離散的案例
在數值模擬過程中，離散化的目的是什么？如何對計算區域進行離散化？離散化時通常使用哪些網格？如何對控制方程進行離散？離散化常用的方法有哪些？它們有什么不同？
首先說一下CFD的基本思想：把原來在時間域及空間域上連續的物理量的場，如速度場，壓力場等，用一系列有限個離散點上的變量值的集合來代替，通過一定的原則和方式建立起關于這些離散點上場變量之間關系的代數方程組，然后求解代數方程組獲得場變量的近似值。
然后，我們再討論下這些題目。
離散化的目的： 我們知道描述流體流動及傳熱等物理問題的基本方程為偏微分方程，想要得它們的解析解或者近似解析解，在絕大多數情況下都是非常困難的，甚至是不可能的，就 拿我們熟知的Navier-Stokes方程來說，現在能得到的解析的特解也就70個左右；但為了對這些問題進行研究，我們可以借助于我們已經相當成熟的 代數方程組求解方法，因此，離散化的目的簡而言之，就是將連續的偏微分方程組及其定解條件按照某種方法遵循特定的規則在計算區域的離散網格上轉化為代數方 程組，以得到連續系統的離散數值逼近解。
計算區域的離散及通常使用的網格： 在對控制方程進行離散之前，我們需要選擇與控制方程離散方法相適應的計算區域離散方法。網格是離散的基礎，網格節點是離散化的物理量的存儲位置，網格在離 散過程中起著關鍵的作用。網格的形式和密度等，對數值計算結果有著重要的影響。一般情況下，二維問題，有三角形單元和四邊形，三位問題中，有四面體，六面 體，棱錐體，楔形體及多面體單元。網格按照常用的分類方法可以分為：結構網格，非結構網格，混合網格；也可以分為：單塊網格，分塊網格，重疊網格；等等。 上面提到的計算區域的離散方法要考慮到控制方程的離散方法，比如說：有限差分法只能使用結構網格，有限元和有限體積法可以使用結構網格也可以使用非結構網 格。
控制方程的離散及其方法：上面已經提 到了離散化的目的，控制方程的離散就是將主控的偏微分方程組在計算網格上按照特定的方法離散成代數方程組，用以進行數值計算。
展開 離散單元法——非連續介質模擬的有效手段 附離散單元法及其在EDEM上的實踐下載
當然，針對上述問題，廣大科研工作者們也在離散單元方法的基礎上，開發出了一系列高效的數值計算軟件，如采用GPU進行并行計算求解的MatDEM大大提高了離散元問題的計算效率；又如開源的離散元程序LIGGGHTS，能夠引入OpenFoam來實現流固耦合問題的精確求解。
5. Conclusion
結 語
總體來說，作為一種非連續介質的數值計算方法，離散單元法從被創立至今一直承載著國內外科研工作者們的關注和重視，并在原有基礎上不斷完善和發展。隨著計算機技術的發展，基于離散單元法的數值模擬研究正不斷地向精細化、規模化和多尺度的方向發展，并將逐漸成為各工程領域不可缺少的數值計算方法之一。
下載地址：離散單元法及其在EDEM上的實踐
展開 有限元與離散元。
目前世界上結構計算方法一般分為有限元（FEM finite element method）、離散元（DEM discrete element method）、還有邊界元(EEM)。
離散元方法是由分析離散單元的塊間接觸入手找出其接觸的本構關系建立接觸的物理力學模型并根據牛頓第二定律對非連續、離散的單元進行模擬仿真。而有限元方法是將介質復雜幾何區域離散為具有簡單幾何形狀的單元通過單元集成、外載和約束條件的處理得到方程組再求解該方程組就可以得到該介質行為的近似表達。
離散元方法的基本概念
離散元方法也被稱為散體單元法，最早是1971年由Cundall 提出的一種不連續數值方法模型離散元理論是由分析離散單元的塊間接觸入手找出其接觸的本構關系建立接觸的物理力學模型并根據牛頓第二定律建立力、加速度、速度 及其位移之間的關系對非連續、離散的單元進行模擬仿真。
離散元法是專門用來解決不連續介質問題的數值模擬方法。該方法把節理巖體視為由離散的巖塊和巖塊間的節理面所組成,允許巖塊平移、轉動和變形,而節理面可被壓縮、分離或滑動。因此,巖體被看作一種不連續的離散介質。其內部可存在大位移、旋轉和滑動乃至塊體的分離,從而可以較真實地模擬節理巖體中的非線性大變形特征。離散元法的一般求解過程為:將求解空間離散為離散元單元陣,并根據實際問題用合理的連接元件將相鄰兩單元連接起來;單元間相對位移是基本變量,由力與相對位移的關系可得到兩單元間法向和切向的作用力;對單元在各個方向上與其它單元間的作用力以及其它物理場對單元作用所引起的外力求合力和合力矩,根據牛頓運動第二定律可以求得單元的加速度;對其進行時間積分,進而得到單元的速度和位移。從而得到所有單元在任意時刻的速度、加速度、角速度、線位移和轉角等物理量。
