譜分解的案例
基于相場模型的疲勞分析 加入譜分解功能與不分解的差別 ￥166
相場疲勞的uel 加入譜分解和無分解的對比
為什么經典斷裂力學算不準？——從"無限尖裂紋"到"真實物理過程"的范式轉變
這帶來了問題：
當高階變形顯著時，局部拉壓狀態復雜，k 的標定變得模糊不同變形模式下，k 可能需要取不同值
4.2 譜分解：從"強度準則"到"能量準則"
改進后的模型采用譜分解（Spectral Decomposition）策略，將應變能密度分解為拉伸和壓縮部分：
其中：
—— 僅當主應變為正時激活 —— 僅當主應變為負時激活
關鍵改進：損傷僅退化拉伸部分的能量，壓縮部分保持完好：
這一改進的物理意義：
消除經驗參數：不再需要標定拉壓強度比 k物理一致性：裂紋擴展由拉伸變形驅動，壓縮變形提供約束——這與混凝土、巖石等準脆性材料的實際破壞機制完全一致高階項的拉壓不對稱：高階均勻化誤差項同樣進行譜分解，確保微觀尺度上的拉壓不對稱性被正確傳遞至宏觀
4.3 驗證：復雜裂紋路徑預測
在非對稱缺口梁三點彎曲試驗中，改進模型展現出顯著優勢：
模型預測裂紋路徑與實驗對比原始DHE模型（k=2-10）
始終從第一缺口擴展
? 不符
譜分解改進模型
從第二缺口擴展，呈曲線軌跡
? 吻合
這是因為裂紋尖端經歷了復雜的拉-壓-剪混合狀態，譜分解模型能準確捕捉拉伸變形主導的損傷演化，而強度參數模型無法適應這種復雜的應力狀態變化。
展開 Abaqus通過VUMAT子程序實現混凝土拉壓不對稱彈塑性損傷本構模型
彈性階段應力應變滿足如下關系
通過對應力進行譜分解，可得
式中，σ 為名義應力，d 為損傷，d=1-exp(-εp/ρ0)，公式右端σ為有效應力的正負分解。
拉壓屈服函數如下所示
屈服后，塑性流動由下式定義
按照彈性預測-塑性修正-損傷修正的流程，通過在主應力空間進行譜分解，結合徑向返回算法，本文編寫了混凝土彈塑性損傷的VUMAT子程序。
通過對單胞的單向拉壓模擬可以計算得到混凝土的應力應變響應如下圖所示。
拉伸損傷演化過程
壓縮損傷演化過程
不同圍壓下的應力應變曲線
可以發現，隨著圍壓增大，混凝土壓縮強度提高
Abaqus通過VUMAT子程序實現混凝土拉壓不對稱彈塑性損傷本構模型
彈性階段應力應變滿足如下關系
通過對應力進行譜分解，可得
式中，σ 為名義應力，d 為損傷，d=1-exp(-εp/ρ0)，公式右端σ為有效應力的正負分解。
拉壓屈服函數如下所示
屈服后，塑性流動由下式定義
按照彈性預測-塑性修正-損傷修正的流程，通過在主應力空間進行譜分解，結合徑向返回算法，本文編寫了混凝土彈塑性損傷的VUMAT子程序。
通過對單胞的單向拉壓模擬可以計算得到混凝土的應力應變響應如下圖所示。
拉伸損傷演化過程
壓縮損傷演化過程
不同圍壓下的應力應變曲線
可以發現，隨著圍壓增大，混凝土壓縮強度提高
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ABAQUS熱力耦合相場斷裂模型 ￥300
采用ABAQUS軟件通過UEL子程序進行了二維熱力耦合相場斷裂模型的求解，采用了能量分解（譜分解和球-偏分解），附件包括CAE模型（22版本）、INP文件和子程序
分概念
