隨機過程的案例
隨機振動疲勞分析——載荷特征
圖1
如果T 足夠長，fx(x) 可以通過下式表達：
相對的概率密度函數PDF可以通過總的時間段在帶寬X 和X+dX 段，如圖2所示
圖2
隨機信號X(t) 的均值和均方根值可以表示為：
這里T 是總的時長，當ux=0時，就是隨機信號X(t) 的均方根RMS Fx(x)服從高斯正態分布
圖3
圖4
因為隨機振動激勵被假設為服從高斯正態分布，各幅值發生概率為：
圖5
基于這個特點，在實際計算中一般取3 sigma為計算的上限。高斯正態分布具有以下重要屬性：如果高級正態分布激勵作用在線性系統上，則輸出的激勵是不同的隨機過程，但是仍然服從另外一個高斯正態分布。
舉個隨機信號的處理過程的例子：
圖6
圖7
信號X(t) 被分解為幾段，如圖6和圖7所示，對于平穩的隨機過程x(t) ，時間歷程是非周期的，因此不能用傅里葉級數表示；而且x(t)是一個無限長的信號，不能通過傅里葉變換得到該隨機過程的頻域信息。這個困難可以通過對該隨機過程的自相關函數Rx(τ) 做傅里葉變換來解決。
由于X(t) 是平穩隨機信號其均值和標準差是獨立于時間t 的，因此
相關系數
如果對隨機過程x(t) 的零點進行處理，使得該過程的平均值為0，并且假定x(t) 不含有周期性分量，那么Rx(τ∞)=0，條件得到滿足。我們就可以得到自相關函數的Rx(τ) 傅里葉變換和逆變換。
其中函數Sx(ω) 稱為功率譜密度。
展開 【OptiStruct要領】掃頻/定頻疲勞以及隨機振動疲勞
而所有循環次數NT定義為：
當隨機過程為寬帶隨機過程時，
當隨機過程為窄帶隨機過程時，也可以用下方公式來表征：
E(0+)：單位時間內零點正穿越次數
E(P)：單位時間內的應力峰值次數
在?Si 范圍內我們可以通過SN曲線得到其壽命 ,記為那么易知，結構在隨機振動的作用下，其壽命為
然而時域法對信號要求較高.需要信號有據夠長的歷程,計算量也較大，所以通常計算隨機振動疲勞都是用的頻域法(OptiStruct中用的也是頻域法),即通過應力的功率譜密度函數（PSD）的統計學特性直接構建應力分布概率密度函數(PDF)（紅線）。
從PSD曲線構建PDF曲線的方法有很多種,包括，包括Rice模型、Bendat模型、Wirsching和Lisht修正模型、Dirlik模型、Zhao和Baker模型等。多數模型都有其適用范圍.比如通常認為最優的Dirlik模型適用于寬帶隨機過程。
在OptiStruct中,主要提供了4種模型: DIRLIK, LALANNE, NARROW, and THREE
1.DIRILIK
其中S是應力范圍;?是不規則因子(下同),是描述不同譜型的常用參數,研究發現這些統計參數可以用功率譜的n階慣性矩函數
(下同)描述.不規則因子是指時域信號零點正穿越均值次數(E(0+))和樣本峰值次數(E(P))的比值。
Dirlik方法是寬帶隨機振動壽命估計種應用最多和最準確的,通過蒙特卡洛技術做了大量的計算機模擬，得出頻域信號疲勞分析法的經驗閉合解。
2.LALANNE
適用于寬度隨機過程。
3.NARROW
適用于窄帶隨機過程。
展開 聯合ABAQUS與Fe-safe的隨機振動疲勞分析（隨機疲勞理論及有限元軟件操作講解） ￥25
前言
在汽車制造行業中，對于主機廠或汽車零部件廠商而言，在汽車的主要零部件的設計研發過程中，都需要考慮其安全性能。由于路面的不平度，車輛行駛過程中會發生隨機振動，零部件結構在隨機振動載荷作用下容易出現疲勞破壞，因此，研究隨機振動對零部件的疲勞壽命影響具有重要意義。
2. 振動疲勞理論
