非線性彈性的案例
『分享』非線性彈性轉予系統動力特性分析
摘要：以線性項和立方項之和來表示轉軸材料的物理非線性因素，建立了具有非線性彈性軸的轉子系
統的動力學方程，利用多尺度法對系統的非共振、主共振、超諧共振和亞諧共振等非線性動力學響應進行了分
析，為具有此類特性的轉子系統安全運行提供了一定的參考。
非線性彈性轉子系統動力特性分析.pdf
轉子——非線性彈性支承系統的瞬態響應
轉子——非線性彈性支承系統的瞬態響應<BR><Font color=#FF0000><B>.PS.:</B>該帖附件于2006-10-13 07:50:34被malong評為4星級，為發貼者加分80。</Font><BR><Font color=#FF0000><B>點評:</B></Font>
轉子——非線性彈性支承系統的瞬態響應.pdf
NX 超彈性材料的大變形非線性分析
NX 高級非線性分析
NX高級非線性集成了強大的非線性解算器ADINA，能夠處理大量具有挑戰性的非線性仿真，這些仿真涉及面對面接觸、大變形、大應變和非線性材料。可使用的材料模型有：彈性各向同性、彈性正交、復合、密封材料、彈塑性、超彈性、溫度依賴、非線性彈性和彈性蠕變。解決方案功能包括：靜態解決方案、動態解決方案、蠕變分析、負荷位移控制、自動時間步長。曲面接觸功能包括：單面和雙面、自接觸、全接觸、摩擦模型、偏移、剛性和柔性接觸曲面。包括了隱式解算器解決方案（SOL 601）和顯式解算器解決方案（SOL 701）。
本例使用解算序列：601，106
下壓500mm，以下是結果動畫。
該題目保證收斂性應注意：網格劃分控制，可適當進行切分，材料參數中的屈曲模量需根據理論手冊中的計算設置。可能產生接觸的位置都定義接觸對（注意自接觸）。接觸穿深的設置會直接影響變形形狀和收斂性。
豎向剛度曲線：
展開 『分享』多種非線性力作用下不平衡彈性轉子的分岔特性
摘要:研究了4 自由度不平衡彈性轉子在非線性油膜力、非線性內阻力和非線性彈性力聯合作用下
的動力學特性。結果表明,當只有非線性油膜力作用時,轉子只存在由于油膜失穩而導致的倍周期
分岔。而當非線性油膜力與非線性內阻力共同作用時,在油膜失穩后,轉子產生低頻振動。轉速繼
續增加,還會誘發內阻失穩,產生概周期運動。在倍周期分岔中,存在分岔激變現象。本文發現的
由于油膜渦動而導致的內阻失穩(概周期運動) 是一種未見報道的轉子失穩模式(組合失穩) ,它與
油膜失穩(倍周期運動) 一起可作為轉子故障診斷的典型失穩模式。
多種非線性力作用下不平衡彈性轉子的分岔特性.PDF
展開 
『轉貼』多種非線性力作用下不平衡彈性轉子的分岔特性
作者：曹樹謙，陳予?。ㄌ旖虼髮W力學系）
摘要：研究了4自由度不平衡彈性轉子在非線性油膜力、非線性內阻力和非線性彈性力聯合作用下的動力學特性。結果表明，當只有非線性油膜力作用時，轉子只存在由于油膜失穩而導致的倍周期分岔。而當非線性油膜力與非線性內阻力共同作用時，在油膜失穩后，轉子產生低頻振動。轉速繼續增加，還會誘發內阻失穩，產生概周期運動。在倍周期分岔中，存在分岔激變現象。本文發現的由于油膜渦動而導致的內阻失穩(概周期運動)是一種未見報道的轉子失穩模式(組合失穩)，它與油膜失穩(倍周期運動)一起可作為轉子故障診斷的典型失穩模式。
關鍵詞：轉子;非線性力;倍周期分岔;概周期分岔;分岔激變
展開 小變形下的非線性彈性行為和其 UMAT實現——簡單的鄧肯張模型 ￥4.9
文檔介紹了非線性彈性行為的背景，鄧肯張模型的由來，和UMAT實現的代碼，展示如下：
Moldex3D模流分析之非線性翹曲分析
