析中，在一個增量步迭代得到位移向量解后，也需要算出相關應變值，再代入本構數據中查詢本構點，進而構造下一個增量步迭代所需要的初始切線剛度矩陣。然而，與我們通常的印象不同，這里計算應力應變值，是在積分點上計算的，也就是是將積分點的坐標值代入應力應變的公式，而不是直接求節點的應力應變。
針對上面的線性矩形單元，其應變矩陣如下圖所示：
在完全積分模式下，例如針對第四個積分點(a/√3,b/√3)，并將得到的節點位移代入，可以得到該積分點下的應變值為：
如圖中所見，該點的剪切應變不為0，這顯然不是純彎曲加載模式所要求的結果。然而需要注意，該現象是在純彎曲加載得到的節點位移和完全積分所對應的B矩陣的共同作用下得到的，如果不是純彎曲加載，那么節點位移不會有相關特征，完全積分線性單元得到的結果和相關加載模式也是符合的（莊茁P64倒數第二段）；如果純彎曲加載下的線性單元實行減縮積分，也不會出現剪切自鎖問題，但是會帶來沙漏現象，我們將在下一篇筆記中對該現象一探究竟。
結語：本文算不得什么，只是從公式上加深了商業軟件使用者對剪切自鎖這一現象的了解，稍微知其所以然罷了。如果要進一步探究如何防止剪切自鎖，要構造怎樣的位移模式，需要更多功夫，可見如下博文：
易木木響叮當，公眾號：易木木響叮當
有限元編程中如何避免剪切自鎖？（非協調單元詳解）
參考資料：
《有限元分析基礎教程》曾攀，清華大學出版社，2008.
《有限元分析及應用》曾攀，清華大學出版社，2004.
《基于ABAQUS的有限元分析和應用》莊茁等，清華大學出版社2008.
《數值分析》歐陽潔等，高教社2009.
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列3：S4殼單元剪切自鎖和沙漏控制
==以往的系列文章==
第一篇：S4殼單元剛度矩陣研究 http://www.yqgqt.org.cn/content/post/338859
研究基于Mindlin厚殼理論的S4殼單元的剛度矩陣在Abaqus中的實現方式
第二篇：S4殼單元質量矩陣研究 http://www.yqgqt.org.cn/content/post/343905
研究一致質量矩陣和集中質量矩陣在Abaqus的S4殼單元和Nastran的Quad4殼單元中的實現方式
==第三篇：S4殼單元剪切自鎖和沙漏控制==
商用有限元軟件的健壯性體現在對各種特殊情況，求解過程和解的正確性依然能得到保證，而這些特殊情況在自編程序中如果沒有考慮到，那么結果就可能相差極大。其中剪切自鎖和沙漏現象是最常見的會影響正確性的兩個特殊情況。這兩者具有相似性，所以我們在本文中一起研究Abaqus中線性殼單元S4針對這兩種情況下的內部實現方式。剪切自鎖和沙漏現象影響的是剛度矩陣和應力，我們研究方式是在自編程序iSolver中根據成熟的消除剪切自鎖和沙漏控制的理論實現剛度矩陣的修正，通過比較同一模型的Abaqus的剛度矩陣結果，結合幫助文檔猜測Abaqus軟件單元消除剪切自鎖和控制沙漏的內部實現方法。
圖1：剪切自鎖
圖2：沙漏
===S4殼單元剪切自鎖和沙漏控制研究總結===
完全積分單元才有剪切自鎖，雖然Abaqus的S4單元是完全積分，但內部已經做了修正完全消除了剪切自鎖，所以不需要用戶做任何設置。
減縮積分單元才有沙漏現象，Abaqus的S4R默認增加一個人工的沙漏剛度來控制沙漏現象，如果發現結果還是不理想，那么需要采用其它建模方法才能控制沙漏了。
展開 ABAQUS中的單元選擇-理解剪切自鎖和沙漏
圖4
四、小結
如果模型中有比較明顯的彎曲現象，為避免出現剪切自鎖現象，優先選擇二階單元，或者采用縮減積分方案（網格需要更細，通常厚度方向4層以上）。
