切線模量的案例
你不知道的CAE小常識（三十三）
用MP命令輸入彈性模量（Exx），密度(DENS)和泊松比(NUXY)。用TB，PLAW，，，，8和TBDATA命令的1-7項輸入屈服應(yīng)力、切線模量、失效的有效真實塑性應(yīng)變、應(yīng)變率參數(shù)C、應(yīng)變率參數(shù)P、定義有效全應(yīng)力相對于有效塑性真應(yīng)變的載荷曲線ID 以及定義應(yīng)變率縮放的載荷曲線ID。
TB,PLAW,,,,8
TBDATA,1,（屈服應(yīng)力）
TBDATA,2,（切線模量）
TBDATA,3,（失效時的有效塑性真應(yīng)變）
TBDATA,4,C（應(yīng)變率參數(shù)）
TBDATA,5,P（應(yīng)變率參數(shù)）
TBDATA,6,LCID1（定義全真應(yīng)力相對于塑性真實應(yīng)變的載荷曲線）
TBDATA,7,LCID2（關(guān)于應(yīng)變率縮放的載荷曲線）
注--如果采用載荷曲線LCID1，則用TBDATA命令輸入的屈服應(yīng)力和切線模量將被忽略。另外，如果C和P設(shè)為0，則略去應(yīng)變率影響。如果使用LCID2，用TBDATA命令輸入的應(yīng)變率參數(shù)C和P將被覆蓋。只考慮真實應(yīng)力和真實應(yīng)變數(shù)據(jù)。在數(shù)據(jù)曲線一節(jié)中講述了此種類型的例題。
注--例題參看B.2.16，PiecewiseLinear Plasticity Example：High Carbon Steel。
B.2.16. PiecewiseLinear Plasticity Example: High Carbon Steel
MP,ex,1,207e9
! Pa
MP,nuxy,1,.30
! No units
MP,dens,1,7830
! kg/m3
TB,PLAW,,,,8
TBDATA,1,207e6
! Yield stress (Pa)
TBDATA,3,.75
!
展開 你不知道的CAE小常識（三十三）
用MP命令輸入彈性模量（Exx），密度(DENS)和泊松比(NUXY)。用TB，PLAW，，，，8和TBDATA命令的1-7項輸入屈服應(yīng)力、切線模量、失效的有效真實塑性應(yīng)變、應(yīng)變率參數(shù)C、應(yīng)變率參數(shù)P、定義有效全應(yīng)力相對于有效塑性真應(yīng)變的載荷曲線ID 以及定義應(yīng)變率縮放的載荷曲線ID。
TB,PLAW,,,,8
TBDATA,1,（屈服應(yīng)力）
TBDATA,2,（切線模量）
TBDATA,3,（失效時的有效塑性真應(yīng)變）
TBDATA,4,C（應(yīng)變率參數(shù)）
TBDATA,5,P（應(yīng)變率參數(shù)）
TBDATA,6,LCID1（定義全真應(yīng)力相對于塑性真實應(yīng)變的載荷曲線）
TBDATA,7,LCID2（關(guān)于應(yīng)變率縮放的載荷曲線）
注--如果采用載荷曲線LCID1，則用TBDATA命令輸入的屈服應(yīng)力和切線模量將被忽略。另外，如果C和P設(shè)為0，則略去應(yīng)變率影響。如果使用LCID2，用TBDATA命令輸入的應(yīng)變率參數(shù)C和P將被覆蓋。只考慮真實應(yīng)力和真實應(yīng)變數(shù)據(jù)。在數(shù)據(jù)曲線一節(jié)中講述了此種類型的例題。
注--例題參看B.2.16，PiecewiseLinear Plasticity Example：High Carbon Steel。
B.2.16. PiecewiseLinear Plasticity Example: High Carbon Steel
MP,ex,1,207e9
! Pa
MP,nuxy,1,.30
! No units
MP,dens,1,7830
! kg/m3
TB,PLAW,,,,8
TBDATA,1,207e6
! Yield stress (Pa)
TBDATA,3,.75
!