翹曲預測是射出成型模擬中的一個關鍵環節，而大多數翹曲分析都采用線性彈性法。一般情況下，模型適用線性分析，而不用考慮幾何、材料或邊界條件非線性的影響。然而有時會造成模擬結果與實驗結果不一致，尤其是對軟薄構造的模型，例如汽車產品和光學組件等。而為了改善數值模擬與實驗的差異，我們在計算中引入幾何非線性效應，詳細說明如下。
非線性結構分析
在數值結構分析中，線性彈性分析是計算在外力施加下結構變形最簡單的方法。然而在真實的實驗案例中，幾何或材料的非線性特性會顯著影響變形狀況。這些效應可能導致力和位移的非線性關系。 圖一顯示線性彈性和非線性彈性分析之平衡關系差異。
圖一 線性彈性和非線性彈性分析之平衡路徑差異
本文聚焦于幾何變化引起的非線性效應。這種非線性通常發生在厚度較小的殼狀產品，或是厚度分布明顯不均勻的產品中。 因此，若要考慮幾何非線性效應，就必須先考慮有限元變形理論。
有限元變形理論
有限元變形理論考慮了原始和變形配置之間的位置變化。因此在非線性分析中，結構剛性和邊界條件在計算過程中可能由于幾何形狀的變化而改變（不同于線性彈性分析中，剛性矩陣會維持不變）。 故結構系統可看作是位移的函數，可以表示為：
此函數中，是結構剛性，是位移量，則是外力。
上述為非線性等式，我們須將其正切剛性線性化，并迭代求解。線性化后的平衡系統可以以下公式表示：
為了進行迭代計算，我們采用牛頓-拉弗森方法──解決非線性數學問題的最著名的方法。此分析會持續收斂，直到殘余力小于收斂標準時即完成解答。
幾何擾動(Imperfection)模型應用
有時在數值分析過程中，結構分析中不容易出現非線性情況。但由于真實通常不如理想考慮，模型中可能會存在制造過程產生的不完美，而這些不完美處可能會觸發非線性平衡路徑。
展開 Moldex3D模流分析之非線性翹曲分析
翹曲預測是射出成型模擬中的一個關鍵環節，而大多數翹曲分析都采用線性彈性法。一般情況下，模型適用線性分析，而不用考慮幾何、材料或邊界條件非線性的影響。然而有時會造成模擬結果與實驗結果不一致，尤其是對軟薄構造的模型，例如汽車產品和光學組件等。而為了改善數值模擬與實驗的差異，我們在計算中引入幾何非線性效應，詳細說明如下。
非線性結構分析
在數值結構分析中，線性彈性分析是計算在外力施加下結構變形最簡單的方法。然而在真實的實驗案例中，幾何或材料的非線性特性會顯著影響變形狀況。這些效應可能導致力和位移的非線性關系。 圖一顯示線性彈性和非線性彈性分析之平衡關系差異。
圖一 線性彈性和非線性彈性分析之平衡路徑差異
本文聚焦于幾何變化引起的非線性效應。這種非線性通常發生在厚度較小的殼狀產品，或是厚度分布明顯不均勻的產品中。 因此，若要考慮幾何非線性效應，就必須先考慮有限元變形理論。
有限元變形理論
有限元變形理論考慮了原始和變形配置之間的位置變化。因此在非線性分析中，結構剛性和邊界條件在計算過程中可能由于幾何形狀的變化而改變（不同于線性彈性分析中，剛性矩陣會維持不變）。 故結構系統可看作是位移的函數，可以表示為：
此函數中，是結構剛性，是位移量，則是外力。
上述為非線性等式，我們須將其正切剛性線性化，并迭代求解。線性化后的平衡系統可以以下公式表示：
為了進行迭代計算，我們采用牛頓-拉弗森方法──解決非線性數學問題的最著名的方法。此分析會持續收斂，直到殘余力小于收斂標準時即完成解答。
幾何擾動(Imperfection)模型應用
有時在數值分析過程中，結構分析中不容易出現非線性情況。
展開 關于非線性-溫度場分析
1、非線性靜力問題分類
非線性靜力問題主要分為兩類，即材料非線性和幾何非線性。
材料非線性