富利葉變換常用到動力學或者結構振動的問題中，原函數是時間T的函數，變換函數是譜量ω(工程上便是頻率域)的函數，因此，富利葉法在工程上也稱為譜分解方法。它不僅能夠使方程的求解更加方便，而且可以確定振動問題的譜密度，這是振動問題中一個重要的測度，利用譜密度可以直觀地看出振動能量在頻率域上的分布，從而找出工程結構有效的抗振措施。拉普拉斯變換是考慮振動體在T=0時開始受到外界影響，如施加荷載以后結構的各種物理變化，特別適用于如土壤的固結理論和混凝土的徐變理論。
富利葉變換有兩種形式：一種是三角函數形式，另外一種是指數函數形式。一些數學文獻將拉普拉斯變換從富利葉變換的理論推導出來，不過從解決實際問題來看，拉普拉斯變換絕非富利葉變換的一個變種，富利葉變換的原函數自變量從-∞到+∞，而拉普拉斯變換自變量僅從O～+∞，這一點非常重要。物理世界中的各種動力激勵絕對不會在宇宙中至始至終、恒存在，而是從某一個相對時間T=0開始作用，求解這個激勵引起的動力響應，拉普拉斯變換恰好符合這樣一個要求。在預應力混凝土設計和建筑物基礎設計中，人們希望知道預應力的長期損失和建筑物的最終沉降，這些問題便是一個典型的拉普拉斯變換問題。
2.4 變分原理
在物理與力學中有很多問題需要采用變分原理，如彈性靜力學中的最小勢能原理，動力學中的哈密頓原理，塑性力學中的變分原理。變分原理在計算力學中特別重要，一方面，按照變分原理可以用李茲法或者伽遼金法獲得結構近似解；另一方面，變分原理也是有限元法的基礎。變分原理的幾個經典理論是虛功原理、最小勢能原理和最小余能原理，具體原理的推導，可以參考一般的有限元理論專著。
在彈性力學中一般可以找出一個變分泛函，使泛函取極值，得出全部控制方程和邊界條件，這是變分原理的優點。用變分原理求取近似解和虛功原理是等效的，但是具有更統一的形式。
展開 疲勞分析計算流程
1 測量應變、應力譜圖
（1）衡量應力集中的區域，布置應變片
可以通過模擬（有限元）或試驗（原型上涂上一層油漆，待油漆干后施加載荷，油漆剝落的地方應力集中），確定應力集中的區域，然后按左下圖在應力集中區域布置三個應變片：
因為材料是各向同性，所以x,y方向并不一定是水平和豎直方向，但兩者一定要垂直，中間一個一定要和x,y方向成45°角。三個應變片也可以重疊在一起（見右上圖）。
（2）根據測的應變和材料性能，計算應力
測得的三個應變，分別記為εx, εy, εxy。兩個主應力（假設只有彈性變形）：
其中，E為材料的楊氏模量，μ為泊松比。根據這兩個主應力，可以計算出有些方法可能需要的等效應力（主要目的是將多分量的應力狀態轉化為一個數值，以方便應用材料的疲勞數據），如米塞斯等效應力：
或最大剪應力：
實際測量的是應變-時間譜圖，應力（或等效應力）-時間譜圖可由上述公式計算。
（３）分解譜圖
就是對上面測得的應力（應變）－時間譜圖進行分解統計，計算出不同應力（包括幅度和平均值）循環下的次數，以便計算累積的損傷。最常用的是雨流法（rainflow counting method）。
2 獲取材料數據
如果載荷頻率不高，可以做一組簡單的疲勞測試（正弦應力，拉壓或彎曲均可，有國家標準）：
得到一條應力-壽命（即循環次數）曲線，即所謂的S-N曲線：
如果載荷頻率較高或溫度變化較大，還要測量不同平均應力和不同溫度下的S-N載荷，以便進行插值計算，因為此時平均應力對壽命有影響。
展開 基于抗震規范GB50011的ANSYS抗震仿真分析
3、反應譜法（仿真解）
使用ANSYS Mechanical的反應譜分析。沿用靜力分析的幾何模型和有限元模型，先進行模態分析，再進行反應譜分析。
部分模態分析結果展示如下。
假設阻尼比為0.05，根據抗震規范GB50011中的地震影響系數曲線計算反應譜曲線，在反應譜仿真中施加。
