雙曲線的案例
【隱式顯式切換】Abaqus雙曲線輥矯直機(jī)
調(diào)直機(jī)原理
腳手架鋼管調(diào)直機(jī)又叫雙曲線輥矯直機(jī)，最早由蘇聯(lián)人設(shè)計(jì)，輥輪是雙曲線的回轉(zhuǎn)體，在軸線夾角合適的情況下，理論上能與鋼管完美貼合，通過(guò)幾組成對(duì)出現(xiàn)的輥輪碾壓，可以使彎管發(fā)生塑性變形，將其“捻”成直管。
雙曲線輥原理
在一些對(duì)管道直線度要求比較高的行業(yè)，可以用雙曲線輥矯直機(jī)來(lái)解決管道生產(chǎn)過(guò)程中的微小彎曲問(wèn)題，比如一些油氣管道的生產(chǎn)，就需要用到它或者其他更先進(jìn)的調(diào)直機(jī)，因?yàn)橹本€度將直接影響管箍的加工、對(duì)接，以及管道工作狀態(tài)下的變形。
雙曲線輥矯直機(jī)
實(shí)際調(diào)直過(guò)程中，雙曲線輥和鋼管接觸起作用的區(qū)域是輥輪的中部和兩端。有的機(jī)器每個(gè)輥可以繞自身軸向旋轉(zhuǎn)，這種調(diào)直精度高，造價(jià)也比較高；有的機(jī)器所有輥同時(shí)繞一個(gè)公共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，調(diào)直精度差，造價(jià)低廉，腳手架鋼管調(diào)直機(jī)上用的就是這種。
兩類雙曲線輥矯直機(jī)
本公眾號(hào)早期提供的案例中，其中一個(gè)就與雙曲線有關(guān)，在公眾號(hào)菜單欄的“福利區(qū)”可以找到inp文件下載。
棉簽的包絡(luò)面為雙曲線回轉(zhuǎn)體
由于雙曲線回轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)的一些特殊性質(zhì)，在很多現(xiàn)代建筑或工業(yè)冷卻塔上也能看到它的影子，這方面有機(jī)會(huì)再展開(kāi)介紹。
雙曲線回轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)
03. 鋼管調(diào)直的數(shù)值模擬與虛擬試驗(yàn)
腳手架鋼管材料為Q235鋼，材料描述定義為彈性+塑性+韌性損傷+損傷演化，在前4個(gè)分析中，使用Abaqus分析連續(xù)性技術(shù)將鋼管的材料狀態(tài)（應(yīng)力、應(yīng)變、損傷等）在Explicit和Standard之間傳遞，在開(kāi)始時(shí)做一個(gè)具有較大塑性變形的彎管（有凹陷），最終用它來(lái)獲得一個(gè)包含前工序影響的調(diào)直管。
展開(kāi) 013 - COMSOL基于范德瓦爾斯結(jié)構(gòu)的雙曲線超材料（僅模型文件） ￥40
013 - COMSOL基于范德瓦爾斯結(jié)構(gòu)的雙曲線超材料（僅包含模型文件，40元）
基本介紹：
主要內(nèi)容：根據(jù)發(fā)表在 Science 上的論文《Infrared hyperbolic metasurface based on nanostructured van der Waals materials 作者：Peining Li等》，重復(fù)了圖1b、圖1c、圖1f、圖1g；
基于COMSOL頻域求解，使用的軟件版本為COMSOL 5.4 (5.4.0.225)；
計(jì)算所需的內(nèi)存：32 GB；
涉及的內(nèi)容：各向異性材料、阻抗邊界條件、電偶極子、散射邊界條件、完美匹配層、對(duì)數(shù)據(jù)集的操作 等；
繪制了：電場(chǎng)模、電場(chǎng)z分量的分布、Poynting矢量分布；
注意：本案例僅包含模型文件，沒(méi)有講解視頻，不附帶答疑指導(dǎo)。
包含的文件截圖：
詳細(xì)描述：
如上圖所示，利用comsol仿真雙曲線超材料上光的傳播。分為兩種情況：一種是純 hBN材料，另一種是將 hBN 做成一維條狀陣列來(lái)實(shí)現(xiàn)介電常數(shù)的各向異性。在偶極子的激發(fā)下，第二種情況能實(shí)現(xiàn)雙曲線形的波矢分布。
計(jì)算的內(nèi)容和結(jié)果：
1、hBN為均勻薄板時(shí)的電場(chǎng)分布。上圖：文獻(xiàn)中的圖；下圖：本例的結(jié)果 ??
