循環應力的案例
高熵合金施加循環應力（正弦，三角函數）的分子動力學
與傳統合金相比，在循環載荷下展現出獨特的位錯運動行為和損傷累積機制，為開發新型抗疲勞材料提供了廣闊的研究空間。疲勞失效是工程結構件的主要破壞形式之一，通常由循環應力（如正弦波載荷）作用下的微觀缺陷（如位錯聚集、裂紋萌生與擴展）逐漸累積所致。分子動力學（MD）模擬能夠在原子尺度揭示高熵合金在循環載荷下的微觀過程，為理解其抗疲勞機理提供重要依據。然而，目前針對高熵合金在正弦波循環應力下的MD研究仍較為有限，尤其是不同成分、溫度及加載頻率對疲勞行為的影響仍需深入探索。本研究擬通過分子動力學模擬，對其開展研究。
1：建立長寬高均為150埃米的正方形盒子，在內部填充Ni、Fe、Cr三種原子：
建立的模型如下圖所示：
初始模型在NPT系綜平衡后，在溫度為800K、周期為50ps，拉伸速率以正弦函數變化，最大拉伸速率為0.05s-1的條件下，使用loop命令循環10次，使用 fix 3 all deform 100 x erate ${speed} remap x units box命令，在x方向進行拉伸。
在lammps中拉伸的命令設置如下
模擬結束之后，在origin中畫出x方向應變隨時間的變化情況：從圖中可以看出應變符合正弦函數。
2：在上述條件下，將正弦函數可調整為三角形，同樣拉伸10次結果下圖所示，同樣驗證良好。
本次模擬主要更改了應變的函數形式，溫度，拉伸頻率，周期都是固定的，后續可通過更改參數，進行更廣泛的研究，如峰值，循環次數，合金成分以及尺寸的影響，也可進一步增加缺陷，探究缺陷對拉伸的影響。
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展開 基于S-N曲線疲勞分析的基本問題
交變載荷又稱為循環載荷，是最為簡單和基本的疲勞載荷形式。所研究結構部位因交變載荷引起的應力稱為交變應力。
圖1-1（a）是一個典型的交變應力-時間的變化歷程。圖中循環應力的大小和正負方（拉壓）向隨著時間的變化而作周期性的變化。一個周期的應力變化過程稱為一個應力循環。應力循環特點可用循環中的最大應力σmax、最小應力σmin和周期T（或頻率f=1/T）來描述。因為最大應力和最小應力的絕對值相等而正負號相反，故稱這種交變載荷為對稱循環應力。典型的循環載荷如圓軸類桿件的旋轉彎曲、軸向拉壓和平板零件的雙向彎曲等，都可以在零件的表面或內部產生這樣的交變應力。另外，軸類零件的雙向扭轉也可以產生類似的交變應力。
在疲勞載荷的描述中經常使用應力幅σa和應力范圍△σ（也稱為應力振幅、應力幅度）的概念，定義如下。
應力幅σa反映了交變應力在一個應力循環中變化大小的程度，它是使金屬構件發生疲勞破壞的根本原因。
當研究的部位除承受有動載荷外，還有靜載分量荷時，動靜載荷的共同作用下的應力-時間變化曲線如圖1-1（b）所示。此時的載荷時間-變化曲線相當于把圖1-1（a）的對稱循環應力曲線向上平移一個了靜應力分量。這種的循環載荷稱為不對稱循環載荷，并用最小應力與最大應力的比值R來描述循環應力的不對稱程度，R稱為應力比，有時又稱為不對稱系數，即
由定義可知，當R=-1時的循環應力即為對稱循環應力，當R≠0時統稱不對稱循環應力。其中，R=0時為拉伸脈動應力，R=-∞時為壓縮脈動循環。
循環應力中的靜載分量通常稱為平均應力，用σm表示，可由下式求出。
靜載分量或平均應力對構件的疲勞強度有一定的影響。
展開 機械零件疲勞強度計算
通用機械零件的強度計算分為靜應力強度和變應力強度兩個范疇。應力按其隨時間變化的特性不同，可分為靜應力和變應力，應力的大小和方向不隨時間變化或變化緩慢的應力稱為靜應力；隨時間變化較為明顯的稱為變應力。在靜應力作用下的零件，可以根據材料力學的知識進行靜強度條件設計；在變應力作用下的零件，應按疲勞強度條件設計。
1.1.應力循環特性