隨機振動是指任一給定時刻的瞬時值不能預先確定的機械振動，無法用確定性函數而須用概率統計方法定量描述其運動規律的振動。例如：汽車在凹凸路面上行駛時的振動，飛機在陣風中飛行時的振動，船舶在波浪中的振動。
2.1 隨機過程基礎理論與功率譜密度PSD
隨機過程按統計特性隨時間變化情況，可以分為兩類: 平穩隨機振動和非平穩隨機振動。 為了描述平穩過程隨時間變化的特性，一般采用相關函數。而功率譜密度可以在頻域范圍內描述平穩過程，能夠表達隨機過程的能量分布情況，是隨機過程在頻域內的重要參數。
自相關函數Rx(τ)和功率譜密度Sx(ω)符合維納一辛欽定理:
為了方便工程中的運算，根據 ω = 2πf，把圓頻率換算為頻率f。
2.2 應力功率譜密度
結構激勵信號的功率譜密度為W( f )，則應力功率譜密度為：
其中，H ( f )為應力頻響函數。
2.3 應力功率譜密度慣性矩與不規則因子
在時域中，常用一些統計參數來描述一個隨機應力應變時間歷程中1s的樣本，如圖2所示，圖中E[0]為樣本中自下而上穿越均值的次數，E[P]為樣本中出現峰值的次數。
E[0]和E[P]可以通過功率譜密度函數的i階慣性矩mi換算得到。慣性矩即為功率譜密度函數曲線下包括的面積。如圖3所示。
展開 隨機振動的一些概念
各態歷經平穩隨機過程： 對于一個平穩隨機過程，經歷各種狀態統計平均值等于時間平均值，統計自相關函數等于時間自相關函數（數學期望和相關函數的各態歷經性。）
平穩：樣本概率分布與時間無關（與時間間隔有關），即主要針對概率分布而言，并非樣本本身。平穩隨機過程滿足一定條件才會各態歷經，各態歷經一定平穩；
隨機信號強度用均方值描述：隨機變量X(t)的平方的均值，記為，在工程上表示信號的平均功率，其平方根稱有效值。信號的平均功率 = 信號交流分量功率 + 信號直流分量功率。
工程上常把數據信號看成不隨時間變化的靜態分量(即直流分量) 和隨時間變化的動態分量之和。
靜態分量用均值表述。用E(x)表示。高斯白噪聲信號均值為0，只有交流分量。
動態分量部分用方差表述。方差是x（t）偏離均值的平方的均值，它反映離開均值的波動情況，交流信號的平均功率。
有時候分母也換成n-1,這取決于數據是樣本數據還是整體數據。
概率密度函數、概率分布函數、自相關函數、相關系數后續再寫。
展開 
《結構可靠性分析及隨機有限元法（含光盤）》
ISBN：7111159985
頁數：268
版次：1-1
開本：A5
裝幀：簡
內容簡介
本書系統介紹了結構可靠性分析的內容、方法和工程應用，著重闡述了隨機有限元法的基本理論、計算列式和程序設計，附有平面問題隨機有限元程序，贈送源程序光盤。
全書分為10章，內容包括：隨機變量、隨機過程及隨機場的基本知識，結構可靠度和可靠指指標，結構可靠度計算方法，結構體系可靠度計算，隨機有限元的理論、方法及工程應用，隨機有限元程序設計，隨機有限元程序及使用說明，結構可靠度分析專題等。
本書適用于高等學校土建、水利、機械和力學等專業的本科生、研究生使用，也可作為工程技術人員和有關專業師生的參考書。
前言
第1章 緒論
第2章 隨機變量及其統計特征
第3章 隨機過程和隨機場
第4章 結構可靠度與可靠指標
第5章 結構可靠度計算方法
第6章 結構體系可靠度計算
第7章 隨機有限元法
第8章 平面問題的隨機有限元法及程序設計
第9章 空間問題的隨機有限元法及程序設計
第10章 結構可靠度分析專題
附錄 常用數表
參考文獻
展開 結構設計中的設計使用年限、設計基準期、重現期
由于可變荷載是一個隨機過程，應在一個確定的設計基準期內T，對荷載隨機過程作一次連續觀測，獲得依賴于觀測時間的數據，即隨機過程的一個樣本。對于永久荷載，其值在設計基準期內基本不變。而可變荷載，我們可以采用其標準值用于設計，即在結構設計基準期內可能出現的可變荷載最大值，由設計基準期最大荷載概率分布的某個分位值來確定。