2、hBN為光柵結(jié)構(gòu)（超材料）時(shí)的電場(chǎng)分布。上圖：文獻(xiàn)中的圖；下圖：本例的結(jié)果 ??
再次提醒：本案例僅包含模型文件，沒(méi)有講解視頻，也不附帶答疑指導(dǎo)。
展開(kāi) abaqus混凝土坍落度試驗(yàn)
使用指數(shù)和雙曲線屈服準(zhǔn)則的線性版本獲得的結(jié)果與使用線性 Drucker-Prager 準(zhǔn)則獲得的結(jié)果相同。在 Abaqus/Standard 中，與使用線性準(zhǔn)則的分析相比，使用指數(shù)和雙曲線準(zhǔn)則的分析通常需要更少的迭代來(lái)實(shí)現(xiàn)收斂解。這歸因于與指數(shù)和雙曲線屈服標(biāo)準(zhǔn)一起使用的平滑、連續(xù)的雙曲線流動(dòng)勢(shì)。
前面段落中討論的結(jié)果對(duì)應(yīng)于使用 CAX4 元素的 Abaqus/Standard 分析。使用 CAX4R 單元通過(guò) Abaqus/Explicit 模擬獲得的解非常一致。同樣，用圓柱單元得到的三維解也與相應(yīng)的軸對(duì)稱解非常吻合。此處未報(bào)告這些模擬的結(jié)果。
inp附件如下
concreteslump_castiron.rar
展開(kāi) 看飛機(jī)的航空電子設(shè)備底盤散熱器悄然發(fā)生的變化
更復(fù)雜，更高效
這是一種形狀十分復(fù)雜的散熱器，其中，第一組雙曲線流動(dòng)通道包括一組分叉流動(dòng)通道，其中包括多個(gè)鞍形點(diǎn)，在該鞍形點(diǎn)處，該組第一分叉流動(dòng)通道中的兩個(gè)沿著一個(gè)平面漸近地會(huì)聚，然后在正交平面上漸近地發(fā)散。第二組雙曲線流動(dòng)通道與第二流體入口流體連通。
第二組雙曲線流動(dòng)通道也包括一組分叉流動(dòng)通道，其中包括多個(gè)鞍形點(diǎn)，在該鞍形點(diǎn)處，該組第二分叉流動(dòng)通道中的兩個(gè)沿著一個(gè)平面漸近地會(huì)聚，然后在正交平面上漸近地發(fā)散。第一分叉流動(dòng)通道的至少一部分和該組分叉第二流動(dòng)通道的至少一部分交織在一起。
圖：一組歧管相互連接的熱交換器的透視圖，該歧管用于航空電子設(shè)備底盤。
圖：熱交換器的多組流動(dòng)通道的格子單元體的透視圖。
圖：晶格電池體的一組流動(dòng)通道的一部分的示意圖，具有雙曲線形狀。
根據(jù)3D科學(xué)谷的市場(chǎng)研究，Unison Industries所開(kāi)發(fā)的這款熱交換器是設(shè)置在飛機(jī)的航空電子設(shè)備底盤中。不過(guò)其設(shè)計(jì)原理理論上可以在任何需要或利用熱交換器或?qū)α鳠醾鬟f的環(huán)境中具有普遍適用性，例如在飛機(jī)的渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)。此外，還可以拓展到非飛機(jī)的應(yīng)用領(lǐng)域，以及其他移動(dòng)應(yīng)用和非移動(dòng)工業(yè)，商業(yè)和住宅應(yīng)用。
其設(shè)計(jì)的核心理念是通過(guò)復(fù)雜的幾何形狀提供了多達(dá)50％或更多的散熱效率。此外，雙曲線，分叉和相互纏繞的幾何形狀提供更大的傳熱系數(shù)，不僅改善了熱交換器的效率，同時(shí)使壓力損失最小化并改善了傳熱系數(shù)。
無(wú)疑，3D打印是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜形狀制造的絕佳技術(shù)。熱交換器可以通過(guò)增材制造來(lái)制造，例如直接金屬激光熔融技術(shù)或直接金屬激光燒結(jié)技術(shù)。通過(guò)增材制造可以快速準(zhǔn)確地制造設(shè)計(jì)中的阻擋結(jié)構(gòu)。此外，可以將阻塞結(jié)構(gòu)圖案化為與特定熱交換器組件所需的一樣大或小。