各層剪力的仿真結果如下所示。
列表如下，可以看出反應譜仿真解和底部剪力法公式解在低樓層上差距較大，說明底部剪力法公式解在低樓層上的結果更加保守。
5、總結
在實際的結構抗震分析中，可以直接使用GB50011的底部剪力法的公式來計算各樓層的剪力，但GB50011中的振型分解反應譜法雖然也有公式，但已經很難直接使用公式了，需要借助軟件實現。
使用ANSYS進行結構抗震分析，需要注意以下兩點：
如果采用的是等效靜力分析(對應于規范中的底部剪力法)，分析者需要注意，仿真解在高樓層的剪力解會偏小。
如果采用的是反應譜分析(對應于規范中的振型分解反應譜法)，分析者應該留意到，仿真解在低樓層的結果會比底部剪力法公式解小。
綜合來說，ANSYS抗震分析，反應譜法應該是首推方法。
展開 基于反應譜的隔震結構分析方法探索
▉ 基于反應譜的隔震分析方法——CCQC+迭代
1、減震系數法本質上是簡化方法，值得商榷
2、傳統的振型分解反應譜法用于隔震分析的主要不足
a：非均勻阻尼問題（已基本解決，周錫元院士CCQC法）
b：非線性問題（需要引入迭代分析）
c：減震效果不理想（減震系數偏大，約為FNA時程法的1.5-1.9倍）
▉ 基于反應譜的隔震結構分析方法——CCQC基本思想
1、基于復模態及狀態變量（數學處理方法）
a：自振頻率和振型都是復數
b：2N階狀態變量（N階位移向量+N階速度向量）
2、針對隔震結構，CCQC法的重要特點
a：結構總阻尼矩陣：由所有單個構件的阻尼矩陣組裝形成
（解決了非均勻阻尼問題）
b：振型：關于阻尼矩陣正交
（能夠采用振型分解反應譜法求解的必要條件）
▉ 基于反應譜的隔震結構分析方法——PMSAP
▉ 基于反應譜的隔震結構分析方法——LRB滯回模型
等效線性：
用等效剛度考慮支座的剛度貢獻；
用等效阻尼比考慮支座的耗能貢獻。
▉ 基于反應譜的隔震結構分析方法——迭代分析
迭代收斂的含義：
以當前的支座等效阻尼和等效剛度作為分析模型的輸入參數，經計算分析即可得到當前的支座位移，同時，在當前的支座位移下，根據支座的滯回模型正好也能提供相同的等效阻尼和等效剛度。假定與實際結果一致（即誤差不大于限值）。
展開 【JY】淺析各動力求解算法及其算法數值阻尼(人工阻尼)
上式右端的第二項與載荷有關，在進行穩定性分析時可令L=0，此時給定初始條件X0后，時刻 t+△t = (n+1)△t 的解 Xt+Δt 可以寫為
對矩陣D進行譜分解可得
假定矩陣未有重根(重根情況自行討論)，則可得到
那么下式即為該遞推矩陣的譜半徑：
因此可以看出，若是譜半徑≤1時，矩陣是有界的。綜上所述，直接積分法的穩定性可歸結為滿足下式即為穩定：
如果滿足以上穩定準則，當n→∞時，矩陣D^(n+1)有界。因此如果譜半徑ρ(D)<1，當n→∞時，矩陣D^(n+1)→0，說明該積分方法存在數值阻尼（也稱為人工阻尼）。ρ(D)越小，當n→∞時矩陣D^(n+1)趨于零的速度越快，表明該積分方法的數值阻尼越大。
因此譜半徑除了度量算法的穩定性外，也度量了算法的數值阻尼。
對于一般結構動力學問題，系統的響應主要受低階振型控制，高階振型的貢獻很小。
另外，由于受離散化的影響，有限元法或有限差分法對系統的高階振型的近似程度很差。
展開 汽車氣動噪聲特性的隨機聲學法分析
而隨機激勵只有在以功率譜密度（PSD）定義時才被認為是可知的。系統響應的功率譜密度可以寫成以下形式
（2）