可變作用的標準值Qk，也可以通過平均重現期TR定義。重現期是指“連續兩次超過作用值Qk的平均時間間隔”，以“年”為單位度量的重現期和荷載的年超越概率p成反比。兩者之間的關系為：Qk的分布函數F(Qk)=1-1/TR。重現期、概率p和確定標準值的設計基準期T存在下述近似關系： TR=1/ln(1/p)*T。如地震作用的代表值相當于設計基準期為50年最大烈度90%的分位值。如果采用重現期表示，基本烈度相當于重現期為475年的地震烈度。
當結構的設計使用年限與設計基準期不同時，應對可變作用的標準值進行調整，這是因為結構上的各種可變作用均是根據設計基準期確定其標準值的。以房屋建筑為例，結構的設計基準期為50年，即房屋建筑結構上的各種可變使用的標準值取其50年一遇的最大值分布的“某一分位值”，對設計使用年限為100年的結構，要保證結構在100年時具有設計要求的可靠度水平，理論上要求結構上的各種可變作用應采用100年一遇的最大值分布上的相同分位值作為可變作用的標準值。為此，《建筑結構可靠性設計統一標準，2018》提出設計使用年限對設計的影響通過荷載調整系數γL體現，并對相應數值給出規定。
在海洋平臺設計中，設計使用年限一般由業主指定，通常為20-35年，由于其作業環境惡劣，將γL取為1.0（對于設計壽命50年的結構，房屋建筑取γL為1.0）。
展開 分概念
2 幾個數學概念
工程結構分析中廣泛應用到一系列數學工具，典型的如離散與集合、變分原理、隨機過程、富利葉變換、張量分析等，對這些數學概念的理解與應用，將直接關系到結構分析的質量。因此，就這幾個概念問題并結合筆者的認識與體會進行論述。
2.1 離散與集合
離散與集合是有限元方法的精髓。有限元法把求解區域看成由許多小的相互連接子區域或單元構成，即它是利用一組離散單元的集合體來代替求解區域，其性態由若干個參數來表達。這些參數所表達的離散體的數學方程稱為形函數，再將全部離散體的形函數集成，組集成一組高階的線性或者非線性方程組，從而求解作為單元集合體的整個系統。由于單元的剖分是任意的，并且可以按照不同方式組合在一起，所以能夠靈活地表達非常復雜的幾何形狀。隨著數值計算技術的發展，即使離散體或者自由度的數目非常大，也較容易實現。這種由離散體近似表述整體問題的方法，可以是傳統的數學近似或者是工程上的直接近似。于是在有限元法中，離散的概念包含兩個方面的內容：其一是結構的單元劃分，用有限個單元體來近似代替整個結構，每個單元的力學特性可以通過實驗或者數學上的推導來完全確定；其二是單元的集合，即對每個單元所確定的特性關系進行求和，這是一個很有規律且非常簡便的過程，因為每個單元的剛度系數可以直接存放到整體剛度矩陣中對應的位置上。需要注意的是，由于不同的單元具有不同的特性，因此，在集合單元剛度矩陣時，應該滿足矩陣求和的規則，只有階數相同的矩陣，才能夠相加，因此，要相加的各個子矩陣，必須由力或者位移分量數目相應的項組成。離散與集合的思想，使得許多復雜的結構問題的求解成為可能。
2.2 有限元與隨機分析
隨機分析與有限元方法的結合便是所謂的隨機有限元，或者稱為概率有限元法，這種分析方法結合了有限元的離散集合與概率隨機過程的數學思想。
展開 頻域振動疲勞計算的最新技術（一）
隨機時間歷程的功率譜密度
從頻域信號轉換成時域信號我們通常把頻域的復數矢量進行傅里葉反變換，就可以得到原來的時域信號。值得注意的是，