展開 Fracman讀取FLAC3D生成的離散斷裂網絡(DFN)模型
5 DFN相關鏈接Top 15
一個階段性的小結: 離散斷裂網絡DFN
離散斷裂網絡 (DFN) [P2]: fracture generate
離散斷裂網絡Discrete Fracture Network (DFN）[P1]
離散斷裂網絡DFN---從流體到固體的模擬
6款離散斷裂網絡(DFN)模擬工具簡介
離散斷裂網絡(DFN)[P5]: FLAC3D中的DFN
離散斷裂網絡(DFN)[P3]: fracture contact-model
離散斷裂網絡DFN模型總結
離散斷裂網絡DFN模型---Veneziano Model
斷裂強度的不同測量方法(Different Measures of Fracture Intensity)
離散斷裂網絡DFN模型---Baecher Model
巖石破壞路徑的搜索算法
斷裂產狀(Fracture Orientation)的概率密度函數---Fisher分布
離散斷裂網絡(DFN)[P4]: 創建一個合成巖體SRM
體積斷裂強度P32(Volumetric Fracture Intensity)聚合
展開 
RP 系列激光分析設計軟件 | 空間離散
這種現象稱為空間離散、雙折射離散或坡印廷矢量離散（不要與時間離散混淆），與坡印廷矢量和波矢量之間的某個有限角度ρ（稱為離散角）有關。坡印亭矢量定義了能量傳輸的方向，而波矢量垂直于波陣面。
空間離散僅發生在具有特殊偏振態的光束中，該光束相對于光軸以某個角度θ傳播，因此折射率 ne 和相速度依賴于該角度。然后可以通過下式計算離散角
其中負號表示離散發生在折射率降低的方向上。特殊折射率ne及其導數是特定角度θ的值。具有普通偏振的光束（其中折射率不依賴于傳播角）不會發生離散。
在圖1中夸大了走離角的大小。在典型情況下，它在幾毫弧度和幾十毫弧度之間的范圍內。對于接近折射率橢球軸之一的傳播方向，離散甚至可以變得更小。
一個例子
例如，假設一束激光束在鈮酸鋰晶體的x-z平面內沿某一方向傳播。這種材料是負單軸的，這意味著沿z軸（即光軸）偏振時折射率最小。在光束軸和z軸之間存在一定角度θ（<90°）的情況下，折射率隨著θ的增大而減小。因此，離散指向更大的θ，即遠離光軸。圖2顯示了計算結果。
圖2：室溫下LiNbO3晶體中635nm激光光束的折射率和離散角與z軸傳播角的函數關系。
非線性互相作用中的空間離散
在基于非線性晶體中臨界相位匹配的非線性頻率轉換方案中會遇到空間離散。其結果是，在聚焦光束內相互作用的波在傳播過程中失去了它們的空間重疊，因為那些具有特殊偏振的波經歷了離散，而那些具有普通偏振的波則不是這種情況。（注意，雙折射相位匹配必然涉及具有兩種偏振態的光束。)實際上，可以限制有效的相互作用長度，從而限制轉換效率，并且產物光束的空間輪廓會變寬，光束質量會降低。
展開 離散單元法——非連續介質模擬的有效手段
離散單元法的局限性
雖然離散單元法能夠有效模擬巖土體的非連續性、不均勻性以及大變形破壞，在地質、巖土工程和能源開采等領域有非常廣泛的應用價值，但是我們也要意識到，離散元法在應用于實際工程問題時也面臨著許多困難：
（1）離散元的計算量巨大。以常用的離散元軟件PFC為例，其模擬的對象通常是細微觀的物質，所以它所建立的模型尺寸非常有限，而且在數值模擬的時候通常需要迭代計算至少一百萬次，迭代計算量非常大。
（2）定量建模困難。離散元模擬過程當中，通常都是賦予顆粒接觸參數和接觸模型來進行計算，使得其表現出的宏觀力學性質和實際材料的宏觀力學性質相匹配，而這種堆積模型的宏觀力學性質和單元力學參數間的關系是不明確的，需要進行大量的調試實現兩者的匹配。
（3）多場耦合理論尚未完善。現代工程中常常面臨多場和多相耦合的問題，如流固耦合、熱固耦合，而這些問題在離散單元法中實現的理論還不夠完善，一定程度上限制了離散單元法應用的范圍。
當然，針對上述問題，廣大科研工作者們也在離散單元方法的基礎上，開發出了一系列高效的數值計算軟件，如采用GPU進行并行計算求解的MatDEM大大提高了離散元問題的計算效率；又如開源的離散元程序LIGGGHTS，能夠引入OpenFoam來實現流固耦合問題的精確求解。
5. 結語
總體來說，作為一種非連續介質的數值計算方法，離散單元法從被創立至今一直承載著國內外科研工作者們的關注和重視，并在原有基礎上不斷完善和發展。隨著計算機技術的發展，基于離散單元法的數值模擬研究正不斷地向精細化、規模化和多尺度的方向發展，并將逐漸成為各工程領域不可缺少的數值計算方法之一。
參考文獻：
[1] Cundall P A.