展開 材料的"模量"不僅僅是彈性模量，還有剪切模量、體積模量、壓縮模量etc
儲能模量表征的是材料變形后回彈的指標(biāo)。儲能模量E\\'是指粘彈性材料在交變應(yīng)力作用下一個周期內(nèi)儲存能量的能力，通常指彈性。復(fù)數(shù)模量的實數(shù)部分，表示黏彈性材料在形變過程中由于彈性形變而儲存的能量。
(7) 耗能模量Ei：
耗能模量Ei是模量中應(yīng)力與變形異步的組元；用來表征材料耗散變形能量的能力, 體現(xiàn)了材料的粘性本質(zhì)。它表示當(dāng)材料發(fā)生形變時，能量轉(zhuǎn)化成熱能的阻尼術(shù)語，是復(fù)雜模型的一個簡單部分，是從能量損耗的角度對“儲能模量”進(jìn)行分析而產(chǎn)生的術(shù)語。耗能模量Ei指的是在一個變化周期內(nèi)所消耗能量的能力。
(8) 切線模量(Tangent Modulus)：
切線模量就是塑性階段，屈服極限和強度極限之間的曲線斜率。是應(yīng)力應(yīng)變曲線上應(yīng)力對應(yīng)變的一階導(dǎo)數(shù)。其大小與應(yīng)力水平有關(guān)，并非一定值。切線模量一般用于增量有限元計算。切線模量和屈服應(yīng)力的單位都是N/m^2。
(9) 截面模量：
截面模量是構(gòu)件截面的一個力學(xué)特性。是表示構(gòu)件截面抵抗某種變形能力的指標(biāo)，如抗彎截面模量、抗扭截面模量等。它只與截面的形狀及中和軸的位置有關(guān)，而與材料本身的性質(zhì)無關(guān)。在有些書上，截面模量又稱為截面系數(shù)或截面抵抗矩等。
(10) 復(fù)合模量（E*，complex modulus）
復(fù)合模量包括儲能模量Es和損耗模量Ei，它們之間的關(guān)系為：
Es=E*cosδ
El=E*sinδ
|E*|=sqrt(Es^2+El^2)
展開 有限元分析中存在的幾種模量
耗能模量E''指的是在一個變化周期內(nèi)所消耗能量的能力。通常指粘性
切線模量（Tangent Modulus）：
切線模量就是塑性階段，屈服極限和強度極限之間的曲線斜率。是應(yīng)力應(yīng)變曲線上應(yīng)力對應(yīng)變的一階導(dǎo)數(shù)。其大小與應(yīng)力水平有關(guān)，并非一定值。切線模量一般用于增量有限元計算。切線模量和屈服應(yīng)力的單位都是N/m2
截面模量：
截面模量是構(gòu)件截面的一個力學(xué)特性。是表示構(gòu)件截面抵抗某種變形能力的指標(biāo)，如抗彎截面模量、抗扭截面模量等。它只與截面的形狀及中和軸的位置有關(guān)，而與材料本身的性質(zhì)無關(guān)。在有些書上，截面模量又稱為截面系數(shù)或截面抵抗矩等。
強度:
強度是指某種材料抵抗破壞的能力，即材料抵抗變形(彈性\塑性)和斷列的能力(應(yīng)力)。一般只是針對材料而言的。它的大小與材料本身的性質(zhì)及受力形式有關(guān)。可分為：屈服強度、抗拉強度、抗壓強度、抗彎強度、抗剪強度等。
如某種材料的抗拉強度、抗剪強度是指這種材料在單位面積上能承受的最大拉力、剪力，與材料的形狀無關(guān)。
例如拉伸強度和拉伸模量的比較：他們的單位都是MPa或GPa。拉伸強度是指材料在拉伸過程中最大可以承受的應(yīng)力，而拉伸模量是指材料在拉伸時的彈性。對于鋼材，例如45號鋼，拉伸模量在100MPa的量級，一般有200－500MPa，而拉伸模量在100GPa量級，一般是180－210Gpa。
剛度:
剛度(即硬度)指某種構(gòu)件或結(jié)構(gòu)抵抗變形的能力，是衡量材料產(chǎn)生彈性變形難易程度的指標(biāo)，主要指引起單位變形時所需要的應(yīng)力。一般是針對構(gòu)件或結(jié)構(gòu)而言的。它的大小不僅與材料本身的性質(zhì)有關(guān)，而且與構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的截面和形狀有關(guān)。