展開(kāi) 
通過(guò)模板法獲得垂直排列的自組裝有序三相Au–BaTiO3–ZnO納米復(fù)合材料
已經(jīng)證明的幾種具有多層或納米線形態(tài)的兩相納米復(fù)合材料系統(tǒng)用于實(shí)現(xiàn)增強(qiáng)的物理特性，包括鐵電性、鐵磁性、磁阻，以及諸如光學(xué)磁性、負(fù)折射和雙曲線色散等奇特光學(xué)性質(zhì)。例如，具有有序和各向異性金屬–電介質(zhì)納米復(fù)合材料設(shè)計(jì)的雙曲線超材料以實(shí)現(xiàn)高波矢的傳播。由于自然界中存在極少量的雙曲線材料，因此這種人工設(shè)計(jì)的納米復(fù)合材料方法提供了一種多功能平臺(tái)，使得這類材料能應(yīng)用于衍射成像，傳感，波導(dǎo)，并且還賦予了電，磁和光響應(yīng)的性能。然而，由于在結(jié)晶度和形貌方面結(jié)構(gòu)的可用性有限，因此需要設(shè)計(jì)更靈活、結(jié)構(gòu)更復(fù)雜以及制備方法更普適的復(fù)合功能氧化材料技術(shù)，以用于開(kāi)發(fā)下一代集成光子和電子器件。
【成果簡(jiǎn)介】
近日，普渡大學(xué)汪海燕教授通過(guò)新穎的兩步模板化生長(zhǎng)方法，實(shí)現(xiàn)了一種獨(dú)特的“納米管”形式的高度有序的Au-BaTiO3-ZnO納米復(fù)合材料。有序的三相“納米管”狀結(jié)構(gòu)提供了獨(dú)特的功能，例如與其他隨機(jī)結(jié)構(gòu)相比，由高度各向異性的納米結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的可見(jiàn)和近紅外區(qū)域中明顯的雙曲線色散。這項(xiàng)研究為多相結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)、生長(zhǎng)和應(yīng)用開(kāi)辟了新的可能性，并提供了一種新的方法來(lái)設(shè)計(jì)復(fù)雜的納米復(fù)合系統(tǒng)，在納米尺度上以前所未有的方式控制電子與光物質(zhì)的相互作用。該成果近日以題為“Self-Assembled Ordered Three-Phase Au–BaTiO3–ZnO Vertically Aligned Nanocomposites Achieved by a Templating Method”發(fā)表在知名期刊Adv. Mater.上。
展開(kāi) 國(guó)立臺(tái)灣大學(xué) 陳永芳教授 ACS Nano : 一種高效的單節(jié)段白色隨機(jī)激光器
此外，可以調(diào)整雙曲線色散以在期望的光譜范圍內(nèi)引導(dǎo)發(fā)射增強(qiáng)。同時(shí)，上轉(zhuǎn)換核-殼納米顆粒中發(fā)光構(gòu)成材料的濃度比也對(duì)實(shí)現(xiàn)白光發(fā)射起決定性作用。通過(guò)理論模擬支持了我們對(duì)增強(qiáng)的白色激光作用的實(shí)驗(yàn)觀察。基于單個(gè)部分的白色激光器的演示以及具有成本效益的制造工藝對(duì)于在從顯示器、照明、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、能量收集和生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域等多個(gè)實(shí)際應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)節(jié)能設(shè)備非常有用。更重要的是我們的方法可以很容易地在許多其他材料系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)，以開(kāi)發(fā)尚未實(shí)現(xiàn)的高性能光電器件。