展開 “離散元數值模擬仿真技術與應用”系列專題
關于舉辦“離散元數值模擬仿真技術與應用”系列專題培訓的通知
一、培訓背景：
3DEC是非連續巖石力學與結構問題的首選分析程序，從巖石邊坡失穩的發展研究到地下工程挖掘和巖石地基工程中節理巖體、斷層、層理等結構影響的模擬估算，3DEC在復雜行業問題研究有很大優勢。
PFC離散元計算方法在巖體的動態、非線性過程的數值計算方面較傳統的連續元有獨特的優勢和進步，在PFC計算中無需給定材料的宏觀本構關系和對應的參數，這些傳統的參數和力學特性在程序中可以自動得到。
離散元數值模擬試驗的方法可以解決傳統試驗造價高、操作繁瑣、材料模型復雜等難題，并且可以精確化數值，在科研工作中發揮了非常重要的作用。應新老客戶培訓需求，北京軟研國際信息技術研究院舉辦“離散元數值模擬仿真技術與應用“系列專題培訓班，本次培訓由互動派（北京）教育科技有限公司具體承辦。具體事宜通知如下：
二、培訓目標：
1、本次課程分為2個專題，每個專題分別授課4天，分兩階段授課，均提供無限次回放視頻。課程對知識進行由淺入深系統講解，配合案例解析邊講邊練；課堂上連麥答疑，并發送全部案例模型文件，建立永不解散的課程群，長期互動答疑。
2、3DEC課程系統學習巖土工程數值模擬方法，包括3DEC實體建模、內置FISH語言編寫程序來擴展3DEC的有效性、3DEC節理/接觸面/結構單元、靜力學分析、流固耦合、非線性動力模擬、3DEC后處理。每個知識點都帶有案例實操鞏固練習，將知識點滲透融會貫通。
3、PFC課程詳細介紹軟件的計算控制、離散元數值試樣的生成方法、接觸模型選擇、參數標定、模型邊界條件施加方法、PFC3D與FLAC3D耦合、離散—連續耦合模擬分析、PFC與CFD耦合、流固耦合框架等多個知識點，全面掌握PFC離散元整套的仿真應用框架。
4、每個專題都涵蓋多個工程實例模擬分析。
展開 離散元與有限元優缺點（附inp文件）
來源：ABAQUS大世界 （ABAQUSworld）
文末有離散元法模擬攪拌過程案例文件
目前世界上結構計算方法一般分為有限元（FEM finite element method）、離散元（DEM discrete element method）、還有邊界元(EEM)。
離散元方法是由分析離散單元的塊間接觸入手找出其接觸的本構關系建立接觸的物理力學模型并根據牛頓第二定律對非連續、離散的單元進行模擬仿真。而有限元方法是將介質復雜幾何區域離散為具有簡單幾何形狀的單元通過單元集成、外載和約束條件的處理得到方程組再求解該方程組就可以得到該介質行為的近似表達。
離散元方法的基本概念
離散元方法也被稱為散體單元法，最早是1971年由Cundall 提出的一種不連續數值方法模型離散元理論是由分析離散單元的塊間接觸入手找出其接觸的本構關系建立接觸的物理力學模型并根據牛頓第二定律建立力、加速度、速度 及其位移之間的關系對非連續、離散的單元進行模擬仿真。
離散元法是專門用來解決不連續介質問題的數值模擬方法。該方法把節理巖體視為由離散的巖塊和巖塊間的節理面所組成,允許巖塊平移、轉動和變形,而節理面可被壓縮、分離或滑動。
因此，巖體被看作一種不連續的離散介質。其內部可存在大位移、旋轉和滑動乃至塊體的分離,從而可以較真實地模擬節理巖體中的非線性大變形特征。
展開 Fidelity Pointwise補救措施處理解析和離散幾何類型的缺點
如果分析人員沒有能力提高離散幾何的分辨率，則可能的解決方案可能是在離散點之間創建高階插值而不是線性插值。
文章來源：Cadence博客
ABAQUS中離散剛體與解析剛體對比
而ABAQUS中提供了2種剛體類型：離散剛體和解析剛體，二者有一些共同點也有不同點，下面將對比介紹一下。
相同點
1. 離散剛體與解析剛體都是通過一個參考點來控制剛體的運動，計算時只是在參考點上積分，而剛體的外形只是用于判斷接觸面。