具有周期性的變應力稱為循環變應力，否則稱為隨機變應力。循環變應力分為穩定循環變應力和規律性不穩定循環變應力兩種。穩定循環變應力又有三種基本類型：對稱循環變應力、脈動循環變應力和一般循環變應力。
變應力特性可用最大應力σmax、最小應力σmin、平均應力σm、應力幅σa和應力比r（應力循環特性系數）5個基本參數來描述。
其中，σmax和σmin分別表示最大和最小應力（正應力）。
1）對于對稱循環變應力，σm=0，σmax=σa=-σmin，r=-1；
2）對于脈動循環變應力，σm=σa，σmin=0，r=0；
3）對于靜應力，σa=0，σmax=σmin=σm，r=1。
在這些循環變應力中，對稱循環變應力對機械零件的破壞力最大。
1.2.材料的疲勞特性
在變應力作用下，機械零件的主要失效形式是疲勞斷裂。疲勞斷裂是與應力循環次數有關的斷裂。
疲勞失效往往是在沒有明顯預兆的情況下突然發生的，因此常常造成嚴重的事故。據統計，飛機、車輛和機器中發生的事故有很大比例是疲勞失效造成的。因此，對于在變應力作用下的零件進行疲勞強度計算是非常必要的。
材料的抗疲勞性能是利用光滑小試樣在疲勞試驗機上進行測定的，即在材料的標準試件上施加一定循環特性的等幅變應力，通常是施加循環特性r=-1的對稱循環變應力或r=0的脈動循環變應力。
展開 疲勞斷裂的基本原理
曲線 S-N曲線中的S為應力（或應變）水平，N為疲勞壽命。S-N曲線是由試驗測定的 ，試樣采用標準試樣或實際零件、構件，在給定應力比γ的前提下進行，根據不同應力水平的試驗結果 ，以最大應力σmax或應力幅σa為縱坐標，疲勞壽命N為橫坐標繪制S-N曲線（圖2） 。當循環應力中的σmax小于某一極限值時，試樣可經受無限次應力循環而不產生疲勞破壞，該極限應力值就稱為疲勞極限，圖2中S-N曲線水平線段對應的縱坐標就是疲勞極限。而左邊斜線段上每一點的縱坐標為某一壽命下對應的應力極限值，稱為條件疲勞極限。 疲勞特征 零件 、構件的疲勞破壞可分為3個階段 ：①微觀裂紋階段。在循環加載下，由于物體的最高應力通常產生于表面或近表面區，該區存在的駐留滑移帶、晶界和夾雜，發展成為嚴重的應力集中點并首先形成微觀裂紋。此后，裂紋沿著與主應力約成45°角的最大剪應力方向擴展，裂紋長度大致在0.05毫米以內，發展成為宏觀裂紋。②宏觀裂紋擴展階段。裂紋基本上沿著與主應力垂直的方向擴展。③瞬時斷裂階段。當裂紋擴大到使物體殘存截面不足以抵抗外載荷時，物體就會在某一次加載下突然斷裂。對應于疲勞破壞的3個階段 ，在疲勞宏觀斷口上出現有疲勞源 、疲勞裂紋擴展和瞬時斷裂3個區（圖3）。疲勞源區通常面積很小，色澤光亮，是兩個斷裂面對磨造成的；疲勞裂紋擴展區通常比較平整，具有表征間隙加載、應力較大改變或裂紋擴展受阻等使裂紋擴展前沿相繼位置的休止線或海灘花樣；瞬斷區則具有靜載斷口的形貌，表面呈現較粗糙的顆粒狀。掃描和透射電子顯微術揭示了疲勞斷口的微觀特征，可觀察到擴展區中每一應力循環所遺留的疲勞輝紋。 疲勞壽命 在循環加載下 ，產生疲勞破壞所需應力或應變的循環次數。對零件、構件出現工程裂紋以前的疲勞壽命稱為裂紋形成壽命。工程裂紋指宏觀可見的或可檢的裂紋 ，其長度無統一規定 ，一般在0.2～1.0毫米范圍內 。
展開 
疲勞破壞的一般規律
變動應力：變動載荷在單位面積上的平均值
分為：規則周期變動應力和無規則隨機變動應力
3、循環載荷（應力）的表征
①最大循環應力：σmax
②最小循環應力：σmin
③平均應力： σm=（σmax +σmin）/2
④應力幅σa或應力范圍Δσ：Δσ=σmax-σmin σa=Δσ/2=（σmax-σmin）/2
⑤應力比（或稱循環應力特征系數）： r= σmin/σmax
4、循環應力分類
按平均應力、應力幅、應力比的不同，循環應力分為
① 對稱循環σm=（σmax + σmin）/2=0 r=-1
屬于此類的有：大多數旋轉軸類零件。