式中為激勵的功率譜密度，為響應的功率譜密度，為系統傳遞函數矩陣，但（2）式中需要計算成千上萬個節點間的傳遞函數，工程中并不實用。因此發展了一種主分量分解的方法，它基于以下矩陣分解：
(3)
式中為主分量矩陣，為對角陣，稱為虛功率譜密度，將(3)式帶入(2)式可得功率譜密度載荷下聲學響應：
(4)
又主分量矩陣載荷下得到的響應為：
(5)
因此（4）式可以寫成：
(6)
由(6)式可知，只要求得對應主分量的聲學響應與虛功率譜密度，即可求得系統的響應。
3.2汽車內聲場仿真與試驗驗證
將由Fluent軟件瞬態計算后的時域計算結果導入聲學仿真軟件Virtual.Lab中并進行FFT變換，可得到車身表面的脈動壓力云圖。在車身表面選取6個典型監測點（圖6），其中1點為車前臉與發動機罩交界處一點；2點為發動機罩與前擋風玻璃交界處一點；3點為后視鏡附近A柱后方側窗玻璃上一點；4點為車身凸起輪廓線上一點；5點為車后保險杠上一點；6點為車頂面上一點。可以分別得到幾點的脈動壓力級頻譜圖（圖7）。
從圖7可以看出，脈動壓力級1點最大值84.33dB，最小值-37.62dB；2點最大值102.58dB，最小值-25.21dB；3點最大值84.17dB，最小值-19.5dB；4點最大值91.41dB，最小值-24.36dB；5點最大值96.25dB，最小值-15.32dB；6點最大值86.01dB，最小值-30.13dB。
展開 
FRED應用說明：相干光模擬
■ 波前計算
具有Zernike分解能力的波前分析和繪圖。
■ 部分相干性
對于特定的應用，可以執行部分相干光源和分析。
目錄
簡介
FRED基礎：相干性建模
鎖定FRED特點：相干場重采樣
相干光源定義
高斯光線尺寸點列圖工具
光線狀態
相干場重新采樣
相干標量場分析
FRED中部分相干性示例：衍射儀
簡介
模擬光線的相干特性非常意義的。當用FRED模擬相干系統時，用戶應該對FRED進行相干計算的方法有一個大致的了解，它是利用高斯光束分解（GBD）的一種一般形式。本應用描述了一些在使用FRED時基本的相干建模方法和注意事項，以及一個應用于ThorLabs擴束器的相干場重新采樣特性的一個示例，最后，衍射儀用于演示一個部分相干性模型。
FRED基礎：相干性建模
FRED關于激光光束的追跡采用高斯光束分解技術（Gaussian beam decomposition，GBD）來傳輸相干場，最早由Arnaud 在1969年提出，是一組高斯光束子波(beamlet)可以合成任意的復數場。傳統的GBD方法局限在兩種極端情況下，一種是空間分解法，子波均勻分布在格子點上，另一種是傅里葉分解，根據空間頻率譜分解為在一個空間位置具有不同相位和方向的子光束。對此，Gabor對Arnaud的方法進行了擴展，并用在FRED中，允許這兩種方法結合起來以一種更加靈活的方式來拓寬使用條件。
在FRED中，由高斯子光束的疊加來描述光的的傳播。中心的“Base”光線代表著子光束的傳輸軌跡，額外的二級“束腰”和“發散”光線記錄子光束參數的變化。子光束和它對應的光線的關系如下圖所示。當子光束經過折射、反射和衍射，這些光線完全描述了該子光束特性，因此這個過程被稱為“complex raytracing.”。
展開 有限元+譜元法的高頻計算 附隨機有限元譜方法下載
本質上講述了一個譜元法可以減小計算量的故事，不過借著一個別人沒有用過的對象來講述，所以具有了一定的新意。所以說創新有三種：原理和方法型創新、對象型創新和結果型創新。第一種創新是真創新，后面兩個故事講得好也是極好的。
