線性方程組
關注創建者：神工坊（高性能仿真） 創建時間：2022-03-30
線性方程組的視頻教程
ABAQUS UEL/UMAT子程序綜合實例訓練營
UEL、UMAT子程序嵌入線性方程組求解、非線性方程組迭代求解子程序。 11. UEL、UMAT子程序本構方程或雅克比矩陣(包括二維平面應力、二維平面應變、三維各向同性、三維各向異性、三維橫觀各向同性、軸對稱單元本構及其他自定義本構（比如隨時間、溫度等變化）)。
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Abaqus UMAT二次開發（三）——非線性有限元求解流程 及UMAT調用原理
Abaqus UMAT二次開發（三）——非線性有限元求解流程 及UMAT調用原理 1、課程簡介 2、Newdon-Raphson 方法 3、Newdon-Raphson 求解流程及算例 4、Modified-Newdon-Raphson 方法 5、增量迭代法詳解 6、非線性有限元分析流程及UMAT調用原理 Newdon-Raphson 方法如何求解非線性方程組？其核心思想是什么？
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線性方程組的實例教程
在有限元程序開發中，線性方程組的求解是一個重要組成部分。在百萬自由度大規模計算的情況下，線性方程組的高效快速求解對整個求解器的計算效率有著至關重要的作用。無論實際上計算的是線性問題，還是各種非線性問題，最終都需要落實到線性方程組的求解上去。非線性方程組的求解實際上往往就是多次求解線性方程組。
目前，線性方程組的求解主要分為直接法和迭代法兩種。
在之前的文章[數值算法與編程]高斯消去法中，我們討論的高斯消去法就是直接法的一種。而本文即將討論的共軛梯度法，是迭代法的一種，并且，其屬于目前求解對稱線性方程組的主要迭代方法。各大商業有限元軟件，在面臨對稱線性方程組的求解時幾乎都會選用各種變化形式的共軛梯度法進行求解。
共軛梯度法的具體原理和算法如下：
假定要求解的對稱線性方程組是：
其中，A是對稱正定的系數矩陣。
則實際上待求的解也是方程
取得最小值的時候的解。
求該方程的最小值的常見方法是最速下降法，該方法算法偽代碼如下：
該方法實際上是沿著負梯度方向進行搜索，直至殘量接近0，較為簡便，但是在條件數很大時，該方法收斂很慢。
展開 enddo
write(*,*)"the solution of equation:"
write(*,"(es18.8)")x
end subroutine bicgstab
依據上述過程編寫程序，計算前述非對稱矩陣線性方程組求解結果：
采用matlab求解該方程組的解：
通過對比可知11次迭代已經獲得即為準確的結果。實際上，對于該方法也可以通過一定的預處理方式，使得其所需要的迭代次數更少。
以上，就是穩定雙共軛梯度法求解線性方程組的內容，感謝您的閱讀！
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展開 背景
在工業仿真領域，對各種現實世界的問題進行數值模擬時，如流體動力學分析、電磁場仿真、結構力學應力應變分析等，其控制方程通常是偏微分方程組，在經過不同方法的隱式離散之后最終都可轉化為大型稀疏線性方程組。隨著人們對計算精度要求的不斷提高，方程組的階數也從上千階、幾十萬階提高到百萬、千萬階甚至更高，所需的計算量以及存儲需求也隨之迅速膨脹。根據一般經驗，方程組求解時間會占總計算時間的70%以上，往往是整個計算過程中的性能瓶頸。如果說求解器是工業CAE軟件的核心模塊，那么大型稀疏線性方程組的求解技術將毫無疑問是底層求解器的核心。
NASA翼型網格經過離散得到的稀疏矩陣（素材來源于網絡）
方法
眾所周知，稀疏線性方程組的求解方法可以分為直接法和迭代法 ，兩類方法各有優劣，特點比較如下：
迭代法[1]：
對于不同類型稀疏矩陣表現差異較大，存在收斂性與收斂速度問題，催生了許多預處理技術（Preconditioners）；
對原矩陣的編輯很少，SpMV(Sparse matrix-vector multiplication)是其核心運算；
內存需求小，求解速度較快，算法復雜度低；
較易實現并行化。
直接法[2]：
通用、穩定；通過前后處理，能夠保證計算的收斂性與精度；
對原矩陣的編輯多（分解、排序、縮放等）；
內存需求大，求解速度慢，算法復雜度更高；
并行度有限。
其中迭代法的種類很多，可以分為定常（Stationary）迭代法與非定常迭代法[3]。
展開 一、背景
在工業仿真領域，對各種現實世界的問題進行數值模擬時，如流體動力學分析、電磁場仿真、結構力學應力應變分析等，其控制方程通常是偏微分方程組，在經過不同方法的隱式離散之后最終都可轉化為大型稀疏線性方程組。隨著人們對計算精度要求的不斷提高，方程組的階數也從上千階、幾十萬階提高到百萬、千萬階甚至更高，所需的計算量以及存儲需求也隨之迅速膨脹。根據一般經驗，方程組求解時間會占總計算時間的70%以上，往往是整個計算過程中的性能瓶頸。如果說求解器是工業CAE軟件的核心模塊，那么大型稀疏線性方程組的求解技術將毫無疑問是底層求解器的核心。
NASA翼型網格經過離散得到的稀疏矩陣（素材來源于網絡）