② 不對稱循環
σm≠0
如：發動機連桿、螺栓
（a）σa> σm>0，-1<r<0
（b）σa> 0，σm<0，r<-1
③ 脈動循環
σm=σa>0，r=0（σmin=0）如：齒輪的齒根、壓力容器。
σm=σa<0，r=∞（σmax=0）如：軸承（壓應力）
④ 波動循環
σm> σa 0<r<1 σmin>0 如：發動機氣缸蓋、螺栓。
⑤ 隨機變動應力
應力大小、方向隨機變化，無規律性。 如：汽車、飛機零件、輪船。
二、疲勞破壞的特點
在變動載荷作用下，材料薄弱區域，逐漸發生損傷，損傷累積到一定程度→產生裂紋，裂紋不斷擴展→失穩斷裂。
特點：從局部區域開始的損傷，不斷累積，最終引起整體破壞。
1、潛藏的突發性破壞，脆性斷裂（即使是塑性材料）。
2、屬低應力循環延時斷裂（滯后斷裂）。
3、對缺陷十分敏感（可加速疲勞進程）。
展開 淺談疲勞分析
彗星式客機蒙皮破壞處
由于方形邊角的設計會產生極大的應力集中現象，在反復的沖擊下會導致蒙皮發生疲勞斷裂，最終引發事故。對該空難事故的調查，讓人類真正開始注意到金屬疲勞分析的重要性。這則故事很好地闡述了疲勞破壞的定義：零件由于交變載荷的反復作用，在它所承受的交變應力尚未達到靜強度設計的許用應力情況下就會在零件或構件的局部位置產生疲勞裂紋并擴展、最后突然斷裂。現在回歸今天的疲勞主題，首先要讓大家明白什么是交變應力和疲勞曲線。
交變應力簡單說就是隨時間周期變化的應力。但是應力怎么變？變多少？都是一門學問，由其衍生出的一系列學名過于復雜，今天不在這介紹，大家看下圖就能明白：
各類型交變應力
在這么多的交變應力類型中，最特別的就是對稱循環應力了，因為這種交變應力的平均應力為0，循環系數r=-1，我們常說的材料疲勞曲線就是在這個應力條件下試驗得到的。
疲勞曲線，即材料的S-N曲線，是材料所承受的應力幅水平與該應力幅下發生疲勞破壞時所經歷的應力循環次數的關系曲線（如下圖）。一般來說，材料所承受的循環載荷的應力幅越小，到發生疲勞破裂時所經歷的應力循環次數越多。對于鋼材等金屬，當應力幅降至某一臨界點時，S-N曲線就會變為水平，它表明該材料可以承受無限次應力循環也不會發生斷裂，該點的應力就被稱為疲勞極限（一般我們會以10^7作為疲勞極限的參考循環周期）。
材料的S-N曲線
既然這樣，是不是有了材料的S-N曲線，就可以通過應力直接判斷其疲勞壽命？當然沒有那么簡單，前面我們說的S-N曲線是使用標準光滑試樣，在對稱循環應力下測試得到的結果曲線，但實際工況下，材料不僅尺寸、形狀和表面情況是各式各樣的，就連所受的應力肯定也是復雜多變的。影響疲勞壽命的因素有很多，最主要的就是平均應力的影響。
展開 復合材料疲勞計算簡述
單向板的疲勞分析
復雜的多軸循環應力分解為縱向、橫向和面內剪切等三個單軸循環應力，與這三種單軸循環應力相對應，發展了三種不依賴于應力比R的單軸循環應力作用下單向板的累積損傷和疲勞壽命計算模型。
單向板受單軸循環應力（縱向拉-拉、橫向拉-拉和面內剪切）時的疲勞試驗數據分別通過[0]拉-拉、[90]拉-拉和[0/90]剪-剪疲勞試驗獲得。
層壓板疲勞累積損傷和疲勞壽命的估算
多向層壓板在疲勞載荷作用下，失效層的破壞原因有兩種可能：（1）因為損傷的累積發生局部疲勞破壞；（2）因為靜強度不足導致局部靜力破壞。
在循環應力作用下層壓板的總體破壞是因為各單層逐次發生了疲勞破壞或者靜力破壞，其壽命用先后發生疲勞破壞的各單層壽命的累積和表達。疲勞壽命分析的大體步驟為：
（1）在應力分析的基礎上，判斷最先失效的單層是發生局部疲勞破壞還是發生局部靜力破壞；
（2）對于發生疲勞破壞的單層，計算循環應力引起的累積損傷和疲勞壽命，對于發生靜力破壞的單層，計算和靜力破壞等效的疲勞累積損傷；
（3）選擇合適的剛度退化準則對發生疲勞破壞或靜力破壞的單層進行剛度退化；