來源： ABAQUS在巖土工程中的應用
【JY】Abaqus 三維應力單元解析、選擇與應用指南
這種積分方式繼承了線性縮減積分單元的優點，同時對沙漏和剪切自鎖問題不敏感。
適用場景：二次縮減積分單元適用于對精度要求高但又需要控制計算成本的分析場景。它們對剪切自鎖和沙漏都不敏感，適用于各種復雜受力工況。在不需要模擬非常大的應變或進行復雜接觸條件變化的問題時，應優先采用二次縮減積分單元。
優缺點分析：
優點：位移結果精確；節點應力精度雖低于完全積分單元，但仍能滿足大多數工程需求；計算時間相對二次完全積分單元較少；對剪切自鎖和沙漏都不敏感；在復雜應力狀態下表現良好。
缺點：不能用于接觸分析；不適用于大應變問題，在材料發生大變形時難以保證計算精度；節點應力精度低于二次完全積分單元。
使用注意事項：
不適用于接觸分析場景，接觸問題中應選擇其他單元類型。
對于大應變分析，特別是材料發生大變形的情況，二次縮減積分單元可能無法提供足夠的精度，應考慮使用線性縮減積分單元或其他適合大變形的單元。
在應力集中區域，如果使用二次縮減積分單元，應確保網格足夠精細，以捕捉應力梯度變化。
對于需要精確節點應力結果的情況，尤其是應力集中區域的節點應力，二次縮減積分單元可能不如二次完全積分單元精確，需謹慎使用。
3.5 非協調模式單元
理論基礎：非協調模式單元在標準線性單元的基礎上引入了非協調位移模式，這些附加模式允許單元在不連續的情況下仍能保持協調性，從而克服了剪切自鎖問題。非協調模式單元通過增強變形梯度的方式，使單元交界處不會出現重疊或開洞問題，便于拓展到非線性、有限應變位移分析中。
適用場景：非協調模式單元適用于主要承受彎曲載荷的結構，特別是那些單元扭曲較小的區域。在彎曲問題中，厚度方向只需很少單元就能達到與二次單元相當的結果，但計算成本明顯降低。它們特別適合于模擬薄板、薄殼等以彎曲為主的結構。
展開 
仿真過程中單元合理選取高級精髓
剪切自鎖：
定義：單元的位移場不能模擬由于彎曲而引起的剪切變形和彎曲變形；
何時出現：彎曲變形的線性完全積分單元中出現；
原因：
n 線性單元的直邊不能承受彎曲載荷作用，分析過程中可能出現本來不存在的虛假剪應力，是單元的彎曲剛度過大，計算的位移值偏小；
n 二次單元的邊可發生彎曲，一般不會出現剪切自鎖現象。（單元畸變非常
嚴重，或應力狀態非常復雜，存在彎曲應力梯度，二次單元也會出現某種程度的閉鎖現象）。
特點：剪切自鎖僅影響受彎曲載荷作用的完全積分線性單元；
措施：考慮采用非協調單元或減縮積分單元。
體積自鎖：
定義：完全積分單元受到過度約束時的一種閉鎖現象；
特點：如果材料是不可壓縮的或近似于不可壓縮，完全積分單元可能變得特別剛
硬而不產生體積變形；
評判：各個積分點之間或各個單元之間的靜水壓力出現急劇變化；（后處理中繪
制靜水壓應力云紋圖，突變，呈棋盤形分布，有可能出現體積自鎖。）
措施：
l 合適單元類型：雜交
l 細化網格：塑性應變較大的區域劃分足夠細化的網格；
引入少量的可壓縮性：不可壓縮材料中引入少量的可壓縮性可以減輕體積自鎖現象。幾乎不可壓縮材料和完全不可壓縮材料的計算結果很接近，可將不可壓縮材料的泊松比取為0.475-0.5之間的值。
來源：有限元在線的博客，版權歸作者所有。
展開 【基礎討論】Bernoulli-Euler 梁和Timoshenko 梁的區別
Bernoulli-Euler 梁理論（也叫工程梁理論）的假設是：中線的法平面保持平面和法向，其橫向剪切應變為0，也就是其轉角 sita=dw/dx，其彎曲應變為位移場的二階導數，也就是位移場要保持C1型連續.