材料非線性是由結構材料的非線性性能（如非線性彈性、彈塑性或粘彈性）引起的非線性力學行為，它反映在非線性的應力-應變關系（物理方程）中，在此情況下，材料的線性應力-應變關系不再適用。幾種常見的應力-應變模型：
2、幾何非線性
幾何非線性是指在外力作用下，結構的位移比較大時引起的非線性力學行為。
產生的位移不再遠小于結構自身的幾何尺度，產生的應變不再遠小于1，即應變應該包括位移的二次項。
較大的變形會導致結構的幾何形狀發生顯著的改變，以至平衡方程必須按照變形后的位置來建立。
這種非線性反映在非線性的應變－位移關系（幾何方程）中。
幾何非線性彈性問題可以分為以下幾類：
大應變、小位移
小應變、大位移
小應變、小位移，但位移的平方和應變大小同量級
3、非線性靜力問題的求解
（1）非線性問題的總體方程
在線性情況下，總體剛度矩陣與應力或應變無關，即總體剛度矩陣是常數矩陣：
對于非線性問題（物理非線性和幾何非線性），總體剛度矩陣與應力或應變相關，因為位移有限元法中，應力和應變都是可由位移表示的，所以總體剛度矩陣不再是常數矩陣，而是與位移相關，即：
可以看出，非線性的求解主要歸屬非線性方程組的求解。
在有些情況下，荷載項也可能與位移相關，這里主要介紹總體剛度矩陣與位移相關的情況。
（2）非線性方程組的求解方法
非線性方程組的求解方法有很多，常見的有：直接迭代法、牛頓法、擬牛頓法（修正牛頓法）、荷載增量法、弧長法等。
直接迭代法（也稱割線剛度法）形式簡單
牛頓法（也稱切線剛度法）具有收斂速度快的優點。
修正牛頓法則提高了計算效率。
展開 用connector在ABA/CAE中直接實現非線性彈簧功能
本貼通過axial connector來實現非線性彈簧的功能做個基本演示.可以發現，axial connector不僅可以實現非線性彈簧功能，還具備一些非線性彈簧所不具備的功能。
模型見圖與inp文件。
1 axial connector設置
定義了connector
1000 1
1500 2
2000 10
的非線性彈性屬性。
截圖右邊方框顯示axial connector還具備定義此connector的塑性、阻尼、損傷甚至失效的功能。
2 結果演示見第三張圖，力與位移關系與所定義相符。
3 附上inp供參考。
connector.rar
connector培訓資料.pdf
展開 【CAE案例】受地質運動影響的大壩非線性仿真
結果顯示僅用材料的線彈性行為無法準確描述大壩的位移情況，這是由于邊界上存在非線性接觸問題，因此需要在模型建立時用到單元JOINT_MECA_FROT，來模擬支座底部發生的剪切觸變形(如圖4所示)。
圖4：樁底的剪切面
JOINT-MECA-FROT是固體力學仿真軟件中的一種基于摩爾-庫倫準則專門模擬大壩-基礎接觸面的單元類型。在這個模型中，混凝土的損傷機制可以通過彈性模量變化來體現。但應力分析表明，在混凝土的強度之外，仍有很大的受應力輻射區域?？紤]到該區域的損傷可能會改變閘門的計算結果，CIH(法國水力大壩工程中心)和圖盧茲材料和建筑耐久性實驗室(LMDC)聯合開發了新的損傷模型ENDO_PORO_BETON，以精確描述混凝土的非線性彈性-塑性損傷行為。該模型實現了各向異性拉伸損傷(Rankine準則)的評估，并考慮了多軸約束的壓縮剪切損傷(Drucker-Prager準則)。因此，在這個模型中，連接在樁底座上的損傷可以被更好地定位。
計算網格由105,000個線性單元組成，以年為時間步長進行，每一步計算約15分鐘。在施加位移約束的情況下，這種類型計算的主要困難在于確定地質運動現象開始的日期。對于這項研究，我們通過以下三個方法做出估計:
1)通過比較模型在不同日期的可見損傷和預測損傷；