（4）返回第1 步重復上述過程，直到隨著各單層逐次失效最終導致層壓板結構總體失效，用失效單層的疲勞壽命累積和表示層壓板疲勞壽命。
面內應力和強度
采用經典層板理論計算層壓板中各單層的應力分布。
經典層壓板理論基于以下3 個假設：
(1)層間變形一致假設：層壓板各單層之間粘和牢固，層間變形一致，無相對位移；
(2)直法線假設：變形前垂直于板中面的直線在變形后仍保持垂直，且長度不變；
(3)平面應力狀態假設：層壓板中各單層都可近似地認為處于平面應力狀態。
展開 『分享』復合材料層壓板疲勞壽命預測方法
測定了碳纖維?樹脂基T 300?Q Y8911 復合材料的3 組典型單軸循環應力下的S2N 曲線.
基于試驗數據, 建立了多軸循環應力作用下單向板的壽命模型, 并通過整合平面應力分析、失效分
析和材料性質退化模塊模擬多向層壓板的疲勞失效過程. 這種方法試圖基于單向板在確定應力比
下的疲勞試驗結果, 預測同種材料體系的任意鋪層形式的多向層壓板在復雜循環應力作用下的疲
勞壽命. 對于以分層破壞為主控因素的層壓板, 基于層間應力的計算結果, 用計算面內累計損傷的
方法計算分層損傷, 層壓板的壽命等于分層擴展壽命和分層后子層板剩余壽命之和. 考慮分層擴展
后, 層壓板的壽命預測結果得到明顯改善.
復合材料層壓板疲勞壽命預測方法.PDF
展開 實用疲勞理論入門介紹
二、疲勞分類：
1、機械疲勞：外加應力或應變波動造成的機械疲勞
2、蠕變疲勞：循環載荷同高溫聯合作用引起的
3、熱機械疲勞：循環受載部件的溫度也變動時引入的熱機械疲勞（即熱疲勞與機械疲勞的組合）
4、腐蝕疲勞：存在侵蝕性化學介質或致脆介質的環境中施加反復載荷時產生的
5、滾動接觸疲勞：載荷的反復作用與材料之間的滾動接觸相結合產生的
6、微動疲勞：脈動應力與表面間的來回相對運動和摩擦滑動共同作用產生的
三、疲勞壽命
1、許用應力
許用應力是機械設計中允許零件或構件承受的最大應力值，要判定零件或構件受載后的工作應力過高或過低，需要預先確定一個衡量的標準，這個標準就是許用應力。許用應力等于考慮各種影響因素后經適當修正的材料失效應力除以安全系數。靜強度設計中塑性材料以屈服極限作為失效應力，脆性材料以強度極限作為失效應力。
2、疲勞壽命
材料在疲勞破壞前所經歷的應力循環數稱為疲勞壽命。
常規疲勞強度計算是以名義應力為基礎的，可分為無限壽命計算和有限壽命計算。零件的疲勞壽命與零件的應力、應變水平有關，它們之間的關系可以用應力-壽命曲線（σ-N曲線）和應變-壽命曲線（δ-Ν曲線）表示。應力-壽命曲線和應變-壽命曲線，統稱為S-N曲線。
在疲勞試驗中，實際零件尺寸和表面狀態與試樣有差異，常存在由圓角、鍵槽等引起的應力集中，所以，在使用時必須引入應力集中系數K、尺寸系數ε和表面系數β。
3、循環應力的特性
循環應力的特性用最小應力σmin與最大應力σmax的比值r=σmin/σmax表示，r稱為循環特征。對應于不同循環特征，有不同的S-N曲線、疲勞極限和條件疲勞極限。對不同方向的應力，可用正負值加以區別，如拉應力為正值，壓應力為負值。
展開 疲勞破壞的一般規律
變動應力
變動載荷在單位面積上的平均值。可分為：規則周期變動應力和無規則隨機變動應力
4. 循環載荷（應力）的表征
最大循環應力：σmax
最小循環應力：σmin
平均應力：σm=(σmax+σmin)/2
應力幅σa 或應力范圍Δσ：Δσ=σmax-σmin，σa=Δσ/2=(σmax-σmin)/2
應力比（或稱循環應力特征系數）：r=σmin/σmax
5. 循環應力分類
按平均應力、應力幅、應力比的不同，循環應力分為：
對稱循環σm=(σmax+σmin)/2=0，r=-1。屬于此類的有：大多數旋轉軸類零件。
不對稱循環σm≠0。如：發動機連桿、螺栓：σa>σm>0，-1<r<0；σa> 0，σm<0，r<-1。
脈動循環：σm=σa>0，r=0(σmin=0) 如：齒輪的齒根、壓力容器；σm=σa<0，r=∞(σmax=0) 如：軸承（壓應力）