Timoshenko 梁（也叫剪切梁）的基本假設是：中線的法平面保持平面，但是不一定再保持法向，其橫向剪切不一定為0，其值 gama=sita-dw/dx. 其彎曲應變可以由非獨立變量w 和 sita 得到，而w和sita 只需要c0連續。
Timoshenko 梁有兩個非獨立變量，而Bernoulli-Euler 梁只有一個非獨立變量。我們知道在厚梁中，橫向剪切不可以忽略，所以使用Bernoulli-Euler 梁不再合適，而對于Timoshenko 梁，當梁厚較小時，就需要構造合適的單元來消除剪切應變，使橫向剪切能夠趨向于0。 這就希望大家討論，剪切自鎖產生的機理是什么？消除剪切自鎖的方式有哪些？能否通過新的假設來構造梁單元？
展開 Abaqus非協調模式單元類型簡介
它把增強單元位移梯度的附加自由度引入線性單元，能克服線性完全積分中的剪切自鎖問題，具有較高的計算精度。
Abaqus中的非協調模式單元和MSC.NASTRAN中的4節點四面體和8節點六面體單元很相似，所以計算結果頁很一致。
非協調模式單元具有如下優點：
（1）克服了剪切自鎖問題，在單元扭曲比較小的情況下，得到的位移和應力結果很精確。
（2）在彎曲問題中，在厚度方向上只需很少的單元，就可以得到與二次單元相當的結果，而計算成本明顯降低。
（3）單元交界不會重疊或開洞，因此很容易擴展到非線性、有限應變的位移。
但是使用這種單元的時候需要注意，如果所關心的部位單元扭曲比較大，尤其出現交錯扭曲時分析精度會降低。
請注意非協調模式和減縮積分單元，兩個只能選擇其一，不能同時選擇。但是同時選擇雜交單元（hybrid）。
轉自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_b377d7f70102vew6.html
展開 ABAQUS中實體單元的應用
如圖
不足：完全積分的線性單元存在“剪切自鎖”問題，原因是線性單元的邊不能彎曲。在復雜應力狀態下，完全積分的二次單元也有可能發生剪切自鎖。
（2）減縮積分單元：減縮積分單元比完全積分單元在每個方向上少用一個積分點。
完全積分的線性單元只在單元的中心有一個積分點
不足：線性減縮積分單元存在“沙漏模式”的數值問題，有可能過于柔軟。
ABAQUS通過繪制偽應變能(ALLAE)和內能(ALLIE)來評價沙漏模式對計算結果的影響。
（3）非協調單元：
優點：可以克服完全積分，一階單元中的剪力自鎖問題。
特點：在一階單元中引入一個增強單元變形梯度的附加自由度。這種對變形梯度的增強允許一階單元在單元域上對于變形梯度有一個線性變化。
不足：對單元的扭曲很敏感，在使用時必須小心以確保單元扭曲是非常小的。
（4）雜交單元：
應用：當材料行為是不可壓縮（泊松比=0.5）或非常接近于不可壓縮（泊松比>0.475）時，如橡膠材料，采用雜交單元。
特點：對于具有不可壓縮材料性質的任何單元，一個純位移的數學公式是不適宜的，壓應力不能由節點位移計算。雜交單元包含一個可以直接確定單元壓應力的附加自由度，節點的位移場則主要用來計算偏應變和偏應力。
基于ABAQUS中如此豐富詳細的實體單元劃分，在使用時應尤其注意。
對于三維問題應盡量地采用六面體單元(磚型)。它們會以最低的成本給出最好的結果。當幾何形狀復雜時，可采用四面體單元和楔形單元。這些單元C3D4和C3D6的一階模式是較差的單元(需要細化網格以取得較好的精度)。
展開 Abaqus使用umat子程序的沙漏問題