二、方法
眾所周知，稀疏線性方程組的求解方法可以分為直接法和迭代法 ，兩類方法各有優劣，特點比較如下：
迭代法[1]：
對于不同類型稀疏矩陣表現差異較大，存在收斂性與收斂速度問題，催生了許多預處理技術（Preconditioners）；
對原矩陣的編輯很少，SpMV(Sparse matrix-vector multiplication)是其核心運算；
內存需求小，求解速度較快，算法復雜度低；
較易實現并行化。
直接法[2]：
通用、穩定；通過前后處理，能夠保證計算的收斂性與精度；
對原矩陣的編輯多（分解、排序、縮放等）；
內存需求大，求解速度慢，算法復雜度更高；
并行度有限。
其中迭代法的種類很多，可以分為定常（Stationary）迭代法與非定常迭代法[3]。
展開 變參數非線性方程組的求解！
對于求解非線性方程組一般用fsolve命令就可以了，但是對于方程組中某一系數是變化的，該怎么求呢？
%定義方程組如下，其中k為變量
function F = myfun(x,k)
H=0.32;
Pc0=0.23;W=0.18;
F=[Pc0+H*(1+1.5*(x(1)/W-1)-0.5*(x(1)/W-1)^3)-x(2);
x(1)-k*sqrt(x(2))];
%求解過程
H=0.32;
Pc0=0.23;W=0.18;
x0 = [2*W; Pc0+2*H]; % 取初值
options = optimset('Display','off');
k=0:0.01:1; % 變量取值范圍[0 1]
for i=1:1:length(k)
kk=k(i);
x = fsolve(@(x) myfun(x,kk), x0, options);%求解非線性方程組
x1(i)=x(1);
x2(i)=x(2);
end
plot(k,x1,'-b',k,x2,'-r');
xlabel('k')
legend('x1','x2')
[ 本帖最后由 studyboy 于 2006-7-30 17:38 編輯 ]
圖片附件: k-x1.x2.bmp (2006-7-5 23:07, 689.12 K)
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這時可以采用分布式測量方案（如圖3）：
將單個球形陣列依次放置在不同位置測量
或使用多個球形陣列同時測量
最后將不同位置的局部展開系數統一變換到全局坐標系下
圖3
聲場展開系數的計算方法
除了標準的球面傅里葉變換法，實際應用中還有兩種更常用的計算方法：
最小二乘法：建立線性方程組求解，對傳聲器布置沒有嚴格要求，數量可減少，
線性雙組聯動型變焦結構形式是對一般雙組聯動型變焦結構的簡化。由于雙組聯動型補償曲線比較緩和且前后對稱，因此在低變倍比時曲線接近直線，此時把補償曲線做線性化處理，可是變焦曲線和補償組曲線均為直線，可以完全省去系統凸輪結構，類似于光學補償運動形式。
線性雙組聯動型變焦結構形式是對一般雙組聯動型變焦結構的簡化。由于雙組聯動型補償曲線比較緩和且前后對稱，因此在低變倍比時曲線接近直線，此時把補償曲線做線性化處理，可是變焦曲線和補償組曲線均為直線，可以完全省去系統凸輪結構，類似于光學補償運動形式。
圖1.線性雙組聯動系統高斯計算窗體
由于補償曲線的線性化直接帶來系統遺留線面位移，和光學補償一樣，只要像面位移量控制在系統焦深或系統軸向像差允差范圍內
</p><h2><strong>03 HSF-AI智能求解技術</strong></h2><p> 現代高保真仿真面臨兩大瓶頸：一是計算性能——大型稀疏線性方程組的求解動輒耗費總算力的 70% 以上；二是物理機理——傳統湍流模型在復雜條件下精度欠佳，黑箱機器學習改進又缺乏物理可信度。
摘要
平面波對于任意半徑和折射率的球形粒子的吸收和散射問題，米氏解是嚴格的麥克斯韋求解器。其得到的散射效應十分依賴于粒子的大小。根據其特性，散射可以分為瑞利散射、米氏散射和幾何光學散射。VirtualLab Fusion中包含了完整的米氏解。該案例研究了不同半徑的球形粒子散射。
模擬任務
AMGCL 是一個基于 C++ 的開源代數多重網格（Algebraic MultiGrid, AMG）求解器框架，具有模塊化、可擴展和高性能的特點，廣泛應用于大規模稀疏線性方程組的求解。
計算特點:
- 隱式分析: 核心是求解大型稀疏線性方程組。計算量集中在矩陣的分解和迭代求解上，對內存容量、內存帶寬和CPU的單核性能（頻率和緩存）都比較敏感。
- 顯式分析: 核心是時間步進。為了保證計算穩定，時間步長極小，導致總計算步數巨大。但每一步中，每個單元的計算相對獨立，是典型的“ embarrassingly parallel”（高度并行）問題。
結構強度與疲勞
隱式有限元法
求解大型線性方程組、對內存和CPU頻率敏感
CPU多核為主，CPU單核為輔
CPU是絕對主力，GPU加速正在興起，但成熟度不如CFD。
不過，每一步都需要解線性方程組，計算量和內存開銷較大，尤其在大規模問題時可能成為瓶頸。它在處理靜力問題、低頻動力學問題以及特征值分析時表現突出，也能夠處理復雜接觸，但有時會受到約束條件的限制。
重寫為線性形式
我們可以將上面的方程進行變形，得到一個線性方程組。