因為功率譜密度（PSD）不包含相位信息，傅里葉反變換用于功率譜密度并不能完全再現原來的時域信號。但是對于各態歷經固定相的高斯分布隨機過程，我們可以取出一段時間的時間歷程，假設它代表了原始的時間歷程的統計特性，如此假設是偏于安全的。實際上我們看到許多自然現象屬于各態歷經固定相的高斯分布隨機過程，比如風速和波高。嚴格地說，發電機、發動機、汽車路載并不屬于各態歷經固定相的高斯分布隨機過程。但是中心極限定理告訴我們這些現象基本滿足各態歷經固定相的高斯分布隨機過程的假設。
1964年Bendat[7]提出的第一個利用功率譜密度來評估疲勞壽命的方法， 1985年Dirlik提出了的一個利用Monte Carlo技術的經驗方法，20年間， 頻域振動疲勞理論得到了不斷的發展和驗證。 Bishop[8]做了大量的工作證明了Dirlik方法在不同的雨流范圍都有很好的計算精度。表（1）是一個用頻域計算的Howden
HWP330的風力渦輪機的疲勞壽命與用時域方法的比較。從表上可以看到，Dirlik方法非常穩定，與時域計算結果的平均差別只有4%。在本介紹系列文章（二）里，我們將介紹Dirlik方法的理論細節。
表1. 不同頻域疲勞壽命計算方法的比較
MSC Nastran Embedded Vibration Fatigue（NEVF）介紹
頻域疲勞分析雖然具有很多明顯的優點，其精度的可靠性也已經從大量的研究工作得到了證實。但是目前的商業有限元軟件存在的技術瓶頸，嚴重阻礙了該方法的普及和應用。
展開 仿真工程師在隨機振動環境中如何計算疲勞？——第2部分
斯坦伯格的方法對于說明隨機過程疲勞分析的基本概念很有用，但它有幾個缺點，影響了其準確性。一個是應力水平被歸為1、2、3倍標準差的三個類別，而實際上它們是在幅值上分布的。另一個是假設每個正零交叉意味著一個振動循環，這對于窄帶響應是可以的，但對于寬帶響應則過于保守。
還有許多其他頻域方法可用，它們與寬帶隨機響應的雨流計數結果有更好的相關性。其中一些包括Wirsching-Ligh方法、Gao-Moan 方法、Dirlik方法、Zhao-Baker方法等。從研究的參考文獻得出的結論是，Dirlik 方法、Tovo-Benasciutti方法和Zhao-Baker 方法應被視為頻域疲勞分析的首選方法。
目前關于Dirlik方法已經主流的疲勞計算軟件中嵌入并推選，比如nCode等。大家對頻域下的疲勞壽命計算問題和指導可以聯系。
展開 干貨 | 電源設計中的電容選用規則
電源往往是我們在電路設計過程中最容易忽略的環節。作為一款優秀的設計，電源設計應當是很重要的，它很大程度影響了整個系統的性能和成本。電源設計中的電容使用，往往又是電源設計中最容易被忽略的地方。
一、電源設計中電容的工作原理
在電源設計應用中，電容主要用于濾波（filter）和退耦/旁路（decoupling/bypass）。濾波是將信號中特定波段頻率濾除的操作，是抑制和防止干擾的一項重要措施。根據觀察某一隨機過程的結果，對另一與之有關的隨機過程進行估計的概率理論與方法。濾波一詞起源于通信理論，它是從含有干擾的接收信號中提取有用信號的一種技術。“接收信號”相當于被觀測的隨機過程，“有用信號”相當于被估計的隨機過程。
濾波主要指濾除外來噪聲，而退耦/旁路（一種，以旁路的形式達到退耦效果，以后用“退耦”代替）是減小局部電路對外的噪聲干擾。很多人容易把兩者搞混。下面我們看一個電路結構：
圖中電源為A和B供電。電流經C1后再經過一段PCB走線分開兩路分別供給A和B。當A在某一瞬間需要一個很大的電流時，如果沒有C2和C3，那么會因為線路電感的原因A端的電壓會變低，而B端電壓同樣受A端電壓影響而降低，于是局部電路A的電流變化引起了局部電路B的電源電壓，從而對B電路的信號產生影響。同樣，B的電流變化也會對A形成干擾。這就是“共路耦合干擾”。
展開 《結構可靠度隨機有限元——理論及工程應用》
8.2.1 抗力隨機過程
8.2.2 作用效應隨機過程
