1.問題描述

如下圖所示剛性支承兩圓盤轉(zhuǎn)子，圓盤質(zhì)量m=102kg，半徑R=500mm，轉(zhuǎn)軸的直徑d=50mm，a=400mm，設圓盤偏心e1=0.05mm，e2=0.03mm，φ1=30°，φ2=60°。求該轉(zhuǎn)子渦動頻率、振型、臨界轉(zhuǎn)速及不平衡響應。（詳見《轉(zhuǎn)子動力學》鐘一諤 第二章剛性支承多圓盤轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速和不平衡響應，例子源于P29）

剛性支承兩圓盤轉(zhuǎn)子

設圓盤的質(zhì)量、直徑轉(zhuǎn)動慣量和極轉(zhuǎn)動慣量分別為mi、Jdi和Jpi（i=1，2）、各軸段長為a，抗彎剛度為EI，其運動微分方程為：

其中

柔度矩陣是

而

因此系統(tǒng)在xos平面的運動微分方程是

為求轉(zhuǎn)子的模態(tài)頻率及模態(tài)振型，只需通過在任一固定平面內(nèi)的運動微分方程即可求得，令

代入上式

故頻率方程為

這是一個有關w的8次代數(shù)方程，對于給定的Ω，可解出4個正向渦動角速度和4個反向渦動角速度。繪制渦動角速度隨自轉(zhuǎn)角速度變化曲線可得坎貝爾圖，令Ω分別等于±w代入頻率方程，即可分別解出在同步正渦動和同步反渦動下的臨界轉(zhuǎn)速。

所謂轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速通常是指同步正向渦動時的臨界轉(zhuǎn)速。對于本算例的兩圓盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，臨界轉(zhuǎn)速只有兩個，即1158r/min和3183r/min。

在無阻力情況下，當各圓盤具有偏心的不平衡質(zhì)量時，令

則轉(zhuǎn)子的運動微分方程可寫成

其中

設不平衡響應的特解為

其中{A}為待定的復數(shù)列陣。把特解代入運動微分方程可得

這是2N個線性非齊次代數(shù)方程組，對于給定的Ω，上式等號左邊各項系數(shù)均為實數(shù)，可以解得

因為{Q}是2N階復數(shù)列陣，其中有N個元素為零，故{A}中每一元素均為N個復數(shù)之和，即仍為一復數(shù)，故可表為

其中ai、ei（i=1，2，...N）都是已確定的值，代入特解可得

對于本例子，把數(shù)據(jù)代入特解表示的運動微分方程可得

其中

則當Ω=250 1/s時，可解得

2.APDL分析

采用MASS21單元模擬圓盤，采用BEAM188單元模擬轉(zhuǎn)軸，軸的支承處為簡支約束。

后處理中采用PLCAMP命令得到坎貝爾圖如下。

從圖1可以看出，轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速按階數(shù)由低到高分別為546.41prm、1148.76rpm、2217.89rpm、3162.96rpm、2097.02rpm、0、3591.12rpm、0，與理論解一致。

在諧響應分析中，以復數(shù)形式輸入偏向質(zhì)量所產(chǎn)生的不平衡力（X軸為旋轉(zhuǎn)軸）。

對于圓盤1為

對于圓盤2為

在后處理中采用PLVAR命令輸出圓盤1和圓盤2節(jié)點的總位移變化曲線。

從圖2可以看出，曲線在19.2Hz和52.7Hz出現(xiàn)峰值，該兩個峰值頻率對應同步正進動（渦動）臨界轉(zhuǎn)速1152rpm和3162rpm，與模態(tài)分析結(jié)果相對應。

當頻率為19.2Hz時，采用PLORB命令得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸心軌跡圖如下。

當頻率為52.7Hz時，采用PLORB命令得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸心軌跡圖如下。

當轉(zhuǎn)速為250 1/s，即39.8Hz時，采用PLORB命令轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸心軌跡圖如下。

采用PRORB命令輸出該轉(zhuǎn)速下的軸心軌跡數(shù)據(jù)，兩圓盤中心軌跡為

圖6中A代表橢圓的長軸、B代表橢圓的短軸，圓盤1的軸心軌跡是半徑為0.797e-4m的圓，圓盤2的軸心軌跡是軌跡為半徑0.308e-4m的圓，與理論解一致。

3.Workbench分析

在WB中，先做模態(tài)分析，得各階振型、坎貝爾圖及臨界轉(zhuǎn)速；再做諧響應分析，得到指定不平衡力引起的幅值和相位隨頻率變化曲線，同時可以在后處理中擴展commands查看結(jié)果；最后還可以把結(jié)果導入經(jīng)典APDL中豐富后處理。

分析模塊

坎貝爾圖

在諧響應分析后處理中采用chart得到圓盤1和圓盤2的總位移隨頻率變化曲線。

從上圖可以看出，曲線在19.2Hz和52.5Hz出現(xiàn)峰值，該兩個峰值頻率對應同步正進動（渦動）臨界轉(zhuǎn)速1152rpm和3150rpm，與模態(tài)分析結(jié)果相對應。

在38.9Hz下的轉(zhuǎn)子系總位移云圖（直接后處理與插入commands對比）

直接后處總位移云圖

插入commands顯示總位移云圖

把WB的結(jié)果導入經(jīng)典APDL中，豐富后處理結(jié)果，下圖為39.8Hz下的軸心軌跡圖。

4.結(jié)果對比

臨界轉(zhuǎn)速結(jié)果對比

臨界轉(zhuǎn)速

一階反

一階正

二階反

二階正

三階反

三階正

四階反

四階正

理論解

-545

1158

-2100

3183

-2223

0

-3518

0

APDL

546.41

1148.76

2217.89

3162.96

2097.02

0

3591.12

0

WB

546.27

1147.1

2214.1

3148.3

2093.5

0

3568.8

0

兩圓盤軸心軌跡對比（39.8Hz下）

圓盤1

圓盤2

理論解

0.7718e-4

0.3181e-4

APDL

0.797e-4

0.308e-4

WB

0.80675e-4

0.32761e-4

5.分析過程

• 建立d=50mm，l=1200mm線體模型導入Mechanical中，在圓盤的位置添加質(zhì)量點來模擬圓盤如下：

分析過程及命令流、源文件詳見付費內(nèi)容

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