2. 在Part或者Property模塊中，通過Tool---Reference Point來指定參考點；在Property模塊中，通過Special---Inertia來設置積分點上的質量或者轉動慣量；在Load中，邊界條件、荷載以及速度均施加在這個參考點上。
3. 二者均不需要賦予材料屬性和截面屬性。
不同點
1. 建模方面
二者可創建的形狀有一定差異。離散剛體可創建的形狀與變形體一樣，能夠創建復雜一些的形狀。二維離散剛體可創建wire和point，三維離散剛體可創建solid、shell、wire和point。
但需要注意，離散剛體中只有shell和wire類型才能設置為剛體單元類型，如果是solid類型，在Instance模塊將無法創建Instance，出現如下提示：
所以在創建solid的離散剛體后，需要通過在Part模塊中Shape---Shell---From Solid，將solid轉為shell類型。
而解析剛體中，二維模型只能使用wire，三維模型只能用殼體的拉伸和旋轉。
2.
展開 巖土工程【PFC、3Dec】離散元數值模擬
DEM、光滑粒子流方法SPH、物質點法MPM）
1.3基于塊體的模擬方法
2 離散元與PFC軟件操作
2.1 離散元的基本原理（計算原理、宏觀參量與微觀參量的關系）
2.2 PFC軟件界面操作
2.3文件系統
2.4顯示控制
2.5幫助文檔的使用
FISH、PYTHON語言及COMMAND命令
3 PFC軟件的計算控制方法
3.1 PFC計算控制的語言邏輯
3.2 FISH語言（基本語法、函數定義與調用、創建模型、控制模擬過程、處理模擬結果、FISH Callback操作等）
3.3 COMMAND命令（命令結構、創建模型、狀態監測與繪圖、控制模擬過程、求解控制、狀態查詢、與FISH語言的混合使用等）
3.4 PYTHON語言（基本語法、Numpy庫的使用、接口的使用等）
離散元模擬方法
4 離散元模擬方法
4.1離散元數值試樣的生成方法
4.1.1單元試樣模型生成方法
4.1.2邊值問題（場地）模型生成方法
4.1.3連續—非連續耦合模型生成方法
4.1.4復雜顆粒形狀的模擬方法（Rblock方法、Clump方法）
4.2接觸模型選擇與參數標定
4.2.1離散元接觸模型的選擇原則—12個內置模型
4.2.2接觸模型參數的標定方法與參數意義—以膠結顆粒材料（巖石、膠結砂土等）為例，講授參數標定步驟
4.3其他問題
展開 
離散元數值模擬系列—【PFC】-【3Dec】
DEM、光滑粒子流方法SPH、物質點法MPM）
1.3基于塊體的模擬方法
2 離散元與PFC軟件操作
2.1 離散元的基本原理（計算原理、宏觀參量與微觀參量的關系）
2.2 PFC軟件界面操作
2.3文件系統
2.4顯示控制
2.5幫助文檔的使用
FISH、PYTHON語言及COMMAND命令
3 PFC軟件的計算控制方法
3.1 PFC計算控制的語言邏輯
3.2 FISH語言（基本語法、函數定義與調用、創建模型、控制模擬過程、處理模擬結果、FISH Callback操作等）
3.3 COMMAND命令（命令結構、創建模型、狀態監測與繪圖、控制模擬過程、求解控制、狀態查詢、與FISH語言的混合使用等）
3.4 PYTHON語言（基本語法、Numpy庫的使用、接口的使用等）
離散元模擬方法
4 離散元模擬方法
4.1離散元數值試樣的生成方法
4.1.1單元試樣模型生成方法
4.1.2邊值問題（場地）模型生成方法
4.1.3連續—非連續耦合模型生成方法
4.1.4復雜顆粒形狀的模擬方法（Rblock方法、Clump方法）
4.2接觸模型選擇與參數標定
4.2.1離散元接觸模型的選擇原則—12個內置模型
4.2.2接觸模型參數的標定方法與參數意義—以膠結顆粒材料（巖石、膠結砂土等）為例，講授參數標定步驟