8.3 終生不修理的退化結構的時變可靠度計算
8.3.1 活載為連續過程時
8.3.2 活載為Poisson過程時
8.3.3 活載為Bernoulli過程時
8.4 根據抗力先驗分布的結構檢修制度優化
8.4.1 橋梁檢查
8.4.2 橋梁修理
8.4.3 退化橋梁構件的時變可靠度
8.4.4 檢查/修理制度事件樹分析
8.4.5 檢查/修理的總費用
8.4.6 檢查/修理制度的優化
8.4.7 算例
8.5 基于預后驗分析的結構檢修制度優化
8.5.1 預后驗決策分析
8.5.2 考慮Poisson過程活載的退化的橋梁構件時變可靠度
8.5.3 橋梁檢查的效益
8.5.4 用檢查結果更新抗力退化模型
8.5.5 橋梁檢查制度的優化
8.6 現有橋梁的剩余承載力評定
8.6.1 現狀車載模型
8.6.2 剩余承載力評定
8.7 本章小結
第9章 結構系統可靠度
9.1 概述
9.2 Ditlevsen上下界法
9.3 特殊相關矩陣法
9.4 一次多維正態法
9.5 順序條件重要抽樣法
9.6 對多極限狀態函數的方向重要抽樣法
9.6.1 方向抽樣MC法
9.6.2 重要抽樣MC法
9.6.3 方向重要抽樣MC法
9.6.4 對多極限狀態面的方向重要抽樣MC法
9.7 β-球面外的截尾正態重要抽樣法
9.8 多響應面法
9.9 本章小結
第10章 隨機有限元動力反應梯度的計算
10.1 動力可靠度分析原理
10.2 隨機結構的動力時程反應分析
10.2.1 彈性單自由度隨機系統有阻尼動力反應梯度
10.2.2 彈性多自由度隨機系統有阻尼動力反應梯度
10.3 隨機結構動力特性的梯度
10.3.1 自振頻率的梯度計算
10.3.2 振型的梯度計算
10.3.3 動力特性梯度算法考核
10.4 動力時程分析的反應梯度計算過程及算法考核
展開 
干貨｜深度分析電源設計中的電容選用規則
電源往往是我們在電路設計過程中最容易忽略的環節。作為一款優秀的設計，電源設計應當是很重要的，它很大程度影響了整個系統的性能和成本。電源設計中的電容使用，往往又是電源設計中最容易被忽略的地方。
一、電源設計中電容的工作原理
在電源設計應用中，電容主要用于濾波（filter）和退耦/旁路（decoupling/bypass）。濾波是將信號中特定波段頻率濾除的操作，是抑制和防止干擾的一項重要措施。根據觀察某一隨機過程的結果，對另一與之有關的隨機過程進行估計的概率理論與方法。濾波一詞起源于通信理論，它是從含有干擾的接收信號中提取有用信號的一種技術。“接收信號”相當于被觀測的隨機過程，“有用信號”相當于被估計的隨機過程。
濾波主要指濾除外來噪聲，而退耦/旁路（一種，以旁路的形式達到退耦效果，以后用“退耦”代替）是減小局部電路對外的噪聲干擾。很多人容易把兩者搞混。下面我們看一個電路結構：
圖中電源為A和B供電。電流經C1后再經過一段PCB走線分開兩路分別供給A和B。當A在某一瞬間需要一個很大的電流時，如果沒有C2和C3，那么會因為線路電感的原因A端的電壓會變低，而B端電壓同樣受A端電壓影響而降低，于是局部電路A的電流變化引起了局部電路B的電源電壓，從而對B電路的信號產生影響。同樣，B的電流變化也會對A形成干擾。這就是“共路耦合干擾”。
展開 基于隨機振動理論的抗震分析方法研究進展
例如，如何建立適合于此分析方法的地震動隨機過程模型與地震動隨機場模型。
4. 結 語