一般用彈性模量的大小E來表示.而E的大小一般僅與原子間作用力有關(guān)，與組織狀態(tài)關(guān)系不大。
展開 
楊光華：土力學(xué)發(fā)展的四個階段的思考
圖2 現(xiàn)場壓板載荷試驗曲線
p
u和土的初始切線模量E
t0，如式（4），由地基極限承載力p
u可以得到土的強度指標(biāo)
，則不同荷載水平或應(yīng)力水平下土的切線模量方程可表示為：
而這兩個方程中土的三個力學(xué)參數(shù)：
就是通過現(xiàn)場原位試驗直接得到的，可以更好的反映原位土的形狀，這樣，用（5）式的變形參數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)分層總和法的壓縮模量來計算地基的沉降，就可以反映現(xiàn)場原狀土的特性，可以不需要像規(guī)范方法用一個變化范圍0.2~1.4這樣大的經(jīng)驗系數(shù)來修正計算值了，而用（6）式確定的原狀土的單元切線模量就可以用于數(shù)值計算地基的沉降，（5）式反映了荷載水平對變形參數(shù)的影響，（6）式反映了土的壓硬性和剪軟性。
圖3 壓板載荷試驗計算比較
圖3所示為用（6）式的切線模量用數(shù)值方法計算一個壓板載荷的試驗曲線的結(jié)果，計算曲線與試驗曲線比較接近。
因此，鑒于土質(zhì)材料的天然特殊性，為更好掌握天然土的力學(xué)特性，應(yīng)大力發(fā)展原位試驗技術(shù)，并發(fā)展與之相關(guān)的理論研究，發(fā)展基于原位試驗的土力學(xué)，即原位土力學(xué)，使理論更符合實際，應(yīng)是更好解決土工工程的途徑。這應(yīng)該是土力學(xué)發(fā)展的第四個階段，也是更值得期待的階段，可以更有效的提高土力學(xué)計算的準(zhǔn)確性，提高工程設(shè)計水平。
寫于2021.8.28，修改于2021.10.1
來源：自巖土網(wǎng)
圖片文字來自網(wǎng)絡(luò)，版權(quán)歸原作，如侵權(quán)聯(lián)系刪除。
展開 LS-DYNA中的*MAT_PLASTIC_KINEMATIC模型
一、不考慮應(yīng)變率
在不考慮應(yīng)變率影響時，該模型下的屈服面半徑為初始屈服強度加上硬化的部分，即：
其中，σy為屈服強度，σ0為初始屈服強度，Ep為塑性硬化模量，ε （eff，p）為有效塑性應(yīng)變。
塑性硬化模量由下式給定：
其中，E為彈性模量，Et為切線模量。
根據(jù)β值的不同，可以用來描述不同的硬化模型，如下圖所示：
β = 0 時，為隨動硬化，屈服面大小不變，沿塑性應(yīng)變方向移動；
β = 1 時，為各向同性硬化，屈服面位置不變，大小隨應(yīng)變而變化；
0 < β < 1 時， 為混合硬化。
不同的硬化模型，其中E為彈性模量，Et為切線模量，l0和l分別為單周拉伸試驗前后試件的長度
隨動硬化
各向同性硬化
二、考慮應(yīng)變率
*MAT_PLASTIC_KINEMATIC模型中利用Cowper-Symonds模型來考慮應(yīng)變率的影響，如下：
其中，p，C為與應(yīng)變率有關(guān)的參數(shù)。
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展開 有限元分析中存在的幾種模量
體積模量的倒數(shù)稱為體積柔量。體積模量和拉伸模量、泊松比之間有關(guān)系：E=3K(1-2μ)。
壓縮模量（Compression Modulus）：
壓縮模量指壓應(yīng)力與壓縮應(yīng)變之比。
儲能模量E'：