來(lái)源：材料人
你是否真正了解CATIA草圖設(shè)計(jì)概念呢？火候不夠我來(lái)補(bǔ)！
操作步驟：
①選擇圓弧圓點(diǎn)
②選擇圓弧上的起點(diǎn)
③選擇圓弧上的終點(diǎn)
2.4.樣條線（Spline）
樣條線：確定樣條線通過(guò)的點(diǎn)，可以在草圖上繪制不規(guī)則的光滑的曲線。
操作步驟：
①選擇草圖上的點(diǎn)
②選擇草圖上的點(diǎn)
③選擇草圖上的點(diǎn)
④選擇草圖上的點(diǎn)
雙擊生成的樣條線彈出對(duì)話框進(jìn)行編輯：
2.5.橋接曲線（Connect）
橋接曲線：對(duì)已經(jīng)存在的兩條曲線進(jìn)行光順連接，連接模式有三種：點(diǎn)連續(xù)、相切連續(xù)與曲率連續(xù)。
操作步驟：
①選擇已經(jīng)存在的曲線1
②選擇已經(jīng)存在的曲線2
2.6.圓錐曲線（Conic）
橢圓：需確定橢圓的中心與長(zhǎng)短半軸的端點(diǎn)
操作步驟：
①選擇橢圓的中心點(diǎn)
②選擇橢圓長(zhǎng)半軸（短半軸）的端點(diǎn)
③選擇橢圓短半軸（長(zhǎng)半軸）的端點(diǎn)
拋物線：需確定拋物線的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)與兩個(gè)端點(diǎn)
操作步驟：
①選擇拋物線的焦點(diǎn)
②選擇拋物線的頂點(diǎn)
③選擇拋物線的端點(diǎn)
④選擇拋物線的端點(diǎn)
雙曲線：需確定雙曲線的焦點(diǎn)、中心、頂點(diǎn)與兩個(gè)端點(diǎn)
操作步驟：
①選擇雙曲線的焦點(diǎn)
②選擇雙曲線的中心點(diǎn)
③選擇雙曲線的頂點(diǎn)
④選擇雙曲線的端點(diǎn)
⑤選擇雙曲線的端點(diǎn)
五點(diǎn)圓錐曲線：不共線的五個(gè)點(diǎn)確定一條圓錐曲線
圓錐曲線的創(chuàng)建類型：兩點(diǎn)類型、 四點(diǎn)類型和五點(diǎn)類型。
圓錐曲線的創(chuàng)建模式：Nearest End Point、Start and End Tangent和Tangent Intersection Point。
展開(kāi) 使用Neuber法則修正彈塑性應(yīng)力小結(jié) ￥10
在雙折線材料本構(gòu)模型基礎(chǔ)上，利用Neuber法則，修正彈塑性應(yīng)力值。此時(shí)已知 、和 材料的雙折線方程，只需要求解紅色雙曲線與綠色直線的交點(diǎn)，即為所求彈塑性應(yīng)力值
示例：
以下根據(jù)雙線性材料本構(gòu)模型，利用Neuber法則對(duì)超過(guò)屈服強(qiáng)度的彈性應(yīng)力進(jìn)行彈塑性修正，估計(jì)。如下圖所示：紅色雙曲線方程由Neuber法則確定；綠色直線由材料本構(gòu)確定；
其中：綠色線方程由材料屈服強(qiáng)度點(diǎn)和材料抗拉強(qiáng)度點(diǎn)確定。
1、? 屈服點(diǎn)的應(yīng)變值由胡克定律利用確定：
2、? 抗拉點(diǎn)的應(yīng)變值使用材料斷裂延伸率()等效：:材料斷裂延伸率
3. 根據(jù)材料屬性 b、k可求得，則可以由估計(jì) 換算。
展開(kāi) 一篇文章帶你了解UWB
TDOA