2)通過比較模型位移和監測數據的非線性關系；
3)通過在底板上進行取芯試驗評估應力水平。
03 結論
1)數值仿真能夠真實復現現實狀況；
2)閘壩改造方案的非線性有限元仿真驗證了方案的可行性，同時降低了方案風險；
3)為大壩延壽提供了科學的論據，帶來了巨大的經濟效益。
展開 
NX Nastran非線性接觸分析例題
NX Nastran包含以下的功能模塊：
NX Nastran Basic是Nastran的核心子集,包括了一系列分析功能例如線性靜態分析,正則模態分析,線性屈曲分析以及熱傳遞分析，NX Nastran Basic為您提供了有限元分析所需的單元類型庫,模型材料庫，支持強有力的邊界條件管理能力，提供系列的包括屈曲分析的線性算法控制能力以及無限規模的正則模態分析能力，支持穩態和瞬態熱傳遞分析的解算能力。NX Nastran Basic在您的虛擬產品開發流程中擁有很關鍵的地位,為產品性能開發的數字化原型和仿真模擬提供了廣泛應用的CAE解決方案。
NX Nastran Dynamic Response是對NX Nastran Basic的擴充，可分析載荷和運動在時域或頻域范圍內對結構的影響。瞬態響應可幫助您預測隨時間變化的輸入對結構的動力響應；頻率響應可預測結構在穩態振動激勵下的響應。結構的動力響應是由其固有頻率控制的，如果輸入激勵的頻率與結構某階固有頻率接近，則會引起結構的共振以致發生破壞，因此，了解結構的動力響應，可以避免設計的頻率落在破壞的頻率范圍內。
NX Nastran Non-linear能分析材料非線性、幾何非線性和接觸問題，即小應變非線性彈性、大應變超彈性、粘彈性（蠕變）、非線性屈曲和后屈曲，還可計算非線性模態。
NX Nastran Superelements 提供了求解大型系統方程更有效的方法超單元，超單元模塊是NX Nastran Basic的附加模塊，它能有效地把規模很大且復雜的有限元模型分解成許多等價的子結構，這些子結構就叫超單元。NX Nastran超單元能應用于所有的NX Nastran分析類型；在大規模、系統級分析上特別有效，例如整架飛機，整車或者輪船；逐級運行和子裝配求解。
展開 康國政老師的書《非線性本構關系在ABAQUS中的實現》第7章的幾處疑似印刷錯誤
《非線性本構關系在ABAQUS中的實現》是由闞前華、康國政、徐祥三位老師著的重要的關于采用abaqus編寫本構關系的著作。該書出版后獲得了廣大abaqus本構開發研究者的廣泛好評和推薦。
圖片來源（實體書拍照）
該書第一章描述了全量和增量兩種形式的本構關系，本構關系的張量表示，非線性方程組的求解策略和本構關系的有限元實現過程及abaqus的用戶材料子程序接口，后續幾章內容分別描述了非線性彈性，彈塑性，黏塑性，超彈性，循環彈塑性和循環黏塑性，耦合損傷循環塑性，大變形彈塑性循環本構，晶體塑性循環和應變梯度塑性等內容。涉及的本構關系種類多樣，推導詳細，對筆者在開發彈塑性材料本構方面有十分大的啟發。
本文主要針對該書第7章“循環彈塑性本構關系”中的幾處疑似印刷錯誤進行討論。本文作者在彈塑性本構方面尚未達到入門水平，無論是在本構關系的知識廣度還是深度上，都與本書作者三位老師相距甚遠，本文指出的幾處疑似印刷錯誤僅僅從書中內容印刷出發，不涉及本構關系的具體理論糾正，指出的也僅僅是本人的個人看法，非常可能本人理解有誤，歡迎三位作者和其他讀者批評指正。
第一處：
第101頁式（7-26）為：
第102頁式（7-27）為：
從式（7-26）推導至式（7-27），式（7-27）中的分母有誤，實際上式7-27應當是：
第二處：
書中（7-29）式：
實際應為：
第三處：