儲能模量E'實質(zhì)為楊氏模量，表述材料存儲彈性變形能量的能力。儲能模量表征的是材料變形后回彈的指標(biāo)。
儲能模量E'是指粘彈性材料在交變應(yīng)力作用下一個周期內(nèi)儲存能量的能力，通常指彈性。
耗能模量E''：
耗能模量E''是模量中應(yīng)力與變形異步的組元；表征材料耗散變形能量的能力, 體現(xiàn)了材料的粘性本質(zhì)。
耗能模量E''指的是在一個變化周期內(nèi)所消耗能量的能力。通常指粘性。
切線模量（Tangent Modulus）：
切線模量就是塑性階段，屈服極限和強度極限之間的曲線斜率。是應(yīng)力應(yīng)變曲線上應(yīng)力對應(yīng)變的一階導(dǎo)數(shù)。其大小與應(yīng)力水平有關(guān)，并非一定值。切線模量一般用于增量有限元計算。切線模量和屈服應(yīng)力的單位都是N/m2。
截面模量：
截面模量是構(gòu)件截面的一個力學(xué)特性。是表示構(gòu)件截面抵抗某種變形能力的指標(biāo)，如抗彎截面模量、抗扭截面模量等。它只與截面的形狀及中和軸的位置有關(guān)，而與材料本身的性質(zhì)無關(guān)。在有些書上，截面模量又稱為截面系數(shù)或截面抵抗矩等。
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展開 基于VB的ANSYS二次開發(fā)之Duncan-Chang本構(gòu)模型算法介紹
Duncan和Chang利用上述關(guān)系推導(dǎo)出了彈性模量公式：
可見增量虎克定律中所用的彈性模量實際是常規(guī)試驗曲線的切線斜率。這樣的模量叫切線彈性模量，可用來表示，
詳細(xì)介紹見附件文檔！！！！
生成并調(diào)用宏文件
在編程實現(xiàn)本構(gòu)模型的過程中，需要重復(fù)執(zhí)行某一部分，用戶可以將該部分獨立編寫后放入指定位置，由APDL命令來調(diào)用，也可以通過*CREATE命令創(chuàng)建宏文件，并用*END命令結(jié)束宏的創(chuàng)建。利用*USE命令調(diào)用宏文件，并向宏文件傳遞參數(shù)：
*USE,Name,ARG1,ARG2,ARG3,ARG4,ARG5,ARG6,ARG7,ARG8,ARG9,AR10,AR11,AR12,AR13,AR14,AR15,AR16,AR17,AR18
其中，Name是宏文件名，ARGI到AR18是宏文件用到的參數(shù)值。我們將用*CREATE命令創(chuàng)建名為Duncan-Chang的宏文件，其中包含9個參數(shù)，使用*USE命令對模型內(nèi)的每個單元反復(fù)調(diào)用Duncan-Chang宏文件，不斷計算得到新的切線模量。
APDL實現(xiàn)過程
Duncan-Chang E-v模型是一種建立在增量廣義虎克定律基礎(chǔ)上的非線性變彈性模型，是通過不斷改變其切線彈性模量來實現(xiàn)非線性的，完全可以通過ANSYS APDL進(jìn)行編程分析。計算過程中主要通過如下方式來實現(xiàn)：取初始材料參數(shù)，施加第一步載荷，計算并讀取單元應(yīng)力，根據(jù)單元的當(dāng)前應(yīng)力調(diào)用Duncan-Chang模型宏命令計算新的材料參數(shù)（主要是材料的彈性模量和泊松比），代替初始材料參數(shù)；施加第二步載荷，計算并讀取應(yīng)力增量，根據(jù)單元的當(dāng)前應(yīng)力調(diào)用Duncan-Chang模型宏命令計算新的材料參數(shù)，以此類推。
展開 
淺析：楊氏模量、彈性模量、剪切模量、體積模量、強度、剛度，泊松比