隨機振動理論應用于地震工程已有半個多世紀了，其基本的理論框架應該說早已建立起來了，但由于計算方法、分析手段的困難，一直難以有效地應用于復雜結構的計算。虛擬激勵法的提出，從根本上克服了經典隨機振動理論在線性分析范圍內求解多自由度體系的困難，其高效、精確的特點已越來越顯示出來，而概率密度演化方法在一般多自由度結構的非線性隨機振動分析中具有獨特性，可獲得結構響應的概率密度函數及其隨時間的演化過程，為工程結構的精細化抗震設計與控制奠定了基礎。高速鐵路橋梁與普通橋梁不一樣，由于要滿足高速列車行車的平順性和乘客的舒適性，所以高速鐵路橋梁對主梁的剛度有更高的要求，同時，西部山區的鐵路橋梁60%都屬于高墩橋梁，這些橋梁已經超出了規范的范圍，需要對它們進行詳細抗震分析，所以這里采用先進的隨機振動方法是必要的。
展開 結構可靠度隨機有限元——理論及工程應用
8.2.1 抗力隨機過程
8.2.2 作用效應隨機過程
8.3 終生不修理的退化結構的時變可靠度計算
8.3.1 活載為連續過程時
8.3.2 活載為Poisson過程時
8.3.3 活載為Bernoulli過程時
8.4 根據抗力先驗分布的結構檢修制度優化
8.4.1 橋梁檢查
8.4.2 橋梁修理
8.4.3 退化橋梁構件的時變可靠度
8.4.4 檢查/修理制度事件樹分析
8.4.5 檢查/修理的總費用
8.4.6 檢查/修理制度的優化
8.4.7 算例
8.5 基于預后驗分析的結構檢修制度優化
8.5.1 預后驗決策分析
8.5.2 考慮Poisson過程活載的退化的橋梁構件時變可靠度
8.5.3 橋梁檢查的效益
8.5.4 用檢查結果更新抗力退化模型
8.5.5 橋梁檢查制度的優化
8.6 現有橋梁的剩余承載力評定
8.6.1 現狀車載模型
8.6.2 剩余承載力評定
8.7 本章小結
第9章 結構系統可靠度
9.1 概述
9.2 Ditlevsen上下界法
9.3 特殊相關矩陣法
9.4 一次多維正態法
9.5 順序條件重要抽樣法
9.6 對多極限狀態函數的方向重要抽樣法
9.6.1 方向抽樣MC法
9.6.2 重要抽樣MC法
9.6.3 方向重要抽樣MC法
9.6.4 對多極限狀態面的方向重要抽樣MC法
9.7 β-球面外的截尾正態重要抽樣法
9.8 多響應面法
9.9 本章小結
第10章 隨機有限元動力反應梯度的計算
10.1 動力可靠度分析原理
10.2 隨機結構的動力時程反應分析
10.2.1 彈性單自由度隨機系統有阻尼動力反應梯度
10.2.2 彈性多自由度隨機系統有阻尼動力反應梯度
10.3 隨機結構動力特性的梯度
10.3.1 自振頻率的梯度計算
10.3.2 振型的梯度計算
10.3.3 動力特性梯度算法考核
10.4 動力時程分析的反應梯度計算過程及算法考核
展開 【深度干貨】電源設計中的電容選用規則
摘要
電源往往是我們在電路設計過程中最容易忽略的環節。作為一款優秀的設計，電源設計應當是很重要的，它很大程度影響了整個系統的性能和成本。電源設計中的電容使用，往往又是電源設計中最容易被忽略的地方。
一、電源設計中電容的工作原理
在電源設計應用中，電容主要用于濾波（filter）和退耦/旁路（decoupling/bypass）。濾波是將信號中特定波段頻率濾除的操作，是抑制和防止干擾的一項重要措施。根據觀察某一隨機過程的結果，對另一與之有關的隨機過程進行估計的概率理論與方法。濾波一詞起源于通信理論，它是從含有干擾的接收信號中提取有用信號的一種技術。“接收信號”相當于被觀測的隨機過程，“有用信號”相當于被估計的隨機過程。
濾波主要指濾除外來噪聲，而退耦/旁路（一種，以旁路的形式達到退耦效果，以后用“退耦”代替）是減小局部電路對外的噪聲干擾。很多人容易把兩者搞混。下面我們看一個電路結構：
圖中電源為A和B供電。電流經C1后再經過一段PCB走線分開兩路分別供給A和B。
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