在承受彎曲載荷時，線性完全積分單元會出現剪切自鎖問題，造成單元過于剛硬，即使劃分很細的網格，計算精度依然很差；二次完全積分較好的解決了剪切自鎖問題（某些情況依然存在），精度很高，但不能用于接觸分析。
減縮積分也分為線性減縮與二次減縮積分。是指單元比普通的完全積分單元在每個方向少用一個積分點，在單元的中心只有一個積分點。線性減縮積分單元存在沙漏問題，需要劃分很細的網格，對位移求解較準確。二次減縮積分單元克服了上述沙漏與自鎖問題，但同樣不能用于接觸分析。
實際使用過程中，完全積分單元其實是用的比較少的，因為它的問題比較多，用的更多的是減縮積分和修正單元。
1.在最小位能原理基礎上建立的位移有限元，其解答具有下限性質，即有限元的計算模型具有較實際結構偏大的整體剛度。選用減縮積分方案將使有限元計算模型的剛度有所降低，因此有助于提高計算精度；
2.在分析單元過大扭曲時，選用減縮積分更貼近實際情況；
3.減縮積分較完全積分，積分點少，計算效率高。
沙漏問題是在使用縮減積分的過程中可能產生的。
沙漏的產生是一種數值問題，單元自身存在的一種數值問題，舉個例子，對于單積分點線性單元，單元受力變形沒有產生應變能--也叫0能量模式，在這種情況下，單元沒有剛度，所以不能抵抗變形，不合理，所以必須避免這種情況的出現，需要加以控制，既然沒有剛度，就要施加虛擬的剛度以限制沙漏模式的擴展---人為加的沙漏剛度就是這么來的。
在使用umat子程序時，采用縮減積分單元后，沙漏控制剛度是通過材料屬性中的彈性性質定義的，這些剛度基于材料初始剪切模量的值。但是在使用umat時，Abaqus對程序輸入文件進行預處理時得不到剪切模量的數值，所以這時候必須通過hourglass stiffness定義具有沙漏模式的單元的沙漏控制剛度。
展開 abaqus檢驗總結1-論壇整理
線性完全積分單元的缺點：承受彎曲載荷時，會出現剪切自鎖，造成單元過于剛硬，即使劃分很細的網格，計算精度仍然很差。
二次完全積分單元的優點：
應力計算結果很精確，適合模擬應力集中問題；
一般情況下，沒有剪切自鎖問題。
二次完全積分單元的缺點：
不能用于接觸分析；
對于彈塑性分析，如果材料不可壓縮（例如金屬材料），則容易產生體積自鎖；
當單元發生扭曲或彎曲應力有梯度時，有可能出現某種程度的自鎖。
線性減縮積分單元在單元中心只有一個積分點，存在沙漏數值問題而過于柔軟。采用這種單元模擬承受彎曲載荷的結構時，沿厚度方向上至少應劃分四個單元。
線性減縮積分單元優點：
位移計算結果較精確；
網格存在扭曲變形時（例如Quad 單元的角度遠遠大于或小于90o），分析精度不會受到明顯的影響；
在彎曲載荷下不易發生剪切自鎖。
線性減縮積分單元缺點：
需要較細網格克服沙漏問題；
如果希望以應力集中部位的節點應力作為分析目標，則不能選用此單元。
二次減縮積分單元不但保持線性減縮積分單元的上述優點，還具有如下特點：
即使不劃分很細的網格也不會出現嚴重的沙漏問題；
即使在復雜應力狀態下，對自鎖問題也不敏感。
二次減縮積分單元缺點：
不能用于接觸分析；
不能用于大應變問題；
存在與線性減縮積分單元類似的問題，即節點應力的精度往往低于二次完全積分單元。
非協調模式單元可克服線性完全積分單元中的剪切自鎖問題，僅在ABAQUS/Standard 有。
展開 ABAQUS網格劃分
單元發生扭曲或彎曲應力有梯度時，可能出現某種程度的自鎖
線性縮減積分（細網格以克服沙漏）：
求解位移較精確
網格扭曲變形時，求解精度影響不大
彎曲分析不容易剪切自鎖