剪切模數(shù)G=剪切彈性模量G=切變彈性模量G 切變彈性模量G，材料的基本物理特性參數(shù)之一，與楊氏(壓縮、拉伸)彈性模量E、泊桑比ν并列為材料的三項基本物理特性參數(shù)，在材料力學(xué)、彈性力學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。
其定義為：G=τ/γ， 其中G(Mpa)為切變彈性模量；
τ為剪切應(yīng)力(Mpa)；
γ為剪切應(yīng)變(弧度)。
體積模量K(Bulk Modulus)：
體積模量可描述均質(zhì)各向同性固體的彈性，可表示為單位面積的力，表示不可壓縮性。公式如下K＝E/(3×(1-2×v)),其中E為彈性模量，v為泊松比。具體可參考大學(xué)里的任一本彈性力學(xué)書。
性質(zhì)：物體在p0的壓力下體積為V0；若壓力增加(p0→p0+dP)，則體積減小為
(V0-dV)。則K=(p0+dP)/(V0-dV)被稱為該物體的體積模量(modulus of volume
elasticity)。如在彈性范圍內(nèi)，則專稱為體積彈性模量。體積模量是一個比較穩(wěn)定的材料常數(shù)。因為在各向均壓下材料的體積總是變小的，故K值永為正值，單位MPa。體積模量的倒數(shù)稱為體積柔量。體積模量和拉伸模量、泊松比之間有關(guān)系：E=3K(1-2μ)。
壓縮模量（Compression Modulus）：
壓縮模量指壓應(yīng)力與壓縮應(yīng)變之比。
儲能模量E'：
儲能模量E'實質(zhì)為楊氏模量，表述材料存儲彈性變形能量的能力。儲能模量表征的是材料變形后回彈的指標(biāo)。
儲能模量E'是指粘彈性材料在交變應(yīng)力作用下一個周期內(nèi)儲存能量的能力，通常指彈性；
耗能模量E''：
耗能模量E''是模量中應(yīng)力與變形異步的組元；表征材料耗散變形能量的能力, 體現(xiàn)了材料的粘性本質(zhì)。
耗能模量E''指的是在一個變化周期內(nèi)所消耗能量的能力。通常指粘性
切線模量（Tangent Modulus）：
切線模量就是塑性階段，屈服極限和強度極限之間的曲線斜率。
展開 ANSYS 接觸分析 - 關(guān)于壓頭與壓痕問題的一個例子
壓頭為圓錐體，頭部是一個半徑 0.25 的近似半球，高 10，大端半徑 2.5.其材料是合金鋼，材料性能：
彈性模量 E = 210000 Mpa； 泊松比 μ = 0.3。
工件為一個半徑 5，高度 20 的圓柱體，材料為鋁合金，材料性能為：
彈性模量 E = 71000 Mpa； 泊松比 μ = 0.33。
屈服應(yīng)力 σs = 240 Mpa； 切線模量： Et = 710 MPa
建模時，在壓頭的圓錐頭外表面與工件上表面之間創(chuàng)建面-面接觸對，分別采用柔性目標(biāo)面和剛性目標(biāo)面兩種接觸方式進(jìn)行分析。
建模過程如下：
1 定義單元類型：
定義兩種單元類型：
(1) SOLID185 單元，用于對體積劃分網(wǎng)格；
(2) Mesh200 單元，設(shè)置單元形狀為 4 節(jié)點四邊形：
對圓錐體劃分網(wǎng)格時，準(zhǔn)備先對一個截面劃分面網(wǎng)格，然后掃描為體網(wǎng)格，為此需要定義 Mesh200 定義，用于面網(wǎng)格的劃分。
形狀 MESH200 單元形狀為 4 節(jié)點四邊形，是為了與 8 節(jié)點實體單元SOLID185 的表面網(wǎng)格相匹配。
2 定義兩種材料，其中鋁合金定義為雙線性彈塑性材料：
其中：
材料 1 為合金鋼：
彈性模量 E = 210000 MPa， 泊松比 ν = 0.3；
材料 2 為鋁合金。
彈性模量E = 71000 MPa， 泊松比ν = 0.33；
切線模量 E切 = 710 MPa，屈服應(yīng)力 σs = 240 MPa。
展開 Abaqus 多分析步分析
對前面常規(guī)分析步中有非線性響應(yīng)的模型，ABAQUS用當(dāng)前的彈性模量作為擾動分析的線性剛度。該彈性模量對彈塑性材料而言是其初始彈性模量，對超彈型材料而言為其切線模量（參見下圖）。