譜元法是啥？譜元法基于力學方程弱形式由Patera在1984年計算流體力學中提出。譜方法和有限元法的思想類似，都是有離散單元的存在，它在有限單元上進行譜展開，所以具有有限元方法和偽譜法的思想，同時兼備有限元可以模擬任何復雜介質模型的韌性和偽譜法的精度，所以譜元法又稱為域分解譜方法或高階有限元法。跟有限元差別在于譜方法以一系列全局連續的函數（可以是三角函數、多項式等）的疊加來近似真實解，而有限元法則是使用單元內簡單多項式插值函數的疊加來近似真實解。即有限元的插值函數只在該單元內作用，而譜元法則是大家一起用。
對高頻振動問題來講，傳統方法以有限元通用性最好，但是有限元法中分析波傳播需要使單元大小與波長相當，且時間分辨率也非常小，計算效率較低。譜元法則通過上述的全局插值函數（有點類似全局基函數，選三角函數時還可以利用FFT提高計算效率）來解決這些問題。
譜元法有時域的和頻域兩種。時域譜元法和傳統的有限元法區別較小，應該說是一種高階的有限元法，其為了達到精度，細分網格是通過切比雪夫多項式或者勒讓德多項式等正交多項式的根來定網格節點。頻域譜元法是分析波傳播的一種有限元方法，在頻域內使位移函數采用波動方程的一般解，得到與頻率相關的動剛度矩陣，利用快速傅里葉變換實現時域和頻域的轉換。
本文以線纜為例，分析波的傳播對故障的診斷效果（需計算的波長跟故障尺度相當）。若用有限元方法，網格大小為波長1、6，需要成千上萬的單元節點，而頻域譜元法則只需很少的節點。
展開 abaqus反應譜計算的方向余弦問題
請問一下各位大佬，abaqus用振型分解反應譜法進行動力分析時，方向余弦填1,0,0和-1,0,0為什么得出來的結果是一樣的？不應該相反嗎
【劃重點與簡析】建筑隔震設計標準（GB/T 51408-2021）
4.2.1 隔震結構設計反應譜采用三段式，計算罕遇地震和極罕遇地震作用時，場地特征周期應分別增加 0.05s和 0.10s。
4.1.3-3 4.2.4 4.3.4 選波的注意事項：7條波（2條人工，5條天然波）取平均值，3條波（1條人工，2條天然波）取包絡值，主要周期點（振型質量累計達到90%各階振型所對應的周期點）應不大于20%，優先保證周期點匹配，設計地震動加速度峰值可根據地震波的差異性加以調整，每條地震加速度時程曲線計算所得結構底部剪力，與振型分解反應譜法計算結果相比一般不會小于65%、大于 135%；多條地震加速度時程曲線計算所得結構底部剪力的平均值（包絡值），與振型分解反應譜法計算結果相比一般不會小于80%、大于 120%。
4.6.1-2 橡膠類支座不宜與摩擦擺等鋼支座在同一隔震層中混合使用。
4.6.1-4 隔震層彈性恢復力要求。
4.6.2-2 隔震支座底面宜布置在相同標高位置上，標高不一致（電梯下懸）或錯層隔震等時，罕遇地震作用下，相鄰隔震層的層間位移角不應大于 1/1000。
4.6.2-4 設防地震下偏心率不宜大于3%。（也可以關注一下罕遇地震下偏心率的大小）
4.6.4-3 隔震支座性能檢測時，應當根據隔震支座在重力荷載代表值作用下的壓應力限值作為支座豎向荷載來進行檢測。
4.6.8 隔震層抗風承載力驗算，目前風荷載分項系數取1.5。
4.6.9-2 罕遇地震作用下結構抗傾覆承載力驗算，可計入抗風裝置的作用。
4.6.9-3 罕遇地震最大拉應力和最大壓應力驗算。
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