波動循環：σm>σa，0<r<1，σmin>0 如：發動機氣缸蓋、螺栓。
隨機變動應力：應力大小、方向隨機變化，無規律性。 如：汽車、飛機零件、輪船。
二
疲勞破壞的特點
在變動載荷作用下，材料薄弱區域逐漸發生損傷，損傷累積到一定程度→產生裂紋，裂紋不斷擴展→失穩斷裂。
展開 AnsysWB-基于熱循環載荷的焊球熱應力仿真 ￥15
由于反復接通和斷開電源，微電子元件受
</div><div contenteditable="false" width="100%">
到熱循環的作用，因此，焊點處出現裂紋，斷開了芯片與印刷電路板的連接，從而導
</div><div contenteditable="false" width="100%">
致故障。
</div><p>本例基于 “非線性結構材料模塊”中的模型 “黏塑性焊點”。</p><p><br></p><figure style="text-align: center;" class="ql-align-center">
<figure class="figure-image" contenteditable="false" data-img="https://img.jishulink.com/202512/attachment/cfacfaa56fd948108d043c368bd3c241.png" style="display: inline-block;" data-regular="true">
<img src="https://img.jishulink.com/202512/attachment/cfacfaa56fd948108d043c368bd3c241.png" data-mobile-src="https://img.jishulink.com/202512/attachment/cfacfaa56fd948108d043c368bd3c241.png?
展開 
砂土剛度衰減模型在海上風電工程中的應用
相同荷載幅值下結構頂部位移隨循環次數增大呈增大趨勢，編寫的子程序能較好地描述砂土地基的軟化現象。
5.2剛度衰減系數分析
由式（5）可知，任意加載循環下砂土地基各材料積分點的瞬時彈性模量EsN與此時刻下基礎的應力張量和剛度衰減系數K有關。在USDFLD子程序編譯時加入材料的狀態變量，將砂土地基材料積分點的剛度衰減系數K和瞬時彈性模量EsN作為第一狀態變量（SDV1）和第三狀態變量（SDV3）輸出到ODB結果數據庫內。
在后處理模塊提取加載開始和第20、40和50次循環卸載時刻砂土地基的剛度衰減系數K（見圖9~11）。由圖9~11可知，剛度衰減系數K是實現砂土剛度衰減的關鍵參數，是一個與循環應力比Xc和循環次數N高度相關的復雜函數。式（5）表明，第一次循環時，剛度衰減系數K恒等于零，砂土剛度無需衰減。第一次循環的重點是提取加載峰值時刻地基土體各積分點的應力數據進而計算它們的循環應力比Xc。加載開始時刻尚未達到第一次循環的峰值，循環應力比數據為空（0），而剛度衰減系數K=1。同理，第一次循環后，循環應力比保持恒值不變，剛度衰減系數K恒小于1，且最小值位于樁（筒）側相接觸土體附近，并隨循環次數增大而迅速減小。
5.3瞬時彈性模量分析
在后處理模塊輸出加載開始和第20、40和50次循環卸載時刻砂土地基瞬時彈性模量（見圖12~14）。由圖12~14可知，加載開始時刻對應著地應力平衡分析步計算結束，地基土體的瞬時彈性模量與地基初始應力的分布規律基本一致，自地表近似呈線性向下增大。加載后，樁（筒）側地基土體的應力狀態發生改變，瞬時彈性模量根據應力狀態重新分布，最大改變區域位于樁（筒）-土接觸區域。
展開 optistruct在計算疲勞壽命仿真中的應用 ￥10