到達(dá)時(shí)間差（Time Differenceof Arrival，TDOA）是一種利用到達(dá)時(shí)間差進(jìn)行定位的方法又稱為雙曲線定位。標(biāo)簽卡對(duì)外發(fā)送一次UWB信號(hào)，在標(biāo)簽定位距離內(nèi)的所有基站都會(huì)收到無(wú)線信號(hào)，如果有兩個(gè)已知坐標(biāo)點(diǎn)的基站收到信號(hào)，標(biāo)簽和基站的距離間隔不同，因此這兩個(gè)收到信號(hào)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)是不一樣的，根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系，到已知兩點(diǎn)為常數(shù)的點(diǎn)，一定處于以這兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線上。那么有四個(gè)已知點(diǎn)（四個(gè)定位基站）就會(huì)有四條雙曲線，四條雙曲線交于一點(diǎn)就是標(biāo)簽的位置。
TDOA算法并不是直接利用信號(hào)到達(dá)時(shí)間，而是利用多個(gè)基站接收到信號(hào)的時(shí)間差來(lái)確定移動(dòng)目標(biāo)的位置。因此與TOA相比并不需要加入專門的時(shí)間戳來(lái)進(jìn)行時(shí)鐘同步，定位精度相對(duì)有所提高。
UWB的定位原理
知道了UWB的測(cè)距原理，再來(lái)了解UWB的室內(nèi)定位原理就很容易了。UWB的室內(nèi)定位功能和衛(wèi)星原理很相似，就是通過(guò)室內(nèi)布置4個(gè)已知坐標(biāo)的定位基站，需要定位的人員設(shè)備攜帶定位標(biāo)簽，標(biāo)簽按照一定的頻率發(fā)送脈沖，不斷和4個(gè)已知位置的基站進(jìn)行測(cè)距，通過(guò)一定的精確算法定出標(biāo)簽的位置。
應(yīng)用場(chǎng)景
UWB應(yīng)用主要適用于三大場(chǎng)景，出入管理、位置服務(wù)和設(shè)備間交流。
三大應(yīng)用場(chǎng)景主要針對(duì)智能家居和智能辦公、智慧城市、智慧交通、消費(fèi)電子、新零售、消費(fèi)和醫(yī)療等領(lǐng)域。
展開(kāi) 又一顆星際訪客即將進(jìn)入我們的視野
觀測(cè)表明，西村彗星的軌道呈現(xiàn)出雙曲線形狀。雙曲線軌道意味著物體會(huì)繞著一個(gè)質(zhì)量更大的物體進(jìn)行引力彈射，從而為較小的物體提供足夠的能量以逃離較大物體的引力。
西村彗星的軌道表明，這很可能是它在太陽(yáng)系的首次也是最后一次旅行。這使其成為已知的第三顆星際物體，前兩顆分別是“奧陌陌”和“鮑里索夫”彗星。
如何觀測(cè)這顆星際彗星？
“西村彗星”將在9月13日距離地球最近，并將在9月18日距離太陽(yáng)最近。隨著它越靠近太陽(yáng)，它的亮度會(huì)逐漸增強(qiáng)，在夜空中的視星等將在5到3之間，相當(dāng)于典型星星的亮度。目前，這顆彗星的視星等約為7，這使得通過(guò)望遠(yuǎn)鏡可以清楚地看到它。
據(jù)NASA表示，在9月中旬，觀看“西村彗星”的最佳時(shí)間是在日出前后。然而，天文學(xué)家目前還不清楚這顆星際訪客將在何時(shí)離開(kāi)太陽(yáng)系。根據(jù)NASA的說(shuō)法，也許它無(wú)法離開(kāi)，因?yàn)閺?qiáng)烈的太陽(yáng)引力彈射可能會(huì)撕裂這顆彗星的固體核心。
文章來(lái)源：NASA航天愛(ài)好者
展開(kāi) 為什么冷卻塔“腰”那么細(xì)？
而雙曲面是雙曲線繞準(zhǔn)線生成的（還可以是直線繞不共面的一條準(zhǔn)線生成），因此兩種曲面看上去形狀相近，但卻是完全不同的。
紫色為雙曲線，橙色為懸鏈線
雙曲面經(jīng)濟(jì)性的原因不是因?yàn)樽罟?jié)省材料，而是因?yàn)槠浣ㄔ旆绞剑p曲面是一種直紋曲面，是由一條直線通過(guò)連續(xù)運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，這是它最重要的幾何性質(zhì)。
可以看到，直線繞軸旋轉(zhuǎn)形成了雙曲面
因此鋼筋在布置時(shí)不需要彎曲,即將其平行于空間斜向直線即可。
廣州塔，又稱“小蠻腰”，每一根主鋼梁都是直的
