剛度分解的案例
某新型動力總成抗扭懸置設計及仿真分析
1 傳統縱置動力總成的懸置設計計算分析
1.1 實際車輛中影響車輛抖動的因素分析
目前傳統縱置動力總成的懸置結構一般為發動機左右懸置采用矩形懸置和變速器懸置的三點布置形式：根據不同車型的需要后懸置采用襯套吊裝式，或者剪切型懸置托舉式，作用都是大相徑庭的，本研究以襯套型為例，經過針對多個縱置動力總成項目的歸納與分析，對于車輛的抖動問題得出以下推論：
a.布置角度：
懸置的布置角度直接影響到懸置的解耦和剛度分解機懸置系統頻率的分布從而影響對總成抖動（晃動）頻次的抑制和大小
b.設計剛度：
剛度設計影響的主要方面可以從靜剛度的支撐合理性及動剛度的大小對
c.懸置曲線：
懸置曲線設計的不合理，導致的動力總成晃動量較大或者沖擊過大不能有效抑制。
1.2 傳統懸置結構的計算仿真分析
對傳統懸置系統進行振動分析，本文采用Adams 建模分析方法對其展開。
設計計算輸入：
根據現有的動力總成設計數據硬點位置及設計參數，在Adams_View模塊下搭建動力總成振動分析動力學模型。首先導入等效的動力總成模型，建立相關硬點，使用Bushing 力單元代替懸置連接總成與大地建立6 自由度振動分析模型，依據上述參數鍵入動力總成和懸置襯套的信息，調整懸置布置角度，后利用Adams_Vibration 模塊進行仿真。
展開 設計仿真 | MSC Nastran高性能求解計算（一）
為了求解矩陣方程，我們可以使用直接或迭代方法，其中輸入是剛度矩陣和載荷，輸出是位移。
直接求解器
直接求解器依賴于LDLT分解，該方法在結構分析中應用廣泛，這種方法對剛度矩陣的數值特性不敏感，因此適用性比較好，它們的運行過程包含兩步。首先，將對稱剛度矩陣分解為下三角陣；然后，執行前向消元和后向替換（FBS）來求解結果系統，這一步也稱為求解算法的FBS部分。
直接方法利用剛度矩陣中固有的稀疏性（圖1）。稀疏矩陣僅意味著有許多零項。多波前Multi-frontal算法利用矩陣稀疏性來減少計算時間和內存需求。
矩陣分解通常占總求解時間的80-90%，而FBS部分通常消耗剩余的10-20%。MSC Nastran 提供三種直接方法：
? MSC稀疏直接求解器（MSCLDL）
? Pardiso求解器（PRDLDL）
? MUMPS求解器（MUMPS 和MUMPSBLR）
圖 1：二維稀疏矩陣、非零項以黑色顯示（維基百科）
MSCLDL求解器是MSC Nastran的原始稀疏直接求解器，它被設計為在非常有限的內存中運行，但它的并行可擴展性有限。另一方面，Pardiso和MUMPS求解器消耗的內存是MSCLDL的5到12倍，具體取決于模型，但可以表現出更高的性能，尤其是在與共享內存并行（SMP）一起使用時。
迭代求解器
迭代求解器是求解線性方程的另一種選擇。迭代求解器的工作原理是使用迭代來減少近似解中的誤差，最終在可接受的容差范圍內收斂。
迭代方法通常依賴于共軛梯度法或 GMRES算法等技術。盡管這些方法比直接求解器要快得多，消耗的內存也少得多，但它們通常只在某些類型的問題上表現良好，例如載荷工況很少且以實體單元為主導的模型。
特征值求解器
在線性動力學分析中，需要多次動態剛度矩陣的分解。
展開 基于hypermesh+lsdyna的隱式分析——卡扣插入力分析 ￥30
隱式：
需要計算全局剛度矩陣，并對矩陣求逆，然后計算節點的非平衡力并獲得節點位移增量。這種方法的優點是時間步長的大小可以由用戶決定；不足之處是需要大量的數值計算用以生成、存儲及分解剛度矩陣。因此，隱式計算通常需要較少但相對昂貴的時間步。
卡扣插入過程展示：
本次分析采用隱式求解法：
1.模型網格：采用四面體網格，不會產生沙漏，但容易體積自鎖，所以單元屬性ELFORM采用13號。
考慮齒輪齒條動態激勵的山地齒軌車輛-軌道耦合動力學特性分析
嚙合剛度的計算可以采用解析法和有限元法，另外，SIMPACK 中自帶的 225 號力元也能求解嚙合剛度。齒條在軌道上的安裝方式如圖 3 所示。
1.2.1 基于勢能原理的齒輪齒條嚙合剛度計算方法
齒輪齒條時變嚙合剛度可分解為齒輪剛度和齒條剛度。齒輪剛度可以分解為彎曲剛度 kb、剪切剛度 ks、軸向壓縮剛度 ka、齒基剛度 kf，由材料力學中應變能公式可得[12-14]
式中，F 為嚙合力，Ub 為輪齒彎曲勢能，Us 為輪齒剪切勢能，Ua 為壓縮勢能，Uf 為齒基變形勢能。所以儲存在齒輪中總的勢能為
所以齒輪單齒剛度 kc可表示為
與齒輪剛度類似，齒條剛度也可分解為彎曲剛度 kw、剪切剛度 kj、軸向壓縮剛度 ky、齒條基體剛度 kt，所以齒條單齒剛度 kr可表示為
式中，kt 主要通過齒條撓度變形和壓縮變形求得，利用撓度疊加進行求解，齒條受力如圖 4 所示。
當嚙合力延長線與齒條基體中心線交點在基體外時，嚙合位置處 x、y 方向的位移分別為
式中，E 為彈性模量，A 為齒條基體橫截面積，l 為齒條長度，M 為嚙合力等效到齒條左端的轉矩。當交點在齒條基體內時，嚙合位置處 x、y 方向的位移分別為