4.3其他問題
展開 CFD理論|離散方程的誤差及穩定性
相同網格密度下，截斷誤差的階數提高，離散誤差會隨之減小；同一離散格式，網格加密，離散誤差也會減小。
5.離散方程的收斂性
當時間步長與空間步長趨近于0，如果各個節點的離散誤差都趨近于0，說明該離散方程(或離散格斯)是收斂的。
6.舍入誤差
離散方程再求解過程中不避免會引入舍入誤差。
數字信號處理 第一章 離散時間信號和系統（1）
確定性信號和隨機信號、連續信號和離散信號、能量信號和功率信號。重點看連續信號和離散信號！！！
如果信號的自變量和函數值都取連續值，則稱這種信號為模擬信號或者時域連續信號，例如語音信號、溫度信號等。
如果自變量取離散值，而函數值取連續值，則稱這種信號為時域離散信號，這種信號通常來源于對模擬信號的采樣。
如果信號的自變量和函數值均為離散值，則稱為數字信號。計算機或數字信號處理芯片的位數是有限的，用它們分析與處理信號，信號的函數值必須用有限位二進制表示，這樣的信號取值不再是連續的，而是離散值，這種用有限位二進制編碼表示的時域離散信號就是數字信號，數字信號就是幅度量化了的時域離散信號。
講了這么多，
同學們有沒有離散的概念呢？
原來圖像也是數字信號啊！
對的，就是一個二維數組。
matlab中很多操作圖像的函數。
例子如下：
fig_tif = imread('***.tif'); %輸入圖像J1_tif = mirror(fig_tif ,1);%原圖像的水平鏡像J2_tif = mirror(fig_tif ,2);%原圖像的垂直鏡像
J3_tif = mirror(fig_tif ,3);%原圖像的水平垂直鏡像
注意：mirror函數針對的是低級版本的MATLAB，目前高級版本的MATLAB已經不支持mirror函數了.如果你用了mirror函數后，命令行窗口出現各種報錯，說明你的版本太高了。此時需要使用flipdim函數，參數設置跟mirror函數一樣。我當年學的是mirror函數，說明我老了。
來源：matlab仿真工匠
展開 新論文 | 顆粒材料不確定性量化的隨機離散元方法
研究背景
土體等離散顆粒材料存在著不可忽視的隨機性，這對其力學行為有著強烈的不確定性影響 (Phoon & Kulhawy 1999, Huang et al. 2010, Li et al. 2015)。然而，囿于顆粒材料確定性離散元精細化建模與分析 (O'Sullivan 2011, Liu et al. 2022, 2023) 的復雜性和高昂計算成本，傳統方法難以對其進行隨機力學行為的精細化分析。本研究將概率密度演化理論 (Li & Chen 2009, Chen et al. 2016, Li & Wang 2022) 應用于巖土工程領域，與精細化確定性離散元分析技術相結合，提出了一類分析顆粒材料隨機力學行為的非侵入式隨機離散元方法。
工作概述
本研究建立的針對顆粒材料隨機力學行為分析的
隨機離散元方法框架
大致分為
4
個步驟：
1. 根據試驗數據對
隨機源
進行概率建模，獲得隨機源變量的概率分布；
2. 依據建立的隨機源概率分布模型，進行基本隨機變量的
概率空間剖分
，生成一系列代表性點及其賦得概率；
3. 在每個代表性點下，對顆粒材料代表性體積元進行
確定性離散元分析
，獲得其關鍵力學響應隨應變的演化曲線；
4. 將代表性點下的賦得概率和確定性響應信息代入
Li-Chen 方程
，采用概率密度演化方法數值求解獲得關鍵響應量和隨機源變量的聯合概率密度函數，進而積分獲得關鍵響應量的概率分布。
研究框架的整體分析流程如下圖所示：
數值結果
應力比隨應變的概率密度演化特征：
(a. 概率密度云圖; b. 概率密度曲面; c. 均值和2倍標準差; d.
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