因此在1915年荷蘭工程師Iterson實(shí)施了這種方案后，雙曲面形式的冷卻塔流行了起來(lái)。當(dāng)然現(xiàn)如今隨著尺寸的增大，雙曲冷卻塔的施工方式都是分段混凝土現(xiàn)澆的。
世界上最早的雙曲面冷卻塔的建造過(guò)程
經(jīng)歷了多年的工程實(shí)踐，這種結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能和防風(fēng)性能得到了很好的檢驗(yàn)，成為了最普遍的冷卻塔形式，因此沿用雙曲面也是一種歷史的慣性。
實(shí)際上，工程實(shí)踐中不是完全按照曲面的幾何形狀去施工，實(shí)際的施工中曲面大多是采用分節(jié)施工的辦法，給定筒壁母線半徑和壁厚然后用多段平面鋼模板去逼近。
因此嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，其最終形狀和雙曲線型的母線是有所差異的，現(xiàn)如今的塔形是優(yōu)化設(shè)計(jì)、工程實(shí)踐和施工習(xí)慣相互影響的結(jié)果，和幾何上的雙曲面會(huì)有差異。
展開(kāi) 
旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)有限元網(wǎng)格自動(dòng)劃分法
2 改進(jìn)分塊分割法計(jì)算旋轉(zhuǎn)面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)
如圖1所示，在Y-Z平面上的參數(shù)曲線P為Y=Y(t)；Z=Z(t)，若將曲線P繞Z軸旋轉(zhuǎn)，可得環(huán)面方程為：
(0≤≤)
所以確定旋轉(zhuǎn)面方程主要是確定其母參數(shù)方程。
圖1
根據(jù)不同類型的母線參數(shù)方程，即得不同的旋轉(zhuǎn)面。
1)母線為直
若母線是從點(diǎn)(Y1，Z1)到點(diǎn)(Y2，Z2)的一段直線，
則其方程是：
Y(t)=Y1+t(Y2-Y1) (0≤t≤1)
Z(t)=Z1+t(Z2-Z1)
2)母線為一段圓弧
若圓弧的圓心為(a,b)，半徑為R，則母線方程是：
Y(t)=a+Rcost (t1≤t≤t2)
Z(t)=b+Rsint
3)母線是雙曲線
若母線是雙曲線，則其參數(shù)方程是：
Y(t)=acht (t1≤t≤t2)
Z(t)=bsht
4)母線是任意曲線
若母線是平面上的一條任意曲線，采用二次Bezier曲線來(lái)擬合其母線。
展開(kāi) 用 Mathematica 求解多項(xiàng)式
圓、拋物線和雙曲線通常由二次多項(xiàng)式指定。當(dāng)我們想知道一個(gè)二次多項(xiàng)式與已知直線何時(shí)相交時(shí)，我們就得到一個(gè)二次方程. 這甚至發(fā)生在 雙曲線是矩形的，例如：
Plot[{(1 - x)/(x + 2), 2 x + 3}, {x, -4, 1}, PlotRange -> {{-4, 1}, {-6, 6}}, A
表示雙曲線的分支與直線相交的方程為
(1 - x)/(x + 2) == 2 x + 3;
要得到形如 x^2 + b x + c ==0 的方程，需要兩邊同時(shí)乘以 x + 2，
Distribute[(x + 2)*%, Equal]
1 - x == (2 + x) (3 + 2 x)
再兩邊同時(shí)減去(2 + x) (3 + 2 x)，
(2 + x) (3 + 2 x) - # & /@ %
-1 + x + (2 + x) (3 + 2 x) == 0
然后展開(kāi)：
Expand@%
5 + 8 x + 2 x^2 == 0
因?yàn)?Mathematica 不是使用傳統(tǒng)的方法處理方程，"兩邊同時(shí)減去"這一步需要解釋一下. 它使用 & 定義了一個(gè)函數(shù)，從 (2 + x) (3 + 2 x)減去（#），然后"映射" ( /@ ) 到等式兩邊.