所以，根據疊加原理，齒條基體剛度可以表示為
式中，β 為壓力角，x、y 分別為齒條基體的軸向和垂向壓縮變形。當嚙合力延長線與齒條基體中心線交點在基體外時 x 等于 x1、y 等于 y1，當嚙合力延長線與齒條基體中心線交點在基體內時 x 等于 x2、y等于 y2。對于齒輪齒條嚙合，重合度 2<ε<3，嚙合剛度可表示為
式中，kh 為齒輪齒條赫茲接觸剛度，i=1 表示第一對齒嚙合剛度，i=2 表示第二對齒嚙合剛度，i=3 表示第三對齒嚙合剛度。
展開 
基于達索系統SIMULIA Isight的汽車扭轉梁參數化設
其中操穩對扭轉梁結構件的要求可以分解到剛度要求上，剛度主要包括扭轉剛度、縱向剛度、側向剛度、垂向剛度、彈簧安裝點剛度、減震器安裝點剛度。而扭梁扭轉剛度和彈簧剛度決定了扭轉梁后懸架的側傾剛度，側向剛度決定了后懸架的橫向剛度。
從表3中性能結果表可見，包括扭轉剛度、側向剛度、垂向剛度、彈簧安裝點剛度、減震器安裝點剛度全部滿足目標值。
表3 性能結果表
Table.3 Function result
優化方案的試制樣件，經過臺架考核后，可以看到試驗結果均滿足20萬次的目標值，如表4和圖7所示。因此，該優化方案可以同時滿足低頻扭轉耐久壽命要求。
表4 臺架試驗結果
Table.3 Rig-test result
圖7 臺架驗證
Fig.7 Rig-test validation
綜上所述，基于Isight的參數化設計而得的汽車扭轉梁優化結構，其操穩及耐久性能都得到優化的同時，輕量化意義也得到了進一步提升。
5 結論
（1）基于Isight的參數化設計方法優化得到的扭轉梁，經過臺架驗證，發現扭轉剛度、側向剛度、垂向剛度、彈簧安裝點剛度、減震器安裝點剛度，以及耐久性能全部滿足要求，同時方案具備較好的輕量化意義。
（2）基于Isight的汽車扭轉梁參數化設計方法，相較于傳統的扭轉梁優化設計流程，縮短了90%的優化周期，極大地提升了扭轉梁設計的周期與效率。
參考文獻
[1] 宋凱,段利斌,陳濤,陳艾國.全參數化概念車身協同開發與快速化結構設計研究[J].中國機械工程,2014,3(25):6
Song Kai, Duan Libin, Chen Tao, Chen Aiguo.
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列47：約束關系（3）-船舶規范約束導致的Max Ratio問題
剛度陣每一行都對應某個自由度，這一行的剛度*未知量=這個自由度上的載荷（由文章第45篇可知，其實也是一個約束方程），如果這個行的剛度都是0，只要這個自由度對應的載荷項也是0，那么在高斯分解成LU矩陣后反向求解自由度對應的位移時，可以跳過這個方程，同時將這個自由度對應的位移設為為0就行。
3.3.3 商軟的做法
3.3.3.1 PIVOT RATIO的定義
無論上面兩種方法中的由于截斷誤差導致的rx1不為0還是第二種剛度陣某一行都是0的情況，在實際工程中都必須判斷一個數是不是和0的關系，計算機也只能嚴格按照一個定死的判據判斷這個數是否為0。由于剛度在不同單位不同材料情況下絕對值差異很大，所以商軟都采用相對量來判斷近似0的情況，實際中Nastran或者Abaqus都采用高斯消元法的變形，將剛度陣直接LDLT分解為下三角L、對角陣D、上三角陣L’。
K=L*D*L’
它們采用Pivot Ratio來說明這個近似0到什么程度，也就是原始的剛度陣對角元Kii和LDLT得到的D矩陣對角元Dii的比值：
Pivot Ratio (i)= K(i,i)/D(i,i)
3.3.3.2 MAX PIVOT RATIO不同軟件的修正
無論是Nastran還是Abaqus，PIVOT RATIO都是上面的定義，但我們研究發現，Nastran和Abaqus還是略微有些不同的，Nastran做了進一步的修正。
我們做了一個兩頭按船舶CSR規范加載的盒子3號模型。這個模型的兩個端面和主節點嚴格在一個平面，且模型相對簡單。
iSolver、Abaqus、Nastran計算都可發現能得到正常結果。
Abaqus計算提示MPC主點的1/5/6自由度沒有約束，它的PIVOT RATIO為3.7e14。
展開 剛度分解的相關專題、標簽、搜索
剛度分解分解傅立葉分解載荷分解稀疏分解譜分解 三次分解失敗，檢查模型，則該模型可能包含以自由度既沒有質量也沒有剛度的方式建立的運動耦合定義連續三次分解失敗。檢查模型。該模型可能包含以自由度既沒有質量也沒有剛度的方式設置的運動學耦合定義。三因子分解連續失敗了。檢查模型。有可能模型包含運動學耦合定義設置,一個自由度既沒有質量和剛度。連續三次分解失敗。請檢查模型。可能是模型中包含運動耦合定義，且某一自由度既無質量也無剛度。連續三次分解失敗。檢查模型。該模型可能包含運動學耦合定義，該定義以自由度既沒有質量也沒有剛度的方式設置。連續三次因式分解失敗。檢查模型。模型可能包含運動學耦合定義，其設置方式使得自由度既沒有質量也沒有剛度。