常規疲勞強度計算是以名義應力為基礎的，可分為無限壽命計算和有限壽命計算。零件的疲勞壽命與零件的應力、應變水平有關，它們之間的關系可以用應力一壽命曲線（S-N曲線）和應變一壽命曲線（E-N曲線）表示。應力疲勞分析（S-N）循環應力水平低、壽命長，適用于高周疲勞；應變疲勞分析（E-N）循環應力水平高、壽命短，適用于低周疲勞。
疲勞壽命仿真常用的軟件有Radioss、Optistruct、FE-safe、FE-Fatigue、Nsoft 、MSC-Fatigue等。本案例重點介紹如何在Optistruct中實現對連桿疲勞壽命預測。
展開 基于LAMMPS模擬Cu單晶疲勞循環加載過程
圖1 (a)循環載荷加載曲線；(b)分子動力學模型
模型采用第三章中的 (100) 取向立方結構模型，X、Y、Z 三個方向分別對應于 [100]、[010]、[001] 取向,三個方向均采用周期性邊界條件以消除邊界效應。通過控制應變，采用拉壓循環的方式進行加載，應變比為 R =?1 ( R 為每次循環的最小應變與最大應變之比)。加載示意圖如圖1（a）所示。為了研究循環加載下溫度和應變率對疲勞力學性能和變形機理的影響，分別在300K溫度下和應變率為1×109s-1的條件下進行了模擬計算，此外，還考慮了正弦形波循環加載對力學性能和變形機制的影響。
圖2 循壞載荷下的應力應變曲線
300 K 時的循環應力-應變曲線如圖2所示，當高溫合金受到循環加載時，最大應力隨循環次數的增加而增大，即首先發生應力循環硬化，這主要是由于初始缺陷的積累，如位錯、堆垛層錯等。隨著加載的進行，循環應力-應變曲線在最后幾個循環中基本一致。隨著循環次數的增加，最大應力趨于穩定并達到循環飽和狀態，這符合金屬的循環變形特征。
圖3 (a)循壞載荷下Cu模型；(b)剪切應變；(c)循環載荷下位錯分析；(d)公共鄰域分析
圖4 (a)循壞載荷下Cu模型；(b)剪切應變；(c)循環載荷下位錯分析；(d)公共鄰域分析
圖3和圖4分別為不同應變下Cu單晶的循環載荷、剪切應變、位錯分析、公共鄰域分析的可視化圖，通過ovito可視化后，可以發現循環載荷下Cu單晶存在明顯的應力集中現象，同時發生均勻相變，在Cu單晶內部可以發現存在少量的bcc以及Other原子，這對Cu單晶的變形和力學性能有顯著的影響。
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展開 疲勞分析中的應力-壽命法淺談
疲勞分析中的應力-壽命法淺談
應力-壽命法又稱作S-N法。它是最早形成的疲勞設計方法，以材料或零件的S-N曲線為基礎，對照試件或結構疲勞危險部位的應力集中系數和名義應力，結合疲勞累積損傷理論，校核疲勞強度或計算疲勞壽命。循環應力的類型有完全對稱的正弦型恒幅應力循環、波動應力循環、隨機載荷等。典型的應力歷史如下：
應力-壽命法中的關鍵就是S-N曲線，下面對S-N曲線進行著重介紹。S-N曲線的數學表達式有冪函數式、指數式和三參數式：
a)
冪函數式：Sm·N=C。m與C是與材料、應力比、加載方式等有關的參數。兩邊取對數可得lg S=A+B lgN，其中A=LgC/m, B=-1/m，可見S-N曲線具有對數線性關系（下圖左）。
b)
指數式：em s·N=C。兩邊取對數后成為S=A+B lg N，是半對數關系（下圖右）。
c)
三參式：(S-Sf)m.N=C。考慮疲勞極限Sf，且當S趨近于Sf時，N?￥。
最常用的是冪函數式。高周應力疲勞，適合于N>104-107。
應力-壽命法實例展示：
某材料疲勞極限為90MPa，屈服強度為186MPa。因此，當N0=106時，S0=90MPa，當N=103時，S=186MPa。
則Basquin斜率為
把數值代入上式得b=-0.105，則此材料的局部S-N曲線如下圖所示：
進而可得：
把S=150MPa代入上式，N=7860。即當應力為150MPa時，應力循環為7806次。
展開 