擾動步中的載荷應(yīng)足夠小，以保證模型的響應(yīng)不要過大地偏離切線模量所能預(yù)測的響應(yīng)。如果仿真過程中有接觸問題，則在擾動分析步中應(yīng)保證接觸面的接觸狀態(tài)不發(fā)生改變，即基態(tài)中閉合的點仍保持閉合，脫離的點仍保持脫離。
若在擾動步后有常規(guī)步，它就用前面一個常規(guī)分析步結(jié)束時模型的狀態(tài)作為其起始點，而不是將擾動分析步結(jié)束時模型的狀態(tài)作為其起始點。這樣，線性擾動分析步中的響應(yīng)對仿真過程不產(chǎn)生長遠(yuǎn)的影響。因此，ABAQUS在分析過程中總時間并不包含線性擾動分析步的時間。事實上，ABAQUS將擾動分析步的時間定義成非常小的量（10－36），因此，將它累加到總時間上時沒有任何影響。在模態(tài)動力分析過程并不采用這一規(guī)則。
在線性擾動分析步中所給定的載荷和邊界條件僅在該分析步內(nèi)有效。在線性擾動分析步中給定的載荷量值（包括預(yù)設(shè)的邊界條件）是載荷的擾動增量，而不是載荷的總量值。因此，擾動分析步內(nèi)輸出的結(jié)果僅是因擾動而引起的變化量。在基態(tài)變量中不包含這些擾動變化量。
展開 鋼結(jié)構(gòu)材料性能（復(fù)習(xí)）
直線的斜率E為鋼材的彈性模量，在鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計中，對所有鋼材統(tǒng)一取E=2.06x105N/mm2。
2）彈塑性階段（非線彈性階段）
當(dāng)超過比例極限σp后，應(yīng)力σ與應(yīng)變ε呈非線性關(guān)系，一直到屈服點fy。此階段，切線模量Et=dσ/dε，Et隨應(yīng)力增大而減小。當(dāng)σ=fy時，Et=0。
3）塑性階段（屈服階段）
σ=fy后，材料到達(dá)彈性段頂端，鋼材暫時不能承受更大的荷載，且伴隨產(chǎn)生很大的變形。從曲線上看，材料屈服后，有一段水平段，表示荷載或應(yīng)力不再增加，但材料的變形或應(yīng)變還會增加。水平段有微小抖動，包括上屈服點、下屈服點，通常用下屈服點作為屈服強度。
應(yīng)力超過比例極限σp后，任一點的變形都將包括有彈性變形和塑性變形兩部分，其中的塑性變形在卸載后不再恢復(fù)，故稱殘余變形或永久變形。
4）強化階段
屈服階段之后，如果變形或應(yīng)變持續(xù)增加，荷載或應(yīng)力還會提高，這個階段叫作強化階段。試件能承受的最大拉應(yīng)力fu為鋼材的抗拉強度。
在強化階段，材料的應(yīng)力增量與應(yīng)變增量的比值，表征了在此階段的材料性能，為切線模量。如果將這點與原點連起來，即表征材料的總應(yīng)力與總應(yīng)變的比值，叫作割線模量。
5）頸縮階段
到達(dá)曲線的頂點fu后，試件會出現(xiàn)局部橫向收縮變形，即頸縮，隨后斷裂。
在工程設(shè)計中，取fy作為強度極限承載力的標(biāo)志，則fu就成為材料的強度儲備。屈服強度與極限強度的比值即屈強比，是實際工程中非常重要的一個指標(biāo)。
2、高強度鋼的一次拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線
低碳鋼和低合金鋼有明顯的屈服點和屈服平臺。而高強度鋼，有較好的塑性性質(zhì)但沒有明顯的屈服點和屈服平臺，應(yīng)力應(yīng)變曲線形成一條連續(xù)曲線。對于沒有明顯屈服點的鋼材，規(guī)定永久變形為ε=0.2%時的應(yīng)力作為屈服點，有時用σ0.2表示。
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