MP-PIC的案例
濃相氣固流動模型：MP-PIC
本文為MP-PIC模型簡介，后續文章將詳細介紹
固相應力模型和MP-PIC的數值實現、
MP-PIC在OpenFOAM中的具體實現。敬請關注！
【參考文獻】
[1] Snider, D.M., An Incompressible Three-Dimensional Multiphase Particle-in-Cell Model for Dense Particle Flows. Journal of Computational Physics, 2001. 170(2): p. 523-549.
[2] O'Rourke, P.J. and D.M. Snider, Inclusion of collisional return-to-isotropy in the MP-PIC method. Chemical Engineering Science, 2012. 80: p. 39-54.
[3] O’Rourke, P.J. and D.M. Snider, An improved collision damping time for MP-PIC calculations of dense particle flows with applications to polydisperse sedimenting beds and colliding particle jets.
展開 MP-PIC固相運動的數值實現
在MP-PIC中，將顆粒相信息分配到每個顆粒，讓它們單獨攜帶并在一個時間步內以彼此獨立的特定屬性運動。當進入下一個時間步后，先將網格內屬于此網格或影響此網格的所有粒子信息收集，在歐拉網格上重新構建出連續的顆粒相場以便計算顆粒間作用力。因而可以將顆粒相既當做連續相又可以當做離散相。
圖2為MP-PIC求解流程圖，其中（a）為氣固相求解，（b）為固相求解。
圖2 MP-PIC求解流程圖
新時間層的顆粒位置可以通過對方程積分得到更新：
方程4
顆粒速度則通過對加速度方程積分得到，對所有項都采用新時間層的量后有隱式形式
方程5
其中：
為顆粒位置的插值隱式速度；
為顆粒位置的插值隱式氣相壓力梯度；
為顆粒位置的插值隱式固相壓力梯度。
、和為從歐拉網格中心點上計算得到的平均場量在數值粒子所處位置的插值。
圖3為考慮了顆粒阻尼耗散和各項同性松弛對顆粒運動影響的示意圖。在這其中顆粒應力模型通常是一個分段函數，在顆粒體積分數接近最大堆積濃度時，會得到間斷解，容易導致數值不穩定。
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