球面積分的案例
ANSYS經典案例在Workbench中實現 | 某鋼筋混凝土結構分析
微平面材料模型假設在每一個微平面都存在微觀自由能，且所有微平面上的微觀自由能的積分等于宏觀Helmholtz能量：
其中為單位半徑下球面積分的積分常數。為了考慮材料退化和破壞，通過參數對微觀自由能方程進行修正，
其中和分別表示微平面應變的體積項和偏離項，由微平面應變拆分而來，由宏觀概念的應變通過投影的方式轉化而來。為損傷參數，由下式定義得到：
其中定義了最大損傷；定義了損傷發展速率；定義材料損傷起始對應的等效應變；為等效應變。
下圖所示為相同損傷發展速率下，不同最大損傷的應力應變曲線
圖3 相同損傷發展速率下，不同最大損傷的應力應變曲線
下圖所示為相同最大損傷下，不同損傷發展速率的應力應變曲線
圖4 相同最大損傷下，不同損傷發展速率的應力應變曲線
通過以上兩張圖，可以很好得理解和是如何影響材料特性的。等效應變 用于描述損傷發展準則，其公式如下：
其中為應變張量不變量；為應變張量的偏離項的不變量；，和為材料特性，用于描述損傷方程。 注意：這里的等效應變 特指微平面材料模型中的上述方程式，與ANSYS Mechanical中的等效應變不是同一個概念。 在ANSYS中，可以通過命令流定義微平面材料模型，具體命令如下：
tb,mplane,ntemp,nptstbdata,1,k0,k1,k2,gamma,alpha,beta
其中mplane表示定義材料模型微微平面材料模型；ntemp表示材料溫度的數量；npts表示在某溫度下需要輸入的數據數量。
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在這兩種情況下，即菲涅耳和遠場積分，使用近似來分離球面相位項與積分的數值計算，并且球面相位項是被解析地處理的。這就大大減少了數值計算的工作量。然而，由于這些近似，兩種解決方案的適用性受到限制。菲涅耳積分[11]使用空間頻率分量的泰勒展開。用這種方法，將式（3）的球面相位函數替換為拋物線相位函數，從而得到式（4）中逆傅里葉變換積分的半解析解。如圖1所示，該概念僅適用于具有低空間頻率的傍軸場。對于長傳播距離z，可以應用遠場積分[5]，其中公式（4）的逆傅里葉變換積分可以用固定相位的想法來半解析地求解。
圖1：場追跡中常用的基于FFT的傳播算子的有效范圍的示意圖。灰色區域表示在數值上可行的參數空間。嚴格的SPW算子在長傳播距離或大空間頻率下很難突破數值工作量。由于物理近似的性質，遠場和菲涅耳傳播算子具有有限的有效范圍。
由于普通的自由空間傳播算子使用范圍的限制，先進的傳播技術的發展對于非傍軸場追跡是必不可少的。這些技術應覆蓋圖1中剩余的白參數空間，并在精度和數值計算之間取得最佳折衷。文獻[2,3,12-14]中有幾種方法。然而，這個問題的一般解決辦法仍不清楚。在實踐中，非傍軸諧波場振幅出現了采樣問題，其中部分包含強而光滑的相位項
數學表達式為
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展開 COMSOL 中空間與時間積分的方法介紹附COMSOL Multiphysics工程實踐與理論仿真
在附加物理場接口求解空間積分
要最靈活地使用空間積分，可以將它增加到一個附加的 PDE 接口上。繼續使用不定積分的例子，假設我們并非只希望計算 的不定積分。這一任務可以通過 PDE 闡釋：
并在左邊界上指定狄氏邊界條件 。系數型偏微分方程接口是執行這一方程的最簡單接口，我們僅需作如下設定：
如何針對空間積分使用附加物理場接口。
因變量 代表相對于 的不定積分，在計算和后處理時可用。這種方法除了靈活性，還具有準確性的優勢，因為積分并非作為派生值獲取，而是作為計算及內部誤差估計的一部分。
利用內建算子求時間積分
我們之前提到過‘數據系列操作’可以作為時間積分使用。通過分別代表了時間積分或時均的內置算子 timeint 和 timeavg 是實現時間積分另一項重要方法。它們可用于后處理中，能夠對指定時間間隔的任何瞬態表達式執行積分操作。在示例中，我們對 90s 和 100s 的平均溫度感興趣，即：
下方的表面圖顯示了得到的積分，它是 (x,y) 中的一個空間方程。
如何使用內置時間積分算子 timeavg。
類似的算子還有用于球面對象的積分，也就是 ballint、circint、diskint 以及 sphint。
利用其它物理場接口實現的時間積分
如果模型中要用到時間積分，您需要將其定義為額外的因變量。與上方顯示的系數型偏微分方程示例類似，這可以通過增加數學分支的常微分方程接口實現。例如，假設在每個時間步長，模型均需要從開始時刻到當前的總熱通量，即需要測量累計能量。COMSOL 會自動計算總熱通量變量，名稱為 ht.tfluxMag。積分可以作為帶有分布式常微分方程的附加因變量計算，它是域常微分和微分代數方程接口的子節點。該域常微分方程的源項為被積函數，如下圖所示。
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在這兩種情況下，即菲涅耳和遠場積分，使用近似來分離球面相位項與積分的數值計算，并且球面相位項是被解析地處理的。這就大大減少了數值計算的工作量。然而，由于這些近似，兩種解決方案的適用性受到限制。菲涅耳積分[11]使用空間頻率分量的泰勒展開。用這種方法，將式（3）的球面相位函數替換為拋物線相位函數，從而得到式（4）中逆傅里葉變換積分的半解析解。如圖1所示，該概念僅適用于具有低空間頻率的傍軸場。對于長傳播距離z，可以應用遠場積分[5]，其中公式（4）的逆傅里葉變換積分可以用固定相位的想法來半解析地求解。
圖1：場追跡中常用的基于FFT的傳播算子的有效范圍的示意圖。灰色區域表示在數值上可行的參數空間。嚴格的SPW算子在長傳播距離或大空間頻率下很難突破數值工作量。由于物理近似的性質，遠場和菲涅耳傳播算子具有有限的有效范圍。
由于普通的自由空間傳播算子使用范圍的限制，先進的傳播技術的發展對于非傍軸場追跡是必不可少的。這些技術應覆蓋圖1中剩余的白參數空間，并在精度和數值計算之間取得最佳折衷。文獻[2,3,12-14]中有幾種方法。然而，這個問題的一般解決辦法仍不清楚。在實踐中，非傍軸諧波場振幅出現了采樣問題，其中部分包含強而光滑的相位項數學表達式為
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在這項工作中，我們將開發非傍軸場的自由空間傳播技術，包含不同類型的平滑相位項。圖2顯示了四個光滑相位項的例子，它們起源于光學裝置中的不同元件。例如，球面相位項是由光通過透鏡系統的躍遷引起的。在第3節中，我們將介紹一個嚴格的傳播算子，它允許對球相項進行分析處理。之后，我們將在第4節討論一個改進的SPW算子。這使得能夠對線性相位項進行分析處理，線性相位項通常出現在具有任何光偏轉的光學建模中，例如通過組件的傾斜。
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