可用于接觸分析
應力集中處的節點應力不精確
線性完全積分：（因剪切閉鎖）在小位移時方可用
用于局部應力集中
不用于彎曲（會剪切自鎖）
非協調單元（網格應細分）：
彎曲問題中，厚度方向很少的單元也能保證精度，速度快
單元扭曲不能大
克服了剪切自鎖問題
若單元扭曲小，求解位移、應力精確
楔形、四面體單元（效果差）：
不得已，才在不重要區域用
線性單元精度很差
二次單元精度較高，速度慢，能模擬任意形狀
二次四面體單元適用于小位移無接觸問題，速度慢。
在ABAQUS/Standard中選C3D10，
ABAQUS/Explicit中選。
如有大的塑性變形，或接觸，也應選修正的二次四面體單元
雜交單元：用于不可壓縮或近似不可壓縮材料
三維實體：
線性縮減積分：
沙漏：線性縮減積分單元模擬彎曲，積分點所有應力分量為零，變形能為零，單元沒有剛度。粗網格情況下，這種零能量模式擴展，使結果無意義。
線性縮減積分單元模擬彎曲，在厚度方向至少采用四個單元。---為防止沙漏。
剪切閉鎖：彎曲時，線性完全積分單元的邊不能彎曲。
展開 
ABAQUS熱-應力分析的單元選擇
（4）沒有薄膜剪切應變。
因此，采用二階實體單元模擬彎曲變形時，軸向應變等于初始水平線長度的改變，厚度方向的應變為零，剪切應變為零。
使用二階實體單元模擬彎曲
使用使用一階完全積分實體單元模擬彎曲變形，該單元在積分點處探測到剪切應變。由于部分能量用于剪切變形而非彎曲變形，因此造成過于剛硬的材料行為，即通常稱為剪切自鎖。
使用一階完全積分實體單元模擬彎曲
ABAQUS提供的一階減縮積分單元模擬彎曲時，可以消除剪切自鎖。由于這種單元只在形心處有一個積分點，因此厚度方向不能探測到彎曲引起的應變，即產生沙漏問題。這種單元中的每個單元都可以捕捉到軸向的拉伸或壓縮應變,但不會在一個單元同時捕捉到這兩種應變，軸向應變可以被準確度量，厚度方向和剪切應變都是零，是廉價高效的單元類型。
非協調模式單元是模擬彎曲為主的問題中性價比最高的實體單元。厚度方向上只需一個單元即可模擬彎曲變形。
在做熱-應力分析時，由于單元的選擇不合適，或網格布置不合適，常會產生不真實的結果。因此，需要結合實際謹慎選擇。同時，對熱-應力分析的模型網格劃分，還有如下建議：
（1）溫度梯度很大的區域應適當加密網格，以精確捕捉產生的熱應變梯度。
（2）為了避免結構的過約束,在單元選擇和邊界條件施加時應特別小心。
上述內容不僅適合于順序熱-應力分析以及絕熱分析，也適合于完全耦合分析中的溫度-位移耦合分析。
文章轉自有限元在線博客，分享給大家學習交流
展開 有限元筆記#2：什么是沙漏現象？為什么減縮積分線性單元會存在沙漏問題？
我們在前一篇博文中簡述了有限元中的數值積分機理：
數峰青，公眾號：數峰青
有限元筆記#1：什么是剪切自鎖？為什么完全積分線性單元在彎曲載荷下會剪切自鎖？
以一個平面應力問題的四節點矩形單元為例。
單元的坐標系建立在中心。對于這樣一種線性單元，在構造剛度矩陣的時候，需要進行下式所示的積分。
（四節點矩形單元應該是8×8)
其中B矩陣是單元形函數對空間坐標的相關偏導，D矩陣是本構矩陣。該積分中的被積矩陣（8×8）的每一個元素都是一個三元函數，其針對單元域的積分值成為一個剛度系數。如上單元在高斯積分方案下的減縮積分就是取被積函數在積分域中心點的函數值乘以2（曾攀04P178），實際上就是梯形積分公式。