展開(kāi) 用 Mathematica 求解多項(xiàng)式
圓、拋物線和雙曲線通常由二次多項(xiàng)式指定。當(dāng)我們想知道一個(gè)二次多項(xiàng)式與已知直線何時(shí)相交時(shí)，我們就得到一個(gè)二次方程. 這甚至發(fā)生在 雙曲線是矩形的，例如：
Plot[{(1 - x)/(x + 2), 2 x + 3}, {x, -4, 1}, PlotRange -> {{-4, 1}, {-6, 6}},
表示雙曲線的分支與直線相交的方程為
(1 - x)/(x + 2) == 2 x + 3;
要得到形如 x^2 + b x + c ==0 的方程，需要兩邊同時(shí)乘以 x + 2，
Distribute[(x + 2)*%, Equal]
1 - x == (2 + x) (3 + 2 x)
再兩邊同時(shí)減去(2 + x) (3 + 2 x)，
(2 + x) (3 + 2 x) - # & /@ %
-1 + x + (2 + x) (3 + 2 x) == 0
然后展開(kāi)：
Expand@%
5 + 8 x + 2 x^2 == 0
因?yàn)?Mathematica 不是使用傳統(tǒng)的方法處理方程，"兩邊同時(shí)減去"這一步需要解釋一下. 它使用 & 定義了一個(gè)函數(shù)，從 (2 + x) (3 + 2 x)減去（#），然后"映射" ( /@ ) 到等式兩邊.
展開(kāi) PRL:：PbTiO3/SrTiO3多層膜中不同偶極構(gòu)型的拓?fù)淙毕菅芯?/span>
A/B局域放大圖與數(shù)值模擬
（a）圖1（b）中A部分的放大圖，示出了具有雙曲線形狀（粉紅-綠色區(qū)域）的極化域和具有特征為外流漩渦（紅色彎曲箭頭）的偶極子渦流。紅色的橢圓表示一個(gè)閉合小渦流，其中面內(nèi)偶極矩相對(duì)較小。（b）圖1（b）中B部分的放大圖，展示出PTO膜層中的偶極子波的細(xì)節(jié)。藍(lán)色的小圓圈表示與偶極子波相關(guān)的氣泡。（c）PTO薄膜在-0.6％壓縮應(yīng)變下，數(shù)值模擬平衡偶極子波顯示出與（b）中實(shí)驗(yàn)觀察的一致性。
圖3. C局域放大圖與數(shù)值模擬向錯(cuò)
（a）圖1（b）中C部分的放大圖，顯示180°偶極子向錯(cuò)。（b）在-0.6％壓縮應(yīng)變的PTO薄膜中，數(shù)值模擬向錯(cuò)與（a）中的實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果非常吻合，同系統(tǒng)基態(tài)相比，該向錯(cuò)在能量上是亞穩(wěn)的。
圖4. 第一個(gè)PTO薄膜層中偶極的不同構(gòu)型
在三個(gè)規(guī)則的雙曲線區(qū)域（粉紅-綠色區(qū)域）之間，顯示了相同的極化方向，其中包括一個(gè)小的中心部分（綠色的小橢圓），偶極子的行為隨周圍環(huán)境變化。
【小結(jié)】
該研究已觀察到外延STO/PTO多層膜中的偶極子排列構(gòu)型，同時(shí)在實(shí)驗(yàn)上首次發(fā)現(xiàn)了納米電偶極子波、偶極子向錯(cuò)和其他不同的構(gòu)型。他們進(jìn)一步進(jìn)行的原子模擬證實(shí)并解釋了這些偶極子構(gòu)型的存在。盡管拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和缺陷已經(jīng)在有序介質(zhì)理論上被研究過(guò)，該成果預(yù)計(jì)會(huì)進(jìn)一步加速對(duì)鐵電體中電偶極子的復(fù)雜結(jié)構(gòu)和相關(guān)性質(zhì)的實(shí)驗(yàn)和理論研究。
展開(kāi) 