書中第（7-30）式：
上式應為：
第4處：
上式應為：
第5處：
上式應為：
以上，即是《非線性本構關系在ABAQUS中的實現》第7章循環彈塑性本構關系的部分疑似印刷錯誤。
展開 第16屆全國非線性有限元高級講習班2021年7月29日-31日
隨著人們對力學科學不斷深入探索和認識，各類材料、幾何和接觸非線性問題日益凸現出來。為了幫助廣大工程師、科研人員和青年教師掌握和理解非線性有限元的原理、方法和求解過程，正確地建立各類問題的力學模型，并能夠使用非線性有限元程序計算和分析工程中經常遇到的非線性問題，提高教學和科研水平，特舉辦“第 16 屆全國非線性有限元高級講習班”。
本講習班創辦于2004年，10多年來已經分別在北京、上海、南京、成都、昆明等地成功舉辦了15屆，參加人數近千人，得到了高校、企業和科研院所專業人士的一致好評，已成為非線性有限元領域每年一屆值得期待的品牌活動。經中國數字仿真聯盟研究，決定2021年7月29日- 31日在北京市繼續舉辦“第 16 屆全國非線性有限元高級講習班”，歡迎廣大有限元愛好者踴躍報名，現將有關事項通知如下：
主要教學內容
1.非線性有限元理論和計算
三場變分原理（弱形式）；一種格式：拉格朗日格式，簡稱 L 格式，包括完全的 L 格式(TL)和更新的 L 格式（UL），以及任意的拉格朗日-歐拉格式（ALE）；兩種解法：隱式和顯式求解器，隱式－Newton-Raphson 迭代，顯式－中心差分；三種非線性：材料、幾何和接觸，例如材料非線性包括彈塑性、超彈性和粘彈性；幾何非線性包括大應變、大位移、大轉動問題和弧長法解決屈曲問題；接觸非線性包括拉格朗日乘子法和罰函數方法。
單元 1：引言：有限元發展歷史，標記方法，網格表述和偏微分方程分類。
單元 2：連續介質力學基礎：變形和運動，應力－應變的度量，守恒方程，框架不變性。
單元 3：更新和完全拉格朗日有限元：控制方程，弱形式與強形式，有限元離散，編制程序，旋轉公式。
單元 4：材料本構模型：一維彈性，非線性彈性，如次彈性和超彈性。
展開 簡說：非線性及其有限元分析
材料非線性的簡單分類：
1、非線性彈性
2、超彈性
3、理想彈-塑性
4、彈性-時間無關塑性
5、時間相關塑性（蠕變）
6、應變率相關彈-塑性
7、溫度相關的彈性和塑性
幾何非線性
幾何非線性可能與以下幾種情況有關：a、大應變；b、大轉角；c、大變形
這個并不是由于材料特性發生了變化，而是由于幾何形狀變化，造成剛度矩陣需要跟隨幾何形狀變化，從而影響最終結果。當形變非常大，造成應變非常高的時候，也有可能同時存在材料高度非線性。
邊界非線性
最典型的邊界非線性就是力學分析中的接觸。包括摩擦，碰撞等等。如兩個或更多個部件彼此接觸或相互干擾，則組件的這種剛度也會變化并改變。
在實際工程中，產品結構設計常常會被優化，讓荷載接近材料強度，以充分利用材料性能，在這種情況下，為了準確地預測結構強度，有必要進行非線性有限元分析。下表簡要列出了線性和非線性有限元分析之間的主要不同。
序號
特征
線性問題
非線性問題
1
載荷-位移關系
位移與荷載程線性關系，剛度是常數。位移引起的幾何變形認為是小變形并且可忽略。初始狀態或微變形的狀態作為參考狀態。
非線性問題的剛度是隨載荷變化的函數。唯一可以很大并且幾何變形不可忽略。因此剛度是荷載的函數。
2
應力-應變關系
在比例極限/彈性極限之前是線性的，楊氏模量等屬性可以很容易得到。
是關于應力-應變或時間的非線性函數，獲取這個關系比較困難，需要大量的材料試驗。
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