在純彎曲變形加載模式下，該剛度矩陣得出的節點位移向量解具有一定的特征，莊茁P65的圖示（本文圖1）也表示了這種特征：四個節點在2方向的位移相等，1、3節點在1方向上的位移相等，2、4節點在1方向上的位移相等，且它們互為相反數，也即我們可以得到如下形式的一個節點位移向量：
但是需注意，只有在純彎曲加載模式下，才會得到這樣形式的位移向量。
針對上面的線性矩形單元，其應變矩陣如下圖所示：
在減縮積分模式下，例如積分點(0,0)，并將得到的節點位移代入，可以得到該積分點下的應變值為：
可以看出，在該積分點處，應變的三個分量都為0。在非線性分析中，當前增量步得到積分點上的應力應變值需要代入本構曲線中，更新本構數據，進而構造下一個增量步迭代所需要的初始切線剛度矩陣。如果使用了減縮積分的線性單元，即使不是在純彎曲加載模式下，其得到的應力應變值相比理論預示值應該要小（我推測的^_^，沒空詳細證實），所以用這樣的數據構造的切線剛度矩陣相比其他單元構造的切線剛度矩陣要小，這也許就是通常所說的出現沙漏問題的單元“太軟”的緣故。
展開 ABAQUS中的單元選擇
如圖
不足：完全積分的線性單元存在“剪切自鎖”問題，原因是線性單元的邊不能彎曲。在復雜應力狀態下，完全積分的二次單元也有可能發生剪切自鎖。
（2）減縮積分單元：減縮積分單元比完全積分單元在每個方向上少用一個積分點。
完全積分的線性單元只在單元的中心有一個積分點
不足：線性減縮積分單元存在“沙漏模式”的數值問題，有可能過于柔軟。
ABAQUS通過繪制偽應變能(ALLAE)和內能(ALLIE)來評價沙漏模式對計算結果的影響。
（3）非協調單元：
優點：可以克服完全積分，一階單元中的剪力自鎖問題。
特點：在一階單元中引入一個增強單元變形梯度的附加自由度。這種對變形梯度的增強允許一階單元在單元域上對于變形梯度有一個線性變化。
不足：對單元的扭曲很敏感，在使用時必須小心以確保單元扭曲是非常小的。
（4）雜交單元：
應用：當材料行為是不可壓縮（泊松比=0.5）或非常接近于不可壓縮（泊松比>0.475）時，如橡膠材料，采用雜交單元。
特點：對于具有不可壓縮材料性質的任何單元，一個純位移的數學公式是不適宜的，壓應力不能由節點位移計算。雜交單元包含一個可以直接確定單元壓應力的附加自由度，節點的位移場則主要用來計算偏應變和偏應力。
展開 如何才能選出適合于分析的單元類型?
如圖
不足：完全積分的線性單元存在“剪切自鎖”問題，原因是線性單元的邊不能彎曲。在復雜應力狀態下，完全積分的二次單元也有可能發生剪切自鎖。
（2）減縮積分單元：減縮積分單元比完全積分單元在每個方向上少用一個積分點。
完全積分的線性單元只在單元的中心有一個積分點
不足：線性減縮積分單元存在“沙漏模式”的數值問題，有可能過于柔軟。
ABAQUS通過繪制偽應變能(ALLAE)和內能(ALLIE)來評價沙漏模式對計算結果的影響。
（3）非協調單元：
優點：可以克服完全積分，一階單元中的剪力自鎖問題。
特點：在一階單元中引入一個增強單元變形梯度的附加自由度。這種對變形梯度的增強允許一階單元在單元域上對于變形梯度有一個線性變化。
不足：對單元的扭曲很敏感，在使用時必須小心以確保單元扭曲是非常小的。
（4）雜交單元：
應用：當材料行為是不可壓縮（泊松比=0.5）或非常接近于不可壓縮（泊松比>0.475）時，如橡膠材料，采用雜交單元。
特點：對于具有不可壓縮材料性質的任何單元，一個純位移的數學公式是不適宜的，壓應力不能由節點位移計算。雜交單元包含一個可以直接確定單元壓應力的附加自由度，節點的位移場則主要用來計算偏應變和偏應力。
展開 